Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - w a y s

Páginas: [1] 2 3
1
Teoría de Conjuntos / ¿Es esta proposición falsa?
« en: 15 Marzo, 2021, 10:01 pm »
Hola.

Estaba viendo la siguiente proposición:

   Sea $$\Bbb{R}$$ con la relación de orden usual. Consideremos $$X \subset \Bbb{R}$$ y el conjunto $$Q=\{x\in \Bbb{R}: x \leq 0\}$$ . Prueba que $$X$$ tiene mínimo si y sólo si $$X \cap Q$$ tiene mínimo.

Puedo tomar entonces $$X=\{x \in \Bbb{R}: 1 \leq x\}$$; luego $$X \subset \Bbb{R}$$ y $$1= mín (X)$$. Entonces se tiene $$X \cap Q= \emptyset$$. Mis dudas vienen ahora ya que de ser así ¿tiene el vacío mínimo? ¿está el vacío acotado? ¿sería entonces esta proposición falsa?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

2
Hola.

Sobre la proposición del enunciado, yo conozco la prueba que voy a dejar en el siguiente spoiler.

Demostración.
Sea $$n\in \Bbb{N}$$ y supongamos que $$n$$ es primo. Queremos probar que $$\Bbb{Z_n}$$ es cuerpo. Bastará con ver que todo elemento no nulo tiene inverso. Sea $$m \in \Bbb{Z_n}$$, con $$1 \leq m <n$$. Entonces puesto que $$n$$ es primo, $$m$$ y $$n$$ son primos entre sí. Por lo tanto existen $$a,b \in \Bbb{Z}$$ tales que $$1=am+bn$$; de donde   $$1=am+bn=am+0=am$$. Luego vemos que $$m$$ tiene inverso en $$\Bbb{Z_n}$$.
[cerrar]

¿Conoce alguien otra prueba para esta proposición sin hacer uso de la identidad de Bézout?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

3
Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Se define en $$\Bbb{Z}$$ la relación de equivalencia dada por $$xRy$$ si $$x(x-1)-y(y-1)$$ es múltiplo de $$3$$. Determina el conjunto cociente $$\Bbb{Z}/R$$.

Estoy teniendo problemas para hallar las clases de equivalencia ¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

4
Hola, traigo el siguiente enunciado:

  En el conjunto totalmente ordenado $$(\mathbb{Q},\leq)$$ se considera el conjunto $$A=\{x\in \mathbb{Q} : x^2>2\}$$. Demuestra que $$A$$ está acotado inferiormente pero no tiene ínfimo.

Ver que está acotado inferiormente es fácil ya que $$0 \in \mathbb{Q}$$ y para todo $$x \in A $$ se tiene que $$0 <x$$; sin embargo no soy capaz de ver cómo demostrar que no tiene ínfimo.

¿Podría alguien, por favor, darme alguna idea?

Gracias de antemano.

Saludos.

Agregado: Creo que ya sé cómo hacerlo. Podemos ver que para todo $$c\in \mathbb{Q}$$ tal que $$c< \sqrt{2}$$; es cota inferior de $$A$$. Supongamos ahora que $$c=ínf(A)$$ entonces no puede ser que $$\sqrt{2}<c$$ ya que entocnes existiría otro $$x \in A$$ tal que $$x<c$$ y eso contradice la definición de cota inferior. Tampoco podría ser $$c=\sqrt{2}$$ ya que $$\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$$.

Entonces necesariamente se tiene que $$c<\sqrt{2}$$; entonces existirá algún $$z \in \mathbb{Q}$$ tal que $$c<z<\sqrt{2}$$, de manera que $$z$$ también sería cota inferior de $$A$$, luego $$c$$ no sería ínfimo. Concluimos que no existe el ínfimo de $$A$$, ¿podría alguien, por favor, decirme si esto es correcto?


5
Hola. Tengo el siguiente enunciado:

     En $$(Z_6,+,\times)$$ halla todas las soluciones, si existen, de la ecuación $$1x^2+5x+6=0$$.

