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Temas - Fernando Revilla

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Cálculo de Varias Variables / Sobre un caso dudoso en puntos críticos
« en: 28 Septiembre, 2021, 11:57 am »
En el hilo Puntos críticos de una función de dos variables  se pide hallar y clasificar los puntos críticos de la función

        \(  f(x,y)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

Al querer yo redactar la solución completa e incluirla en mi web, aparecen los puntos críticos \( (\pm 1,1) \) (ambos puntos de silla) y \( (0,0) \) (caso dudoso). En Wolfram|Alpha aparece que \( f \) no tiene extremos locales. Pues bien, he intentado estudiar el incremento

        \( \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=2x^4+3y^4- 4x^2y^3 \).

y no he conseguido demostrar que en todo entorno del origen hay puntos en los que \( \Delta f(x,y) >0 \) y puntos en los que \( \Delta f(x,y) < 0 \).

El que uno haya resuelto muchos problemas de este tipo en cursos de preparación de ingenierías (por ejemplo: https://fernandorevilla.es/2014/04/24/puntos-criticos-cados-dudosos/) no es óbice para decir que el problema sea de extrema dificultad y esté tal vez yo poco inspirado. Si alguien tiene alguna idea, será bienvenida (con referencia pública a la misma :)).

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Análisis Funcional - Operadores / Teorema de Jordan-Von Neumann
« en: 26 Julio, 2021, 11:16 am »
No suelo comentar las entradas que publico en mi web, más bien las utilizo cuando están relacionadas con preguntas de los usuarios. En este caso hago una excepción con el teorema de Jordan Von Neumann: https://fernandorevilla.es/2021/07/25/teorema-de-jordan-von-neumann/.

Vimos en la asignatura de cuarto curso la teoría de los espacios de Hilbert con el libro de texto Introducción al espacio de Hilbert de S.K. Berberian. En tal libro sólo se consideraba \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \) como si \( \mathbb{R} \) fuera un caso "particularillo" cosa que me inquietó en su momento. En fin, la preciosa demostración del teorema, sacado por supuesto de otras fuentes, me ha hecho sentirme bien.

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    Existe polémica sobre la dificultad excesiva o no de la prueba de matemáticas de Selectividad (Madrid, Junio 2021). Por ejemplo:

    https://www.elmundo.es/f5/descubre/2021/06/10/60c1cba4fdddff7d038b4599.html

    Incluyo el examen en un archivo anexo y la resolución del mismo en un vídeo.

   

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Libros / Ecuación en diferencias homogénea
« en: 24 Mayo, 2021, 11:48 am »
Comparto el archivo anexo por si pudiera ser de utilidad. Próximamente compartiré otro sobre la ecuación en diferencias completa.

Editado. Aquí se puede imprimir Ecuación en diferencias completa.

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Foro general / Matemáticas anti-racistas
« en: 22 Febrero, 2021, 10:33 pm »

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Discusiones semi-públicas / Gráfica de $$f(x)=\sin^3x+\cos^3x$$
« en: 02 Febrero, 2021, 06:39 pm »
Para Ernesto.

Gráfica de \( f(x)=\sin^3x+\cos^3x \)

Lo iré resolviendo (según apetencia :)). No tiene mayor dificultad, no obstante si alguién se va animando, estupendo. Es para un amigo que me la ha pedido. 

10
Discusiones semi-públicas / Gráfica de $$f(x)=x^2/(x-2)$$
« en: 01 Febrero, 2021, 12:31 pm »
Para Ernesto


Gráfica de \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x-2} \)

Resolución esquemática. El dominio es \( D(f)=\mathbb{R}\setminus \left\{{2}\right\} \). No existen simetrías. Tenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}f(x) \) no finito, luego no hay asíntotas horizontales. La recta \( x=2 \) es asíntota vertical. \( m=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f(x)/x}=1 \) y \( n=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}(f(x)-mx)=2 \), luego \( y=x+2 \) es asíntota oblicua.
\( f^\prime (x)=\ldots=\displaystyle\frac{x(x-4)}{(x-2)^2} \). En \( (-\infty,0) \) es creciente, en \( (0.2) \) decreciente, en \( (2,4) \) decreciente y en \( (4,+\infty) \) creciente. Tenemos pues máximo local en \( (0,0) \) y mínimo local en \( (4,8). \)
\( f^{\prime\prime} (x)=\ldots=\displaystyle\frac{8}{(x-2)^3} \), luego es cóncava hacia abajo en \( (-\infty,2) \) y cóncava hacia arriba en \( (2,+\infty) \). El único punto de corte con los ejes es \( (0,0) \).

Se puede ver aquí su gráfica.

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Discusiones semi-públicas / Gráfica de $$f(x)=x^3e^x$$
« en: 31 Enero, 2021, 07:43 pm »
Para Ernesto.

