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Mensajes - Zaragoza

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Hola, acabo de leer en el libro de Sotomayor página 257 que una función converge uniformemente para infinito, más allá del caso particular del libro de Sotomayor, me gustaría entender qué intenta decir con que una función converge uniformemente para infinito ya que si converge debe ser para un valor finito. ¿Alguién me ayuda a aclarar esta idea por favor?

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Ecuaciones diferenciales / Teorema de Lienard
« en: 22 Marzo, 2022, 07:15 pm »
Hola, estoy leyendo el teorema de Lienard en el libro de Sotomayor pág 255 https://libgen.is/book/index.php?md5=52279906A0F775C96F6246467A0619E4

$$
u''+g(u)u'+u=0
$$

pero tengo una duda, ¿cómo puedo justificar formalmene que el denominador de $$\frac{-uG(u)}{v-G(u)}$$ tiende uniformemente para $$\infty$$?

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Muchas gracias, entonces completaré toda la demostración para que quede para futuros lectores (quedo atento a alguna observación con la demostración):

Demostración.-

Como $$p$$ es regular, tenemos $$X(p)\ne 0$$. Luego existen vectores $$v_1,\dots,v_{n-1}\in\mathbb R^n$$ tales que $$\beta_p=\{v_1,\dots,v_{n-1},X(p)\}$$ base de $$\mathbb R^n$$. Veamos que $$\beta_q$$ es base de $$\mathbb R^n$$ para $$q$$ próximo de $$p$$, en $$U$$. Caso contrario para todo $$k\in\mathbb Z^+$$ existirían $$q_k\in B(p,1/k)\subset U$$ tales que $$X(q_k)\in Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$. Así tenemos una sucesión $$(q_k)\subset U$$ tal que $$q_k\to p$$ cuando $$k\to +\infty$$. Luego por continuidad del campo $$X$$,

$$X(p)=\lim_{k}X(q_k)\in\overline{Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}}=Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$

lo que es una contradicción. Por tanto existe $$\delta>0$$ tal que $$\beta_q$$ es base de $$\mathbb R^n$$ para todo $$q\in B(p,\delta)$$. Sea ahora $$M=\max_{1\leq j\leq n-1}\{\|v_j\|\}>0$$ y tomemos $$\epsilon<\delta/M$$. Definamos $$A=\{x\in\mathbb R^{n-1}:\sum_{j=1}^{n-1}|x_j|<\epsilon\}$$ y $$f:A\to \mathbb R^n$$ dada por $$f(x)=p+\sum_{j=1}^{n-1}x_jv_j$$. Notemos además que

$$\|f(x)-p\|=\|\sum x_jv_j\|\leq \sum|x_j|\|v_j\|\leq M\sum|x_j|<\delta$$

de modo que $$f(x)\in B(p,\delta)$$ para todo $$x\in A$$. Por tanto $$\beta_{f(x)}=\{v_1,\dots,v_{n-1},X(f(x))\}$$ es base de $$\mathbb R^n$$. Es sencillo ver que $$f$$ es de clase $$C^\infty$$, y también que dado $$a\in\mathbb R^{n-1}$$, se tiene que $$Df(x)(a)=\sum_{j=1}^{n-1}a_jv_j$$. Luego $$Df(x)(e_i)=v_i$$, entonces $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})=Span\{v_1,\dots,v_{n-1}\}$$. Por tanto $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(f(x))\}=Span\{\beta_{f(x)}\}=\mathbb R^{n}$$. Además $$Df(x)(a)=0\Leftrightarrow\sum_{j=1}^{n-1}a_jv_j \Leftrightarrow a_j=0 \Leftrightarrow a=0$$, es decir $$Df(x)$$ es inyectiva para todo $$x\in A$$. Tomemos $$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$$ dada por $$F(x,y)=f(x)+yX(p)$$ la cual es de clase $$C^\infty$$, además $$DF(0)(\mathbb R^{n-1}\times\{0\})=Df(0)(\mathbb R^{n-1})$$ y $$DF(0)(\{0\}\times\mathbb R)=Span\{X(p)\}$$. Luego $$DF(0)(\mathbb R^n)=Df(0)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(p)\}=Span\{\beta_p\}=\mathbb R^n$$. Entonces $$DF(0)$$ es un isomorfismo. Por el teorema de la función inversa existe $$V\times W\in\mathbb R^{n-1}\times\mathbb R$$ un entorno de $$0$$ tal que $$F:V\times W\to F(V\times W)$$ es un difeomorfismo. Tomemos entonces $$\tilde{A}=V\cap A$$, redefinimos la función $$f$$, $$f:\tilde{A}\to B(p,\delta)\subset U$$ que satisface ahora todas las condiciones de una sección transversal local al campo $$X$$ en $$p\in U$$.