Es fácil ver que por ejemplo $$x=1$$ satisface la igualdad, ya que $$1 \cdot 1 \cdot 1 + 5\cdot 1 + 6=12=0$$.

Pero si por ejemplo veo que $$1x^2+5x+6=0$$ es equivalente a $$1x^2+5x+0=0$$, y de esta última por la propiedad distributiva se tiene que $$(x+5)x=0$$ y dado que $$Z_6$$ no es cuerpo, tiene divisores de cero, luego de esta última expresión no se puede deducir nada.

Entonces ¿tiene la ecuación solución? ¿es lo mismo comprobar que hay algún elemento de $$Z_6$$ que satisfazga la igualdad, que hallar las soluciones?

Gracias de antemano.

Saludos.

6
Hola.

Estoy estudiando física y necesito un libro para aprender a derivar e integrar funciones vectoriales en diferentes sistemas de coordenadas (cartesianas, cilíndricas, polares,...) y que además empiece por lo básico.

El objetivo sería poder acabar haciendo cálculos como los que aparecen en la imagen que adjunto en el spoiler.

Imagen
[cerrar]

¿Conoce alguien algún libro que pueda servirme?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

7
Hola.

Una amiga que también pertenece al foro ha intentado inciciar sesión desde un dispositivo que no es el que usa habitualmente y obtiene el siguiente error:

"syntax error, unexpected ''a:3:{s:4:"data";a:33:{i:0;a:1' (T_ENCAPSED_AND_WHITESPACE)"

No le deja acceder a la página principal del foro, pero sin embargo puede acceder a su perfil y a temas y subforos en los que ya ha participado.

¿Sabe alguien por qué podría ser?

Gracias de antemano, saludos.

8
Hola.

Estoy tratando demostrar la siguiente proposición:

  Si $$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$, $$n\in \mathbb{N}$$, es un cuerpo, entonces es un dominio.

Para demostrar esto quiero ver que $$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$ no tiene divisores de cero. Para ello voy a probar que todo elemento de $$\mathbb{Z/n}$$ distinto de cero es regular.

  Sea $$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$ un cuerpo y sea $$[a] \in \mathbb{Z/n}$$ con $$[a]\not= 0$$. Supongamos que $$[a] \cdot \left[x\right]=[a] \cdot [y]$$. Por ser $$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$ un
  cuerpo y ser $$[a]\not=0$$ se tiene que $$[a^{-1}] \in \mathbb{Z/n}$$, luego, multiplicando a ambos lados de la igualdad anterior se tiene que $$[a^{-1}] \cdot [a] \cdot \left[x\right]=[a^{-1}]
  \cdot[a] \cdot [y]$$ de donde $$\left[x\right]=[y]$$.

Puesto que para todo $$[a] \in \mathbb{Z/n}$$ con $$[a] \not= 0$$ se tiene que $$[a]$$ es regular concluimos que $$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$ no tiene divisores de cero , y que, en sonsecuencia, es un dominio. 

¿Es esta una forma correcta de demostrar la proposición? Una duda más acerca de la notación, ¿está igual de bien escribir: "$$\mathbb{Z/n}$$ es un cuerpo", en lugar de "$$(\mathbb{Z/n},+,\times)$$ es un cuerpo"?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

9
Estadística / Duda sobre la frecuencia relativa.
« en: 23 Febrero, 2021, 10:27 am »
Hola.

Estoy empezando con las tablas de estadística y me ha surgido una duda,  la tabla que estoy haciendo es la siguiente:

$$\begin{array}{| c | c | c |}
\hline
x & n & N \\ \hline
1 & 2 & 2\\
2 & 1 & 3\\
3 & 1 & 4\\
4 & 2 & 6\\
5 & 2 & 8\\
6 & 1 & 9\\
7 & 1 & 10\\
8 & 2 & 12\\
9 & 2 & 14\\
10 & 1 & 15\\ \hline
\end{array}$$

Mi duda viene a la hora de calcular la frecuencia relativa, dado que, por ejemplo $$\frac{2}{15}=0.1\bar{3}$$. ¿Qué se hace con el periodo? ¿lo debo redondear?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

10
Hola.

Estaba estudiando sobre los subanillos en la web de Fernando Revilla y tengo una duda en la demostración del enunciado 1.

