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Temas - athairdos

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Complemento ortogonal
« en: 14 Agosto, 2022, 04:40 am »
Hola; tengo varias dudas sobre los temas de proyeccion ortogonal, ortogonalizacion y complemento ortogonal; por ahora haria la.siguiente pregunta:

Dado un espacio \( V_{n} \) y un subespacio del mismo de dimension \( m \): \( S_{m} \); dada en este subespacio alguna base \( \left\lbrace u_{0}, ..., u_{m}\right\rbrace \), luego:

Si se obtiene para \( S_{m} \) un conjunto de \( m \)-vectores ortogonales, entonces:

1-Suponiendo que ese conjunto obtenido tenga dimension \( m \), entonces es dicho conjunto el llamado complemento ortogonal de \( S_{m} \)?

2-los.elementos.del.conjunto obtenido son ortogonales a todos los.vectores de \( S_{m} \)?

Gracias

2
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Autovectores
« en: 16 Julio, 2022, 10:44 pm »
Hola; tengo unas dudas sobre autovectores generalizados, en relacion a una matriz de un ejercicio (o ejemplo) del libro de Hoffman-Kunze. La matriz es \( \begin{bmatrix}3&1&-1\\2&2&-1\\2&2&0\end{bmatrix} \).

Lo que obtengo es que uno de los autovalores (\( \lambda=2 \)) es de multiplicidad geometrica 1 y multiplicidad algebraica 2; luego, el conjunto obtenido de autovectores no alcanza para generar el span del espacio vectorial (en el que actua la matrix que es \( 3\times{3} \)); a saber el espacio propio del autovector correspondiente al autovalor 2  (de multiplicidad algebraica 2) tiene dimension=1.

Luego, he calculado los autovectores generalizados y he obtenido que hay 2 de estos. Entonces, suponiendo que lo anterior fuera correcto (despues puedo escribir las ecuaciones que he obtenido en el procedimiento), me queda la duda de si el completamiento del espacio propio en cuestion se puede obtener eligiendo un vector (autovector generalizado) de entre 2 vectores distintos (?); y por otro lado, de si de tales elecciones surgirian 2 matrices \( P \) distintas entre si, tales que \( P^{-1}AP \) sea semejante (para cualquiera de las dos) a la matrix inicial (\( A \))(?).

Bueno, gracias de antemano, un saludo

3
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Polinomio minimo
« en: 01 Junio, 2022, 06:42 am »
Hola; tengo la siguientr duda sobre polinomio minimo; suponiendo una matriz diagonal D en un espacio de dimension 3, es correcto lo siguiente:

Se calculan las potencias de  D y se escribe la ecuación polinomica \( c_{0}I+c_{1}D+c_{2a}D^{2}=D^{3} \)

De ahi se deduce un sistema de exuaciones que se puede resolver por el metodo de la mateiz inversa y se obtiene el vector \( (c_{0}, c_{1}, c_{2}) \); con lo cual se puede escribi r el polinomio \( p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2} \)

Es esto correcto?. Gracias

4
Estructuras algebraicas / Lugar geometrico de xy=0
« en: 23 Mayo, 2022, 01:57 am »
Hola; tengo la siguiente duda sobre una pregunta del libro;
 
"Cual es el lugar geometrico representado por la ecuacion (del producto de ideales principales, segun entiendo, por los incisos siguientes se la misma pregunta) \( xy=0 \) en \( \mathbb{R^{3}} \)?"

Para \( x=0 \) y para \( y=0 \); cada una representa, como lugar geometrico, un plano/hiperplano en el espacio? Entonces, la respuesta sobre el lugar geometrico del producto de ideales ppalew se puede "conectar" con lo anterior?

Si me pueden orientar al respecto, cómo avbordar el tema, estudiar el tema, etc agradezco mucho.

