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Temas - JordiMath

Páginas: [1] 2
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Topología (general) / Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 25 Marzo, 2021, 11:34 pm »
Según la definición que veo en Topología de Carlos Ivorra (página 116), un espacio uniforme \( X \) es totalmente acotado si para toda banda \( V \) de \( X \) existe un subconjunto finito \( A\subset{X} \) tal que \( X=V[A] \), que no es más que cubrir todo el espacio con bolas de radio \( V \) y centro en un número finito de puntos.

Pero si por ejemplo \( X=(0,1) \) en \( \mathbb{R} \) y \( V \) es la banda diagonal entonces para cubrir todo el espacio necesitaríamos tantas bolas como puntos, ¿no? Y hay infinitos puntos en el intervalo. Pero entonces no se cumpliría la definición para toda banda \( V \) de \( X \), ¿no?

2
En la página 98 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone la demostración del siguiente teorema:

Sea \( \{X_i\}_{i\in{I}} \) una familia de espacios topológicos compactos. Supongamos que I admite un buen orden y que, si I es infinito, existe una función de elección sobre el conjunto de todos los cerrados en todos los espacios \( X_i \). Entonces el producto \( X=\prod_{i\in{I}}X_i \) es compacto.

La demostración es un poco larga y parece un poco compleja y prefiero asegurar que lo estoy entendiendo bien. Supongo que plantearé alguna duda más, pero de momento expongo las que tengo:

1. Se habla del conjunto \( \mathbb{P}=\bigcup_{\beta\leq{\alpha}}X^{\beta} \), donde \( \beta,\alpha \) son ordinales. Tal como lo entiendo, si por ejemplo \( \alpha \) es el ordinal 3, ¿entonces \( \mathbb{P}=X\cup{X^2}\cup{X^3} \)?

2. Luego se define la altura de un \( p\in{\mathbb{P}} \) como el único ordinal \( \beta\leq{\alpha} \) tal que \( p\in{X^{\beta}} \). Entonces, entiendo que si p es un elemento de \( X^2 \) su altura es 2, ¿no?

3. Luego se define \( M(p)=\{x\in{X}|p\subset{x}\} \). Esto lo interpreto como que, por ejemplo, si \( p\in{X^2} \) y p=(a,b) y \( x\in{X^3} \), entonces M(p) son todos los puntos tipo \( (a,b,x_3) \). ¿Es así?

3
Topología (general) / Espacios compactos (Kuratowski)
« en: 20 Marzo, 2021, 09:14 pm »
En la página 101 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone el ejemplo de la función \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\begin{cases}1/x &\mbox{si }x\neq{0}\\0 &\mbox{si }x=0\end{cases} \)
es discontinua, pero su gráfica es cerrada.

El teorema 4.19 dice si \( f:X\longrightarrow{Y} \) es una aplicación entre espacios topológicos donde Y es de Hausdorff y compacto, entonces f es continua si y solo si es cerrada como subconjunto de \( X\times{Y} \).

Entiendo que al no cumplirse el requisito de la compacidad de Y (que en este caso es \( \mathbb{R} \)), entonces puede no darse la continuidad de f aunque ésta sea cerrada. ¿Es correcto?

4
Topología (general) / Producto de espacios compactos
« en: 20 Marzo, 2021, 08:59 pm »
En la página 97 del libro Topología de Carlos Ivorra se demuestra que \( \prod_{i\in{I}}X_{i}\neq{\emptyset} \) equivale al axioma de elección.

Para ello se construye un espacio topológico \( Y_{i}=X_{i}\cup{\{p\}} \), donde p es cualquier conjunto que no esté en \( \bigcup_{i\in{I}}X_{i} \), con la topología que tiene por cerrados a \( Y_{i} \), \( X_{i} \) y los conjuntos finitos. Y se dice que esa topología no es de Hausdorff si \( X_{i} \) es infinito. ¿Por qué?

5
Teoría de Conjuntos / Axioma de elección
« en: 15 Marzo, 2021, 03:06 pm »
Leo en el libro Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra (página 141), que una relación R en un conjunto A está bien fundada si y solo si no existe ninguna sucesión \( \{x_n\}_{n\in{\omega}} \) de elementos de A tal que \( \wedge{n}\in{\omega} \quad x_{n+1}Rx_n \)

Y posteriormente, en la demostración, si no lo entiendo mal, se dice que si se cumplen las hipótesis del principio de elecciones dependientes entonces la relación no está bien fundada.

