Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - Zaragoza

Páginas: [1] 2 3
1
Hola, acabo de leer en el libro de Sotomayor página 257 que una función converge uniformemente para infinito, más allá del caso particular del libro de Sotomayor, me gustaría entender qué intenta decir con que una función converge uniformemente para infinito ya que si converge debe ser para un valor finito. ¿Alguién me ayuda a aclarar esta idea por favor?

2
Ecuaciones diferenciales / Teorema de Lienard
« en: 22 Marzo, 2022, 07:15 pm »
Hola, estoy leyendo el teorema de Lienard en el libro de Sotomayor pág 255 https://libgen.is/book/index.php?md5=52279906A0F775C96F6246467A0619E4

$$
u''+g(u)u'+u=0
$$

pero tengo una duda, ¿cómo puedo justificar formalmene que el denominador de $$\frac{-uG(u)}{v-G(u)}$$ tiende uniformemente para $$\infty$$?

3
Hola, estoy estudiando el teorema de Poincaré-Bendixson en el plano, y he visto aplicaciones en los libros de Perko y Sotomayor, pero me gustaría saber si ustedes conocen otras aplicaciones no tan conocidas pero interesantes. O tal vez si conocen aplicaciones más actuales.

4
Quiero probar el siguiente resultado: Si $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$ y $$p\in U$$ es un punto regular de $$X$$, entonces existe una sección transversal local $$f$$ de clase $$C^\infty$$ al campo $$X$$ en el punto $$p$$ tal que $$f(0)=p$$.

Siguiendo una observación del libro de Sotomayor, mi avance fue el siguiente: Como $$X(p)\ne 0$$, entonces podemos extender a una base de $$\mathbb R^n$$, tomando $$v_1,v_2,\dots,v_{n-1}\in\mathbb R^{n}$$ tales que $$\beta_p=\{v_1,v_2,\dots,v_{n-1},X(p)\}$$ es una base de $$\mathbb R^n$$. Logré probar que existe $$\delta>0$$ tal que $$\beta_q$$ es una base de $$\mathbb R^n$$ para todo $$q\in B(p,\delta)$$. Luego tomé $$M=\max\{\|v_j\|\}$$ y $$\epsilon<\delta/M$$. Se define entonces la siguiente función $$f:A=\{x\in\mathbb R^{n-1}\to \mathbb R^n\}$$ dada por $$f(x)=p+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}x_jv_j$$ la cual está bien definida. Es sencillo mostrar que $$f$$ es una inmersión, lo que se me hace complicado de ver es que $$f:A\to f(A)$$ es un homeomorfismo. Tal vez esté ante mis ojos pero no lo veo. Esta es la única condición que me faltaría probar para llegar a mostrar el resultado de existencia de una sección transversal. Agradecería todo tipo de ayuda, por otro lado, si alguien tiene otra demostración de este hecho me gustaría conocerla.

Estoy usando la siguiente definición para una sección transversal local: Sea $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$. Una sección transversal local al campo $$X$$ en el punto $$p\in U$$, es una aplicación $$f:A\to U$$ de clase $$C^k$$ donde $$A$$ es un abierto conexo de $$\mathbb R^{n-1}$$ que satisface:
  • $$f$$ es una inmersión
  • $$f:A\to\Sigma=f(A)$$ es un homeomorfismo
  • $$p\in\Sigma$$
  • $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(f(x))\}=\mathbb R^{n}$$ para todo $$x\in A$$

5
Si $$\frac{z}{xy}+\frac{y}{xz}+\frac{x}{yz}=1$$ con $$x,y,z\in\mathbb R^+$$, entonces encontrar el valor de $$\frac{x^4+y^4+z^4}{xyz(x+y+z)}$$.

Me quedé pensando en la hipótesis, yo sé que $$x^2+y^2=xy$$ implica que $$x=y=0$$ pero cuando hay 3 no se me ocurre nada. Alguna idea?

6
Cálculo 1 variable / $$f$$ es integrable
« en: 18 Enero, 2022, 08:57 am »
Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

7
Números complejos / Argumento de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$
« en: 16 Enero, 2022, 07:36 pm »
Hola, tengo algunos problemas tratando de encontrar el módulo y argumento principal de $$(-2+2i)^{(-3-4i)}$$, he trabajado con teoría compleja pero de manera abstracta y no he hecho mucho este tipo de cuentas. Por favor, agradecería que me ayuden de manera detallada. Gracias de antemano.

