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Temas - alexpglez

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1
Estaba enfrentando un problema de EDP, en la cuál me ha aparecido el análisis de cierta serie.
Sea [texx] U\subset \mathbb R^n [/texx] un dominio acotado con frontera regular, sean [texx] a^{ij}, c \in C^{\infty}(\overline U) [/texx], con [texx] A=(a_{ij}) [/texx] simétrica y uniformemente elíptica:
$$ \xi^TA(x)\xi\geq \theta|\xi|^2, \;\;\; \theta>0 $$
Sea [texx] L [/texx] el operador elíptico:
$$  Lu:=-\sum_{ij} \partial_i(a_{ij}\partial_ju)+cu $$
Nos preguntamos por la EDP tipo calor, para [texx] t>0 [/texx]:
$$ u_t=-Lu $$
$$ u|_{\partial U}=0 $$
$$ u(0)=u_0$$
Como [texx] L [/texx] es uniformemente elíptico y simétrico, y por la regularidad, hay una base ortonormal de autovectores [texx] u_k\in C^{\infty}(\overline U)[/texx] cuyos autovalores [texx]\lambda_k[/texx] crecen a infinito. Desarrollando la [texx] u [/texx] en la base, y resolviendo las EDOs para los coeficientes (sin mucha preocupación de convergencia), obtenemos:
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Llamemos [texx] k_0 [/texx] al primer natural tal que [texx] \lambda_{k_0}>0 [/texx]. Si quiero comprobar las sucesivas derivabilidades (entre otras regularidades), aplicando (por ejemplo) el teorema de Weirstrass para series, me encuentro con el problema de saber si:
$$ \sum_{k=k_0}^{\infty} \lambda_k^n e^{-\lambda_k\delta}<+\infty, \;\;\; \forall n\in \mathbb N, \;\;\;  \forall \delta>0 $$

¿Es esto verdad para toda sucesión creciente [texx] 0< \lambda_{k_0} \leq \lambda_{k_0+1} \leq ...[/texx], [texx]\lim_k \lambda_k=+\infty [/texx]?

En caso de no ser cierto, ¿es en general la serie diferenciable o hay que suponer algo en el enunciado o demostrar alguna condición extra para [texx] \lambda_k [/texx]?

Muchas gracias,

2
Ecuaciones diferenciales / Alternativa de Fredholm
« en: 29 Marzo, 2021, 06:58 pm »
Tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo atacarlo.
Estudiar la formulación débil de la ecuación:
$$ e^x u''-e^x u'-cu=1-2x, \;\; x\in (0,1) $$
$$ u'(0)=u'(1)=0 $$
Y discutir su resolubilidad en función del parámetro \(  c  \).

Integrando por partes, la ecuación débil del problema es:
$$ \int_0^1 (e^xu'v'+2e^xu'v+cuv)=\int_0^1fv, \;\;\;  \forall v\in H^1 $$
$$ f(x)=2x-1 $$

Lo único que se me ocurre es intentar una estimación de energía para saber si se puede aplicar Lax-Milgram. A posteriori creo que hay que usar el teorema "Alternativa de Fredholm", pero no tengo claro como y no he visto ningún ejemplo.

Muchas gracias 


3
Buenas tardes,
He leído 2 definiciones de espectro ligeramente distintas.
Sea [texx] X [/texx] un espacio de Banach, [texx] D(L)\subset X [/texx] un subespacio vectorial (no necesariamente denso) y [texx] L:D(L)\longrightarrow X [/texx] una aplicación lineal. El espectro de [texx] L [/texx] es el complementario del conjunto resolvente [texx] \rho(L)\subset \mathbb C [/texx]:
1) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] tiene una inversa [texx] S:X \longrightarrow D(L) [/texx] acotada.
2) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] es inyectiva, su imagen densa en [texx] X [/texx] y su inversa está acotada.

Por lo que si [texx] \lambda [/texx] cumple 1), entonces cumple 2) trivialmente. Pero si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] es inyectiva, su imagen es densa y su inversa está acotada, ¿se puede deducir que la imagen es todo [texx] X [/texx]?

Por otra parte, si  [texx] L [/texx] es una aplicación cerrada (y quizá [texx] D(L) [/texx] se requiera denso...), ¿se puede deducir que:
3) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] tiene una inversa [texx] S:X \longrightarrow D(L) [/texx] (Es decir, que la existencia de [texx] S [/texx] implica automáticamente que [texx] S [/texx] es acotada)?

