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« en: 27 Febrero, 2022, 07:16 pm »
Muchas gracias, entonces completaré toda la demostración para que quede para futuros lectores (quedo atento a alguna observación con la demostración):
Demostración.-
Como $$p$$ es regular, tenemos $$X(p)\ne 0$$. Luego existen vectores $$v_1,\dots,v_{n-1}\in\mathbb R^n$$ tales que $$\beta_p=\{v_1,\dots,v_{n-1},X(p)\}$$ base de $$\mathbb R^n$$. Veamos que $$\beta_q$$ es base de $$\mathbb R^n$$ para $$q$$ próximo de $$p$$, en $$U$$. Caso contrario para todo $$k\in\mathbb Z^+$$ existirían $$q_k\in B(p,1/k)\subset U$$ tales que $$X(q_k)\in Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$. Así tenemos una sucesión $$(q_k)\subset U$$ tal que $$q_k\to p$$ cuando $$k\to +\infty$$. Luego por continuidad del campo $$X$$,
$$X(p)=\lim_{k}X(q_k)\in\overline{Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}}=Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$
lo que es una contradicción. Por tanto existe $$\delta>0$$ tal que $$\beta_q$$ es base de $$\mathbb R^n$$ para todo $$q\in B(p,\delta)$$. Sea ahora $$M=\max_{1\leq j\leq n-1}\{\|v_j\|\}>0$$ y tomemos $$\epsilon<\delta/M$$. Definamos $$A=\{x\in\mathbb R^{n-1}:\sum_{j=1}^{n-1}|x_j|<\epsilon\}$$ y $$f:A\to \mathbb R^n$$ dada por $$f(x)=p+\sum_{j=1}^{n-1}x_jv_j$$. Notemos además que
$$\|f(x)-p\|=\|\sum x_jv_j\|\leq \sum|x_j|\|v_j\|\leq M\sum|x_j|<\delta$$
de modo que $$f(x)\in B(p,\delta)$$ para todo $$x\in A$$. Por tanto $$\beta_{f(x)}=\{v_1,\dots,v_{n-1},X(f(x))\}$$ es base de $$\mathbb R^n$$. Es sencillo ver que $$f$$ es de clase $$C^\infty$$, y también que dado $$a\in\mathbb R^{n-1}$$, se tiene que $$Df(x)(a)=\sum_{j=1}^{n-1}a_jv_j$$. Luego $$Df(x)(e_i)=v_i$$, entonces $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})=Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$. Por tanto $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(f(x))\}=Span\{\beta_{f(x)}\}=\mathbb R^{n}$$. Además $$Df(x)(a)=0\Leftrightarrow\sum_{j=1}^{n-1}a_jv_j \Leftrightarrow a_j=0 \Leftrightarrow a=0$$, es decir $$Df(x)$$ es inyectiva para todo $$x\in A$$. Tomemos $$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$$ dada por $$F(x,y)=f(x)+yX(p)$$ la cual es de clase $$C^\infty$$, además $$DF(0)(\mathbb R^{n-1}\times\{0\})=Df(0)(\mathbb R^{n-1})$$ y $$DF(0)(\{0\}\times\mathbb R)=Span\{X(p)\}$$. Luego $$DF(0)(\mathbb R^n)=Df(0)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(p)\}=Span\{\beta_p\}=\mathbb R^n$$. Entonces $$DF(0)$$ es un isomorfismo. Por el teorema de la función inversa existe $$V\times W\in\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R$$ un entorno de $$0$$ tal que $$F:V\times W\to F(V\times W)$$ es un difeomorfismo. Tomemos entonces $$\tilde{A}=V\cap A$$, redefinimos la función $$f$$, $$f:\tilde{A}\to B(p,\delta)\subset U$$ que satisface ahora todas las condiciones de una sección transversal local al campo $$X$$ en $$p\in U$$.
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