Entonces, ¿ello significa que la relación expuesta en el principio de elecciones dependientes no está bien fundada? ¿Lo estoy entendiendo correctamente?

6
Topología (general) / Espacios conexos
« en: 12 Marzo, 2021, 06:05 pm »
Un par de dudas sobre conexión del libro de Topología de Carlos Ivorra.

En el ejemplo A.19 (pág. 485) se expone el ejemplo del seno del topólogo, que es el subespacio \( X \) de \( [0,1]^2 \) donde los segmentos verticales tienen como primera coordenada igual a 1/n para n=1,2,3... \( X \) es un subespacio arcoconexo pero su clausura \( \overline{X} \) no lo es.

Para entender el fondo del tema, hablando en términos coloquiales, podemos decir que \( \overline{X} \) no es arcoconexa porque la “serpiente” que representa la gráfica de \( X \) no tiene lugar de conexión cierto con el segmento {0}x[0,1]. Es decir, que puede “conectar” por cualquier \( y\in{[0,1]} \). Lo mismo sirve para que \( \overline{X} \) no sea localmente conexa. Pero no obstante, \( \overline{X} \) sí es conexo. ¿El motivo es que el segmento {0}x[0,1] no es un abierto?

Es decir, un espacio \( \overline{X} \) no es conexo si hay dos abiertos (y cerrados) disjuntos A y B tal que \( \overline{X}=A\cup{B} \). En este sentido, si consideramos \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) y \( B=X \), entonces \( \overline{X}=A\cup{B} \) pero A no es abierto, con lo que no cumple la definición de espacio disconexo, con lo que es conexo. ¿Es así?

El segundo ejemplo es el A.22 (pág. 486), que es el espacio \( X \) formado por los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) para n=1,2,3... junto con \( ([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \), en que las componentes conexas no coinciden con las cuasicomponentes.

Está claro que las componentes conexas de este espacio son los abiertos cerrados:
\( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
\( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
\( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

pero no entiendo cuando se dice que \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \) es una cuasicomponente y se argumenta del siguiente modo:
Si U es un abierto cerrado en \( X \) que contiene, por ejemplo, a (0,0), tiene que contener a todos los segmentos conexos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \). ¿Qué tiene que ver esto con que Q sea una cuasicomponente?

Si una cuasicomponente de x es la intersección de todos los abiertos cerrados que contienen a x, ¿por qué Q es una cuasicomponente? Me refiero a que, por ejemplo, \( (0,0)\in{B} \) y también \( (0,0)\in{Q} \) pero \( B\cap{Q}=B \), y ello no encaja con que Q sea una cuasicomponente.

7
Topología (general) / Conjuntos Gδ y Fσ
« en: 10 Enero, 2021, 11:42 pm »
Según veo en el libro de Topología de Carlos Ivorra (pág. 306 a 308) en un espacio metrizable un conjunto \( G_{\delta} \), que es intersección numerable de abiertos, es un conjunto cerrado.

Por otro lado, el conjunto \( F_{\sigma} \), que es unión numerable de cerrados, entiendo que es abierto en un espacio metrizable, dado que en la página 308 se dice que A es \( G_{\delta} \) en M y se construye el conjunto \( M\setminus{A} \) precisamente como unión numerable de cerrados.

También se dice que \( \mathbb{Q} \) es \( F_{\sigma} \) en \( \mathbb{R} \), por ser unión numerable de cerrados. Luego entiendo que \( \mathbb{Q} \) es abierto en \( \mathbb{R} \). Por tanto, \( \mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}} \) es cerrado, luego es \( G_{\delta} \), porque todo cerrado en un espacio metrizable es \( G_{\delta} \).

¿Es correcto?

8
Topología (general) / Conjunto cerrado en R^2
« en: 07 Enero, 2021, 11:23 pm »
Leo en el libro de Topología de Ivorra, página 60, que el conjunto \( C=\{(x,y)\in{\mathbb{R}^2}|xy=1\} \) es un espacio completo porque es cerrado en \( \mathbb{R}^2 \).

¿Por qué es cerrado en \( \mathbb{R}^2 \)?

Está claro que C es el conjunto de todos los puntos de \( \mathbb{R}^2 \) excepto los puntos tipo (x,0) y (0,y). Si tomamos la topología producto, el conjunto (x,0) es el conjunto de la forma \( p_2^{-1}[\{0\}] \) pero {0} no es abierto en \( \mathbb{R} \). Y lo mismo sucede con el conjunto (0,y), que es el conjunto de la forma \( p_1^{-1}[\{0\}] \) pero {0} no es abierto en \( \mathbb{R} \). ¿No sería entonces C un conjunto igual a \( \mathbb{R}^2 \) menos dos conjuntos cerrados y, por tanto, C sería abierto?

