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Mensajes - Carlos Ivorra

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1
Ok, sí, igual me vine demasiado arriba con esa expresión XD Pero es la primera vez que veo una diferencia clara (para este caso) entre números primos y compuestos, algo que hasta el momento no había sido capaz de ver (seguramente por torpeza, ya que con todo lo que me explicasteis antes seguro que ya se puede entender, pero estoy un pelín espeso hoy  :laugh:).

No sé si entiendo a qué te refieres, pero si quieres decir a por qué el teorema de Fermat requiere que \( p \) sea primo, la situación general es que el fenómeno que describe el teorema se aplica siempre que existe el orden, es decir, siempre que existe un \( n>0 \) tal que \( a^n\equiv 1\pmod m \), y eso pasa exactamente cuando \( a \) y \( m \) son primos entre sí. En general, se llama \( U_m \) al conjunto de los restos módulo \( m \) que son primos con \( m \), y hay un total de \( \phi(m) \) de estos restos.

Por ejemplo, si \( m=15 \) el grupo \( U_{15} \) está formado por los \( \phi(15)=8 \) restos que puse en la última tabla para rellenar.

Que \( m \) sea primo sólo importa en cuento que eso hace que \( U_m \) sean todos los restos no nulos módulo \( m \), que son \( m-1 \). Si \( m \) no es primo, no hay \( m-1 \), sino \( \phi(m) \).

El resultado más general (dentro de lo razonable) es que si tienes un elemento de un grupo finito (como el resto \( 2 \) en el grupo \( U_{15} \)), el menor exponente al que tienes que elevarlo para obtener un 1 divide al número de elementos del grupo (en el ejemplo de \( 2 \) en \( U_{15} \), dicho número es \( 4 \), que divide a \( 8 \)).

2
Creo que ya voy pillando la idea, entonces la razón principal de que el pequeño teorema de Fermat se cumpla sería que la función de Euler es igual a \( m-1 \) si \( m \) es primo no?

Bueno, lo de "la razón principal" se presta a mucha filosofía. Si consideras que "la razón por la que se cumple el teorema de Fermat" es que se cumple el teorema de Euler, del cual es un caso particular, entonces sí, es lo que dices. Pero alguien te podría decir que es artificial invocar el teorema de Euler para entender el teorema de Fermat, en el sentido de que es una generalización innecesaria.

Sin ánimo de sentar cátedra en algo bastante subjetivo, yo simpatizaría con la idea de que, en efecto, alguien que conozca el teorema de Euler "entiende mejor" el teorema de Fermat, pero hay que ser consciente de que podemos escalar aún más, y podríamos decir que el teorema de Euler es un caso particular del teorema de Lagrange, que dice que el orden de un subgrupo divide al orden de un grupo, y éste se podría generalizar un poco más, a su vez (al teorema de transitividad de índices) y entonces uno se tiene que parar a pensar en qué momento la generalización pasa de ser una ayuda al entendimiento a ser un exceso.


3
La verdad es que era una pregunta retórica. De hecho en algunos juzgados como llames jueza, a una juez mujer, te echa la bronca.....
Llámala señoría y te quitas de problemas.....

Por desgracia, no se puede deducir de ahí que hay jueces femeninas con sensatez. Podría ser, pero también conozco el caso de una notaria a la que la llamas notaria y te echa la bronca. Afirma ser "notario", lo cual es tan aberrante como llamar "sanitario" a una mujer.

4
Coincido en que esa frase no tiene sentido,

Tiene perfecto sentido, pero no es el sentido que pretendía expresar el idiota que la redactó.

pero no lo estáis viendo en contexto. Si la persona encargada de transmitir el mensaje lo hace a través de una nota por escrito, simplemente dirá "Sólo podrá venir un padre o una madre a recoger al alumno/a", sin desmedro de que la familia posea más de un hijo/a.

Sí la estoy viendo en contexto: esa frase estaba en un folio con instrucciones que recibieron los padres de unos niños, y ponía lo que he dicho, no lo que dices tú.

Nombre del alumnado:

Esto tampoco tiene sentido pero se arregla poniendo Nombre del alumno/a:.

Claro, toda idiotez se puede arreglar, pero el caso es que lo dicen así.

¿Cómo contestarías a eso si te lo preguntaran en serio?

La fórmula Nombre del alumno/a: es totalmente correcta en un documento que tiene que ser rellenado con un nombre concreto, porque así habrá coherencia de género cuando se ponga un nombre en concreto. Si el nombre de de mujer y hay que leerlo, uno leerá: Nombre de la alumna: Ana.

Otra cosa muy distinta es usar alumno/a en una frase genérica, que no va a ser particularizada insertando un nombre en concreto. Decir "losas alumnosas" es una memez, tanto si pones barritas en medio como si no.

P.D. Por diversión les copio el encabezado de un mensaje del lugar donde trabajo para que vean cómo se manejan los directivos a través de comunicaciones oficiales hacia sus docentes en una institución aquí en Argentina:

Ahí tienes un ejemplo de algo habitual. El lenguaje tiene que ser algo espontáneo, algo que uno pueda improvisar. Pero hablar así es como hablar en verso. Es imposible. Para hacerlo "bien" uno tendría que revisar un texto una y mil veces, nada que pueda hacerse en una conversación espontánea.