Como caso particular de 3) o por el teorema de la aplicación abierta, si [texx] L:X\longrightarrow X [/texx] está acotada entonces:
4) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{X} [/texx] tiene una inversa
Y si [texx] X [/texx] es finito dimensional, entonces [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{X} [/texx] es inyectivo.

Pregunta adicional divulgativa:
Sea [texx] T [/texx] es un operador autoadjunto (o normal) en un espacio de Hilbert, si además es inyectivo, ¿su imagen es densa? (He leído que su espectro residual tiene que ser vacío... se me ocurrió que ésta creo que es una forma equivalente de interpretarlo: porque si no fuera densa, [texx] 0 [/texx] sería un elemento de este espectro)

Muchas gracias

4
Sea \(  M  \) una variedad orientable de dimensión \(  n  \), \(  g_1  \) y \(  g_2  \) dos métricas de Riemman con formas de volumen orientadas \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \). Si:
 $$ g_1(x,x)\leq \lambda^2 g_2(x,x), \;\;\; \forall x\in TM $$
Entonces:
$$ \omega_1=C \omega_2, \;\;\; 0<C\leq \lambda^{n} $$
¿Cómo se deduciría?

Expresándolo en cierta base, parece equivalente a demostrar que si:
$$ A(x,x)\leq \lambda^2 B(x,x), \;\;\; \forall x\in \mathbb R^n $$
Entonces:
$$ \det A \leq \lambda^{2n} \det B$$
Para \(  A  \) y \(  B  \) formas bilineales. Resultado que no me parece muy sencillo.

5
Lógica / Preguntas y referencias sobre distintos temas de lógica
« en: 12 Diciembre, 2020, 06:20 pm »
Hola a todos!

Quería estudiar formalmente lógica, lógica de orden superior, teoría de tipos, teoría de categorías y teoría de conjuntos.

Hace tiempo empecé a leer un libro de teoría de categorías (lo dejé y no recuerdo el nombre) y se me hace duro que las categorías puedan ser clases propias, pues por experiencia, si uno no tiene cuidado puede llegar a contradicciones lógicas, y la mayoría de referencias que he visto no tienen mucho cuidado. Otra forma de explicar las categorías es como una teoría estructural y metamatemática, análogo a la teoría de conjuntos de Cantor que no terminó muy bien...

Por otra parte, la teoría de espacios vectoriales no tiene una formalización muy satisfactoria en la lógica de primer orden. Pues no hay manera de introducir los números reales y el producto en la propia teoría, a no ser que uno juegue con infinitas funciones [texx] \mu_{\lambda}v:=\lambda v [/texx] pero ésto es muy artificial y con poco poder expresivo. Pensé, "uno podría hacer una teoría variables tipo [texx] \mathbb R [/texx] y tipo [texx] V [/texx] y funciones mixtas". Entonces, ¿es ésta construcción una teoría de tipos?

También me interesan las teorías lógicas de orden superior. De hecho, ¿no se podrían embeber en una teoría de tipos considerando variables tipo funciones y la operación natural [texx] f\cdot a:=f(a) [/texx]?

Por último me gustaría ver la relación de la lógica con la teoría de categorías y los conjuntos. En concreto, ¿existe una teoría lógica (basada en tipos seguramente) que formalice la teoría de categorías y permita construir la categoría de los conjuntos (cumpliendo la axiomática de ZFC o NBG)?

Imagino que la última pregunta no está actualmente resuelta. (De estar resuelta sería fácil de googlear)

Muchas gracias


6
Hola, este es el problema 14, sección 8 capítulo 1 de libro Differential Topology de Guillemin y Pollack.
Sea [texx] f:X\longrightarrow Y [/texx] una función suave entre variedades y [texx] Z\subset X [/texx] una subvariedad regular. Supongamos que [texx] f(Z) \subset Y [/texx] es una subvariedad regular y [texx] f|_Z:Z \longrightarrow f(Z) [/texx] es un difeomorfismo. Probar que [texx] f|_U:U\longrightarrow V [/texx] es un difeomorfismo entre dos entornos abiertos [texx]U\supset Z [/texx], [texx] V\supset f(Z) [/texx].