Aclaración: cuando digo que C es el conjunto de todos los puntos de \( \mathbb{R}^2 \) no me refiero a que sean todos los puntos tipo (x,y) sino todos los puntos tipo (x,1/x) e (1/y,y) pero como todo punto de \( \mathbb{R}^2 \) tiene inverso excepto el 0, C acaba resultando ser todo \( \mathbb{R}^2 \) menos aquellos puntos que tienen una coordenada (o ambas) igual a 0.

9
Topología (general) / Espacios de Baire
« en: 06 Enero, 2021, 06:53 pm »
En el libro de Topología de Carlos Ivorra, en la página 40, teorema 1.67, se dice:

Todo \( G_\delta \) denso y todo abierto en un espacio de Baire es un espacio de Baire.

¿Qué concepto es \( G_\delta \)?

10
Topología (general) / Ejemplo de identificación
« en: 02 Enero, 2021, 07:44 pm »
En la página 31 del libro de Topología de Carlos Ivorra se expone un ejemplo de identificación que es una aplicación ni abierta ni cerrada.

La aplicación es:
\( f:[0,2]\cup]3,5]\longrightarrow{[0,3]} \) definida por:

\( f(x)=x \) si \( 0\leq{x}\leq{2} \)
\( f(x)=x-2 \) si \( 3<x\leq{5} \)

Entiendo que \( [0,2] \) es abierto cuya imagen, que es \( [0,2] \), no es abierta. Y entiendo que la imagen de \( ]3,5] \), que es ]\( 1,3] \), no es cerrada. Pero no veo por qué \( ]3,5]  \)es cerrado.

Luego tampoco entiendo la definición de \( g \):
\( g:[0,3]\longrightarrow{X/R_f} \) tal que:
\( g(t)=[t] \) si \( 0\leq{t}\leq{1.5} \)
\( g(t)=[t+2] \) si \( 1.5\leq{t}\leq{3} \)

¿Por qué se toma el valor \( 1.5 \)? ¿Cuándo \( t \) vale \( 1.5 \), \( g \) toma dos valores distintos?

Luego se habla de componer \( g \) con una función \( \bar{f} \) de forma que la composición da la identidad. ¿Cuál sería esa función \( \bar{f} \) en este caso?

11
Topología (general) / Estructuras uniformes
« en: 27 Diciembre, 2020, 07:36 pm »
En el libro Topología de Carlos Ivorra, página 339, se habla de las uniformidades izquierda, derecha, superior e inferior de un grupo topológico G:
\( \mathcal{U}_{G}^{i} \)
\( \mathcal{U}_{G}^{d} \)
\( \mathcal{U}_{G} \)
\( \mathcal{U}_{G}^{id} \)

con sus correspondientes bases:
\( V_{U}^{i}=\{(x,y)\in{G\times{G}}|x^{-1}y\in{U}\} \)
\( V_{U}^{d}=\{(x,y)\in{G\times{G}}|xy^{-1}\in{U}\} \)
\( V_{U}=\{(x,y)\in{G\times{G}}|x^{-1}y\in{U},xy^{-1}\in{U}\} \)
\( V_{U}^{id}=\{(x,y)\in{G\times{G}}|\exists{u,u’}\in{U}\ xu=u’y\} \)

En la página 340 se afirma:
1. \( \mathcal{U}_{G} \) es la menor uniformidad en G que contiene a \( \mathcal{U}_{G}^{i}\cup{\mathcal{U}_{G}^{d}} \)
2. \( \mathcal{U}_{G}^{id} \) es la mayor uniformidad en G contenida en \( \mathcal{U}_{G}^{i}\cap{\mathcal{U}_{G}^{d}} \)

En la demostración se dice que \( V_{U}=V_{U}^{i}\cap{V_{U}^{d}} \) (obvio), de donde se sigue inmediatamente la primera afirmación. ¿Por qué? ¿Cómo puede ser que la intersección contenga a la unión?

