Hola, estoy leyendo el teorema de Lienard en el libro de Sotomayor pág 255 https://libgen.is/book/index.php?md5=52279906A0F775C96F6246467A0619E4

$$
u''+g(u)u'+u=0
$$

pero tengo una duda, ¿cómo puedo justificar formalmene que el denominador de $$\frac{-uG(u)}{v-G(u)}$$ tiende uniformemente para $$\infty$$?

Quiero probar el siguiente resultado: Si $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$ y $$p\in U$$ es un punto regular de $$X$$, entonces existe una sección transversal local $$f$$ de clase $$C^\infty$$ al campo $$X$$ en el punto $$p$$ tal que $$f(0)=p$$.

Siguiendo una observación del libro de Sotomayor, mi avance fue el siguiente: Como $$X(p)\ne 0$$, entonces podemos extender a una base de $$\mathbb R^n$$, tomando $$v_1,v_2,\dots,v_{n-1}\in\mathbb R^{n}$$ tales que $$\beta_p=\{v_1,v_2,\dots,v_{n-1},X(p)\}$$ es una base de $$\mathbb R^n$$. Logré probar que existe $$\delta>0$$ tal que $$\beta_q$$ es una base de $$\mathbb R^n$$ para todo $$q\in B(p,\delta)$$. Luego tomé $$M=\max\{\|v_j\|\}$$ y $$\epsilon<\delta/M$$. Se define entonces la siguiente función $$f:A=\{x\in\mathbb R^{n-1}\to \mathbb R^n\}$$ dada por $$f(x)=p+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}x_jv_j$$ la cual está bien definida. Es sencillo mostrar que $$f$$ es una inmersión, lo que se me hace complicado de ver es que $$f:A\to f(A)$$ es un homeomorfismo. Tal vez esté ante mis ojos pero no lo veo. Esta es la única condición que me faltaría probar para llegar a mostrar el resultado de existencia de una sección transversal. Agradecería todo tipo de ayuda, por otro lado, si alguien tiene otra demostración de este hecho me gustaría conocerla.

Estoy usando la siguiente definición para una sección transversal local: Sea $$U$$ un abierto de $$\mathbb R^n$$, $$X$$ un campo de clase $$C^k$$. Una sección transversal local al campo $$X$$ en el punto $$p\in U$$, es una aplicación $$f:A\to U$$ de clase $$C^k$$ donde $$A$$ es un abierto conexo de $$\mathbb R^{n-1}$$ que satisface:

• $$f$$ es una inmersión
• $$f:A\to\Sigma=f(A)$$ es un homeomorfismo
• $$p\in\Sigma$$
• $$Df(x)(\mathbb R^{n-1})\oplus Span\{X(f(x))\}=\mathbb R^{n}$$ para todo $$x\in A$$

Estaba revisando unos ejercicios y se me ocurrió esta pregunta:
Si $$f$$ es continua en $$]a,b]$$ y $$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{x}$$ existe, entonces podemos afirmar que $$f$$ es integrable en $$[a,b]$$?
Una intuición un poco tonta tal vez (el límite me indica que la pendiente de la recta tangente cuando $$x\to a^+$$ existe de modo que no es vertical, lo cual me diría que ese punto no se va para infinito), me dice que si puede ser verdadera esta proposición, pero a la vez intento buscar un contraejemplo a ver si clarifica mis ideas. Alguna sugerencia? Cómo lo ven?

Haciendo unas notas de clase me di cuenta que si $$S_m=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^m$$ entonces

• $$S_1=\frac{n(n+1)}{2}$$
• $$S_2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• $$S_3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$
• $$S_4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$$
• $$S_5=\frac{n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)}{12}$$
• $$S_6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$
• $$S_7=\frac{n^2(n+1)^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+1)}{24}$$
• $$S_8=\frac{n(n+1)(2n+1)(5n^6+15n^5+5n^4-15n^3-n^2+9n-3)}{90}$$

Como se puede apreciar $$\textcolor{red}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}$$ divide a $$S_{impar>1}$$ y $$\textcolor{red}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$ divide a $$S_{par}$$. Alguna idea de como probar que esto realmente ocurre?

Sea $$A$$ el subconjunto de $$C[a,b]=\{f:[a,b]\to \mathbb R: f\text{ es continua}\}$$ formado por todas las funciones de la forma

$$h(x)=\sum_{k=1}^n a_ke^{kx},\quad n\in\{1,2,3,\dots\},\;a_k\in\mathbb R,\;\forall k$$

Quiero probar que $$A$$ es denso en $$C[a,b]$$ respecto a la norma $$\|f\|=\sup_{a\leq x\leq b}|f(x)|.$$

Intenté usar el teorema de Stone Weierstrass, ya que $$A$$ es un álgebra que separa puntos, pero lamentablemente no contiene constantes no nulas. Así que me es imposible usar ese teorema. Traté de hacer de manera directa la densidad pero no he tenido éxito alguno.

Tengo una pregunta sobre la derivada de $$h(x)=f(x)^{g(x)}$$, he probado que $$h'(x)=f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\log f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$ lo hice tomando logaritmo a cada lado y derivando. Pero mi pregunta es ¿Qué ocurre si $$f(x)$$ no es positiva? ¿Existe una manera de derivar esta función o salvar de alguna manera esta fórmula de la derivada?

Una consulta alguien sabe como puedo probar o donde puedo encontrar la demostración de la regla de Leibniz para series formales? He tratado de hacerlo pero se me hace un mundo y no me resulta

Hola, tengo una consulta, sabemos que una aplicación diferenciable $$f:S\to \mathbb R^n$$ es una inmersión si $$df_p:T_pS\to T_{f(p)}\mathbb R^n$$ es inyectiva. Y si además $$f$$ induce una métrica en $$S$$, es decir $$\langle v,w\rangle_p =\langle df_p(v),df_p(w)\rangle$$ para todo $$v,w\in T_pS$$, se dice que $$f$$ es una inmersión isométrica. Diremos que $$f$$ es un embedding si $$f$$ es una inmersión y un homeomorfismo sobre su imagen.

Mi pregunta es la siguiente, si tengo una inmersión isométrica inyectiva, puedo concluir que es un embedding? Caso contrario, cual sería un contraejemplo.

Sean $$M=\{(x,y):y\geq 0,x-2\leq y<x-1\}$$, $$N=\{(x,y):y\geq 0,x-3\leq y<x-2\}$$, y $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ la función dada por $$f=2\cdot 1_M-3\cdot 1_N$$. Me piden verificar que

\[ \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dxdy\ne\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dydx \]

hice las cuentas pero no estoy seguro de que realmente salga así, ando confundido. Pero más allá de los cálculos la pregunta más interesante sería ¿por qué no se puede aplicar el teorema de Fubini?

Problema 3.- Sean $$\nu$$ una medida con signo y $$\lambda,\mu$$ medidas en el espacio medible $$(\Omega,\mathcal{F})$$ tales que $$\nu=\lambda-\mu$$. Nos pide probar que $$\lambda\geq \nu^+$$ y $$\mu\geq \nu^{-}$$.