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Hola, iba a colocar esta duda en la sección de algebra lineal, pero supuse que aquí estaría mejor ya que también tengo una duda general. También cabe decir que casi no tengo idea en hacer demostraciones.

Considerando un sistema de ecuaciones (lineal) homogeneo con m ecuaciones y n incógnitas:
1) Si \( (a_{1},a_{2},...,a_{n}) \) es solución, entonces \( (Ca_{1},Ca_{2},...,Ca_{n}) \) es solución para todo C perteneciente a los reales

Como no sabia nada de demostraciones he leido un par de cosas y intentare usarlas.
Lo que queremos demostrar se puede ver como lo siguiente \( A\Rightarrow{B} \) siendo A la proposición "\( (a_{1},a_{2},...,a_{n}) \) es solución" y B la proposición "\( (Ca_{1},Ca_{2},...,Ca_{n}) \) es solución para todo C perteneciente a los reales"
Ahora el objetivo es llegar de A a B suponiendo que A es verdad.
Podremos volver a rescribir A y B para que se vea mas facil.
A: Ser solución significa que \( x_{1}a_{1}+...+x_{n}a_{n}=0 \) (en un sistema homogeno genérico)
B: Ser solucion significa que \( x_{1}Ca_{1}+...+x_{n}Ca_{n}=0 \) (en un sistema homogeno genérico)
Ahora partiendo de A hay que llegar a B. y aqui es donde viene mi duda, segun yo:
\( x_{1}a_{1}+...+x_{n}a_{n}=0 \)
Multiplicamos por C ambos miembros
\( C(x_{1}a_{1}+...+x_{n}a_{n})=(0)C \)
Distributiva
\( x_{1}Ca_{1}+...+x_{n}Ca_{n}=0 \)
Llegamos a B por lo tanto queda demostrado. Aqui a mi parecer estaria demostrando que A implica B pero vi a un profesor hacer esto con el mismo ejercicio:
Comenzó en B
\( x_{1}Ca_{1}+...+x_{n}Ca_{n}=0 \)
Saco factor comun C
\( C(x_{1}a_{1}+...+x_{n}a_{n})=0 \)
Como lo de adentro de la hipotesis sabe que es solucion por lo tanto es 0, entonces C(0)=0 y queda demostrado que es solucion

Mi duda aqui es, ¿mi demostración es correcta?. Y la del profesor no estaria demostrando que \( A\Leftarrow{B} \)? ya que comenzó de B la que fue mi tesis, esto lo vi en varias demostraciones por induccion, aveces comienzan desde la tesis y llegan a la hipotesis o alrevez, la cosa aqui es, que estaría demostrando? A implica B o B implica A?

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Primero que nada, he visto varios tipos de este principio, el siguiente es el que estoy usando

La duda aquí es que estaba realizando el siguiente ejercicio, ¿Cuántos enteros entre 1 y 1155 son múltiplos de 3 pero no son de 5,7 ni 11?
Lo primero que se me ocurrió fue definir el universo que es #S=1155 pero pensándolo bien, se me ocurrió que si ese fuera el universo, no podria realizar la negación de las condiciones y encontrar lo que pide el ejercicio, asi que supuse que se podria "tomar" como universo todos los multiplos de 3 de 1155 que son 385 y luego con el principio de inclusión-exclusión excluir o eliminar los que son multiplos de 5,7 y 11, y luego de eliminarlos como implícitamente todos los elementos del universo son multiplo de 3, entonces obtendría el resultado del ejercicio, que yo llegue a que es 240 (puede que este mal).
 Ahora la duda, ¿es correcto cambiar de universo como yo hice? también vi otro tipo de resolución que era básicamente que a cada condición se le agregaba que sea múltiplo de 3, por ejemplo condicion 1: ser múltiplo de 3 y de 5 (donde en mi caso solo necesite que sea multiplo de 5) y la duda es como llegaría al resultado, porque estaría usando 1155 de universo

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Combinatoria / Contar soluciones enteras de una inecuacion
« en: 11 Agosto, 2022, 06:58 pm »
Hola, para contar soluciones enteras por ejemplo \( a+b+c+d+e=10 \) son \( CR(5,10) \) pero para contar soluciones enteras \( a+b+c+d+e<10 \), ¿cómo sería? ¿podría ser simplemente \( a+b+c+d+e=9 \)?.
Gracias