Como pista dicen:
Por el teorema de la función inversa, existen recubrimientos abiertos [texx] \{U_i\}_{i\in I}[/texx], [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] de [texx] Z [/texx] y [texx] f(Z) [/texx] tal que [texx] f|_{U_i}:U_i \longrightarrow V_i [/texx] son difeomorfismos.
Sean [texx] g_i=f|_{U_i}^{-1}[/texx] las inversas locales, definimos el conjunto (no necesariamente abierto):
$$ W=\{ y \in \cup_{i\in I}V_i \; | \; g_i(y)=g_j(y), \; \text{si }y\in U_i \cap U_j \}$$
$$g:W \longrightarrow X $$
$$ g(y)=g_i(y), \text{ si }y\in U_i $$
Se cumple que [texx] W \supset f(Z) [/texx] y [texx] g[/texx] es una inversa de [texx] f[/texx]. (Falta probar que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx])

Probar que [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] se puede escoger localmente finita y, en este caso, que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx].

Esto último es lo que no consigo hacer.
¿Cómo demuestro que puedo escoger [texx] \{V_i\}_{i\in I} [/texx] es localmente finita?
¿Cómo demuestro que [texx] W [/texx] contiene un entorno de [texx] f(Z) [/texx]? ¿W es un abierto?

Muchas gracias

7
Geometría Diferencial - Variedades / Generador infinitesimal
« en: 25 Junio, 2020, 08:41 pm »
Hola,

He leído en diferentes fuentes, que lo que voy a preguntar es cierto (de hecho dan una caracterización mejor), pero no encuentro demostración. Enlace Teorema 2.62

Sea \( G \) un grupo de Lie que actúa sobre \( S \) suave y efectivamente. Entonces es inyectivo el generador:
$$ \zeta:\mathfrak g \longrightarrow \mathfrak X(S) $$
$$ \zeta(X)_s:=\frac{d}{dt}\Bigg|_{t=0}(\exp(tX)\cdot s) $$
¿?

¿Cuál sería la prueba?

Gracias

PD: No sé insertar hipervínculos  :-\

8
Hola

Dado un grupo de Lie \( G \) con álgebra de Lie \( \mathfrak g \) y una función suave \( X:[a,b] \longrightarrow \mathfrak g \).
¿Las soluciones de la ecuación diferencial:
$$ \gamma(a)=g $$
$$ \gamma'(t)=X_{\gamma(t)}(t) $$
Se pueden tomar en todo el intervalo, \( \gamma:[a,b] \longrightarrow G \)?

El intervalo maximal no depende de \( g \), pues \( \gamma(t)=g\beta(t) \), donde \( \beta \) es solución con condición inicial \( \beta(a)=e \). Esto se usa en la prueba cuando \( X \) es independiente del tiempo.
Si encontramos un \( \epsilon>0 \) general, tal que para todo \( c\in [a,b] \), \( g\in G \), encontramos la curva \( \gamma:(-\epsilon+c,c+\epsilon): \longrightarrow G \):
$$ \gamma(c)=g $$
$$ \gamma'(t)=X_{\gamma(t)}(t) $$
Entonces ya estaría.

En internet he encontrado un esbozo de prueba aquí. Pero no se entiende bien.

Gracias, saludos

9
Geometría Diferencial - Variedades / G-conexión
« en: 12 Junio, 2020, 02:58 am »
Hola

Una conexión en un fibrado \( E \overset{\pi}{\longrightarrow} M \) es un subfibrado vectorial \( H\subset TE \) complementario al vertical \( TE=H\oplus VE \).
\( H \) es equivalente a una proyección \( \Phi:TE \longrightarrow VE  \).

Estoy explorando la condición necesaria y suficiente para inducir un \( G \) transporte paralelo. Si \( \{U_{\alpha},\psi_{\alpha}\}_{\alpha \in I} \) es un \( G \)-atlas (\( G \) grupo de Lie actuando efectivamente en la fibra \( S \)). Un \( G \) transporte paralelo (compatible con el atlas) es tal que el transporte paralelo conmuta con aplicar un elemento del grupo:
$$\psi_{\beta} \circ L_{\gamma} \circ \psi_{\alpha}^{-1}(p,s)=(q,g\cdot s) $$

En el libro de Michor se recoge en 11.9 una condición necesaria y suficiente para los símbolos de Christoffel de la conexión (en realidad para que sea una conexión inducida de una conexión principal en el fibrado principal asociado) https://www.mat.univie.ac.at/~michor/kmsbookh.pdf
Para una conexión general los símbolos cumplen que \(  \Gamma^{\alpha}\in \Omega^1(U_{\alpha},\mathfrak X(S)) \). El teorema 11.9 dice que \( \Gamma^{\alpha} \in \Omega^1(U_{\alpha},\mathfrak X_{\text{fund}}(S))\simeq \Omega^1(U_{\alpha},\mathfrak g) \). Donde \( \mathfrak g \) es el álgebra de Lie y el isomorfismo es \( \eta(X)|_s:=\frac{d}{dt}|_{t=0}\exp(tX)\cdot s \)

¿Qué condiciones debe de cumplir \( H \)?