Por ejemplo, al "poeta" que ha redactado eso, se le ha escapado "los tutores". ¿Por qué no dice "los tutores/as"? Pues simplemente porque se le ha escapado. Porque no se puede hablar en verso sin que se te escape un verso suelto. ¿Hay que entender que el idiota que ha redactado eso cree que una mujer no está capacitada para ser tutora y su subconsciente le ha traicionado? Pues no. Simplemente, decir "los tutores" no presupone nada sobre el sexto de los tutores en cuestión, y pretender que lo contrario es machista es como lo que hacen los comunistas de llamar fascista a todo el que no piensa como ellos, y así, a Trotski lo mató un comunista porque consideraba que era un fascista.

5
Pues si no me equivoqué con algo quedaría así (divisores de 6 como decías):

\( \begin{array}{r|rrrrrr}
a\pmod 7&1&2&3&4&5&6\\
\hline
o_7(a)&1&3&6&3&6&2
\end{array} \)

Bien, pues ahí estas "viendo" el teorema de Fermat, es decir, estás viendo los cálculos concretos que sin duda llevaron a Fermat a conjeturar su teorema y tal vez a demostrarlo, pues Fermat no solía publicar sus demostraciones y no sé si publicaría ésta.

El teorema de Fermat surge de observar (en muchos casos) que siempre salen divisores de \( p-1 \) en tablas como ésta.

Ahora faltaría entender qué sucede cuando \( p \) no es primo. Considera por ejemplo, \( p=100 \). Hay dos casos distintos, según si \( a \) es primo con \( p \) o no lo es. Veamos primero un caso en el que no lo es: \( a=15 \). Si calculas las potencias de \( 15 \) módulo \( 100 \) (empezando en \( a^0 \)), obtenemos:

1, 15, 25, 75, 25, 75, 25, 75, ...

Y así vemos que en la sucesión de potencias nunca aparece ni el 1 ni el 15 (salvo en el caso obvio \( 15^1 \). Concretamente, todas las potencias pares valen 25 (menos con exponente 0) y las impares valen 75 (menos con exponente 1), por lo que \( 15^{99}\equiv 75\pmod {100} \) y \( 15^{100}\equiv 25\not\equiv 15\pmod{100} \).

En este caso, ni siquiera está definido \( o_{100}(15) \), no hay ningún exponente \( n>0 \) que cumpla \( 15^n\equiv 1\pmod{100} \).

Más interesante es el caso en que \( a \) es primo con \( p \), por ejemplo \( a = 7 \). En este caso sí que está definido el orden, y podemos calcularlo:

\( \begin{array}{r|rrrrrr}
n&0&1&2&3&4&\cdots\\
\hline
7^n\pmod{100}&1&7&49&43&1&\cdots
\end{array} \)

Y así vemos que \( o_{100}(7)=4 \), que no es un divisor de \( 100-1=99 \), por lo que también falla el teorema de Fermat. Ahora bien, eso es relativo. Euler generalizó el teorema de Fermat probando que si \( m \) es un número cualquiera y \( a \) es primo con \( m \), entonces existe \( o_m(a) \), es decir, existe un mínimo \( n>0 \) tal que \( a^n\equiv 1\pmod m \), y además \( o_m(a)\mid \phi(m) \), donde \( \phi \) es la función de Euler, que da el número de números menores que \( m \) primos con \( m \).

Por ejemplo, si \( m \) es primo, entonces \( \phi(m)=m-1 \), por lo que \( o_m(a)\mid \phi(m) \) es lo mismo que \( o_m(a)\mid m-1 \), luego tenemos el teorema de Fermat.

Pero, para \( m=100 \), tenemos que \( \phi(100)=40 \), por lo que los órdenes módulo 100 de los números primos con 100 no son divisores de 99, como se seguiría de una generalización ingenua del teorema de Fermat, sino divisores de 40.

Puedes comprobarlo completando la tabla siguiente:

\( \begin{array}{r|rrrrrrrr}
a\pmod{15}&1&2&4&7&8&11&13&14\\
\hline
o_{15}(a)&1&4&&&&&&2\\
\end{array} \)

En la primera fila están todos los restos módulo 15 primos con 15, y los órdenes te tienen que salir divisores de \( \phi(15)=8 \) (no divisores de \( 15-1=14 \)).

6
Sí Carlos, está clara tu intención. Pero el asunto de las comprobaciones concretas de una hipotética propiedad es relativo. El famoso polinomio \( p(n)=n^2+n+41 \) que genera primos desde \( 0 \) a \( 39 \) y que no lo hace para \( n=40 \) puede llevar al intento de demostrar una propiedad que es falsa, como lo demuestra el teorema de Goldbach (https://fernandorevilla.es/2020/10/30/polinomio-que-genera-primos/).