Gráfica de \( f(x)=x^3e^x \)

Resolución esquemática. El dominio es claramente \( \mathbb{R} \) y no hay simetrías. Tenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty \) y \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\displaystyle\frac{x^3}{e^{-x}}} \) es indeterminación del tipo \( \displaystyle\frac{-\infty}{+\infty} \). Aplicando la regla de L'Hopital obtenemos \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=0 \), luego \( y=0 \) es asíntota horizontal a la izquierda.

Tenemos \( f^\prime (x)=\ldots=x^2(x+3)e^x=0\Leftrightarrow{x=0\vee x=-3}. \) Analizando el signo de la derivada primera obtenemos mínimo local en \( (-3,-27/e^3). \)

Por otra parte, \( f^{\prime\prime}(x)=\ldots=x(x^2+6x+6)e^x=0\Leftrightarrow{}x=0\vee x=\displaystyle\frac{-6\pm \sqrt{12}}{2}=-3\pm \sqrt{3} \). Analizando el signo de la derivada segunda obtenemos que hay punto de inflexión en los tres casos. Claramente el único punto de corte con los ejes es \( (0,0). \)

Se puede ver aquí su gráfica.


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Discusiones semi-públicas / Gráfica de $$ f(x)=x^4-x^2+2 $$
« en: 31 Enero, 2021, 06:43 pm »
Para Ernesto.

Representar gráficamente la funciòn \( f(x)=x^4-x^2+2. \)
  • Dominio. Es función polinómica por tanto, \( D(f)=\mathbb{R} \).
  • Simetrías. \( f(-x)=(-x)^4-(-x)^2+2=x^4-x^2+2=f(x) \). La función es par, por tanto su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas.
  • Asíntotas. Según sabemos, las funciones polinómicas de grado \( \ge 2 \) no tienen asíntotas.
  • Extremos. \( f^\prime (x)=4x^3-2x=2(2x^2-1)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\pm \sqrt{2}/2. \) Dada la paridad de \( f \) sólo estudiamos su comportamiento para \( x\ge0 \). Entonces,
            \( x\in (0,\sqrt{2}/2)\Rightarrow f^\prime (x)= +\cdot -=- \) (decreciente).
            \( x\in (\sqrt{2}/2,+\infty)\Rightarrow f^\prime (x)= +\cdot +=+ \) (creciente).
    Tenemos pues máximo local en \( (0,2) \) y mínimo local en \( (\sqrt{2}/2,f(\sqrt{2}/2))=(\sqrt{2}/2,7/4). \)
  • Puntos de inflexión. \( f^{\prime\prime}(x)=12x^2-2=2(6x^2-1)=0\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{6}/6 \). Dada la paridad de \( f \) sólo estudiamos su comportamiento para \( x\ge0 \).
    Entonces,
            \( x\in (0,\sqrt{6}/6)\Rightarrow f^{\prime\prime }(x)= +\cdot -=- \) (cóncava hacia abajo).
            \( x\in (\sqrt{6}/6,+\infty)\Rightarrow f^{\prime\prime} (x)= +\cdot +=+ \) (cóncava hacia arriba).
    Tenemos pues punto de inflexión en en \( (\sqrt{6}/6,f(\sqrt{6}/6))=(\sqrt{6}/6,67/36) \) y mínimo local en \( (\sqrt{2}/2,f(\sqrt{2}/2))=(\sqrt{2}/2,-2). \)
  • Puntos de corte con los ejes. Para \( x=0 \), \( y=2 \). La ecuación bicuadrada \( x^4-x^2+2=0 \), no tiene soluciones reales. El único punto de corte con los ejes es \( (0,2) \).
Se puede ver aquí su gráfica.

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Enlaces sugeridos / El problema indemostrable ~ Saga del Infinito
« en: 15 Enero, 2021, 06:50 pm »
No es que me dedique expresamente a buscar últimamente canales de matemáticas, pero me apareció de forma aleatoria en YouTube el vídeo EL PROBLEMA INDEMOSTRABLE ~ Saga del Infinito. Me gustó, así como el correspondiente canal Mates Mike.

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Enlaces sugeridos / Canal de matemáticas
« en: 14 Enero, 2021, 12:10 am »
Por si puede ser de interés: Canal lasmatematicas.es

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Foro general / ¿Qué son las matemáticas?
« en: 05 Diciembre, 2020, 06:50 pm »
        Si alguien me preguntara ¿qué son las matemáticas? le diría que leyera las siguientes reflexiones que hace Don Sixto Rios en su libro MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