\( d\psi_{\alpha}(H) \subset TU_{\alpha} \times TF  \) es una conexión en la trivialización \( U_{\alpha}\times F \).

Dada una curva \( \gamma \) en \( U_{\alpha} \), la condición de un \( G \) transporte paralelo en \( U_{\alpha}\times F \) es:
$$\mathbb P_{\gamma}(p,s)(t) =(\gamma(t),g(t)\cdot s) $$
Para una función suave \( g(t)\in G \). Llamando \( X=g'(0) \in \mathfrak g \), tenemos que:
$$ \frac{d}{dt}|_{t=0}\mathbb P_{\gamma}(p,s)(t)=(\gamma'(0),\eta(X)|_s) $$

Por la suavidad del transporte paralelo de las condiciones iniciales \( \gamma'(0) \) y \( \frac{d}{dt}|_{t=0}\mathbb P_{\gamma}(p,s)(t) \), diría que \( X:TU_{\alpha}\times F  \longrightarrow \mathfrak g \) es suave. Y:
$$ d\psi_{\alpha}(H):=\{ (u,X(u,s)) \in TU_{\alpha}\times TF \; | \; (u,s) \in TU_{\alpha}\times F\} $$

No sé si está bien o está mal. No lo he leído en ningún libro, sólo para el caso vectorial y principal (que se tratan de forma más natural). Quizá una pregunta más básica es:

¿Qué forma tienen las conexion principales \( H\subset TP \), cuando \( P=M\times G \)?

Gracias, saludos

10
Geometría Diferencial - Variedades / Acciones y suavidad
« en: 27 Mayo, 2020, 03:24 am »
Sean \( M \) y \( S \) dos variedades y \( G \) un grupo de Lie que actúa suavemente en \( S \). Consideremos la función \( f:M \longrightarrow G \).

Supongamos que:
$$ M\times S \longrightarrow S $$
$$ (x,s) \mapsto f(x)\cdot s $$
Es una función suave.

¿Se deduce que \( f \) es suave? ¿En qué condiciones? ¿Y si la acción es efectiva?

He leído que si en un caso particular, pero no venía explicado por qué, en este caso la acción era efectiva.

Gracias

11
Sea \( \pi:E \longrightarrow M \) un fibrado, \( \mathbb P \) un sistema de transporte paralelo y \(  \gamma:[0,1] \longrightarrow M \) una curva suave con \( \gamma(0)=p \).

¿Podemos construir una función suave \( f:TU\longrightarrow M \) tal que \( f(0_q)=q \) y haya un vector \( v \in T_pM \) que cumpla:
$$ f(tv)=\gamma(t) \;\;\; \forall t\in [0,1] $$?

La utilidad que busco es axiomatizar la suavidad del transporte paralelo, en base al axioma siguiente:
Si \(  U\subseteq M   \) es un abierto y \( f:TU\longrightarrow M \) es suave, también lo es la aplicación:
$$ g:TU\times_M \pi^{-1}(U) \longrightarrow E $$
$$ g(v,\xi)=\mathbb P_{\gamma}\xi(1)$$
Donde \( \gamma(t):=f(tv) \)

Si fuese cierta la pregunta, automáticamente la aplicación:
$$ \mathbb P_{\gamma}:E_{p} \times [0,1] \longrightarrow E $$
$$(\xi,t) \mapsto \mathbb P_{\gamma}\xi(t)$$
Sería suave, para toda curva \( \gamma(t) \) suave empezando en \( p \).

Muchas gracias

12
Geometría Diferencial - Variedades / Sobre subfibrados y cartas
« en: 30 Abril, 2020, 02:17 pm »
Hola!
Sean \( F\hookrightarrow E \overset{\pi}{\longrightarrow} M \) y \( F'\hookrightarrow E' \overset{\pi'}{\longrightarrow} M' \) dos fibrados suaves, además \( F'\subset F \), \( M'\subset M \) y \( E'\subset E \) como subvariedades embebidas y \( \pi'=\pi|_{E'} \).