Saludos

5
Lugares Geométricos / Ecuación de un cono y secciones
« en: 21 Mayo, 2022, 05:10 am »
Hola; tengo unas dudas sobre el concepto de secciones cónicas que trataré de expresar aquí;

Suponiendo que la ecuación (canónica) de un cono es dada.como \( x^{2}+y^{2}-z^{2}=0 \), entonces las dudas, que apuntan a una cuestión (parcialmente) geométrica digamos, serían:

Es correcto interpretar, a partir de dicha ecuación, la existencia de una familia de formas (afines) definidas positivas (la parte \( x^{2}+y^{2}=1 \) ó \( x^{2}+y^{2}=k \) de la ecuación) como conjunto de formas elípticas "parametrizadas" por la variable \( z \): a saber, en tanto \( z=k \) determina un plano (de corte?) y, así, una forma (afin) definida positiva en las variables \( x \) e \( y \), el tomar infinitos.valores para \( z=k_{i} \) resultaria en un lugar comsistente en un cono (con centro en el eje \( z \) de \( \mathbb{R^{3}} \))?

Si lo anterior fuera acertado (?), me.quedarian unas dudas "geométricas" respecto de la determinación de formas semidefinidas (hiperbólicas).

Gracias; saludos

6
Estructuras algebraicas / Anillos cociente Z/nZ
« en: 03 Mayo, 2022, 08:30 pm »
Hola; tengo la siguiente duda;

Para los enteros-módulo-n se tienen anillos cociente \( \mathbb{Z/nZ} \); asumiendo que para un entero n es posible tomar un ideal principal \( (n) \) y formar el cociente; mi duda tiene 3 partes:

1-es posible considerar ideales para (o a partr de 2 (enteros) generadores de/en \( \mathbb{Z} \)? Algo así como: \( (n_{1}, n_{2}) \)?

2-si lo anterior fuera posible, entiendo que se puede considerar el anillo cociente para el ideal con 2 generadores (?).

3-las clases residuales del anillo cociente del punto anterior, serian (todas) coincidentes (o isomorfas, tal vez) con el anillo cociente (completo) definido por el ideal principal dado para uno sólo de los generadores (por ej. \( \mathbb{Z/n_{1}\mathbb{Z}} \))?

Gracias; saludos

7
Geometría y Topología / Conjunto solución
« en: 21 Marzo, 2022, 06:21 pm »
Hola; tengo la siguiente duda; para una ecuación como \( X^{2}+Y^{2}-2Z^{2}=0 \) en un plano proyectivo; es correcto el siguiente conjunto como conjunto solución:

\( \left \lbrace (0, 0, 0); \lambda(\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{2}); \lambda(2, 2, 2) \right\rbrace \) ?

Gracias; saludos

8
Geometría y Topología / Definición de recta proyectiva
« en: 20 Marzo, 2022, 10:05 pm »
Hola; tengo un par de dudas a partir de unas preguntas y respuestas sobre una definicion de recta proyectiva; a raiz de una lectura del libro de Reid.

Mas o menos, serían así:

Dada la ecuación \( X^{2}+Y^{2}=1 \) para un plano \( \mathbb{P^{2}} \), sería correcto afirmar que el conjunto solución de la misma es una recta \( \mathbb{P^{1}} \)?

La dimensión del conjunto solución tendría que ser coincidente con la de \( \mathbb{P^{1}} \)?

Gracias; saludos

9
Hola; tengo unas dudas sobre unas cuestiones bastante básicas.

Para una ecuación (lineal y homogenea) tal como \( ax+by+cz=0 \):

1-es correcto decir que se trata de un polinomio (lineal) \( p(x, y, z)=0 \) en un anillo polinomico en 3 imdeterminadas (digamos \( K(x, y, z) \))?

2-la solución de dicha ecuación genera un ideal principal (en tanto involucta al conjunto solución del polinomio en cuestión: conjunto donde el polinomio se anula)?

3-dicho conjunto solucion es una variedad lineal (de dimension 1)?

4- puesto que el subespacio representado por la ecuación \( ax+by+cz=0 \) corresponde a un plano en \( \mathbb{R^{3}} \) ( o en general, a un hiperplano de dimension \( n-1 \) para una ecuacion (lineal y homogenea) analoga en \( n \) indeterminadas) y, suponiendo que el subespacio en cuestión correspondiese a un ideal (y la variedad lineal correspondiente), entonces: ¿cómo se relacionan el concepto de base para el subespacio \( n-1-dimensional \), digamos \( V_{n-1} \), por un lado; y el concepto de ideal (y variedad)?

