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Temas - Taniadiaz

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1
Dada \( f \) una aplicación del conjunto \(  X \) en el conjunto \( Y \). Sea \( \xi \) una clase de conjuntos de \( Y \) \( \ ( \xi \subseteq{}P (Y) \ ) \) si se denota

\( f^{-1} \ ( \xi \ ) = \{ f^{-1} (E) ; E \in{} \xi \} \)
Probar que si \( \xi \) es una \( \sigma \)-álgebra de subconjuntos de \( Y \), entonces \( f^{-1} \ ( \xi \ ) \) es una \( \sigma \)-álgebra de subconjuntos de \( X \)

2
Compañeros quiero saber si he hecho el procedimiento correcto, es para una exposición y quiero que todo salga bien. Agradezco me hecheis una mano. ;)
Pruebe que si un Álgebra \( A \) es una \( \sigma-álgebra \) si y solo si, es cerrado bajo uniones contables crecientes, es decir;
si

 \(  \{E_n\}_{n\in{}N} \subset{}A \) y \( E_n \subset{}E_{n+1} \) para todo \( n \in{}N \) entonces
\( \displaystyle\cup_{n=1}^\infty{} E_n \in{}A \)
Demostracion:
Sea \( \ (A_n \ )_{n=1}^ \infty{} \) una sucesión de conjuntos para todo \(  k \in \ {0,1,2..\ } \)
\( B_k : = \cup_{n=1}^k{} A_n \)
Entonces la sucesión \( \ (B_k\ )_{k=0}^ \infty{} \) es creciente y \( B_0 =\emptyset \)
\(  \cup_{n=1}^ \infty A_n = \cup{}_{k=1}^ \infty{} B_k \)

Supongamos que \( A \) es un \( \sigma - álgebra \), es decir, cumple con las siguientes condiciones:
a) \( \emptyset \in A \)

b) \( A \) es cerrado bajo complemento si \( A \in{} \mathcal{A} \),  \(  x : A \in{} \mathcal{A} \)

c) \( \mathcal{A} \) es cerrado bajo uniones numerales si \( A_n
\in{} \mathcal{A}  \) para todo \( n\in{}N \) y \( B= \cup_{n \in{}N} \; A_n \) entonces \( B \in{} \mathcal{A} \)

Ahora

\( B_k = \cup_{n=1} ^k \, A_n \) así la sucesión \(  \ ( B_k \ )_{k=0}^ \infty{} \) es creciente y además \( \cup_{n=1}^ \infty{} \, A_n = \cup_{k=1}^ \infty{} \, B_k \in{} \mathcal{A} \)
Supongamos que si \( \ { E_n \ }_{n \in{} N} \subset{} \mathcal{A} \) y \( E_n \subset{}E_n+1 \) para todo \( n\in{}N \) entonces

\( \cup_{n=1}^ \infty{} E_n \in{}A \)

3
Hola Amigos del foro. Necesito de su ayuda con esta demostración. Espero puedan ayudarme y explicarme paso a paso. Se los agradezco infinitamente.

Sea \( V  \) el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas  \(  n x n  \) sobre un campo \(  K  \) muestre que \(  W \) es un subespacio de \( V \) cuando :

1) W consiste de todas las matrices simétricas \(  A = \ ( a_{ij} ) = \ ( a_{ji} ) \)

2) W consiste de todas las matrices que conmutan con una matriz particular T Dada.

\(  W = \{  A \in{}V : AT = TA \}  \)

4
Considerando el espacio de \(  M_3 \ (R)  \) de todas las matrices \(  3 \times 3  \) con entradas reales, considerando también \(  A \in{} M_3(R)  \) fija, y la aplicación \(  T : M_3(R) \rightarrow{}M3(R) \) definida como:
\(  T(X)= AX - XA \)
Demostrar que \(  T \)  es una transformación lineal.
Hallar el núcleo de T e interpretar el resultado.

5
Encontrar los puntos de intersección de la recta \(  0 = Re \{ (1+4i)z+2-3i  \} \) con la circunferencia

\(  | z-6|= \frac{1}{√3} |z+2i| \)

¿Me pueden detallar el procedimiento para este ejercicio?