Cuando dice lo siguiente: $$\Rightarrow$$) Si $$B$$ es subanillo de $$A$$, entonces $$B \not = \emptyset$$ pues $$0 \in B$$. ¿Afirma esto último de $$0 \in B$$ puesto que para cualquier anillo $$A$$ se tiene que $$\{0\}$$ es subanillo de $$A$$?

Edit: Hola de nuevo, lo he seguido pensando y ahora creo que sería puesto que si $$B$$ fuera un subanillo de $$A$$ se tendría que $$(B,+)$$ es un grupo y por lo tanto $$0 \in B$$ ¿Es esto cierto?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.


11
Foro general / The hardest riddle available on the internet.
« en: 18 Febrero, 2021, 08:55 pm »
Hola.

Notpron:"The hardest riddle available on the internet" es un juego que he encontrado en internet, como el propio nombre indica es uno de los mejores enigmas de internet, consta de 138 niveles, yo solo he probado los primeros y me han parecido, como poco, ingeniosos. Lo dejo por aquí por si alguien quiere ir resolviéndolo.

Saludos.

12
Teoría de Conjuntos / Caracterización del supremo.
« en: 10 Febrero, 2021, 10:44 am »
Hola.

Estaba estudiando sobre el axioma de completitud y me he topado con la siguiente proposición, ya demostrada :

  Sea $$E\not= \emptyset$$ un subconjunto de $$\mathbb{R}$$ y $$\alpha \in \mathbb{R}$$. Entonces $$\alpha$$ es el supremo de $$E$$ si y sólo si se verifican las dos condiciones siguientes:

                                                           $$(i)$$ $$\alpha$$ es cota superior de $$E$$.

                                                           $$(ii)$$ Para cada $$\epsilon >0$$ existe $$x\in E$$ tal que $$x> \alpha - \epsilon$$.

He entendido la demostración, pero no logro ver claro el recíproco, los apuntes que estoy siguiendo dicen así:

  Supongamos que las condiciones $$(i)$$ y $$(ii)$$ se verifican. Entonces $$\alpha$$ es una cota superior, debemos probar que es menor o igual que cualquier otra cota superior. Sea entonces $$a$$ una
  cota superior, por definición debe verificar $$a \geq{x}$$ para $$x \in E$$.
 
  Tomemos ahora cualquier $$\epsilon > 0$$, por la condición $$(ii)$$ existe un $$x_{\epsilon} \in E$$ tal que $$x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$. Entonces $$a\geq{} x_{\epsilon}> \alpha- \epsilon$$;
  esto es $$\alpha < a + \epsilon$$
.

  Pero como esto es cierto para cada $$\epsilon >0$$, por la proposición anterior, se tendrá que $$\alpha \leq{a}$$, como queríamos demostrar.

¿Podría alguien por favor explicarme cómo hace para pasar de la frase en azul a la conclusión en rojo?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.
 

13
Hola.

Quiero probar la siguiente proposición:

  Sea $$n\in \mathbb{N}$$, demuestra que $$(\mathbb{Z}/n,+,\times)$$ es un anillo unitario y conmutativo.

He pensado lo siguiente:

  Sea $$n\in \mathbb{N}$$ y sea $$\left[a \right]\in \mathbb{Z}/n$$, entonces por el teorema de la división entera tenemos que $$a\in \left[0,n-1 \right]$$. Veamos entonces que $$\left[a \right] \times
  \left[1 \right]=\left[a \times 1 \right]=\left[1 \times a \right]=\left[a \right]$$. 
  Luego existe elemento neutro, $$\left[1 \right]$$, para la operación $$\times$$ y por lo tanto $$(\mathbb{Z}/n,+,\times)$$ es un anillo unitario.