Ah, pero no he dicho que sea razonable concluir que si algo pasa unas cuantas veces tenga que pasar siempre. Pero sí es razonable sospechar que va a ser así y plantearse si es cierto, tanto para concluir una cosa o la contraria. Y, en cualquier caso, es la realidad: históricamente, esta clase de teoremas han surgido a partir de conjeturas deducidas de casos empíricos, ¡pero no todas las conjeturas dan lugar a teoremas!

Incluso en el caso del polinomio que citas, hay una razón algebraica de fondo por la cual da tantos primos, basada en la factorización única del anillo de enteros del cuerpo \( \mathbb Q(\sqrt{-163}) \), por lo que dicho polinomio puede llevar a demostrar un teorema abstracto interesante, que no es el que desmiente el teorema de Goldbach.

7
¿De verdad ya no se puede decir "alumnos" y, en las aulas, se debe decir alumnado por ser más "inclusivo"?

Uno de los problemas de estas directrices es que presuponen cierta inteligencia en quienes deben seguirlas, y como la inteligencia entre los "inclusivicisionistas" brilla por su ausencia, en la práctica se encuentra uno con despropósitos como éstos:

"Sólo podrá venir un padre o una madre a recoger al alumnado".

Esto lo he visto como instrucción en un colegio (por aquello de evitar aglomeraciones por la COVID). El resultado es que, el idiota que ha redactado eso, está diciendo (aunque no creo que lo pretendiera) que los padres tienen que elegir un representante que recoja a los hijos de todos.

También he visto una lista en cuya cabecera ponía:

Nombre del alumnado:

Y a ver quién le explica al idiota que ha escrito eso que "el alumnado" no tiene nombre, los alumnos sí. Hace tiempo trataba de explicar al mis alumnos la diferencia entre \( x\in \mathbb R \) y \( X\subset \mathbb R \) explicándoles que cuando leemos \( x\in \mathbb R \) nos están diciendo que \( x \) es un número real, que puede ser positivo o negativo, racional o irracional, etc., mientras que cuando leemos \( X\subset \mathbb R \) estamos diciendo que \( X \) es un conjunto que puede contener muchos números reales, por lo que no tiene sentido plantearse si \( X \) es positivo o negativo, racional o irracional, ya que puede tener numeros de todos los tipos a la vez. En cambio, hay otras cosas que pondemos plantearnos, como si es finito o infinito, que no tienen sentido cuando decimos que \( x\in \mathbb R \).

Pues el idiota del alumnado parece no tener claro que, ante un alumno, podemos plantearnos si se llama Pedro o Ana, pero ante el alumnado no tiene sentido hablar de su nombre, porque es un conjunto de alumnos, y cada cual tendrá el suyo.

También he visto instrucciones para sentar a los alumnos en el aula manteniendo las distancias de seguridad en las que se habla de ocupar en la segunda fila los asientos correspondientes a los huecos entre el alumnado de la primera fila. Ahora resulta que el alumnado tiene huecos. Y este idiota, no sé quién será, pero es un profesor universitario.

Tengo un problema. ¿Cuando una palabra se considera masculino?
Juez acaba en z y existe jueza, doctor en r y existe doctora....
Entiendo las palabras que terminan en o, pero no entiendo las que terminan en ente, z, r.....

Depende de a quién abarques en el "se". Si te refieres a los "inclusiviciionizantes" idiotas, toda palabra que no acabe en a es masculina. Si te refieres a gente con cultura, la respuesta es que no depende de la terminación, sino de la naturaleza del sufijo, y a menudo de la etimología. Por ejemplo (pasando por alto matices muy particulares por simplificar un poco) todas las palabras que vienen de segundas declinaciones latinas son masculinas y tienen derecho a su femenino (con independencia de que dicho femenino no haya estado en uso por falta de mujeres a los que aplicarlo). Por ejemplo, médico viene de medicus y tiene derecho a su femenino "médica", aunque durante mucho tiempo no haya habido médicas a las que aplicarlo. Lo mismo vale para abogado, arquitecto, etc.

En cambio, "jueza" es un invento que la RAE ha aprobado porque su criterio es aprobar los usos extendidos, pero no deja de ser un producto de la incultura de los "inclusi..." eso. Juez viene del latín iudex que es una forma arcaica de "ius dicens", es decir, "leydicente" o "el que interpreta la ley". Y "leydicente" es como "cantante" o "estudiante", es un participio con la misma forma masculina y femenina. Decir "jueza" es retorcer el lenguaje a lo tonto.

Hoy en día si alguien dice "presidente" a una mujer se le acusa de ser de VOX, y es verdad que "presidenta" está en el diccionario de la RAE desde hace siglos, pero eso es porque es una palabra pija del siglo XVIII. Si nos fijamos en el campo de palabras que han formado un femenino en "enta", nos encontramos apenas unas pocas: "presidenta, parturienta, dependienta, asistenta, clienta" y pocas más. (No hay que incluir aquí femeninos de adjetivos con forma masculina en "ento", no en "ente" como "suculento/a", "truculento/a", etc.)