6
Análisis Real - Integral de Lebesgue / Función analítica
« en: 22 Octubre, 2021, 06:45 am »
Hola, necesito su explicación para este ejercicio. Sinceramente no sé cómo resolverlo chicos.

Sea \( F \) análitica en una región cerrada \( R \) constituida por los puntos interiores a un contorno cerrado simple positivamente orientado \( C \) junto con los puntos del propio \( C \). Para todo número positivo \(  \epsilon  \), la región \( R \) puede ser recubierta con un número finito de cuadrados complejos y parciales, indicados por \(  j = 1,2,...,n \) tales que en cada uno de ellos hay un punto fijo \(  z_j  \) para el cual la desigualdad siguiente satisface para todos los demás puntos de ese cuadrado completo o parcial:

\(  \left| \dfrac{f(z)-f(z_j)}{z - z_j}-f'(z_j)\right|  < \epsilon  \),           \(  z \neq z_j.  \)

7
Demuestre que en todo el valor de x del intervalo \( -1\leq{} x\leq{}1 \) las funciones \(  P_n(x)= \frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi}(x+i\sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta)^n d \theta   \)

Dónde \( (n = 0,1...)   \) satisfacen la desigualdad
\( | P_n (x)|\leq{}1   \)
Solución:

\(  -1\leq{}x1 \)
Es equivalente a \( |x|\leq{} 1 \)

\( P_n(x)= \frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi}(x+i \sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta)^n d \theta \)
Al usar la fórmula de Moivre, tenemos que: \( z^n=r^n ( \cos nr + i \sen nr)  \)
\( z= x+i \sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta \)
\( |z|^n=(x^2 + (1-x^2) \cos^2 \theta  ) ^ {1/2} (\cos nr + i \sen nr)  \)
Con \( r= \tan ^{-1} ( \frac{\sqrt[ ]{i-x^2} \cos \theta}{x} ) \)
\( z^n =(x^2+ \cos ^2 \theta  - x^2 \ cos ^2 \theta ) ( \cos nr + i \sen nr )   \)

\(  = (x^2-x^2 \cos ^2 \theta+ \cos ^2 \theta ) ( \cos nr + i \sen nr)   \)
\(  = x ^ 2( 1 - \cos \theta) + ( \cos ^ 2 \theta)(\cos nr + i \sen nr)     \)

\( = (x ^2 \sen ^2 \theta ) +\cos^2 \theta ) ( \cos nr + i \sen nr)  \)
\( |z^n| = | x^2 \sen ^2 \theta + \cos ^2 \theta) ( \cos nr + i \sen nr )   \)
\( = | x^2 \sen ^2 \theta + \cos ^2 \theta| | \cos nr + i \sen nr|  \)
Pero \(  |\cos nr + i \sen nr| = \sqrt[ ]{\cos ^2 nr + \sen^2 nr }=1  \)
\( |z^n| =|x^2  \sen^2 \theta + \cos ^2 \theta|  \)
\( |z^n| =|x^2 (\sen ^2 \theta) + \cos ^2 \theta|     \)
Notamos que :
\( |x| \leq{}1  \rightarrow{}|x|^2 \leq{}1 \)
Y como \( 0\leq{} |x|^2 \) entonces \(  |x| ^2 = x^2  \) solo en este caso, Asi
\(  |z^n| =| x^2 \sen ^2 \theta   + \cos ^2 \theta| \leq{} |\sen ^2 \theta + \cos^2 theta|=|1|=1  \)
\( |z^n| =  ( x +i (1-x^2) \cos \theta)^n\leq{}1   \)
Luego
\(  P_n (x) =\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} ( x+i \sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta) ^n d \theta   \)
\( | P_n (x) |  =\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} ( x+i \sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta) ^n d \theta  \) \(  \leq{}=\frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} |x+i \sqrt[ ]{1-x^2} \cos \theta| ^n d \theta   \)
\(  \leq{} \frac{1}{\pi} \displaystyle\int_{0}^{\pi} d \theta = \frac {1} {\pi} \pi =1  \)
Por lo tanto
\(  | P_n (x)| \leq{}1 \)
\(  n = 0,1 \)  la igualdad se alcanza en \(  n= 0  \)
Está correcto? Perdonen tantas preguntas, es que estoy estudiando para mí examen y quiero saber si lo he hecho correctamente.