8
Teoría de números / Serie de potencias $$S_m$$
« en: 18 Diciembre, 2021, 07:28 pm »
Haciendo unas notas de clase me di cuenta que si $$S_m=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^m$$ entonces

  • $$S_1=\frac{n(n+1)}{2}$$
  • $$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
  • $$S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
  • $$S_4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$
  • $$S_5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$$
  • $$S_6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$
  • $$S_7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+1)}{24}$$
  • $$S_8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}$$
Como se puede apreciar $$\textcolor{red}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$$ divide a $$S_{impar>1}$$ y $$\textcolor{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$ divide a $$S_{par}$$. Alguna idea de como probar que esto realmente ocurre?

9
Análisis Funcional - Operadores / $$[0,1]^S$$ es compacto
« en: 14 Diciembre, 2021, 09:09 am »
Sea $$[0,1]^S:=\{f:S\to [0,1]\}$$ donde $$S$$ es un conjunto no vacío. He leido que $$[0,1]^S$$ es compacto y mencionan el teorema de Tychonoff. Alguien podía darme más luz sobre este hecho? Me gustaría conocer más los detalles Gracias

10
Sea $$A$$ el subconjunto de $$C[a,b]=\{f:[a,b]\to \mathbb R: f\text{ es continua}\}$$ formado por todas las funciones de la forma

$$h(x)=\sum_{k=1}^n a_ke^{kx},\quad n\in\{1,2,3,\dots\},\;a_k\in\mathbb R,\;\forall k$$

Quiero probar que $$A$$ es denso en $$C[a,b]$$ respecto a la norma $$\|f\|=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|.$$

Intenté usar el teorema de Stone Weierstrass, ya que $$A$$ es un álgebra que separa puntos, pero lamentablemente no contiene constantes no nulas. Así que me es imposible usar ese teorema. Traté de hacer de manera directa la densidad pero no he tenido éxito alguno.

11
Análisis Funcional - Operadores / $$C(K)^*$$ no es separable
« en: 14 Diciembre, 2021, 06:11 am »
Tengo complicaciones para resolver el siguiente ejercicio

Sea un espacio métric compacto $$K$$, consideremos el espacio de Banach

$$C(K)=\{f_K\to \mathbb R: f\text{ es continua}\},\quad \|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|.$$
  • Calcular la norma $$\|G_x\|_*$$ de la aplicación $$G_x(f)=f(x)$$, con $$x\in K$$ y $$f\in C(K)$$
  • Calcule la distancia $$\|G_x-G_y\|_*$$ para cualesquiera par de puntos $$x,y\in K$$
Y finalmente si $$K$$ no es numerable entonces:
1. $$C(K)^*$$ no es separable.
2. $$C(K)^{**}$$ no es separable.
3. $$C(K)$$ no es reflexivo.

Cualquier tipo de ayuda será bienvenida. Gracias  :banghead: :banghead: :banghead:

12
Análisis Real - Integral de Lebesgue / Derivada de $$f(x)^{g(x)}$$
« en: 04 Noviembre, 2021, 05:35 pm »
Tengo una pregunta sobre la derivada de $$h(x)=f(x)^{g(x)}$$, he probado que $$h'(x)=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$ lo hice tomando logaritmo a cada lado y derivando. Pero mi pregunta es ¿Qué ocurre si $$f(x)$$ no es positiva? ¿Existe una manera de derivar esta función o salvar de alguna manera esta fórmula de la derivada?

13
Análisis Funcional - Operadores / Equivalencia de "normas"
« en: 01 Noviembre, 2021, 11:29 pm »
Buenas tardes he probado este resultado $$\sup\{\|Tu\|:\|v\|=1\}=\sup\{\|Tu\|:\|v\|<1\}$$ cuando $$T$$ es un operador lineal acotado. Pero mi pregunta es qué ocurre cuando $$T$$ es un operador linea no acotado. ¿La igualdad se mantiene?

14
Álgebra / Regla de Leibniz
« en: 22 Octubre, 2021, 08:55 pm »
Una consulta alguien sabe como puedo probar o donde puedo encontrar la demostración de la regla de Leibniz para series formales? He tratado de hacerlo pero se me hace un mundo y no me resulta

15
Buenas tardes, estaba leyendo el artículo Über die Deformation der Räume constanten Riemannschen Krümmungsmaasses de Friedrich Schur, en el cual menciona que en un espacio $$\mathbb R^{2n-1}$$, existe un espacio $$n-$$dimensional de curvatura de Riemann negativa constante. Dada por $$(1\leq k\leq n-1)$$
\begin{align*}
x_{2k-1}&=\frac{a^2}{z_n}\cos \frac{z_k}{a}\\
x_{2k}&=\frac{a^2}{z_n}\sen \frac{z_k}{a}\\
x_{2n-1}&=a\int^{z_n}\frac{\sqrt{z_n^2-(n-1)a^2}}{z_n^2}dz_n
\end{align*}
pero no logro hacer bien los cálculos o tal vez estoy haciendo algo mal... alguien me puede ayudar o bien dando una manera de hacer el cálculo rápido y preciso, o alguna otra idea? Si alguien conoce otra superficie con tales características en $$\mathbb R^{2n-1}$$ le agradecería mucho lo mencione o tal vez la referencia de donde encontrarlo.
Muchas gracias.