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Buenas, estaba viendo unos ejercicios de combinatoria muy similares, el primero es de un libro, el segundo es sacado del foro de uno que le dejo Luis Fuentes a otro usuario: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=84247.0

y

Aquí la duda del 2do ejercicio es, si intentamos resolver el ejercicio como la primera foto lo haremos casi bien, pero falta dividir dividir entre 2! porque no importa el orden, y el 1er ejercicio tampoco importa el orden pero no divide es lo que me genera duda, ya se que en el 2do ejercicio los dos primeros son equipos son distinguibles, pero los últimos dos no, que pasaría si cambiamos el problema 2 y  que quede basicamente formar 2 equipos de 3 personas con 6 personas, ahi quedaría parecido al 1er ejercicio pero, ¿necesitaría dividirse entre 2?

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Hola, primero les mostrare lo que hice para ver si es correcto y tambien me preguntaba si hay otro modo, ya que hice demasiadas cuentas, capaz factorizando o similar llegaba mas rápido a la tesis

Ejercicio: Probar que para todo natural a : \( a^{3}+(a+1)^{3}+(a+2)^{3}=\dot{9}. \)
P.B: a=1 se cumple
P.I: H) a=k \( k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}=\dot{9}. \)
      T) a=k+1 \( (k+1)^{3}+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}=\dot{9}. \)

Ahora como no se me ocurre otra cosa desarollare la hipotesis y la tesis:
H) \( 3a^{3}+9a^{2}+15a+9=\dot{9}. \)
T) \( 3k^{3}+18k^{2}+42k+36=\dot{9}. \)
Ahora usando la tesis hago lo siguiente
\( 3k^{3}+(9+9)k^{2}+(15+27)k+(27+9)=\dot{9}. \)
Distributiva:
\( 3k^{3}+9k^{2}+9k^{2}+15k+27k+27+9=\dot{9}. \)
Ahora puedo ver que casi tengo la hipotesis, solo que el 27k y 27 estan molestando
\( 3k^{3}+18k^{2}+15k+27k+27+9=\dot{9}. \)
Puedo sacar factor comun 27
\( 3k^{3}+18k^{2}+15k+9+27(k+1)=\dot{9}. \)
Sabemos que 27 se puede expresar como 9*3
\( 3k^{3}+18k^{2}+15k+9+9*3(k+1)=\dot{9}. \)
Distributiva:
\( 3k^{3}+18k^{2}+15k+9+9(3k+3)=\dot{9}. \)
Entonces, observamos que esta la hipótesis \( 3k^{3}+18k^{2}+15k+9 \) y que \( 9(3k+3)=\dot{9}. \) es multiplo de 9
Usando remplazando la hipotesis, tendriamos una suma de multipo de 9 + multiplo de 9 que daría multiplo de 9
Ahora la pregunta, ¿Es correcta la demostracion? , ¿Podria haber echo otra cosa en vez de desarollar la hipotesis y la tesis para hacer menos calculos?

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No se si iría aquí el hilo, ya que se es un conjunto por comprension, pero el siguiente ejemplo no lo puedo pasar a extension.

\( A=\left\{{Sen(\dfrac{n\pi}{4})/n\in{N}}\right\} \)

Claro que puedo ir aumentando n=1,n=2,n=3,etc y tener una lista enorme, pero el problema es que lo necesito pasar a extension, y parece que es infinito, no recuerdo mucho trigonometria, pero tambien intente usar \( sen(x)= \)x+2\( \pi \) que es el periodo pero no llegue a nada :c
Gracias

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Hola, he entendido bien como llegar hasta la parte en rojo, se que necesito el coeficiente de \( x^{12} \) ya que el \( x^{12} \) de afuera al multiplicar conseguiré el coeficiente de \( x^{24} \) que es la solución del problema. Pero no entiendo lo que va después de lo rojo es decir los calculos, En lo rojo mismo, se que aplicara el teorema del binomio y el resultado numero 7 de la imagen, La cosa es que, si necesitas el coef de \( x^{12} \) necesitas el de \( x^{6} \) en ambos paréntesis ya que al multiplicarlos conseguirás el \( x^{12} \) la cosa es que llego que al coeficiente de \( x^{6} \) de la formula del binomio es -4 y el coeficiente de \( x^{6} \) del resultado numero 7 de la imagen es combinaciones de 9 en 6. y no me da el resultado que dice el libro. Gracias.
Imágenes:


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Hola, no se si ya había preguntado esto aca pero no encuentro mi post, asi que probablemente no lo había echo.