8
Cálculo 1 variable / Demostración (análisis)
« en: 26 Septiembre, 2021, 12:35 pm »
Demuestre que:
\( | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}e^{2x}+ e^{-2xy}   \)
Les digo como resolví:
\(   | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}| e^{2z+i} |+| e^{iz^2}|   \)
\( z= x+ iy  \)
\(  e^{2z+i} = e^{2x + 2iy+i}=e^{2x} e^{i(2y+1)}  \)
\( e^{iz^2} =  e^{i(x+iy^2)}= e^{i (x^2+2i xy-y^2)}= e^{i (x^2-y^2)}e^{-2xy} \)
\( =  |e^{2x} e ^ {i(2y+1)}|+| e^{-2xy} e ^{i(x^2-y^2})| \)

\(  = |e^{2x}| | e^{i(2y+1})| + |e^{-2xy}| | e^{i(x^2-y^2}) \)

\( = |e^{2x}|+|e^{-2xy}|= e^{2x}+e^{-2xy}  \)
Pues:

\(  e^{2x}\geq{}0\forall{}x\in{}R \) y
 
 \( e^{-2xy}\geq{}0\forall{} x,y\in{}R \)
Así:
\( | e^{2z+i} + e^{iz^2}| \leq{}e^{2x}+ e^{-2xy}   \)lo he resuelto bien? De no ser así, dónde están los fallos?

9
Cálculo 1 variable / Determinar los puntos singulares de la función.
« en: 26 Septiembre, 2021, 07:18 am »
Me pueden ayudar a resolver este ejercicio? No lo entiendo por favor
Determine los puntos singulares de la función siguiente y explique por qué la función es análitica en todas partes, excepto en esos puntos.
\( f(z) = \frac{2z+1}{z(z^2+1)}  \)

10
Cálculo 1 variable / Demostrar que se cumple la igualdad
« en: 26 Septiembre, 2021, 06:03 am »
 Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)

Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}=   \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda

11
Topología (general) / Demostrar que A es separable
« en: 23 Septiembre, 2021, 12:31 pm »
Amigos cómo se demuestra?
Sea A un conjunto no vacío en un espacio métrico, pruebe que si toda cobertura abierta de A, admite una subcobertura contable. Entonces A es separable.

12
Topología (general) / Conjuntos conexos
« en: 21 Septiembre, 2021, 05:17 am »
Necesito ayuda con esta demostración.
Indique la certeza o no de las siguientes proposiciones. En caso afirmativo, demuestrela, en caso negativo, dé un  contraejemplo.
1) si A es un subconjunto conexos en en espacio métrico E, entonces \(  \bar{A} \) es conexo.
2)si \(  \bar{A} \) es conexo, entonces A es conexo

13
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Espacios vectoriales
« en: 19 Septiembre, 2021, 01:45 pm »
B) sea  \( P_n[x]  \) el espacio vectorial real de los polinomios con coeficientes reales cuyo grado es menor o igual a n ( se asume que el polinomio nulo también pertenece a
\( P_n[x]  \) pruebe que el subconjunto U de los polinomios cuya segunda derivada es cero es un subespacio vectorial de \(  P_n[x] \) halle la dimensión del mayor subespacio V de \( P_n[x]  \) tal que \(  U\cap{}V= {0} \) dónde 0 es el polinomio nulo, y mayor significa que cualquier otro subespacio de \( P_n[x]  \) cuya intersección con U da {0} está contenido en V.
C) en el espacio vectorial de \(  IR^4 \) sobre los números reales considere los subespacios U y V generados respectivamente por los subconjuntos  \( {(1, -2, 0, 3), (2, 3, -1, 0)}  \) y \( {(2,0,1,4), (2,10,-2,-6)}
  \) determine la dimensión del subespacio vectorial \(  U\cap{}V \), una base de dicho espacio y diga si el vector \(  (1,2,3,4) \) pertenece o no al subespacio \( U\cap{} V \)
Adjunto lo que pude resolver. Espero esté bien. Quiero que me digan también si cumple con todo lo que se pide en el ejercicio.