16
Geometría Diferencial - Variedades / Embeddings e Inmersiones
« en: 07 Septiembre, 2021, 07:38 pm »
Hola, tengo una consulta, sabemos que una aplicación diferenciable $$f:S\to \mathbb R^n$$ es una inmersión si $$df_p:T_pS\to T_{f(p)}\mathbb R^n$$ es inyectiva. Y si además $$f$$ induce una métrica en $$S$$, es decir $$\langle v,w\rangle_p =\langle df_p(v),df_p(w)\rangle$$ para todo $$v,w\in T_pS$$, se dice que $$f$$ es una inmersión isométrica. Diremos que $$f$$ es un embedding si $$f$$ es una inmersión y un homeomorfismo sobre su imagen.

Mi pregunta es la siguiente, si tengo una inmersión isométrica inyectiva, puedo concluir que es un embedding? Caso contrario, cual sería un contraejemplo.

17
Cálculo 1 variable / Limite de $$\sin(x_n)$$
« en: 27 Agosto, 2021, 09:33 pm »
Hola, encontré el problema: Calcular el supremo de $$A=\{\sin(x):x\in\mathbb{Q}\}$$, es claro que el supremo es 1. Pero se me ocurrió cambiar $$\mathbb{Q}$$ por $$\mathbb{N}$$, es decir

Calcular el supremo del conjunto $$\{\sin(x):x\in\mathbb{N}\}$$, a priori lo que se me viene a la mente es construir una sucesión $$(x_n)\subset\mathbb{N}$$ tal que $$\sin(x_n)\to 1$$, pero no logro concretar la idea. Se me ocurre construirla de la siguiente manera: $$x_1=1$$, luego tomar el conjunto $$\{x\in\mathbb{R}:\sin(1)<x\leq 1\}$$, luego "garantizar" la existencia de $$x_2\in\mathbb{N}$$ tal que $$\sin(1)<\sin(x_2)\leq 1$$. Siguiendo ese proceso tendría lo deseado. Pero no sé como garantizar dicha existencia. Alguna otra idea?  :banghead:

18
Teoría de la Medida - Fractales / Teorema de Fubini
« en: 21 Julio, 2021, 10:35 pm »
Sean $$M=\{(x,y):y\geq 0,x-2\leq y<x-1\}$$, $$N=\{(x,y):y\geq 0,x-3\leq y<x-2\}$$, y $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ la función dada por $$f=2\cdot 1_M-3\cdot 1_N$$. Me piden verificar que

\[ \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dxdy\ne\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dydx \]

hice las cuentas pero no estoy seguro de que realmente salga así, ando confundido. Pero más allá de los cálculos la pregunta más interesante sería ¿por qué no se puede aplicar el teorema de Fubini?

19
Buenos días, estoy leyendo acerca del plano hiperbólico, y buscaba un modelo dentro de $$\mathbb{R}^3$$ pero el Teorema de Hilbert menciona que no existe inmersión isométrica del plano hiperbólico en $$\mathbb{R}^3$$ me limita el trabajo, entonces pensé ¿para qué parte del plano hiperbólico si se puede encontrar una inmersión isométrica en $$\mathbb{R}^3$$? y se me ocurrió que si tomamos el centro del disco de Poincaré y lo bajamos hacia arriba infinitamente podemos llegar a la pseudoesfera (parte superior), es decir estaría tentando a conseguir una inmersión isométrica del disco de Poincaré sin su centro en la pseudoesfera, esta es mi idea intuitiva pero no he podido conseguir la función que haría que lo estoy mencionando. ¿Alguien me puede ayudar con ello? También leí que la superficie de Dini es isométrica a parte del plano hiperbólico pero eso lo intentaré luego de ver lo de la pseudoesfera.



Saludos  :banghead: :banghead: :banghead:


20
Teoría de la Medida - Fractales / Medida con signo
« en: 16 Julio, 2021, 08:06 am »
Problema 3.- Sean $$\nu$$ una medida con signo y $$\lambda,\mu$$ medidas en el espacio medible $$(\Omega,\mathcal{F})$$ tales que $$\nu=\lambda-\mu$$. Nos pide probar que $$\lambda\geq \nu^+$$ y $$\mu\geq \nu^{-}$$.

Páginas: [1] 2 3