¿La relación entre las bases no sería esta?
\( V_{U}^{i}\cap{V_{U}^{d}}=V_{U}\subset{V_{U}^{i}\cup{V_{U}^{d}}\subset{V_{U}^{id}}} \)

Pero por lo que entiendo del texto, las uniformidades parece como si fueran a la inversa, así:

\( \mathcal{U}_{G}^{id}\subset{\mathcal{U}_{G}^{i}\cap{\mathcal{U}_{G}^{d}}\subset{\mathcal{U}_{G}^{i}\cup{\mathcal{U}_{G}^{d}}=\mathcal{U}_{G}}} \)

12
Topología (general) / Topología cofinita
« en: 20 Diciembre, 2020, 11:15 pm »
En un conjunto infinito con la topología cofinita hay sucesiones que convergen a todos los puntos del espacio. ¿Algún ejemplo de sucesión en que suceda eso?

13
Topología (general) / Topología producto
« en: 18 Diciembre, 2020, 11:08 pm »
Tengo alguna duda con la topología producto. Expongo lo que creo entender.

Veo que hay la topología de cajas, que es el producto de abiertos. Digamos que en \( \mathbb{R}^{2} \) si consideramos el abierto ]1,2[ en el eje x y el abierto ]1,2[ en el eje y, el producto sería el rectángulo con vértices (1,1),(1,2),(2,1),(2,2).

En la topología producto, tomando el mismo ejemplo, sería el producto entre la banda infinita que tiene por proyección en x el intervalo abierto ]1,2[ con cualquier valor de y con la banda infinita que tiene por proyección en y el intervalo abierto ]1,2[ con cualquier valor de x. Evidentemente esas dos bandas se cruzan en el mismo rectángulo que en la topología por cajas, con lo que si hay un número finito de factores del producto, la topología producto y la topología por cajas coinciden.

En algún momento del libro de topología se dice que eso cambia si hay infinitos factores en el producto y entonces la topología por cajas no se comporta bien. También leo (página 16) que en un producto infinito, el producto de infinitos abiertos tiene interior vacío. ¿Por qué?

14
Topología (general) / Duda libro Topología de Carlos Ivorra
« en: 15 Diciembre, 2020, 08:59 pm »
En la página 484 del libro Topología de Carlos Ivorra se muestra el ejemplo A.18.

Se define una base de una uniformidad \( U \) en \( X \) mediante unos conjuntos V para cada sucesión finita \( x_{1},...,x_{n} \) de puntos de X tal que V es la banda diagonal \( \triangle{} \) unido al conjunto \( X\times{X} \), pero en este último conjunto no se incluyen aquellos pares de puntos en los que intervienen los puntos de la sucesión finita \( x_{1},...,x_{n} \)

Veo sin dificultad que esta base induce la topología discreta pero no entiendo cuando luego se dice en el ejemplo que \( \triangle{\not\in{U}} \).

¿Precisamente no se definen los conjuntos V de forma que incluyen la banda diagonal como uno de sus elementos?

15
Teoría de Conjuntos / Clausura transitiva
« en: 28 Noviembre, 2020, 02:21 pm »
¿La clausura transitiva del conjunto \( x=\{\{\emptyset\}\} \) es el conjunto \( y=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \)?

Entiendo que a la clausura transitiva del conjunto x pertenecen los elementos de x y los elementos de los elementos de x, por eso entiendo que es y.

En el mismo sentido, ¿la clausura transitiva de y es el propio y?

16
Teoría de Conjuntos / Axioma de elección
« en: 14 Noviembre, 2020, 11:10 pm »
Libro “Lógica matemática” de Carlos Ivorra, página 439.

Al demostrar el teorema “Un conjunto es D-infinito si y sólo si es infinito” se construye la función de elección \( f: P^{cf}x\rightarrow{x} \) y en base a esta función se define por recurrencia \( H(n)=f(x\setminus{H[n]}) \) llegando a la conclusión que H es inyectiva porque cada H(n) es un elemento de x distinto de todos los anteriores H(i) con i<n.

No veo la inyectividad de f. Si x es infinito, ¿el conjunto de partes de x de complementario finito no sería también un conjunto infinito no numerable como lo es el conjunto de partes de x? Es decir, f no podría ser inyectiva y por tanto podría haber f(a)=f(b) para \( a\neq{b} \). Y si f no fuese inyectiva, no podría serlo H, ¿no?

¿O acaso el conjunto \( P^{cf}x \) puede biyectarse con x?

17
Lógica / Formalización de la lógica en NBG*
« en: 07 Noviembre, 2020, 10:20 pm »
Libro “Lógica matemática” de Carlos Ivorra. Página 402.

Al explicar la formalización de la lógica en NBG* se expone el “obstáculo insalvable en NBG* si tratamos de definir una fórmula \( V\vDash\alpha[v] \)”.

¿El obstáculo insalvable se debe a que NBG* está restringido a fórmulas primitivas?