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Hola, estoy estudiando el teorema de Poincaré-Bendixson en el plano, y he visto aplicaciones en los libros de Perko y Sotomayor, pero me gustaría saber si ustedes conocen otras aplicaciones no tan conocidas pero interesantes. O tal vez si conocen aplicaciones más actuales.

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Quiero probar el siguiente resultado: Si $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$ y $$p\in U$$ es un punto regular de $$X$$, entonces existe una sección transversal local $$f$$ de clase $$C^\infty$$ al campo $$X$$ en el punto $$p$$ tal que $$f(0)=p$$.

Siguiendo una observación del libro de Sotomayor, mi avance fue el siguiente: Como $$X(p)\ne 0$$, entonces podemos extender a una base de $$\mathbb R^n$$, tomando $$v_1,v_2,\dots,v_{n-1}\in\mathbb R^{n}$$ tales que $$\beta_p=\{v_1,v_2,\dots,v_{n-1},X(p)\}$$ es una base de $$\mathbb R^n$$. Logré probar que existe $$\delta>0$$ tal que $$\beta_q$$ es una base de $$\mathbb R^n$$ para todo $$q\in B(p,\delta)$$. Luego tomé $$M=\max\{\|v_j\|\}$$ y $$\epsilon<\delta/M$$. Se define entonces la siguiente función $$f:A=\{x\in\mathbb R^{n-1}\to \mathbb R^n\}$$ dada por $$f(x)=p+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}x_jv_j$$ la cual está bien definida. Es sencillo mostrar que $$f$$ es una inmersión, lo que se me hace complicado de ver es que $$f:A\to f(A)$$ es un homeomorfismo. Tal vez esté ante mis ojos pero no lo veo. Esta es la única condición que me faltaría probar para llegar a mostrar el resultado de existencia de una sección transversal. Agradecería todo tipo de ayuda, por otro lado, si alguien tiene otra demostración de este hecho me gustaría conocerla.

Estoy usando la siguiente definición para una sección transversal local: Sea $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$. Una sección transversal local al campo $$X$$ en el punto $$p\in U$$, es una aplicación $$f:A\to U$$ de clase $$C^k$$ donde $$A$$ es un abierto conexo de $$\mathbb R^{n-1}$$ que satisface:
  • $$f$$ es una inmersión
  • $$f:A\to\Sigma=f(A)$$ es un homeomorfismo
  • $$p\in\Sigma$$
  • $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(f(x))\}=\mathbb R^{n}$$ para todo $$x\in A$$

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Hola

Que interesante yo solo me había percatado de la terna $(3,3,3)$, supuse erróneamente que esa sería la única terca de enteros que cumpliría la hipótesis. Entonces debe haber un error en la tesis, acabo de revisar y no hay error en mi tipeo. Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.

 ¿En qué contexto te aparece el problema? ¿De algún libro? ¿de alguna asignatura?¿de alguna colección de problemas? Aporta toda la información que tengas (y quieras  ;)).