Es decir, suponiendo que todos los puntos anteriores fueran correctos: si la solucion de un polinomio (lineal) \( p(x, y, z) \) para la ecuacion \( p(x, y, z)=0 \) pertenece a un ideal \( C \) (un ideal principal? con un unico generador?) por un lado; y por otro lado se tiene que dicha solucion es un subespacio vectorial (de dimension \( 2 \), en este caso), de modo que admite una base de 2 vectores linealmente independientes; entonces existe una relacion entre el ideal (y/o la variedad lineal) y la base del espacio vectorial?

Gracias; saludos.




10
Hola; tengo dudas sobre una explicacion del libro; en la seccion de Anillo Cociente, expone un teorema que dice lo sgte:"En un anillo conmutativo, el anillo cociente sera un dominio si el ideal es primo;  y sera un campo si el ideal es maximal".

En la demostracion de la 2da parte, aparece el argumento de que: para el ideal \( C \), un elemento \( b \) del anillo no contenido en el ideal y un elemento variable \( x \) del anillo, el conjunto de elementos de la forma \( c+bx \)  (para \( c\in{C} \)) es un ideal.

Postulando las 2 condiciones para que dicho conjunto sea un ideal, se tiene: 1-el conjunto es un subgrupo del grupo aditivo. 2-el conjunto es cerrado para la multiplicacoin por elementos del anillo A.

Mi duda por ehora es si para demostrar la condicion 1, es valido el siguiente argumento:

los elementos de la forma \( c+bx \) son subgrupo aditivo porque las sumas de elementos tales como \( c+bx_{0} \) y \( c+bx_{1} \) estan contenidos en el conjunto; es decir: \( (c+bx_{0})+(c+bx_{1})=2c+b(x_{0}+x_{1})\in{C} \).  (?)

Saludos

11
Estructuras algebraicas / Ejercicio sobre ideales (elemental)
« en: 03 Febrero, 2022, 09:42 pm »
Hola, queria saber si es correcta la resolucion del siguiente ejercicio sobre ideales:

"En en anillo \( \mathbb{Q}[x, y] \) de polinomios \( f(x, y)=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+c_{2}xy+c_{3}y^{2}+... \): cuales de los siguientes conjuntos es un ideal? Si el conjunto es un ideal, hallar una base para el.

a)los \( f(x, y) \) con termino constante cero (\( a=0 \).

b)los \( f(x, y) \) que no contengan  \( x \) (\( b_{1}=c_{1}=c_{2}=...=0) \);

c) los \( f(x, y) \) sin terminos cuadraticos (\( c_{1}=c_{2}=c_{3}=0 \))."

La respuesta que creo haber encontrado seria la sgte:

 1) Es un ideal, pues \( f(0, 0)=0 \) cdo \( a=0 \). La base del ideal seria \( (x, y) \) (2 generadores monomiales): los polinomios engendrados en ese base, por multiplicacion de los mismos por coeficientes polinomicos \( p(x, y) \) y \( q(x, y) \) pertenecientes al anillo \( \mathbb{Q}[x, y] \), resultan en polinomios en \( x \) e \( y \) sin termino constante; ergo, estan incluidos dentro del ideal.

2)no es un ideal, pues si se multiplica uno de tales polinomios por un polinomio que si contenga a \( x \) con termino constante no nulo, ya no seria aplicado en el \( 0 \). Ergo, no estaria contenido en el ideal.

3) no es un ideal, porque los polinomios \( f(x, y) \) sin terminos cuadraticos pero con termino constante no nulo, no son aplicados en el cero \( 0' \).

No se si es correcta la solucion y, por otro lado, la justificacion.

Gracias; saludos.

12
Hola; tengo unas preguntas sobre un cono (como forma cuadrática en \( \mathbb{R^{3}} \)):

1- ¿Es un cono correspondiente a una cuádrica degenerada?