Esas palabras corresponden a las que podía usar una mujer de clase bien del siglo XVIII, es decir, una mujer inculta (no por naturaleza, sino porque a las mujeres no se les dejaba estudiar), pero con poder económico como para que nadie les llevara la contraria: una mujer que se dedicaba a parir hijos (y por eso se consideraba parturienta), a ir a comprar (y por eso se consideraba clienta y hablaba con dependientas), que tenía una criada (una asistenta) y poco más. Eso sí, si la ponían al frente de la comisión tal de su parroquia, se consideraba la "presidenta" de tal o cual, y quienes eran de categoría social inferior pero hablaban mejor que ella, no se atrevían a contradecirla, y los que podían hacerlo: los hombres de su misma categoría y con más cultura, no lo consideraban caballeroso, y le seguían la corriente paternalmente. Como no estudiaba, no hablaba de "estudiantas", como no presumía de inteligente, no se consideraba "inteligenta", etc.

Es irónico que el feminismo de hoy en día convierta en signo de identidad lo que en realidad es una reliquia de la incultura a la que se veían forzadas las mujeres de otros tiempos.

En cambio, el sufijo "-or" tenía en latín su femenino "-trix", como "motor/motriz" "actor/actriz", pero el castellano lo ha sustituido por "-ora", pero no deja de ser cierto que -or es masculino, por lo que es razonable decir doctor/doctora, señor/señora, etc.

Y así podríamos discutir cada sufijo. Y la conclusión no siempre es obvia, pero lo que sí que es obvio es que muchas de las conclusiones "inclusivistas" son aberraciones lingüísticas.

8
El primer paso entiendo que aplicas una propiedad sobre el producto, pues \( 36^6=36^5\cdot36 \), como lo conocemos de toda la vida. Lo mismo con \( 1\cdot36=36 \). ¿Está bien igualmente poner en todos lados \( \equiv \)? ¿Por qué? ¿Es \( \equiv \) más general que \( = \)?

La relación de congruencia es reflexiva, es decir, \( a\equiv a\pmod m \) o, lo que es lo mismo, si \( a=b \), entonces \( a\equiv b\pmod m \).

P.D. Por si no pudiste verlo, aquí te hago una consulta. Por supuesto no tienes la obligación de contestarla, si quieres sólo pronúnciate diciendo algo como "No he tenido tiempo de escribir más acerca de ese tema" y yo estaré satisfecho.

Pues casualmente lo acababa de ver apenas unos segundos antes de leer este mensaje. Ahora diré alguna cosa.

9
Me pregunto si sería extrapolable para la comprensión intuitiva del último teorema de Fermat su comprobación para

        \( x^{\mathbf G}+y^{\mathbf G}=z^{\mathbf G} \)

siendo \( \mathbf G \) el número googolplex y para algunos \( x,y,z \) mayores que \( \mathbf G \) :).

Bueno, aquí se mezclan varias cosas. Si he tomado un ejemplo "relativamente grande" no es porque ello aporte nada en sí, sino para mostrarle a Pie cómo se puede trabajar con congruencias sin necesidad de manejar números grandes, que era algo secundario en su pregunta, pero que puede resultarle interesante.

Otra cosa es el interés de considerar ejemplos concretos a la hora de apreciar el interés de un teorema general. No creo que tenga que ver con la expresión que ha empleado Pie de "entenderlo de forma intuitiva", pero sí que me parece que el valor de un resultado general se aprecia mejor cuando uno comprueba que recoge muchos casos particulares comprobables directamente.

Todos los resultados del tipo del teorema de Fermat no han surgido porque alguien se haya puesto a pensar y haya llegado a la conclusión de que tiene que pasar eso, sino que primero han sido conjeturados en casos concretos que han permitido vislumbrar una regla general, y luego se ha logrado demostrar el caso general. Por eso enfrentarse primero a los casos concretos puede hacer más interesante ser capaz de entender por qué no son casualidades, sino que tienen una razón de ser. No digo, por supuesto, que los casos concretos sustituyan a la prueba general, sino que pueden despertar el interés por la prueba general.

También me parece útil ver las cosas con un poco más de perspectiva: así, el teorema de Fermat sólo dice lo que sucede al elevar \( a^p \), pero puede ser ilustrativo saber, más en general (aunque en el fondo es equivalente) qué sucede con todas las potencias de \( a \) módulo \( p \).

Más aún, para apreciar debidamente el valor del teorema, más allá de su demostración, sería interesante ver ejemplos de qué se puede hacer con él, es decir, qué se gana sabiendo eso. Por ejemplo, uno puede apreciar el valor del teorema de Fermat viendo cómo ayuda a decidir sin calculadora (o con las "calculadoras" que tenía Fermat) si un número como \( 2^{13}-1 \) es o no primo.

Desde mi punto de vista, el mérito de la teoría de números es que nos permite entender (mediante conceptos abstractos) el por qué de una serie de hechos constatables sin necesidad de entender nada profundo. Pero es imposible llegar a ese punto de vista si uno sólo conoce los hechos abstractos y no el "sustrato empírico" explicado por ellos y que ha llevado a descubrirlos.

10
Creo que lo que he puesto en rojo debe ser 36 ¿verdad?

Cierto. Ya lo he corregido. ¡Gracias!

