Compañeros quiero saber si he hecho el procedimiento correcto, es para una exposición y quiero que todo salga bien. Agradezco me hecheis una mano.
Pruebe que si un Álgebra \( A \) es una \( \sigma-álgebra \) si y solo si, es cerrado bajo uniones contables crecientes, es decir;
si

 \(  \{E_n\}_{n\in{}N} \subset{}A \) y \( E_n \subset{}E_{n+1} \) para todo \( n \in{}N \) entonces
\( \displaystyle\cup_{n=1}^\infty{} E_n \in{}A \)
Demostracion:
Sea \( \ (A_n \ )_{n=1}^ \infty{} \) una sucesión de conjuntos para todo \(  k \in \ {0,1,2..\ } \)
\( B_k : = \cup_{n=1}^k{} A_n \)
Entonces la sucesión \( \ (B_k\ )_{k=0}^ \infty{} \) es creciente y \( B_0 =\emptyset \)
\(  \cup_{n=1}^ \infty A_n = \cup{}_{k=1}^ \infty{} B_k \)

Supongamos que \( A \) es un \( \sigma - álgebra \), es decir, cumple con las siguientes condiciones:
a) \( \emptyset \in A \)

b) \( A \) es cerrado bajo complemento si \( A \in{} \mathcal{A} \),  \(  x : A \in{} \mathcal{A} \)

c) \( \mathcal{A} \) es cerrado bajo uniones numerales si \( A_n
\in{} \mathcal{A}  \) para todo \( n\in{}N \) y \( B= \cup_{n \in{}N} \; A_n \) entonces \( B \in{} \mathcal{A} \)

Ahora

\( B_k = \cup_{n=1} ^k \, A_n \) así la sucesión \(  \ ( B_k \ )_{k=0}^ \infty{} \) es creciente y además \( \cup_{n=1}^ \infty{} \, A_n = \cup_{k=1}^ \infty{} \, B_k \in{} \mathcal{A} \)
Supongamos que si \( \ { E_n \ }_{n \in{} N} \subset{} \mathcal{A} \) y \( E_n \subset{}E_n+1 \) para todo \( n\in{}N \) entonces

\( \cup_{n=1}^ \infty{} E_n \in{}A \)

Considerando el espacio de \(  M_3 \ (R)  \) de todas las matrices \(  3 \times 3  \) con entradas reales, considerando también \(  A \in{} M_3(R)  \) fija, y la aplicación \(  T : M_3(R) \rightarrow{}M3(R) \) definida como:
\(  T(X)= AX - XA \)
Demostrar que \(  T \)  es una transformación lineal.
Hallar el núcleo de T e interpretar el resultado.

Hola, necesito su explicación para este ejercicio. Sinceramente no sé cómo resolverlo chicos.

Sea \( F \) análitica en una región cerrada \( R \) constituida por los puntos interiores a un contorno cerrado simple positivamente orientado \( C \) junto con los puntos del propio \( C \). Para todo número positivo \(  \epsilon  \), la región \( R \) puede ser recubierta con un número finito de cuadrados complejos y parciales, indicados por \(  j = 1,2,...,n \) tales que en cada uno de ellos hay un punto fijo \(  z_j  \) para el cual la desigualdad siguiente satisface para todos los demás puntos de ese cuadrado completo o parcial:

\(  \left| \dfrac{f(z)-f(z_j)}{z - z_j}-f'(z_j)\right|  < \epsilon  \),           \(  z \neq z_j.  \)

Demuestre que:
\( | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}e^{2x}+ e^{-2xy}   \)
Les digo como resolví:
\(   | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}| e^{2z+i} |+| e^{iz^2}|   \)
\( z= x+ iy  \)
\(  e^{2z+i} = e^{2x + 2iy+i}=e^{2x} e^{i(2y+1)}  \)
\( e^{iz^2} =  e^{i(x+iy^2)}= e^{i (x^2+2i xy-y^2)}= e^{i (x^2-y^2)}e^{-2xy} \)
\( =  |e^{2x} e ^ {i(2y+1)}|+| e^{-2xy} e ^{i(x^2-y^2})| \)

\(  = |e^{2x}| | e^{i(2y+1})| + |e^{-2xy}| | e^{i(x^2-y^2}) \)

\( = |e^{2x}|+|e^{-2xy}|= e^{2x}+e^{-2xy}  \)
Pues:

\(  e^{2x}\geq{}0\forall{}x\in{}R \) y
 
 \( e^{-2xy}\geq{}0\forall{} x,y\in{}R \)
Así:
\( | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}e^{2x}+ e^{-2xy}   \)lo he resuelto bien? De no ser así, dónde están los fallos?

 Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)

Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}=   \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda

Necesito ayuda con esta demostración.
Indique la certeza o no de las siguientes proposiciones. En caso afirmativo, demuestrela, en caso negativo, dé un  contraejemplo.
1) si A es un subconjunto conexos en en espacio métrico E, entonces \(  \bar{A} \) es conexo.
2)si \(  \bar{A} \) es conexo, entonces A es conexo

Determine si el subconjunto considerado en cada uno de los siguientes numerales es subespacio vectorial o no del correspondiente espacio vectorial dado.
1) en el espacio vectorial \( M  \) de las matrices \(  3x3 \) de entradas reales, sea S el subconjunto de las matrices cuyo determinante no es  nulo (la suma vectorial en M es la suma usual de matrices)
2) en el mismo espacio M del numeral 1), sea T el subconjunto de las matrices cuyo determinante es positivo o cero.
3) en el espacio vectorial V de las funciones
\( f: IR \rightarrow{} IR \)  cuyo dominio es \(  IR \) sea U el subconjunto de las \(  f \) que son continuas o el conjunto de los puntos dónde f es discontinua no es finito (la suma vectorial en V es la suma usual de funciones).
Aquí envío lo que hice si está mal. Necesito me ayuden con la forma correcta por favor

Chicos no se como hacer este ejercicio, espero puedan ayudarme.
Sea \(  f(x) = \sum_{n=1}^\infty   \frac{x^n}{n^n} \)
Demuestre que
a) \(  f(x)  \) es definida para todos los valores de x.
b) evalúe la forma aproximada, donde sea necesario \(  f(0), f(1), f' (0),  f'(1), f''(0). \)
c) obtenga la serie de MacLaurin para \(  f'(x), f''(x). \)

Sea \( a=8 \) halle tres vectores unitarios en  \( \Bbb R^3 \) que sean ortogonales al vector  \( v=(a, -1,a+ 1 ) \)

1) Demuestre que esos tres vectores que obtuvo en la parte (a) son linealmente dependientes.
2) Dé una razón teórica por la cual esos tres vectores de la parte (a) son linealmente dependientes.

Esto es lo que he hecho!!

Al  reemplazar el valor del parámetro \(  (a = 8) \), y queda: \(  u = < 8 ; -1 ; 9 > \) y también se plantea la expresión del vector buscado: \(  p = < x ; y ; z >;  \)  al plantear la condición de perpendicularidad entre estas dos expresiones vectoriales, queda la ecuación vectorial:

\(  u\cdot p = 0 \) , se sustituyen  las expresiones de los vectores, y queda:

\( < 8 ; -1 ; 9 > \cdot < x ; y ; z > = 0 \),  al desarrollar el producto escalar, queda:

\( 8x - y + 9z = 0 \), y de aquí al despejar

\( y = -8x - 9z; \)

Se sustituye esta última expresión en la segunda componente de la expresión vectorial \( p \), y queda:

\( p = < x ; -8x - 9z ; z > (1), \)

que es la expresión de una familia de vectores, que son todos perpendiculares al vector de referencia;

Se elige un valor para el parámetro \( x \) y otro valor para el parámetro \( z \), en forma tal que no sean los dos iguales a cero a la vez, y obtenemos vectores específicos que son perpendiculares al vector de referencia u, por ejemplo:

a)

con: \(  x = 1 y z   = 0 \) tienes el vector: \( p_a = < 1 , -8 ; 0 > \), cuyo módulo es:   \( \|p_a\| =\sqrt{65} \), y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\( P_a = p_a/\|p_a\|= < 1 , -8 ; 0 >/\sqrt{65} = < 1/\sqrt{65} ; -8/\sqrt{65} ; 0 >; \)

b)

con: \(  x = 3 y z = 2  \)  se tiene el vector:    \(  p_b = < 3 , -42 ; 2 > \),   cuyo módulo es.  :\(  \|p_b\|=\sqrt{1777} \), y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\(  P_b = p_b/\|p_b\| = < 3 , -42 ; 2 >/\sqrt{1777} = < 3/\sqrt{1777} ; -42/\sqrt{1777} ; 2/\sqrt{1777} >; \)

c)

 con: \(  x = 0 y z = -3 \)  tenemos  el vector:   \(  p_c = < 0 , 27 ; -3 > \) , cuyo módulo es: \( \|p_c\|=\sqrt{738} \),  y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\( P_c = p_c/\|p_c\| = < 0 , 27 ; -3 >/\sqrt{1777} = < 0 ; 27/\sqrt{1777} ; -3/\sqrt{1777} > \) o sea, ¿esto está bien?.

Me gustaría me ayudaran sino lo está, por favor, ¡agradezco las correcciones! ¿Cuál es la razón teórica por lo cual los tres vectores obtenidos en la parte (a) son linealmente dependientes? ¡Ayúdenme por favor!

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