14
Determine si el subconjunto considerado en cada uno de los siguientes numerales es subespacio vectorial o no del correspondiente espacio vectorial dado.
1) en el espacio vectorial \( M  \) de las matrices \(  3x3 \) de entradas reales, sea S el subconjunto de las matrices cuyo determinante no es  nulo (la suma vectorial en M es la suma usual de matrices)
2) en el mismo espacio M del numeral 1), sea T el subconjunto de las matrices cuyo determinante es positivo o cero.
3) en el espacio vectorial V de las funciones
\( f: IR \rightarrow{} IR \)  cuyo dominio es \(  IR \) sea U el subconjunto de las \(  f \) que son continuas o el conjunto de los puntos dónde f es discontinua no es finito (la suma vectorial en V es la suma usual de funciones).
Aquí envío lo que hice si está mal. Necesito me ayuden con la forma correcta por favor




15
Análisis Matemático / Demostrar que f es continua en a
« en: 27 Octubre, 2020, 03:06 am »
Demuestre que si   \(  I : = [a,b]  \) y  \( f : I \rightarrow{} R \) es creciente en  \( I  \) entonces \( f \) es continua en \( a \) si y solo si
 \(  f(a) = inf\{f(x) : x\in{}(a,b)\} \)

Lo he resuelto así:
Sea \( f \) continua en  \(  x = a \rightarrow{} \displaystyle\lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \)

Si se supone que  \( inf \{f(x)/x \in{}]a,b[\} =L \neq f(a) \rightarrow{}L>f(a)  \)
 \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow{}a^+} f(x) = f(a)\rightarrow{}  \) si \(  \epsilon = \frac{f(a) - L}{2}> 0\exists{}\delta>0/a< x <a + \delta \rightarrow{} |f(x) - f(a) |< \epsilon \rightarrow{}  \)
 \(  |f(x) - f(a) |< \dfrac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} f(x) - f(a)<  \frac{f (a) - L}{2}\rightarrow{} 2f(x) - 2f(a)< f(a) - L \rightarrow{} \)
 \(  f(x)< \dfrac{3f(a)-L}{2} \rightarrow{}f(x) < \frac{3f(a)-f(a)}{2}\rightarrow{} f(x)< f(a) \) contradicción pues,  \(  x>a \)

Por lo contrario si supongo que   \(  inf\{f(x) : x \in{}(a,b)\} = f(a)  \) entonces   \( \epsilon>0  \) teniendo en cuenta que   \(  f(a) + \epsilon \) no es un limite inferior para   \( \{f(x) : x \in{} (a,b)\} \) ya que es mayor que el máximo limite inferior   \( f(a)  \) por tanto debe existir algún   \( c \in{}(a,b)  \) tal que   \( f(a)\leq{} f(c)< f(a) + \epsilon \)
Debido a que f está aumentando, sabemos que para cualquier   \(  x \in{}[a,c) \)
  \(  f(a)\leq{}f(x)\leq{}f(c)<f(a)+\epsilon \Rightarrow{} 0 \leq{} f(x) - f(a)< \epsilon \)
  \( \Rightarrow{} |f(x) - f(a)| = f(x) - f(a)<\epsilon \)
Entonces al tomar   \(  \delta= c - a > 0 \)
Luego   \( 0\leq{}x-a<\delta\Rightarrow{} a \leq{} x<c \Rightarrow{} |f(x) - f(a)<\epsilon \)
Por lo que   \(  \displaystyle\lim_{x \rightarrow{}a^+} f(x) = f(a) \)
\( f \) es continua en \( a \).

Espero esté bien el ejercicio, me tomó horas. Amigos si no es la forma correcto. Agradezco me ayuden por favor!


16
Chicos no se como hacer este ejercicio, espero puedan ayudarme.
Sea \(  f(x) = \sum_{n=1}^\infty   \frac{x^n}{n^n} \)
Demuestre que
a) \(  f(x)  \) es definida para todos los valores de x.
b) evalúe la forma aproximada, donde sea necesario \(  f(0), f(1), f' (0),  f'(1), f''(0). \)
c) obtenga la serie de MacLaurin para \(  f'(x), f''(x). \)


17
Ayuda con este ejercicio, no sé como hacerlo. Necesito me ayuden por favor!!!
sea \( A \) una matriz fija e invertible  en el espacio vectorial \(  M_{n \times n} \) sobre los números reales, de las matrices cuadradas de orden \( n \), definimos la función \(  T : M_{n \times  n} \rightarrow{} M_{n \times  n} \)  por \( T(X) = AX - XA^{-1} \) donde, \(  X\in{M}_{n \times  n} \) pruebe si \( T \) es una transformación lineal o no .
Si la respuesta es afirmativa para el caso cuando
\( A = \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{1}\\{0}&{2}&{-1}\\{-1}&{1}&{0}\end{bmatrix}  \in{}M_{ 3x3}  \) encuentre una base del núcleo de \( T \) y demuestre que \( T \) es un isomorfismo.

