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Temas - zimbawe

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Computación e Informática / Dispositivos graficadores.
« en: 04 Agosto, 2022, 05:03 am »
Hola, a todos.
Quería pregungar si alguna conoce un software diferente a Geogebra que permita graficar sólidos.
Voy a enseñar el método de rebanadas y necesito hacer gráficas de sólidos.
Quedo muy agradecido.

2
Hola a todos, de antemano agradezco su ayuda.
Estoy tratando de probar lo siguiente.
Sea \(  E  \) una curva elíptica, \(  K(E)  \) su cuerpo de funciones racionales y [/tex] \Omega_{E} [/tex] su espacio de diferenciales. Entonces \(  \Omega_{E}  \) es un 1-dimensional \(  K(E)  \) espacio vectorial.
La representación de las funciones racionales en una curva elíptica (dada en la forma \(  y^2=x^3+ax+b  \) es de la forma \(  a(x)+yb(x)  \).
Luego \(  d(a(x)+yb(x))=d(a(x))+yd(b(x))+b(x)dy  \) pero \(  dy=\frac{(3x^2+a)dx}{2y}  \), me imagino que a partir de esto cada elemento de \(  \Omega_{E}  \) es un múltiplo de \(  dx  \)
¿Es correcto?
Mil gracias.

3
Hola, estoy teniendo problemitas al momento de encontrar el grado de aplicaciones racionales entre variedades proyectivas y curvas.
Dada una aplicación racional entre curvas (o variedades proyectivas)
\(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) se define \(  \phi^{*} K(C_1) \longrightarrow K(C_2)  \) mediante:
\(  \phi^{*}(f)=f \circ \phi  \).
Ya sé bajo qué condiciones, dicha aplicación induce una extensión de sus cuerpos de funciones.
El problema lo encuentro al momento de calcular el grado de la extensión, no porque no sepa, sino porque me cuesta encontrar una base para la extensión.
Tengo los dos siguientes problemas.
Sea \(  C_1: Y^2=X^3  \) y \(  C_2: Y^2=X  \) y sea \(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) definida como \(  \phi(x,y)=(x, y/x)  \) me piden encontrar el grado de \(  \phi  \). Encontré que \(  K(C1)  \) puede ser identificado con \(  K(X)+YK(X)  \) y que \(  K(C_2)  \) puede ser identificado con \(  K(Y)  \) sin embargo, no logró hallar el grado porque, según yo el pullback no tendría sentido.
Otro ejemplo en el que me piden hacer cálculos es:
Dado
\(  f: \mathbb{P}^{2} \longrightarrow \mathbb{P}^{2}  \) por \(  f(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2)  \) me piden encontrar el grado de \(  f  \).
Agradecería cualquier sugerencia o aclaración, no estoy tan confundido sino que me cuesta hallar una base para dichas extensiones. Gracias.

4
Topología Algebraica / Imagen en la topología de Zariski.
« en: 06 Julio, 2022, 06:48 pm »
Hola a todos.
Me piden encontrar \(  f(\mathbb{A}^{2})  \) donde \(  f: \mathbb{A}^{2} \longrightarrow \mathbb{A}^{2}  \) donde f es la aplicación regular dada por \(  f(x,y)=(x,xy)  \) obtuve que la imagen es todo el espacio 2-afin menos el eje y.
La pregunta es ¿Este conjunto es abierto y denso en la Topología de Zariski? A ambas respuesta conteste sí, pero no estoy seguro de como funciona la densidad en dicha topología.  Gracias.

5
Álgebra / Orden de un punto sobre una curva.
« en: 05 Julio, 2022, 04:31 am »
Hola a todos. Estoy tratando de responder a una pregunta, agradecería con que me dijeran si mis cuentas están bien hechas.
El problema es
Sea \(  V(X^2+Y^2-1) \subset \mathbb{A}^{2}  \) tengo que encontrar el orden de \(  X-1  \) en \(  (1, 0)  \)  Mi pregunta es, ¿el ideal maximal de dicho punto, es el generado por \(  (x-1, y)  \) en el anillo local de \(  (0,1)  \)? En ese orden de ideas \(  x-1  \) tendría orden 2, ¿Si?