¿Entonces es verdad lo siguiente?
Dado \( \forall p \in M' \), \( \exists U\ni p \) abierto de \( M \) y existe una carta de \( E \):
$$\phi:\pi^{-1}(U)\longrightarrow U\times F$$
Tal que la restricción:
$$ \phi|_{\pi'^{-1}(U\cap M')}:\pi'^{-1}(U\cap M')\longrightarrow (U\cap M') \times F' $$
Es una carta  de \(  E'  \)


Dependiendo del libro encuentro definiciones distintas de subfibrado.
- Dado \( \pi: E \longrightarrow M \) un fibrado vectorial, un subfibrado vectorial es una colección de subespacios vectoriales \(  E'_p\subset E_p \; p \in M  \) tal que \(   E':=\bigcup_{p\in M} E'_p \overset{\pi|_{E'}}{\longrightarrow} M  \) es un fibrado y \(  E'  \) es una subvariedad embebida.

- Dado \( F\hookrightarrow E \overset{\pi}{\longrightarrow} M \) un fibrado, es lo anterior: otro fibrado \( F'\hookrightarrow E' \overset{\pi'}{\longrightarrow} M' \) que sean subvariedades y \(  \pi'  \) la restricción. ¡Y además se cumpla la condición de cartas fibradas anterior!

Gracias, saludos


13
Sea \( E \longrightarrow M \) un fibrado vectorial, y \(  \nabla:\mathfrak{X}(M)\times \Gamma E \longrightarrow \Gamma E \) una derivada covariante, un operador que cumple:
\( \nabla_{U+gV}X=\nabla_U X+g\nabla_V X \)
\( \nabla_U(X+hY)=\nabla_U X+U(h)Y+h\nabla_UY \)

La colección de subespacios \( \mathcal H_{\xi}:=\{dX(v)-\mathfrak J_{\xi}\nabla_v X \; | \; X \in \Gamma E \; X_{\pi(\xi)}=\xi \; v \in T_{\pi(\xi)}M \}\subset T_{\xi}E \), determina una conexión (un suespacio horizontal).

¿Por qué \( \mathcal H_{\xi} \) es un subespacio lineal?

Veo que la expresión \( F(X,v):=dX(v)-\mathfrak J_{\xi}\nabla_v X \) es lineal en \( v \). Mi problema está con la \( X \), ¿Si \( X_{\pi(\xi)}=Y_{\pi(\xi)}=\xi \), tendría que darse que \( F(X,v)=F(Y,v) \)?

Gracias, saludos

14
Probabilidad / Álgebras Booleanas y \(\sigma\)-álgebras
« en: 26 Abril, 2019, 07:11 pm »
Dado un conjunto \(  X  \) y una \(  \sigma  \)-algebra \(  F  \), \(  F  \) es una álgebra de Boole \(  \sigma  \)-completa.
- ¿El recíproco es cierto: para toda álgebra de Boole \(  \sigma  \)-completa \(  B  \), existe un conjunto \(  X  \) y una \(  \sigma  \)-algebra \(  F  \), tal que \(  F  \) es isomorfo a \(  B  \)?

Si lo anterior es cierto:
- ¿qué condiciones son necesarias y suficientes para afirmar que \(  F=P(X)  \)?
- ¿Podríamos decir que, una teoría de la medida en retículos ortocomplementados (no necesariamente booleanos) \(  \sigma  \)-completos, sería más general que la teoría de la medida usual?

PD: la motivación de la pregunta, es que he leído que estos retículos no distributivos podrían ser útiles para formalizar la probabilidad en mecánica cuántica. En concreto se juega con el retículo de subespacios vectoriales cerrados de un espacio cierto espacio de Hilbert.