11
Me cuesta entender esto de forma intuitiva o hacer pruebas con valores concretos, ya que para valores relativamente grandes de \( p \) se complican bastante los cálculos (ni siquiera me salen con la calculadora XD)

¿Tu calculadora te deja tirado? ¡Eso es que no sabes tratar a las calculadoras! Toma, por ejemplo, \( p=101 \) y \( a = 36 \). Veamos cómo tienes que dirigirte a tu calculadora para comprobar que

\( 36^{101}\equiv 101\pmod{101} \).

El caso es que, si le planteas así abiertamente que te calcule eso, te va a tomar por un degenerado y la espantarás. Con una calculadora no se puede ser tan directo. Para empezar, la forma en que le planteas las cosas es importante. Aunque para ti sea lo mismo e incluso una pérdida de tiempo andarte con rodeos, las calculadoras son muy sensibles a estas cosas. Hay que entenderlas.

En general, el teorema de Fermat dice que, si \( p \) es primo, se cumple que \( a^p\equiv a\pmod p \), lo cual significa que \( p\mid a^p-a = a(a^{p-1}-1) \).

Aquí hay dos casos muy distintos: si \( p\mid a \), es trivial, porque entonces \( p\mid a^n \) para todo \( n \), y lo que tienes es que \( a^n\equiv 0\equiv a \pmod p \) para todo \( n \), es decir, que el teorema de Fermat se cumple en realidad para todos los exponentes.

El caso interesante se da cuando \( p\nmid a \), en cuyo caso, si \( p \) es primo, la conclusión \( p\mid a(a^{p-1}-1) \) es equivalente a \( p\mid a^{p-1}-1 \), o también a que \( a^{p-1}\equiv 1\pmod p \).

En nuestro ejemplo, es equivalente comprobar

\( 36^{101}\equiv 101\pmod{101} \)

o

\( 36^{100}\equiv 1\pmod{101} \).

Si probamos lo segundo, basta multiplicar por \( \color{red}36 \) ambos miembros para tener la congruencia precedente. Sin embargo, tu calculadora te verá con mejores ojos si se lo planteas de esta segunda forma. ¡Hay que entender la psicología de las calculadoras!

Ahora bien, aun así, aunque este cálculo le pueda parecer más razonable, si se lo planteas así de abiertamente la vas a asustar igualmente. Con una calculadora hay que ir despacio, para que te tome confianza. Por ejemplo, puedes empezar proponiéndole que te calcule:

\( 36^2=1\,296 \),

y si ves que ese número tan grande empieza a violentarla, no sigas, para y crea un poco de distensión. Por ejemplo, puedes pedirle que te calcule el resto de la división \( 1296/101 \), y si se lo planteas adecuadamente, conseguirás que te diga que

\( 36^2=1\,296\equiv 84\pmod{101} \).

Así ya puedes dar un paso más y calcular

\( 36^3\equiv 84\cdot 36\equiv 3\,024\pmod{101} \).

Y una vez más tu calculadora se violentará si no relajas el ambiente y le pides que simplifique:

\( 36^3\equiv 3\,024\equiv 95\pmod{101} \).

Si sigues de este modo, sin agobiarla, conseguirás que te calcule:

\( 36^4\equiv 87\pmod{101} \),   \( 36^5\equiv 1\pmod{101} \)

¡Y ya está! ¡Con esto ya la has llevado al huerto! ¡Ya tienes lo que querías de ella! Porque ya no hacen falta más cálculos. Si quieres la potencia siguiente, es:

\( 36^6\equiv 36^5\cdot 36\equiv 1\cdot 36\equiv 36\pmod{101} \),

y

\( 36^7\equiv 36^6\cdot 36\equiv 36\cdot 36\equiv 36^2\equiv 84\pmod{101} \),

y, en general, como cada potencia se calcula a partir de la anterior, los cálculos que aparecen son los que ya teníamos hechos. Por ejemplo:

\( 36^8\equiv 36^7\cdot 36\equiv 84\cdot 36\equiv 95\pmod{101} \),

donde la última congruencia la habíamos calculado ya antes. En general, en cuanto llegas a una potencia igual a 1, como cada una se calcula a partir de la anterior, entras en un ciclo, en este caso, las potencias de \( 36 \) módulo \( 101 \) son

\(
\begin{array}{r|rrrrrrrrrrrrr}
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&\cdots\\
\hline
36^n\pmod{101}&1&36&84&95&87&1&36&84&95&87&1&36&\cdots
\end{array}
 \)

Así vemos que \( 36^n\equiv 1\pmod{101} \) siempre que \( n \) es múltiplo de \( 5 \), luego \( 36^n\equiv 36\pmod{101} \) siempre que \( n \) es múltiplo de \( 5 \) más \( 1 \).

En particular, esto prueba que \( 36^{100}\equiv 1\pmod {101} \) y que \( 36^{101}\equiv 36\pmod{101} \).

Otro ejemplo: vamos a ver que \( 100^{101}\equiv 100\pmod{101} \).