Mensaje corregido desde la administración.

18
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Hallar vectores unitarios.
« en: 08 Octubre, 2020, 11:13 pm »
Sea \( a=8 \) halle tres vectores unitarios en  \( \Bbb R^3 \) que sean ortogonales al vector  \( v=(a, -1,a+ 1 ) \)

1) Demuestre que esos tres vectores que obtuvo en la parte (a) son linealmente dependientes.
2) Dé una razón teórica por la cual esos tres vectores de la parte (a) son linealmente dependientes.

Esto es lo que he hecho!!

Al  reemplazar el valor del parámetro \(  (a = 8) \), y queda: \(  u = < 8 ; -1 ; 9 > \) y también se plantea la expresión del vector buscado: \(  p = < x ; y ; z >;  \)  al plantear la condición de perpendicularidad entre estas dos expresiones vectoriales, queda la ecuación vectorial:

\(  u\cdot p = 0 \) , se sustituyen  las expresiones de los vectores, y queda:

\( < 8 ; -1 ; 9 > \cdot < x ; y ; z > = 0 \),  al desarrollar el producto escalar, queda:

\( 8x - y + 9z = 0 \), y de aquí al despejar

\( y = -8x - 9z; \)

Se sustituye esta última expresión en la segunda componente de la expresión vectorial \( p \), y queda:

\( p = < x ; -8x - 9z ; z > (1), \)

que es la expresión de una familia de vectores, que son todos perpendiculares al vector de referencia;

Se elige un valor para el parámetro \( x \) y otro valor para el parámetro \( z \), en forma tal que no sean los dos iguales a cero a la vez, y obtenemos vectores específicos que son perpendiculares al vector de referencia u, por ejemplo:

a)

con: \(  x = 1 y z   = 0 \) tienes el vector: \( p_a = < 1 , -8 ; 0 > \), cuyo módulo es:   \( \|p_a\| =\sqrt{65} \), y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\( P_a = p_a/\|p_a\|= < 1 , -8 ; 0 >/\sqrt{65} = < 1/\sqrt{65} ; -8/\sqrt{65} ; 0 >; \)

b)

con: \(  x = 3 y z = 2  \)  se tiene el vector:    \(  p_b = < 3 , -42 ; 2 > \),   cuyo módulo es.  :\(  \|p_b\|=\sqrt{1777} \), y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\(  P_b = p_b/\|p_b\| = < 3 , -42 ; 2 >/\sqrt{1777} = < 3/\sqrt{1777} ; -42/\sqrt{1777} ; 2/\sqrt{1777} >; \)

c)

 con: \(  x = 0 y z = -3 \)  tenemos  el vector:   \(  p_c = < 0 , 27 ; -3 > \) , cuyo módulo es: \( \|p_c\|=\sqrt{738} \),  y cuyo vector unitario asociado queda expresado:

\( P_c = p_c/\|p_c\| = < 0 , 27 ; -3 >/\sqrt{1777} = < 0 ; 27/\sqrt{1777} ; -3/\sqrt{1777} > \) o sea, ¿esto está bien?.

Me gustaría me ayudaran sino lo está, por favor, ¡agradezco las correcciones! ¿Cuál es la razón teórica por lo cual los tres vectores obtenidos en la parte (a) son linealmente dependientes? ¡Ayúdenme por favor!

Mensaje corregido desde la administración.

19
Como se realiza este ejercicio?? Pueden ayudarme??
Sea  \( V =\{ A \in{M}_2 (Q)| \det A=0\} \)  donde  \(  M_2(Q) \)  es el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre los números racionales Q. Pruebe que V es un subespacio  de  \( M_2(Q) \) encuentre una base de V y determine la dimensión de V.

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