6
Hola a todos y a todas. Tengo una cuestión sobre un problema de geometría algebraica, que no he podido resolver por el simple hecho de que solo conozco los resultados para curvas y no para variedades.
En esencia, es la misma cuestión que aparece aquí:
https://math.stackexchange.com/questions/3178018/dimension-of-m-m2-over-k-where-m-m-pv-and-v-vx2-y3-y2-z3

Pero pasa que el libro que estoy estudiando es el Fulton y esa equivalencia que coloca el que resuelve el problema no la he demostrado ni tampoco aparece por el momento en el libro de Fulton.
Quedo agradecido si hay una forma (haciendo cuentas) de llegar a esta misma respuesta.

7
Hola a todos. Espero la estén pasando bien.
He estado estudiando geometría algebraica y me encontré un comentario, que no comprendo del todo bien. Quedo agradecido con su ayuda.
Es el siguiente.
Primero:
Sean \(  V \subset \mathbb{A}^{n}  \), \(  W \subset \mathbb{A}^{m}  \) variedades. Una función \(  \varphi: V \rightarrow{W}  \) se denomina una aplicación polinómica si existen \(  T_1,..,T_m \ in K[X_1,...,X_n]  \) tales que
\(  \varphi(a_1,...,a_n)=(T_1(a_1,...,a_n),...,T_m(a_1,...,a_n)) \in W \forall (a_1,..,a_n) \in V  \).
Esto lo entiendo bien.
Ahora lo que no comprendo muy bien, es el siguiente comentario:
Si \(  V=\mathbb{A}^{n}  \) y \(  W=\mathbb{A}^{m}  \) y \(  T_1,..,T_m \in K[X_1,...,X_n]  \) determinan una aplicación polinómica \(  T: \mathbb{A}^{n} \longrightarrow{\mathbb{A}^{m}} \), los \(  T_i  \) están univocamente determinados por \(  T  \)
No comprendo muy bien el comentario. Agradecería si me ayudarán a dilucidarlo.
Mil y mil gracias.

8
Estructuras algebraicas / Ideal maximal.
« en: 15 Abril, 2022, 01:08 am »
Hola, agradezco de antemano por su ayuda.
Quiero probar que dado un cuerpo \(  K  \) el ideal
\( I=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)  \) es maximal sobre \(  K[x_1,...,x_n]  \).
Se me ocurre probar que
\(  K[x_1,...,x_n]/I  \) es un cuerpo.
Encontre, que
\(  \bar{x_i}=\bar{a_i}  \).
Luego dado  un elemento \(  g  \) de \(  K[x_1,...,x_n]/I  \) puedo tomar como represantante a uno de la forma \(  k+I  \) que claramente tiene como inverso a \(  k^{-1}+I  \).
Luego, \(  K[x_1,...,x_n]/I  \)  es un cuerpo y por lo tanto \(  I  \) es maximal.
¿Está bien mi razonamiento?
Agradezco su ayuda.

9
Estructuras algebraicas / Grupo de Galois.
« en: 03 Abril, 2022, 04:45 am »
Hola. Tengo el siguiente conflicto al tratar de resolver el siguiente par de problemas.
Tengo que hallar el grupo de Galois del polinomio \(  x^3-x-1  \) sobre \(  \mathbb{Q}  \) y también el grupo de Galois de ese mismo polinomio sobre \(  \mathbb{Q}(-\sqrt{23})  \) mi problema no es con el algoritmo. Si no en encontrar un cuerpo de descomposición que venga de una forma simple de dicho polinomio.

10
Foro general / Mejorar en resolución de problemas.
« en: 01 Enero, 2022, 11:30 am »
Hola a todos y todas. Espero tengan un gran año.
Últimamente he meditado en torno a un defecto horrible que tengo, pero en el que quiero mejorar.
Cuando tengo que enfrentarme a un problema dificil, suelo ser muy conformista. Si no se me ocurre la solución rápido, como que optó por mirar la solución, es decir, no intento un poco más. Las veces que lo he intentado, llego a la solución o mis ideas conducen a ella, también he tenido fracasos estrenduosos.
También porque a veces creo que no voy a ser capaz de resolver el problema, entonces por eso no lo intento más.
Mi pregunta gira en torno a: ¿Se han estancado con un problema?¿Cómo lidian con la frustración que esto les genera?¿Cómo mejorar en la resolución de problemas?
Como dato adicional, ahora tengo un año para terminar mi tesis y tengo abstraer conceptos de una teoría en la que no soy muy ávido.
Agradezco me brinden su experiencia. Un millón de gracias.