Muchas gracias

15
Pongamos un espacio medible sencillo [texx] (\mathbb R^2, B(\mathbb R^2)) [/texx] (el plano y su sigma álgebra de Borel), y una medida o una familia (no vacía) de medidas de probabilidad [texx] \{P_i\}_{i \in I} [/texx].
Sea [texx] V [/texx] su álgebra de variables aleatorias a [texx] \mathbb R [/texx], y [texx] fV=\{f: \mathbb R \longrightarrow V \} [/texx] un álgebra de funciones. La esperanza i-ésima en estos téminos es una función lineal [texx] \omega_i : V \longrightarrow \mathbb R \;\; \omega_i(X)=\int_{\mathbb R^2}XdP [/texx].
Uno desearía definir un operador [texx] \delta : U \subset fV \longrightarrow fV [/texx] como el único tal que [texx] \frac{d}{dt}\omega_i(F(t))=\omega_i((\delta F)(t)) \;\;\; \forall i \in I[/texx]. La intuición me dice que debe de existir, pero no creo que sea único (y esté bien definido). Para ello he pensado en 2 posibles condiciones:

1) [texx] \delta [/texx] sea lineal y cumpla la regla de Leibniz.

2) [texx] \omega_i(X)=0 \;\; \forall i \in I \;\;\; \longrightarrow X=0 [/texx] (es por esto que introduje varias medidas de probabilidad)

Así, mis dos preguntas serían:
¿Sólo con la primera, sólo con la segunda o con las dos condiciones, [texx] \delta [/texx] está bien definido? ¿Cuál sería su dominio más grande posible [texx] U [/texx]?

¿Dada una álgebra, cómo calculo todas sus derivaciones? (En vistas a generalizar por mi cuenta el problema anterior y aumentar la complejidad para espacios de Banach (en lugar de [texx] \mathbb R [/texx] y [texx] \mathbb R^2 [/texx]). Sé que esta pregunta es algebraica, pero creí que era mejor preguntarlo en el mismo hilo, y no abrir otro en el de álgebra. Si hay algún problema, abro otro hilo distinto)

Gracias, saludos

16
Buenas tardes!

Me preguntaba si existe alguna forma natural de asociar alguna norma o seminorma al álgebra de variables aleatorias (reales o complejas).
Tengo una propuesta, pero no sé si es una seminorma "finita", no sé me va nada a infinito. La defino como sigue:
1) Para cada [texx] X [/texx] variable aleatoria real, defino la seminorma [texx] p(X)=|E[X]| [/texx], (el valor absoluto de la esperanza). Esta es una seminorma para el espacio vectorial de variables aleatorias, pero que no cumple [texx] p(XY) \leq p(X) p(Y) [/texx].

2) Defino la seminorma de operador asociada (viendo a los elementos de álgebra como aplicaciones lineales del álgebra a sí misma): [texx]h(A)=sup\{p(AX) | p(X)\leq 1 \} [/texx]. Ya cumple la desigualdad, pero no sé si es finita, si el supremo existe en [texx] \mathbb R [/texx] o en cambio pueda ser infinito.

Es posible que me esté equivocando y haya algún contraejemplo de espacio de probabilidad en el que no se pueda definir una seminorma.


La motivación que tengo es la de hacer topología y análisis en el espacio de variables aleatorias. Por ejemplo, si tenemos una función del tipo: [texx] f:[a,b] \longrightarrow Var \;\;\; f(t)(\omega)=C(\omega) e^{-t} [/texx] donde [texx] C [/texx] es una variable aleatoria, poder afirmar que [texx] f'(t)(\omega)=-C(\omega)e^{-t} [/texx] y que [texx] f \in C^{\infty} [/texx]. Y así hacer ecuaciones diferenciales de funciones de variable aleatoria.

Gracias, saludos

17
Geometría y Topología / probabilidad, topología y geometría
« en: 09 Enero, 2018, 03:49 am »
Hola!

Me preguntaba si se había estudiado la posible contribución de la teoría de la probabilidad a la topología y a la geometría.

Tengo entendido que un gran punto de la probabilidad es el estudio de los procesos estocásticos, así como de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Esto ya de por si es bastante interesante, pues podemos caracterizar el movimiento de una partícula física como un proceso estocástico, y en concreto por la ecuación:
[texx] m\frac{d^2 X(t)}{dt^2}=F(X(t),t) [/texx]
Donde [texx] X(t) [/texx] es una variable aleatoria [texx] \forall t \in I \subset \mathbb R [/texx], y [texx] F [/texx] es una función que a cada tiempo y a cada variable aleatoria, es otra variable aleatoria.

Caminando por esta sugerencia, encuentro interesante en preguntar como se vería la geometría si abstraemos la propia geometría (y por tanto también la topología) como algo "aleatorio" definido por medio de variables aleatorias en un espacio de probabilidad.