Saludos.
Ese problema lo encontré en una lista de ejercicios de un curso de Matemática básica de primer semestre del año 2018. El tema era desigualdaes y números reales, nada más. Ese era el único problema que no salió y no tenía idea de como afrontar esa hipótesis, luego se vino a la mente más cosas como por ejemplo $$x^2+y^2+z^2=k\cdot xyz$$ donde $$k=1,2,\dots$$ ¿la cantidad de soluciones enteras depende directamente de $$k$$? o tal vez a partir de un $$k$$ ya no existen soluciones enteras etc... pero puse el post para atacar el problema original y de paso ver si alguien conseguía darme alguna luz de como atacar esa hipótesis.

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Que interesante yo solo me había percatado de la terna $(3,3,3)$, supuse erróneamente que esa sería la única terca de enteros que cumpliría la hipótesis. Entonces debe haber un error en la tesis, acabo de revisar y no hay error en mi tipeo. Supongo en base a tu comentario que tal vez la hipótesis podría ser en realidad $$\frac{z^2}{xy}+\frac{y^2}{xz}+\frac{x^2}{yz}=1$$ y de esa manera tendríamos en la hipótesis un polinomio homogéneo.

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Cálculo 1 variable / Re: $$f$$ es integrable
« en: 18 Enero, 2022, 05:54 pm »
Hola

Si \( f(a) \) existe entonces \( f \) es Riemann-integrable en \( [a,b] \), se puede demostrar tomando sumas de Riemann, observando que el valor que tome en \( a \) la función no influye en el valor de la integral.

Ojo, Si \( f(x) \) no es continua en \( a \), la existencia de \( f(a) \) no garantiza que la función sea integrable.

Por otra parte si tomas \( g(x)=f(x)/x \) es una función continua en \( [a,b] \) (definiendo \( g(a)=\displaystyle\lim_{x \to a^+}{}f(x)/x) \)). Entonces \( h(x)=g(x)\cdot x \) es continua en \( [a,b]  \) (por ser producto de continuas) y por tanto integrable en \( [a,b] \). Pero entonces también es integrable en \( (a,b]\subset [a,b] \) y en ese intervalo coincide con \( f \).

Saludos.

Entiendo, no lo había visto de esa manera. Gracias a ambos por la ayuda

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Si $$\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1$$ con $$x,y,z\in\mathbb R^+$$, entonces encontrar el valor de $$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$.

Me quedé pensando en la hipótesis, yo sé que $$x^2+y^2=xy$$ implica que $$x=y=0$$ pero cuando hay 3 no se me ocurre nada. Alguna idea?

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Cálculo 1 variable / Re: $$f$$ es integrable
« en: 18 Enero, 2022, 09:19 am »
Gracias, lo había pensado así pero me desanimé ya que no vi donde usar el dato del límite. Alguna idea?

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Cálculo 1 variable / $$f$$ es integrable
« en: 18 Enero, 2022, 08:57 am »
Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 17 Enero, 2022, 06:14 am »
Gracias a todos los que se tomaron el tiempo  :aplauso:

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 17 Enero, 2022, 05:25 am »
Si, es que mi idea de argumento principal es que se encuentre en el intervalo $$]-\pi,\pi[$$, entonces debo sumarle o restarle una cantidad de vueltas  para que eso ocurra, y cumple únicamente sumándome 2 vuelvas.

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 17 Enero, 2022, 02:08 am »
Hubo un error groseo de tipeo ya lo he corregido, tal vez eso sea?  (aparecía un signo en el exponente que no debía estar)
Algo así? Sea $$z=(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

$$
-2+2i=2{\color{red}{\sqrt 2}}(-\frac{1}{{\color{red}{\sqrt 2}}}+\frac{i}{{\color{red}{\sqrt 2}}})=2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=e^{3\pi}(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
Luego se me viene a la mente lo siguiente, pero no estoy seguro

$$
(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}=e^{(-3-4i)\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=e^{-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}e^{-(4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}})i}\Rightarrow |z|=e^{3\pi-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=\frac{e^{3\pi}}{16\sqrt 2}\wedge \mathrm{Arg}(z)=-\frac{9\pi}{4}-4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}} +(2\pi)(2)\approx 1.34 \in]-\pi,\pi[
$$
entonces ese sería el argumento principal.