18
Teoría de Conjuntos / Teoría de conjuntos ZF*
« en: 05 Noviembre, 2020, 08:34 pm »
Veo en el libro de Lógica matemática de Carlos Ivorra, en que se habla de la teoría de conjuntos ZF* que se dan diversas versiones del axioma de reemplazo.

La versión que se incorpora como axioma oficial a la teoría es aquella en que la condición previa de la implicación es de la forma \( (Φ(x,y)\wedgeΦ(x,z)\rightarrow{y=z}) \)

mientras que en las dos versiones alternativas la condición previa de la implicación es de la forma
\( \vee^{1}yΦ(x,y) \)

En el texto se dice que el axioma original implica los dos alternativos pero no sucede a la inversa, que en los alternativos hay que añadir como axioma adicional la existencia del conjunto vacío.

¿Ello se debe a la unicidad de la existencia de y en las dos versiones alternativas? ¿Al postular que realmente existe un y, hay que incorporar la posibilidad de que haya un y vacío?

Mientras que en el axioma oficial al no establecerse esa existencia única, ya cabe la posibilidad de que y no exista y sea el conjunto vacío. ¿Es así?

En la página siguiente se habla de un modelo con un solo elemento a tal que a={a}, del que se dice que cumple las versiones alternativas del axioma de reemplazo pero no el axioma del conjunto vacío ni el esquema de especificación. Entiendo que no cumple el axioma del conjunto vacío porque en el modelo no existe el conjunto vacío. ¿Por qué cumple la versión alternativa del axioma de reemplazo y no el esquema de especificación?

19
Lógica / Aritmética de Peano de segundo orden
« en: 03 Noviembre, 2020, 11:20 pm »
Veo que en \( AP_{2} \) se crean conjuntos del tipo \( A_{n}\equiv{\{m|<n,m>∈A\}} \)

Entiendo pues que, por ejemplo, \( A_{0}\equiv{\{m|<0,m>∈A\}} \)
\( A_{1}\equiv{\{m|<1,m>∈A\}} \)

y así sucesivamente. Y A está formado por conjuntos de tipo \( A_{n} \). Pero con esta definición ningún conjunto sería vacío pues A tendría al menos un elemento.

Para evitar eso se define \( A^{+}=\{n|n+1∈A\} \) con \( 0∈A \)

Así pues, \( A\equiv{\{0\}\cup{\{n+1|n∈A^{+}\}}} \)

Y luego se dice que A es el conjunto de conjuntos cuyos elementos son los de \( A^{+}_{n} \) con \( 0∈A \)

Preguntas:

1. ¿Qué es realmente \( A^{+}_{n} \)?

2. ¿Cómo evitamos así que ningún conjunto A sea vacío?

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Lógica / Σ₁ completitud de Q
« en: 26 Octubre, 2020, 05:09 pm »
Según la \( Σ_{1} \)-completitud de Q, si una sentencia \( Σ_{1} \) es verdadera en ℕ, es demostrable en Q.

Por otro lado, toda teoría axiomática semirrecursiva T, que se cumple en ℕ, tiene una sentencia \( Σ_{1} \) o \( Π_{1} \), verdadera en ℕ, no demostrable ni refutable en T. Llamemos a esto “miniteorema de incompletitud de Gödel”.

Por lo primero, si tomamos una sentencia verdadera en ℕ, del tipo \( \exists{x}α \), con \( α \) de tipo \( Δ_{0} \), es demostrable en Q, por ser \( Σ_{1} \).

Por tanto, en Q, las únicas sentencias, verdaderas en ℕ, no demostrables serían del tipo \( \forall{x}α \), con \( α \) de tipo \( Δ_{0} \).

Pero esta sentencia sí sería refutable en Q. Es decir, si resultara que esta sentencia es falsa en ℕ, significaría que es cierto que \( ¬\forall{x}α \), con \( α \) de tipo \( Δ_{0} \), lo cual es lo mismo que \( \exists{x}¬α \), que sería una sentencia verdadera en ℕ, de tipo \( Σ_{1} \) y, por tanto, demostrable en Q.

Así pues, si hablamos de Q, el “miniteorema de incompletitud de Gödel” del segundo párrafo quedaría simplificado a:

En la teoría axiomática Q, que se cumple en ℕ, hay al menos una sentencia \( Π_{1} \), verdadera en ℕ, no demostrable en Q.

Dos preguntas:

1. ¿Sería correcto este planteamiento?

2. ¿Este sería el máximo nivel de completitud al que podemos llegar en una teoría axiomática semirrecursiva?

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