2- ¿La matriz de la cuádrica correspondiente a un cono tiene un autovalor al que le corresponde un subespacio propio de \( dim>1 \) (por ej. un plano, de \( dim=2 \))?

Gracias. Saludos.


13
Estructuras algebraicas / Dominio y campo
« en: 04 Enero, 2022, 08:26 pm »
Hola; tengo varias dudas sobre un tema (en parte relativo a estructuras algebraicas y en parte relativo a morfismos).

He encontrado en otro foro las siguientes relaciones, que tal vez me puedan aclarar un poco.

Se tienen un dominio conmutativo \( R \) y un campo \( K \); a partir del 1ero, se obtiene el campo de fracciones del mismo \( FrR \): elementos \( \frac{a}{b} \), que corresponden a clases de equivalencia de los pares \( (a, b)\in{R\times R}-\left\lbrace 0\right\rbrace \) (esto seria similar a la obtención del campo \( \mathbb{Q} \) a partir del dominio \( \mathbb{Z} \).)

Ahora en torno a lo siguiente aparece una de las dudas: "si se tiene un homomorfismo inyectivo \( R\rightarrow{K} \) entre \( R \) y \( K \), entonces el.mismo se puede extender de forma única a un homomorfismo inyectivo \( FrR\rightarrow{K} \) (entre el campo de fracciones de \( R \) y el campo \( K \))."

Mis.dudas son varias: entiendo (o creo entender) el sentido de establecer un homorfismo inyectivo entre \( FrR \) y \( K \): si ambos son campos, establecer una correspondencia entre ambos que relacione las operaciones entre los elementos de uno con las operaxiones entre los elementos de otro, sería adecuado.

En todo caso, no me queda claro cómo se establece el homomorfismo inyectivo \( R\rightarrow{K} \), dado que el segundo es un campo.y el 1ero.un dominio.

Se puede establecer un homomorfismo inyectivo entre \( \mathbb{Z} \) y \( \mathbb{Q} \), por ej.?

Gracias, saludos.




14
Estructuras algebraicas / Monomorfismo vs isomorfismo
« en: 29 Diciembre, 2021, 02:23 am »
Hola; queria.preguntar cuál es la diferencia entre un monomorfismo (homomorfismo inyectivo) y un isomorfismo (homomorfismo/correspondencia biyectiva?); gracias, saludos.

15
Estructuras algebraicas / Ideal primo
« en: 24 Diciembre, 2021, 02:56 am »
Hola; tengo algunas dudas sobre la explicacion del libro sobre ideales primos.

Pone como ejemplo el homomorfismo de \( \mathbb{Z} \) sobre \( \mathbb{Z_{p}} \); en ese contexto, observa q el ideal del mismo es \( (p) \), es decir, el conjunto de los multiplos del módulo \( p \) (un ideal principal).

Desarrollé como ejemplo el caso de \( \mathbb{Z} \) sobre \( \mathbb{Z_{4}} \), calculando las tablas para la adicion de clases de resto y para la multiplicacion de clases; el ideal es \( (4) \) y se aplica sobre el cero de \( \mathbb{Z_{4}} \).

El libro explica algo que no alcanzo a ver con claridad: argumenta que en el caso de ser primo el módulo \( p \)...crea una situación en la que si un producto \( ab \) es primo, ello implica que alguno de los dos (\( a \) ó \( b \)) será primo.

De aquí pasa a conectar los ideales primos con los dominios de integridad.

No me queda claro si el hecho de la existencia de un entero primo en los productos de enteros \( ab \) cuyo resultado es primo, se hereda, por así decir, en el producto de clases en \( \mathbb{Z_{p}} \); por un lado; y, más allá de eso, cuál es la conexión de ello con los dominios de integridad (sólo recuerdo acerca de la ley cancelativa del producto en los dominios...).

Si me pudieran aclarar un poco el sentido de esto seria muy bueno.

Gracias saludos


16
Estructuras algebraicas / Definicion de Ideal de un anillo
« en: 23 Diciembre, 2021, 05:10 pm »
Hola; leyendo en libro de algebra, encuentro lo.siguiente:

"...para describir un homomorfismo particular, debemos.preguntarnos cuándo dos elementos del primer anillo A tienen la misma imagen en el segundo...esto sucedera cuando su.diferencia tenga como imagen \( (a-b)H=0' \)..."