Aquí no es necesario siquiera que te preocupes por tratar con cariño a tu calculadora, porque ¡no necesitas calculadora! Basta tener en cuenta que

\( 100\equiv -1\pmod{101} \), luego   \( 100^2\equiv (-1)^2\equiv 1\pmod{101} \),

y como hemos llegado a una potencia igual a 1, a partir de aquí las potencias se repiten:

\( \begin{array}{r|rrrrrrrr}
n&0&1&2&3&4&5&6&\cdots\\
\hline
100^n\pmod{101}&1&-1&1&-1&1&-1&1&\cdots
\end{array} \)

Luego \( 100^{100}\equiv 1\pmod{101} \) y \( 100^{101}\equiv 100\pmod{101} \).

En general, podemos dividir la conclusión del teorema de Fermat (cuando \( p\nmid a \)) en dos partes:

1) El teorema afirma que existe un \( n \) (que concretamente es \( n=p-1 \)) tal que \( a^n\equiv 1\pmod p \).

El mínimo \( n>0 \) que cumple esto se llama orden de \( a \) módulo \( p \), y se suele representar por \( o_p(a) \). Por ejemplo, hemos probado que \( o_{101}(36)=5 \), lo que quiere decir que \( 5 \) es el menor exponente al que tenemos que elevar \( 36 \) para obtener un 1 módulo \( 101 \). También hemos visto que \( o_{101}(100)=2 \).

Es fácil ver que las potencias de \( a \) se repiten cíclicamente una vez se llega a \( o_p(a) \), porque una vez llegamos a un 1, las operaciones que tenemos que hacer son las mismas que ya hemos hecho y obtenemos los mismos resultados.

Y ahora viene la segunda parte del teorema de Fermat, que dice que \( o_p(a) \) no puede ser cualquier número, sino que, como el 1 se consigue en los múltiplos de \( o_p(a) \), uno de dichos múltiplos tiene que ser precisamente \( p-1 \) (pues el teorema afirma que al elevar a \( p-1 \) tiene que dar 1), luego la segunda parte del teorema de Fermat es:

2) \( o_p(a)\mid p-1 \).

Así, si (tratando caballerosamente a tu calculadora) calculas las potencias de cualquier \( a \) módulo \( 101 \), obtendrás el valor \( 1 \) al cabo de \( o_{101}(a) \) pasos, y ese número de pasos no puede ser cualquiera, sino que tiene que ser un divisor de \( 100 \). Ése es el contenido del teorema de Fermat.

Te propongo que lo compruebes con \( p=7 \), es decir, completa esta tabla:

\( \begin{array}{r|rrrrrr}
a\pmod 7&1&2&3&4&5&6\\
\hline
o_7(a)&1&&&&&2
\end{array} \)

Te he puesto yo los valores \( o_7(1)=1 \), pues \( 1^1\equiv 1\pmod 7 \) y \( o_7(6)=2 \), pues \( 6^2=36\equiv 1\pmod 7 \) (o más fácil: \( 6^2\equiv (-1)^2\equiv 1\pmod 7 \)). Completa los valores restantes. Por ejemplo, calcula las potencias de 2 y determina el menor exponente que hace que el resultado sea 1 módulo 7. Si lo haces bien, todos los valores que pongas en la tabla serán divisores de \( 7-1=6 \). Y eso probará que \( a^6\equiv 1\pmod 7 \) en todos los casos, con lo que \( a^7\equiv a\pmod 7 \) en todos los casos (en los que \( 7\nmid a \), pero el caso opuesto es trivial).

Si te interesa esto, en otro mensaje analizamos lo que sucede si \( p \) no es primo.

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Combinatoria / Re: Permutación cíclica con repeticiones (?)
« en: 18 Abril, 2021, 06:55 pm »
Muchísimas gracias. Precisamente 70 era la respuesta que esperaba obtener, sólo que no entiendo cómo se comprueba. Por si a estas alturas no quedaba claro, no tengo mucha idea de matemáticas, pero ya por tozudez... me gustaría entenderlo. ¿Tiene un nombre concreto este tipo de combinatoria?

No sé. En lo que he hecho yo no hay mucho que entender. Como me ha parecido que lo único que necesitabas era saber cuántas son (y en todo caso, cuáles) en este caso concreto, aunque no tengo tiempo para ponerme a pensar una fórmula (ni sé si será fácil), me ha parecido que te serviría con saber la solución del caso que planteas, así que simplemente le he dicho a mi ordenador que calcule las 256 permutaciones con repetición de 4 elementos y que vaya tachando de la lista todas las que coincidan salvo permutación circular con una anterior.