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 17 Enero, 2022, 12:19 am »
Disculpa me perdí un poco, no es lo mismo qué hice?

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 16 Enero, 2022, 09:45 pm »
\( (-2+2i)=2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i} \)

Y

\[ (-2+2i)^{-3-4i}=\left(2\sqrt{2}e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)^{-3-4i} \]

Ahora aplica propiedades de potencia

\( a^{t+u}=a^t\cdot a^u \)

\( (a\cdot b)^t=a^{t}\cdot b^t \)

Además en los complejos

\( z_1\cdot z_2=|z_1|\cdot |z_2|e^{i(arg(z_1)+arg(z_2))} \)


Saludos
Gracias por la aclaración vi mi error, y lo he corregido, podrías hecharle un vistazo?

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Números complejos / Re: Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 16 Enero, 2022, 09:19 pm »
Hola

A ver, si \( z=\rho \cdot e^{i\theta} \)   entonces  \( |z|=\rho,  arg(z)=\theta \)

Entonces pon base y exponente en forma exponencial (basta solamente con la base). Y trata de poner el resultado de forma en que puedas identificar directamente el módulo y el argumento.

Saludos
Algo así? Sea $$z=(-2+2i)^{(-3-4i)}$$

$$
-2+2i=2{\color{red}{\sqrt 2}}(-\frac{1}{{\color{red}{\sqrt 2}}}+\frac{i}{{\color{red}{\sqrt 2}}})=2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}\rightarrow (-2+2i)^{(-3-4i)}=({2{\color{red}{\sqrt 2}}e^{3\pi i/4}})^{(-3-4i)}=e^{3\pi}(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}e^{-9\pi i/4}
$$
Luego se me viene a la mente lo siguiente, pero no estoy seguro

$$
(2 {\color{red}{\sqrt 2}})^{(-3-4i)}=e^{(-3-4i)\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=e^{-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}e^{-(4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}})i}\Rightarrow |z|=e^{3\pi-3\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}}}=\frac{e^{3\pi}}{16\sqrt 2}\wedge \mathrm{Arg}(z)=-\frac{9\pi}{4}-4\ln 2{\color{red}{\sqrt 2}} +(2\pi)(2)\approx 1.34 \in]-\pi,\pi[
$$
entonces ese sería el argumento principal.

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Números complejos / Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 16 Enero, 2022, 07:36 pm »
Hola, tengo algunos problemas tratando de encontrar el módulo y argumento principal de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$, he trabajado con teoría compleja pero de manera abstracta y no he hecho mucho este tipo de cuentas. Por favor, agradecería que me ayuden de manera detallada. Gracias de antemano.

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Teoría de números / Re: Serie de potencias $$S_m$$
« en: 18 Diciembre, 2021, 07:54 pm »
Buenas Zaragoza,

Te puede interesar esto. Al final de la sección dice lo que has visto tu.

Saludos,
Franco.

Interesante, pero como demostrar ese hecho, eso es lo que me intriga. Gracias por la referencia trataré de ir por ese camino.

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Teoría de números / Serie de potencias $$S_m$$
« en: 18 Diciembre, 2021, 07:28 pm »
Haciendo unas notas de clase me di cuenta que si $$S_m=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^m$$ entonces

  • $$S_1=\frac{n(n+1)}{2}$$
  • $$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  • $$S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
  • $$S_4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$
  • $$S_5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$$
  • $$S_6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$
  • $$S_7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+1)}{24}$$
  • $$S_8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}$$
Como se puede apreciar $$\textcolor{red}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$$ divide a $$S_{impar>1}$$ y $$\textcolor{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$ divide a $$S_{par}$$. Alguna idea de como probar que esto realmente ocurre?

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