Tengo algunas dudas al respecto:

¿Todos los.elementos del.anillo inicial.aplicados en el cero.del.segundo.anillo constituyen el NUCLEO  del.homomorfismo en cuestion?

¿dicho.conjunto es un IDEAL?

¿Lo anterior implica que H se define (sólo) en relacion al grupo aditivo de A? Ó, dicho se otra forma:¿porquè.no se considera también la relación \( (ab)H=(aH)(bH)=0' \) (Tal.ve.porque esto implicaria.la.existencia de divisores.de.cero...?)

Gracias y saludos

17
Estructuras algebraicas / Ideal de un Anillo de polinomios
« en: 16 Diciembre, 2021, 07:41 pm »
Hola; queria preguntar lo siguiente:

La siguiente condición, para que un subconjunto I de un anillo de polinomios sea un ideal: "Para todo par de polinomios \( P,Q\in I \) se verifica \( P-Q\in I \).", implica que dicho subconjunto es un subgrupo aditivo del anillo \( A \) (i.e: cumple las propiedades a)para todo elemento.de I existe el inverso aditivo; b)en \( I  \)existe el neutro para la adición; es decir, el polinomio nulo \( p(x)=0 \); y 3) es conjunto es cerrado para la adición)?

Gracias; saludos


18
Hola; un ejercicio.de Santaló pide hallar las.coordenadas homogeneas de los.puntos impropios definidos por las.siguientes rectas:

a) 3x-y+1=0

b)x=2

c)2y+3=0

d)x-2y-3=0

Para los puntos a), c) y d), las soluciones que he encontrado (por simple cálculo directo) serían:

\( [-2, -5, 1] ó [-2, -5, 0] \);

\( [0, -3/2, 1] ó [0, -3/2, 0] \) y

\( [-1, -2, -3] ó [-1, -2, 0] \)

La pregunta es si estas soluciones son correctas (las primeras, con ultima coordenada=1; o bien las segundas, con última coordenada=0); agregando el factor \( \lambda \) en cada una de las soluciones(?).

Bueno, gracias  de antemano. Saludos.


19
Geometría y Topología / Equivalencia proyectiva
« en: 29 Septiembre, 2021, 08:49 pm »
Hola; tengo una duda sobre la equivalencia proyectiva de cuadricas (conicas, etc.);

¿es correcta la idea de que se puede lograr la equivalencia de 2 cuadricas proyectivad dadas (o sea, que se puede aplicar una en la otra; ó establecer una correspondencia entre ambas) por la vía de modificar la recta del infinito (es decir, lo que implicaria una nueva eleccion del hiperplano afin)?

Por ej.: transformando (llevando) la recta del infinito dada por la ecuacion \( z=0 \) en/a una recta del infinito de ecuación \( x=0 \) (ó tbien \( y=0 \), entre otras posibilidades...)?

Gracias

20
Geometría y Topología / Cuádrica en espacio proyectivo
« en: 28 Septiembre, 2021, 12:52 am »
Hola; tengo la siguiente duda (sobre un ej. del libro):

La pregunta del libro es qué representa la cónica proyectiva \( x^{2}=2yz \) en el plano afín, si la recta del infinito \( z=0 \) está excluida(?).

Es correcto.rescribir la conica.como:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0 \) ?

Mas alla de.eso, es correcto lo.siguiente:

Si se excluye la recta del infinito \( z=0 \), se pueden tomar coordenadas no homogeneas dividiendo por \( z \); en la forma \( x'=\frac{x}{z} \) y \( y'=\frac{y}{z} \); con lo cual se obtiene (la ecuacion de) una parábola:

\( x'^{2}-2y'=0 \); es decir \( y'=\frac{1}{2}x'^{2} \).

Dicha parábola seria el resultado (sobre el espacio afín) de excluir la recta del infinito del espacio proyectivo inicial.

Es esto correcto?

Gracias; saludos.

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