11
Geometría Diferencial - Variedades / Orientación en el Toro.
« en: 13 Noviembre, 2021, 12:12 pm »
Hola. He logrado adelantar algo de este ejercicio, pero no recuerdo algo y eso me impide avanzar. El ejercicio es:
a) Demuestre que el Toro bidimensional \(  \mathbb{T}^{2}  \) es orientable y encuentre una orientación.
Demostrar que es orientable, es muy sencillo, pues, el toro puede ser visto como \(  \mathbb{T}^{2}=\mathbb{S}^{1} \times \mathbb{S}^{1}  \) y por ser el circulo unitario paralelizable entonces ya es orientable, y por ser el Toro producto de orientables, ya sería orientable. Lo que no recuerdo es cuál es la orientación estandar en \(  \mathbb{S}^{1}  \) ¿Y si quiero definir la orientación producto, se toman las proyecciones? Quedo muy agradecido.

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Hola. Espero estén pasando bien. Quería agradecer su ayuda, dado que, he pensado mucho en este ejercicio y no sé como se define la estructura de variedad en el espacio cotangente.
El enunciado es el siguiente:
Consideremos el fibrado cotangente \(  T^{*}M=\left\{{(p, \lambda)}|p \in M, \ y\ \lambda \in T^{*}_{p}M\right\}  \)
a) Construya un Atlas en \(  T^{*}M  \) de dimensión \(  2n  \) tal que la aplicación: \(  \pi: T^{*}M -> M, \pi(p, \lambda)=p  \) es una submersión.
b) Sea \(  X=T^{*}M  \) con la estructura de variedad definida en a) y consideremos la aplicación \(  \theta: X\rightarrow{T^{*}X}, p\rightarrow{\theta_p}  \) tal que \(  \theta_{(p, \lambda)}(v)=\lambda(d_{\pi_{(p, \lambda)}}(v))  \). Para \(  v \in T_{(p, \lambda)}  \). Encuentre la expresión en coordenadas de \(  \theta  \) con respecto al atlas de a) y concluya que \(  \theta  \) es una 1-forma diferenciable en \(  X  \). Con la parte a) ya pude.
Quedo muy agradecido si me pueden orientar al respecto. Un cordial saludo.

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Hola a todos. Tengo el siguiente problema, para el cual tengo algunas ideas. Pero no lo he podido completar.
Consideremos \(  M \times N  \) dotado con la estructura de variedad producto y sean \(  X \in X(M)  \) y \(  Y \in Y(M)  \) campos vectoriales en \(  M  \) y \(  N  \) respectivamente. Sabemos que \(  T_{(p,q)} M \times N  \) se identifica con \(  T_{p} M \times T_{q}  \). Pruebe que bajo esta identificación \(  X \otimes Y  \) definida por \(  (X \otimes Y)_{(x,y)}=(X_x, Y_y)   \) es un campo vectorial (suave) en \(  M \times N  \). Es más, pruebe que el corchete de Lie en \(  M \times N  \) satisface:
\(  [(X_1, Y_1), (X_2, Y_2)]=[(X_1, X_2), (Y_1, Y_2)]  \). Para la primera parte ¿Tomo la proyección? Y para la segunda colocando \(  X_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}, Y_1=g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}}  \) sé que: \(  X_1 \otimes Y_1=f^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial x_{i}}+g^{i}_{1}\frac{\partial}{\partial g_{i}} \) Ya no sé como seguir. Quedo agradecido.