Para ver si es un anillo conmutativo he hecho lo siguiente:

  Sea $$n\in \mathbb{N}$$ y sean $$\left[a \right],\left[b \right]\in \mathbb{Z}/n$$, entonces por el teorema de la división entera se tiene que $$a,b \in \left[0,n-1 \right]$$. Veamos entonces que
  $$\left[a \right] \times \left[b \right]=\left[a \times b\right]$$ y por ser el producto, entre enteros no negativos, conmutativo, se deduce que $$\left[a \right] \times \left[b \right]=\left[a \times
  b\right]=\left[b \times a\right]=\left[b \right] \times \left[a \right]$$.
  Puesto que la operación $$\times$$ es conmutativa, se tiene que $$(\mathbb{Z}/n,+,\times)$$ es un anillo conmutativo.

¿Podría alguien, por favor, decirme si esto es correcto?

Gracias de antemano.

Saludos.

14
Foro general / Alternativa al software Wolfram Mathematica.
« en: 08 Febrero, 2021, 10:59 am »
Hola.

Estaba buscando una alternaiva que fuera bastante similar a Wolfram Mathematica pero que sea de uso libre.

¿Conoce alguien algún software así?

Gracias de antemano.

Saludos.

15
Estructuras algebraicas / Demuestra que $$(-1)\times a=(-a)$$
« en: 21 Enero, 2021, 12:44 pm »
Hola.

Quiero demostrar que siendo $$(A,+,\times)$$ un anillo unitario, para todo $$a\in A$$ se verifica que $$(-1)\times a=(-a)$$.

Yo lo he intentado hacer partiendo de $$(-1)\times a + (-((-1)\times a))=0$$ y de ahí se tendría que $$(-1)\times a + (-((-1)\times a))=a+(-a)=(-a)+a$$ y pretendía concluir teniendo en cuenta que $$(A,+)$$ es un grupo y todo elemento de un grupo es regular. Sin embargo no sé si puedo afirmar que $$(-((-1)\times a))=a$$ porque eso sería usar lo que quiero demostrar, ¿no?

¿Podría alguien, por favor, darme alguna otra idea para empezarlo?

Gracias de antemano.

Saludos.

16
Hola.

Tengo que resolver la ecuación que he dejado en el enunciado. Yo lo he hecho así:

  Sea $$(G,*)$$ un grupo conmutativo y sean $$a,b,c \in G$$. Puesto que en un grupo todo elemento tiene simétrico, tomamos el simétrico de $$b$$,$$b^s$$ y ponemos $$x_0=b^s$$; entonces se tiene
  que,  $$a*b*x_0*x_0*c=a*b*b^s*b^s*c=a*(b*b^s)*b^s*c=(a*e)*b^s*c=a*b^s*c$$ Y puesto que $$(G,*)$$ es un grupo conmutativo se tiene que $$a*b^s*c=(a*b^s)*c=(b^s*a)*c=b^s*
  (a*c)=b^s*(c*a)=(b^s*c)*a=(c*b^s)*a=c*b^s*a.$$


Luego $$x_0$$ es solución de la ecuación.

Mi duda es, ¿tengo que demostrar que la solución es única para dar por resuelta la ecuación?

Gracias de antemano.

Saludos.

AÑADIDO.(Gracias Luis)

17
Hola.

Quiero probar la proposición del enunciado. Lo he intentado hacer así

  Sea $$(G,*)$$ un grupo y sean $$a,b \in G$$. Supongamos que todo elemento es el simétrico de sí mismo, entonces por la definición de elemento simétrico se tiene que $$a*a=e$$ y que $$b*b=e$$
  de donde $$a*a=b*b$$, ahora por ser $$*$$ aplicación se tiene que $$b*a*a=b*b*b$$ y por la propiedad asociativa $$(b*a)*a=(b*b)*b$$ una vez más por ser $$*$$ aplicación $$(b*a)*a*a=
  (b*b)*b*a$$
  de donde deducimos mediante la propiedad asociativa que $$b*a=b*a$$.

No soy capaz de llegar a que el grupo es conmutativo ¿Podría alguien, por favor, decirme en qué estoy fallando?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

18
Hola.

Tengo el siguiente enunciado:

  Dado un conjunto $$A$$, sea $$T(A)$$ el conjunto de las aplicaciones biyectivas $$f:A\longrightarrow{A}$$. Demuestra que $$T(A)$$ con la operación $$f*g=f\circ{g}$$ es un grupo.