Me interesa lo que esta recuadrado en rojo, no lo llego a entender. En el punto A) Esa es la solución particular es SI \( r^{n} \) es solución de la homogénea y en el punto B) y C) son que NO son soluciones de la homogénea?
Y otra pregunta, en general cuando decimos que es solución de la homogénea es que el \( r^{n} \) de la homogénea coincide con el \( r^{n} \) de la relación no homogénea, que pasa si la solución homogénea son dos raíces diferentes y una coincide y otra no?. Gracias

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Hola, no estoy entendiendo que ocurre en la parte pintada con azul, la parte pintada con rojo es solo la aplicación del teorema, pero la parte azul no entiendo que sucede, por ejemplo también porque re aparece el vértice \( v \). Podria decir que esta aplicando el teorema dos veces, pero no lo veo tan claro



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Teoría de grafos / Pregunta sobre region de grafos en planaridad
« en: 17 Julio, 2022, 04:03 am »

¿Porque cada región del grafo esta limitada por al menos 4 aristas?
Este ejercicio saldría usando el corolario

si dibujamos el grafo y contamos las regiones sale fácilmente que no es plano, pero si calculamos las regiones mediante el teorema de euler  y usamos el corolario lo cumple (supongo porque el teorema de euler asume que es plano y te devuelve la cantidad de regiones sabiendo que es plano). La cosa es que quiero hacerlo sin contar manualmente las regiones como lo hace en el ejercicio, llegando a una contradicción. Gracias!

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Teoría de grafos / Sobre el isomorfismo de grafos
« en: 14 Julio, 2022, 09:46 pm »
Hola, tengo unas preguntas sobre el isomorfismo de grafos ;D

1) Según la definición, hay que encontrar una función inyectiva y sobreyectiva con el conjunto de vertices de ambos grafos, supongamos que encuentro la funcion que es inyectiva y sobreyectiva, pero no cumple con la condición de las aristas. Por ejemplo

Entonces definimos la función G asi:
\( g(m)=r, g(n)=s, g(p)=t, g(q)=u \)
sabemos que la función es sobreyectiva y inyectiva por lo tanto cumple esta parte de la definición pero la otra parte de la arista no la cumple ya que, la arista \( \left\{{m,q}\right\} \) del grafo C su correspondiente en el grafo D \( \left\{{r,u}\right\} \) no existe en el grafo D. Entonces no se podría decir que la función cumple un isomorfismo, pero, si hacemos otra función por ejemplo la función h tal que
\( h(m)=s,h(n)=r,h(p)=u,h(q)=t \) y en este caso funciona.

Ahora la pregunta, en la practica, ¿tengo que probar todas las posibles funciones y que justo cumpla la condición de la arista?

2) Según el libro que estaba leyendo había una especie de técnica para encontrar mas facil el grafo isomorfo, era encontrar un ciclo en el primer grafo A y que el mismo ciclo se mantenga en el grafo B.

La pregunta es, ¿El ciclo en el grafo B debe estar formado con los vértices correspondientes   del grafo A? ¿O simplemente funciona si el ciclo es de longitud igual que el del en grafo A? ¿Esto se aplica también para circuitos, caminos simples,recorridos,etc?

Muchas gracias.

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Matemática Discreta y Algoritmos / Teorema de Dilworth
« en: 12 Julio, 2022, 02:02 am »
Hola, he buscado por internet el teorema de dilworth y encuentro variantes entre cada uno que veo y me han dicho que el siguiente ejercicio sale de usar este teorema, ¿alguien podría enunciarlo de tal forma que se puede aplicar al siguiente ejercicio?
Ejercicio:
Demostrar que en un conjunto de 61 personas hay una sucesión de 13 elementos que cada uno de ellos esta relacionado con el siguiente y también que existe un grupo de 6 elementos que ningunos están relacionados con otros

De la letra del ejercicio se puede deducir que la sucesión de 13 elementos es una cadena y la sucesión de 6 elementos es un anti cadena. El teorema de dilworht que tengo dice: Sea (A,≤) parcialmente ordenado, la partición de A de menor tamaño P(A) es igual al tamaño máximo de una anti cadena T(A). P(A)=T(A) aunque no la entiendo mucho, por ejemplo a que se refiere en si con la partición de A de menor tamaño si al final toda partición al unirse dará el conjunto A.
Gracias!