       Toda la Matemática no es otra cosa que el estudio de modelos: Mecánica del punto material. Mecánica del sólido rígido, Geometría de la recta, etc.
        Un modelo matemático es una representación abstracta simplificada de un cierto tipo de fenómenos reales. Ciertas operaciones, que traducen situaciones reales, se definen entre los elementos del modelo. Se parte de una idea (por ejemplo, recta=hilo tirante) y se introduce el concepto inspirado en dicha idea, por algunas de sus propiedades, prescindiendo después del punto de partida intuitivo.
        La constucción axiomática de una rama de la Matemática se caracteriza por los hechos siguientes:
        a) No se dan definiciones directas, sino que se introducen los elementos fundamentales, mediante algunos enunciados (axiomas) que contienen algunas propiedades de dichos elementos en forma de relaciones, que definen los que se llama una estructura.
        b) El conjunto de propiedades (teoremas) que se deducen mediante razonamientos lógicos de los axiomas, constituye la Ciencia Matemática a la que nos referimos.
        Los axiomas deben ser compatibles (no contradictorios), es decir debe ser no vacío el conjunto de entes que definen. Otra condición interesante, aunque no esencial, es que sean independientes, de manera que ningún axioma o parte de él debe ser consecuencia lógico de los otros.
        Un teorema deducido correctamente de los axiomas es cierto en el sentido matemático, es decir, en cuanto expresa una propiedad de los entes abstractos definidos por los axiomas, pero no demuestra nada respecto de los objetos sensibles que han sido el punto de partida intuitivo para construir dichos entes abstractas. Así, cuando decimos que un teorema de Geometría euclídea afirma que dos águlos conjugados entre paralelas son suplementarios, esta propiedad es cierta para unos entes abstractos que hemos llamado ángulos conjugados, pero de aquí no se deduce que la suma de los ángulos conjugados dibujados sobre un papel sea 180º, lo cual es un hecho experimental, pero no una verdad matemática.
        Para la aplicación a la práctica de la teoría construida, hay un segundo proceso de desconceptualización, que consiste en traducir los resultados logrados a la realidad concreta de partida en forma aproximada.
        En que manera se adapta un modelo a la realidad es una cuestión de caracter intuitivo y para la que no se pueden dar reglas. Es más fácil decir cuando un modelo no se adapta bien a la realidad, que dar una norma rígida para aceptarlo.

                 
\( \begin{matrix}\boxed{\text{Realidad}}&\rightarrow\; (\text{Conceptualización})\rightarrow & \boxed{\text{Axiomática}}\\{}&{}&{\downarrow}\\\uparrow&&{(\text{Desarrollo matemático})}\\
&&\downarrow\\
\boxed{\text{Aplicaciones}}&\leftarrow(\text{Desconceptualización})\leftarrow &
\boxed{\text{Teoría matemática}}\end{matrix} \)

P.D. Como caso concreto y relacionado con su libro, Don Sixto Rios añade:
        El cálculo de probabilidades puede definirse como el modelo matemático de las regularidades que se observan en las series de frecuencias correspondientes a los fenómenos aleatorios.

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Foro general / Las dos culturas de las matemáticas
« en: 15 Octubre, 2020, 09:08 pm »
Hoy he encontrado en el blog de Terence Tao un artículo de Thimoty Gowers. El artículo es

        The Two Cultures of Mathematics.

Curiosamente está relacionado con el tema Teoría vs problemas que hace no mucho debatimos suficientemente. Dada la categoría de Gowers como matemático, tal vez puede ser de interés. Todavía no lo he leido con detenimiento.

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Libros / Norma de matrices y perturbación de sistemas
« en: 13 Octubre, 2020, 10:15 am »
Comparto el documento Normas de matrices y perturbación de sistemas  (16 pág, 276 KB), por si pudiera ser de utilidad.

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Foro general / Teoría vs problemas, opiniones
« en: 23 Septiembre, 2020, 06:21 pm »
Vaya por delante que hay algo tramposo en el título: estudiar teoría e intentar resolver problemas son actividades necesarias en la formación matemática, ahora bien ¿cómo se plantea la preferencia?
Sin ánimo de hacer un doctorado sobre el tema, cuento mi preferencia a base de una historieta y podéis dar vuestras opiniones.

Recuerdo un compañero de departamento que siempre nos venía con problemas tipo olimpiada o acertijo que yo los llamo. Usualmente, eran sobre teoría de números, pero que se podían resolver con los conocimientos de la enseñanza media. Harto de tanta insistencia le dije: mira no me traigas más problemas de esos. ¿No te parecen interesantes? me dijo. Sí, le contesté, pero el tiempo que tardo en intentar resolverlos, es tiempo que me quita para estudiar conceptos y teorías que todavía desconozco.

P.D. 1. Ya he dicho que no se trata de despreciar ninguna de las dos opciones, sólo de que pongáis vuestras preferencias, y si es posible el por qué, estéis en el nivel que estéis. Este hilo es de descanso  :).
P.D.2. Lo que por supuesto no es muy presentable son algunas preguntas que algunos usuarios hacen en el foro de las que se deduce que quieren resolver un problema con conocimientos nulos sobre la teoría corresondiente. ¡No, no me estoy refiriendo a ti!  :)

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Como reza el título, comparto el documento

        Derivación de integrales dependientes de un parámetro

por si pudiera ser de utilidad para algunos usuarios.

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