Vamos, lo mismo que podrías hacer tú escribiéndolas todas en un papel y tachando las repetidas, sólo que el ordenador no se queja si le mandas ese trabajo de chinos. Pura fuerza bruta.   ;D

13
Combinatoria / Re: Permutación cíclica con repeticiones (?)
« en: 18 Abril, 2021, 06:35 pm »
Pidiéndole a mi ordenador que las calcule a lo bruto, si no me he equivocado al programarlo, me salen 70:

{0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1}, {0, 0, 0, 2}, {0, 0, 0, 3}, {0, 0, 1, 1}, {0, 0, 1, 2}, {0, 0, 1, 3},
{0, 0, 2, 1}, {0, 0, 2, 2}, {0, 0,  2, 3}, {0, 0, 3, 1}, {0, 0, 3, 2}, {0, 0, 3, 3}, {0, 1, 0, 1},
{0, 1, 0, 2}, {0, 1, 0, 3}, {0, 1, 1, 1}, {0, 1, 1, 2}, {0, 1, 1, 3}, {0, 1, 2, 1}, {0, 1, 2, 2},
{0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 1}, {0, 1, 3, 2}, {0, 1, 3, 3}, {0, 2, 0, 2}, {0, 2, 0, 3}, {0, 2, 1, 1},
{0, 2, 1, 2}, {0, 2, 1, 3}, {0, 2, 2, 1}, {0, 2, 2, 2}, {0, 2, 2, 3}, {0, 2, 3, 1}, {0, 2, 3, 2},
{0, 2, 3, 3}, {0, 3, 0, 3}, {0, 3, 1, 1}, {0, 3, 1, 2}, {0, 3, 1, 3}, {0, 3, 2, 1}, {0, 3, 2, 2},
{0, 3, 2, 3}, {0, 3, 3, 1}, {0, 3, 3, 2}, {0, 3, 3, 3}, {1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 2}, {1, 1, 1, 3},
{1, 1, 2, 2}, {1, 1, 2, 3}, {1, 1, 3, 2}, {1, 1, 3, 3}, {1, 2, 1, 2}, {1, 2, 1, 3}, {1, 2, 2, 2},
{1, 2, 2, 3}, {1, 2, 3, 2}, {1, 2, 3, 3}, {1, 3, 1, 3}, {1, 3, 2, 2}, {1, 3, 2, 3}, {1, 3, 3, 2},
{1, 3, 3, 3}, {2, 2, 2, 2}, {2, 2, 2, 3}, {2, 2, 3, 3}, {2, 3, 2, 3}, {2, 3, 3, 3}, {3, 3, 3, 3}

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Combinatoria / Re: Permutación cíclica con repeticiones (?)
« en: 18 Abril, 2021, 06:16 pm »
Entiendo que el orden no importa, si es así se trata de combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 4 en 4.

\( CR_ {4,4}=\begin{pmatrix}{4+4-1}\\{4}\end{pmatrix} \)

¿Seguro que el orden no importa? Por la explicación de huevomilenio, yo entiendo que 1200 y 2100 tienen que contarse como casos distintos.

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Estimado, los e serían cualquier exponente arbitrario? un saludo y gracias

Sí, claro, son exponentes arbitrarios, que podemos suponer ordenados decrecientemente.

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Supongo que te refieres a suma de potencias de 2 distintas entre sí, porque si no es trivial.

Pon que \( n = 2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0} \), donde podemos suponer que \( e_n>e_{n-1}>\cdots > e_1>e_0 \).

Si \( e_0\neq 0 \), entonces una expresión de \( n+1 \) como potencias de \( 2 \) es:

\( n+1 =  2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_1}+2^{e_0}+2^0 \)

Si \( e_0=0 \), sea \( k \) el mínimo natural que no aparece entre los \( e_i \), de modo que

\( e_0=0, e_1 = 1, \ldots, e_{k-1}=k-1 \), pero, o bien \( n=k-1 \) y no hay más exponentes, o bien \( e_k>k \). Entonces, como

\( 1+2+2^2\cdots + 2^{k-1} = 2^k-1 \),

tenemos que

\( n+1 =  [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k-1 +1 =  [2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+\cdots + 2^{e_k}]+ 2^k \),

donde la parte entre corchetes será \( 0 \) si es que \( n=k-1 \).

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Matemática Discreta y Algoritmos / Re: Un documento en Arxiv
« en: 04 Abril, 2021, 10:33 pm »
Buenas mis compañeros del foro por peticion del dr Carlos Ivorra, vengo a dejarle este articulo en el que partise para la creacion de un Algoritmo llamado SAM, para encontrar soluciones para el problema de los 3 cubos, bueno la idea es generar una aproximacion a dichas soluciones y ver si son posibles, djunto el archivo o pueden leerlo en https://arxiv.org/abs/2103.17037

No es exacto decir que te he pedido que publiques el artículo. Lo que yo te he dicho es que tu trabajo no prueba nada realmente, pues lo único que hace tu algoritmo es determinar si la ecuación \( x^3+y^3+z^3 = n \) tiene solución módulo \( 9 \) y que, aunque así sea, eso no prueba que la ecuación tenga solución, ni mucho menos te ayuda a encontrarla.

Es cierto que se conjetura que la ecuación tiene solución si y sólo si la tiene módulo \( 9 \), pero eso no está demostrado, y nada en tu artículo ayuda a demostrarlo, ya que te limitas a comprobar si existe o no la solución módulo 9, sin vincularlo de ninguna forma a que la ecuación tenga o no solución.

Lo que te había dicho es que si el hecho de que te lo diga yo no te convence, podías publicarlo aquí para obtener otras opiniones. La mía ya la tienes.