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Lo del titulo, no tengo ni idea, lo que podría interpretar es "X esta relacionado con Y si 4 tal que x-y"  pero no le veo ningún sentido. Y como no le veo ningún sentido no entiendo el resto del ejemplo. Gracias :(

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Hola, donde marqué con rojo en la imagen es mi duda, puede ser muy tonta la pregunta, pero ¿qué significa eso? a simple vista diría que unión pero unión de cuales conjuntos si solo hay 1? la otra idea que se me viene a la mente es como si fuera una sumatoria de uniones :laugh:
Por ejemplo
\( I=\left\{{1,2,3}\right\} \)
\( A=A_{1}\cup{A_{2}}\cup{A_{3}} \)
Gracias y disculpen por hacer un hilo para solo una pregunta de notación

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Matemática Discreta y Algoritmos / La relación inclusión
« en: 08 Julio, 2022, 08:14 pm »
Hola, tengo una pequeña duda, la relación inclusión sobre un conjunto \( A \) es simplemente, \( aRb \) si solo si \( a\subseteq{b} \) ? siendo a y b elementos de \( A \)
Esto es porque lo he visto en varios ejemplos, como esto:
Sea \( U=\left\{{1,2,3}\right\} \) y \( A=P(U) \) (conjunto potencia) y \( R \) es la relación de inclusión sobre A. La cosa es que nunca me dieron explicitamente la relación y por eso me trae dudas ¿Como seria? se podria decir que la relación inclusión es A x A ? y que pasaría si la relacion inclusion fuera en otro conjunt, por ejemplo el conjunto B, la relación inclusión seria A x B?
Gracias

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Yo de nuevo con con las definiciones :banghead:


Definimos R sobre \(  A=\left\{{1,2,4,8}\right\}  \) como \( xRy \) si x divide exactamente a y

Entonces \( R=\left\{{(1,1)(2,2)(4,4),(8,8),(1,2),(1,4),(1,8),(2,4),(2,8),(4,8)}\right\} \)

Usando la definición, 1 es maximal, ya que 1 se relaciona con todos los elementos de a. Y 8 es minimal ya que todos los elementos de a se relacionan con el 8.

La pregunta, yo estoy mal o están invertidas las definiciones, maximal me suena al numero "mas grande" y minimal al menor. Gracias

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Hola, como dice el titulo, me encontré con esta definición en el libro "Matemáticas Discretas y Combinatoria,Grimaldi "  y creo que hay un error en la definición, y ademas el ejemplo que da no la cumple


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Hola, tengo unas dudas particulares.

1) Sea \( A \) un conjunto, \( A=\{1,2,3,4\} \).

a) \( R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\} \) ¿Es reflexiva?

b) \( R=\{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\} \) ¿Es simétrica?

2) Ahora una proposición: Si \( R \) es una relación sobre un conjunto \( A \), entonces \( R \) es al mismo tiempo una relación de equivalencia y un orden parcial en \( A \) si solo si \( R \) es una relación de igualdad sobre \( A \).

En este caso la pregunta es a que se refiere con ser una relación de igualdad, he buscado por internet y me sale relación de igualdad entre dos conjuntos, que básicamente es que tengan los dos conjuntos los mismos elementos, ¿se refiere a eso o no?

Gracias  :banghead:

Mensaje corregido desde la administración.

Gracias manooooh

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Hola, del libro Matemáticas discreta y combinatoria 3ed de Ralph Grimaldi, me he encontrado con lo del titulo "𝒫 (𝒰 ) " ¿alguien sabe que significa?
para dar un poco de contexto, estas son la 1era y 2da vez que aparecen en el libro.



No es que no pueda seguir mi vida sin saberlo, ya que puedo entender por ejemplo la 2da imagen sin saber que significa exactamente, pero me carcome la duda ;D

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Probabilidad / Diagrama de arbol
« en: 01 Julio, 2022, 09:10 pm »
Hola, me encontraba leyendo un libro donde se explica el producto cartesiano con un diagrama de arbol y la duda que tengo es que si esta mal echo el diagrama o yo lo estoy interpretando mal.


En donde marque con rojo es la duda, yo interpreto el diagrama como las 6 ramas a las 6 posibilidades que tiene el dado de caer y las otras 2 ramas a las posibilidades de la moneda. Entonces por ejemplo podria caer el dado en la cara 4 y la moneda en cruz, pero segun el diagrama, cuando el dado cae en la cara 1, tiene dos posiblidades que son las mismas, cara y cara. Gracias

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