Por ejemplo, consideremos [texx] P [/texx] el espacio de variables aleatorias reales dentro de un espacio de probabilidad. Me imagino el siguiente conjunto:
[texx] \{(X,Y,Z) \in P\times P\times P | X^2+Y^2+Z^2\leq 1 \} [/texx]
Que sería algo así como el conjunto de variables aleatorias que llevan asigna un suceso a una "nube de probabilidad de puntos de [texx] \mathbb R^3 [/texx]".

No sé si matemáticamente hay algo desarrollado que mezcle la probabilidad y la geometría. Sería una rama bastante interesante.

Saludos

18
Geometría y Topología / Geometría y topología no conmutativa
« en: 09 Enero, 2018, 03:27 am »
Hola!

¿Querría preguntar sobre qué es la geometría conmutativa?

En concreto, he leído sobre esta rama de la matemática, pero no entendí muy bien. Lo que más contenido encontré fue el libro de Alain Connes. Mirando este mismo libro, me estoy dando cuenta que, o bien no estoy entendiendo nada, o bien he entendido que el libro, más que definir la geometría no conmutativa de un modo riguroso, explora distintos conceptos en los que se tiene que basar la teoría.

Me explico en esto último. En el capítulo que trata la topología no conmutativa, menciona la existencia de una dualidad entre un espacio topológico y el conjunto de funciones continuas del espacio a los complejos y los teoremas de Gelfand-Neimarck, los cuales establecen que todo álgebra conmutativa es isomorfa a una subálgebra del conjunto de funciones continuas de un cierto espacio topológico a los complejos y que todo álgebra de Banach es isomorfa a una subálgebra del espacio de operadores de un cierto espacio de Hilbert. Sin embargo, nunca ha definido lo que es la topología no conmutativa. Lo mismo pasa cuando vamos a los demás conceptos de la geometría no conmutativa.

Es decir, me parece que el libro de Connes (y todo lo que he leído sobre geometría no conmutativa) más que definir lo que es, marca un camino y propone resultados que tendría que dar una definición de lo que es la geometría no conmutativa.

Puede que me esté equivocando... es por ello que me gustaría que alguien me aclarara qué es la geometría no conmutativa

 

19
Buenas tardes, Feliz Navidad!!

Estaba siguiendo el tratamiento axiomático de Hilbert a la geometría por el libro de Carlos Ivorra. Éste libro introduce dos axiomas necesarios para afirmar que el espacio es tridimensional, pero no introduce cuáles serían para afirmar que el espacio fuese bidimensional. He buscado en internet y no encontré nada al respecto, tampoco en las versiones actuales del libro original de Hilbert.

Mi pregunta es:
¿Qué axiomas habría que añadir para afirmar que el espacio tiene 2 dimensiones? ¿Se podría eludir hablar de planos?

Un axioma evidente sería:
Existe 3 puntos no coliniales. (Si hablamos de planos, basta decir que el conjunto de los planos no es vacío)

Pero el segundo no me queda claro si se podría formular con el lenguaje de rectas y puntos. Si añadimos los planos, aventuro que valdría alguno de los siguientes:
Existe un único plano.
El espacio pertenece al conjunto de los planos.
Dos rectas nunca se cruzan.


Si quisiésemos axiomatizar que el espacio fuese de dimensión más alta (y dar el número exacto), ¿sería necesario añadir más lenguaje que punto, recta y plano?

Gracias, saludos

20
Teoría de la Medida - Fractales / Medidas en espacios de funciones
« en: 23 Octubre, 2017, 09:10 pm »
Hola!

Me preguntaba si existía algún análogo a la medida de Lebesgue espacios de funciones.
Querría exponer un ejemplo físico de lo que estoy buscando: sea [texx] E=\{x \in C([a,b], \mathbb R) | x(a)=A \wedge x(b)=B \} [/texx] un espacio de trayectorias unidimensional (con puntos fijos), y [texx] S[x(t)] \in \mathbb R^E [/texx] un cierto funcional integrable respecto de esta medida tal que:
[texx] \int_E S[x(t)] Dx(t)=1 [/texx]
Entonces [texx] S[x(t)] [/texx] podría representar la densidad de probabilidad de seguir la trayectoria y podríamos definir los multitud de conceptos estadísticos como la "trayectoria media":
[texx] <x(t)>=\int_E x(t) S[x(t)] Dx(t) [/texx]

Gracias, saludos

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