He pensado la siguiente demostración:

Sean $$f,g,h \in T(A)$$ y $$x \in A$$, entonces se tiene que $$\color{red}(f\circ g)\circ h (x)=f\circ g (h(x))=f(g(h(x)))$$ y que $$\color{red}f\circ (g\circ h) (x)=f\circ( g (h(x)))=f(g(h(x)))$$. De donde deducimos que $$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$$, luego $$(f*g)* h=f*(g*h)$$  y por lo tanto $$(T(A),*)$$ es un semigrupo.

Sean $$f,i_A \in T(A)$$ y $$x \in A$$  entonces se tiene que $$\color{red}f\circ{i_A} \ (x)=f(i_A(x))=f(x)$$ y que $$\color{red} i_A\circ{f} (x)=i_A(f(x))=f(x)$$. Luego $$\color{red}f \circ i_A=f$$ y $$\color{red} i_A \circ f=f$$Puesto que para todo $$f \in T(A)$$ se tiene que $$f*i_A=i_A*f=f$$ concluimos que $$i_A$$ es el elemento neutro respecto a *.

Sea $$f \in T(A)$$ y $$x \in A$$ puesto que $$f$$ es biyectiva, existe su inversa, entonces se tiene que $$\color{red}f\circ f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))=x=i_A(x)$$ y  que $$\color{red}f^{-1}\circ f (x)=f^{-1}(f(x))=x=i_A(x)$$. Luego $$f \circ f^{-1}=i_A$$ que es el elemento neutro de $$(T(A),*)$$ y por lo tanto $$f^{-1}$$ es el simétrico de $$f$$. Puesto que todo elemento de $$T(A)$$ es una aplicación biyectiva, se tiene que todo elemento de $$T(A)$$ tiene simétrico.

Concluímos que $$(T(A),*)$$ satisface la definición de grupo.

Esto último lo he hecho suponiendo que para $$x \in A$$ es $$f(x)=x$$ ya que en el enunciado no se especificaba. ¿Podría alguien, por favor, decirme si esto está bien?

Muchas gracias de antemano.

Saludos.

CORREGIDO

19
Estructuras algebraicas / Problema sobre el elemento neutro.
« en: 14 Enero, 2021, 03:11 am »
Hola.

Tengo el siguiente problema que consta de dos apartados:

  Sea $$(\mathbb{Z},*)$$ con la operación definida por $$x*y=x-y$$. Demuestra que existe un elemento $$e \in \mathbb{Z}$$ tal que para todo $$x \in \mathbb{Z}$$ es $$x * e=x$$. Demuestra que no
  existe elemento neutro.

Para el primer apartado he hecho lo siguiente: Sea $$x \in \mathbb{Z}$$, entonces se tiene que $$x*0=x-0=x$$. Luego concluimos que para todo $$x \in \mathbb{Z}$$ existe $$0 \in \mathbb{Z}$$ que satisface que $$x*0=x$$.¿ Está esto bien así?

Para el segundo apartado estoy teniendo problemas para demostrar que algo no existe¿ puede alguien por favor darme alguna idea?

Muchas gracias de antemano. Saludos.

20
Hola.

Estaba dibujando los subgrafos $$K_3$$ y me preguntaba si existe alguna forma de calcular el número de subgrafos de un grafo cualquiera $$G=(V,A)$$.

Gracias de antemano. Saludos.

Añadido: He seguido pensando y se me ha ocurrido que podría ser algo así:

Como un subgrafo puede no tener aristas una manera de determinar el número de formas de tomar los vértices sería así: Sea $$G=(V,A)$$ con $$|V|=n$$, luego el número de subgrafos sin aristas de $$G$$ sería 

$$C_n^1+C_n^2+C_n^3 + \cdots + C_n^{n-1} +1=2^{|n|}-1.$$

Pero claro luego están todo los subgrafos que tienen aristas, ¿ tiene alguien alguna idea de como se podría calcular esto?

Páginas: [1] 2 3