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Teorema de Fermat / Re: ¿Qué es lo correcto?
« en: 01 Abril, 2021, 10:41 pm »
Pienso que yo voy a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y el vendedor se empeña en convencerme de que la marca "real" es mucho mejor que la marca "entero".

Yo voy a seguir con las pelotas de la marca "entero".

Me he decidido a participar en el concurso de metáforas:

Pienso que vas a comprar en una tienda pelotas de tenis de la marca "entero" y le dices al vendedor que tu intención es ganar el Rolald Garros, pero el dependiente se da cuenta de que en ningún momento usas las pelotas que le compras para jugar al tenis, sino que te las llevas a un parque para lanzárselas a tu perro y que te las devuelva. Y por eso te dice:

—Pero para ese uso que les das, no tiene sentido que te gastes tanto dinero en unas pelotas tan caras. Aquí tengo unas pelotas de goma de marca "real" que son mucho más baratas y con ellas puedes hacer lo mismo que haces con las pelotas de marca "entero".

Y tú le replicas:

—Pero con esas pelotas no podría ganar el Roland Garros.

—Cierto, pero, comprar pelotas de marca "entero" tampoco te permitirá ganarl el Roland Garros si, en vez de usarlas para jugar al tenis, te limitas a lanzárselas a tu perro. No haces nada con las pelotas "entero" que no pueda hacer cualquiera con las pelotas "real".

Y eso debería bastarte para entender que es imposible que ganes el Roland Garros si lo único que sabes hacer con las pelotas "entero" es algo que se puede hacer igual de bien con las pelotas "real". Para ganar el Roland Garros tienes jugar al tenis, y además muy bien, pero tú, no es que no juegues al tenis muy bien, sino que no juegas al tenis en absoluto, porque todo lo que haces con las pelotas "entero" se puede hacer igual con unas pelotas "real" que no sirven para jugar al tenis, pero que a ti te sobran, para el uso que les das.

Lo que están intentando que entiendas es que no puedes decir que estás jugando al tenis sólo porque usas pelotas de tenis. Si hay otras pelotas marca "real" con las que no se puede jugar al tenis, pero todo lo que tú haces con tus pelotas "entero" se puede hacer también con ellas, eso debería bastar para que entendieras que no estás jugando al tenis, luego tus posibilidades de ganar el Roland Garros son nulas a priori. No necesito saber si eres buen tenista para saber que no ganarás el Roland Garros yendo a la cancha con tu perro y lanzándole pelotas para que las recoja (pelotas de tenis caras, eso sí, pero sólo se las lanzas a un perro igual que podrías lanzarle pelotas de goma baratas).

Dices que vas a seguir con tus pelotas de marca "entero", eso está bien, pero ¿algún día piensas empuñar una raqueta o vas a seguir "jugando al tenis" con perro y sin raqueta?

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Partimos de un espacio metrizable \( X \). Toma como \( G \) la función definida como sigue:

  • \( G(\emptyset)=\emptyset \) (por poner algo)
  • Si \( f \) es una función de dominio \( 1=\{0\} \), entonces \( G(f)=\{A\mid A \mbox{ es abierto en } X\} \)
  • Si \( f \) es una función de dominio un ordinal \( \alpha>1 \), entonces

    \(  G(f)=\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}f(\beta))\} \)

El teorema de recursión transfinita te da entonces que existe una única función \( F:\Omega\longrightarrow V  \) que cumple \( \forall \alpha\in \Omega\ F(\alpha)=G(F|_\alpha) \).

Para cada ordinal \( \alpha\geq 1 \), definimos \( \Sigma^0_\alpha(X)=F(\alpha) \) y definimos \( \Pi^0_\alpha(X)=\{A\subset X\mid X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha(X)\} \).

Vamos a ver que esto coincide con la definición usual. Si \( \alpha=1 \), entonces \( F|_\alpha \) es una función de dominio \( 1 \), luego

\( \Sigma_1^0(X)=G(F|_\alpha)=\{A\mid A \mbox{ es abierto en } X\} \), como tiene que ser.

Si \( \alpha>1 \), entonces

\( \Sigma_\alpha^0(X)=G(F|_\alpha)=\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}F(\beta))\} \)

\( =\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\subset X\land X\setminus A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}\Sigma^0_\beta(X))\} \)

\( =\{\bigcup\limits_{n\in\omega}A_n\mid \forall n\in\omega (A_n\in \bigcup\limits_{0<\beta<\alpha}\Pi^0_\beta(X))\} \)
como tiene que ser.

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Topología (general) / Re: Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 26 Marzo, 2021, 02:41 pm »
Pero entonces la definición debería matizarse, ¿no? ¿No debería decir “para toda banda V de X (distinta de la banda diagonal)”?

No, es que "para toda banda de X" significa "para toda banda de la uniformidad de X". No es que tengas que excluir la diagonal en particular, es que sólo tienes que considerar bandas de la uniformidad de X.

Es como si en un espacio métrico dices "Para toda bola abierta de X", se entiende que es toda bola abierta respecto de la distancia de X, no respecto de otra distancia, por ejemplo, la métrica discreta, que haría que los puntos fueran bolas abiertas.

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