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Hola a todos y a todas. Tengo que probar lo siguiente, pero no sé, si mi razonamiento está bien.
Tenía que mostrar que el flujo \(  \theta^{t}(A)  \)  de un campo vectorial invariante a izquierda \(  X_{A}  \) viene dado por \( \theta^{t}(A)(g)=ge^{tA}  \) esto ya lo probé y también me piden probar que para dos campos vectoriales \(  X^{A}, X^{B}  \) se cumple que \(  [X^{A}, X^{B}]=X^{AB-BA}  \) yo sé que se puede identificar \(  X^{A}  \) con una matriz \(  A  \) y que el corchete para matrices es \(  [A, B]=AB- BA  \) ¿Cómo lo termino? Es que siento que abuso de las identificacioned.

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Geometría Diferencial - Variedades / Subalgebra de Lie
« en: 31 Octubre, 2021, 09:37 pm »
Hola. Alguno sabe dónde puedo encontrar la prueba a este resultado? Quedaría muy agradecido.
Sea \(  G  \) un grupo de Lie con elemento neutro \(  e  \). Para cada \(  g \in G  \) consideramos la traslación a izquierda como \(  l_g(x)=gx  \) decimos que un campo \(  X \in X(M)  \) es invariante a izquierda, si para todo \(  g \in G  \) se tiene que \(  d(L_g)_x=X_{gx}  \). Denotemos por \(  m  \)  al conjunto de campos invariantes a izquierda de \(  G  \) muestre que \(  m  \)  es un subalgebra de Lie de \(  X(M)  \) tal que la aplicación \(  g \longrightarrow{T_eG}, X \longrightarrow{X_e}  \) es un isomorfismo lineal.
Agradezco mucho a quien pueda colaborarme.

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Hola. Quisiera saber si alguien conoce la prueba de este resultado o dónde puedo encontrar la prueba, dado que la necesito para probar que todo grupo de Lie es paralelizable.
Consideremos el fibrado tangente \(  \pi: TM\rightarrow{M}  \) La variedad \(  M  \) se dice paralelizable si existe un difeomorfismo \(  F: TM \rightarrow{M \times \mathbb{R}^{n}}  \) tal que \(  \pi(F(v,p)=p  \) y tal que cada aplicación \(  F_{|_{p}}: T_{p}M \rightarrow{\left\{{p}\right\}\times \mathbb{R}^{n}}  \) es un isomorfismo lineal.
Pruebe que, una variedad es paralelizable si y solo si, existe una base global de campos \(  X_{1}, ..., X_{n} \in X(M)  \) tales que para todo \(  p  \), \( \left\{{X_{1}|_{p}, ..., X_{n}|_{p}}\right\}  \) es una base de \(  T_{p}M  \) quedo agradecido. Mil gracias.

17
Hola. No sé si lo que hice está bien en este ejercicio, pero agradecería cualquier sugerencia.
Me piden:
Sea \(  M=\left\{{(x,y,z) \ in \mathbb{R}^{3}|x,y,z >0}\right\}  \) y considere la distribución definidia por \(  D=<y\partial{z}-z\partial{y}, z\partial{x}-x\partial{z}>  \) encuentre una carta de Frobenius global de D.
LLegué a que las funciones \(  f,g  \) deben satisfacer el sistema de ecuaciones \(  \left\{\begin{matrix}
 y=zg\\ -x=-zf
 \\ yf-xg=0
\end{matrix}\right.  \) con lo que:\(  f=x/z  \) y \(  g=y/z  \) pero de aquí ya no sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

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Hola, tengo el siguiente problema, me gustaría saber solamente si mi resolución es correcta.
Sea \(  M=\left\{{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x>0, y>0}\right\}  \) y consideremos \(  F: M\rightarrow{M}  \) dada por \(  F(x,y)=(x+y, y/x)  \) me piden probar que F es un difeomorfismo y calcular el pushforward \(  F_{*}(X)  \) donde \( X=y^{2}\frac{d}{dx}-x\frac{d}{dy} \) ya probé que F es un difeomorfismo pues calcule la inversa y es derivable en su dominio de definición. Calculé el jacobiano y me dió \(  J=\begin{pmatrix}
1 & -y/x^{2} \\
1 & 1/x \\
\end{pmatrix}  \) y a \( X  \) le podemos asociar el vector \(  \begin{pmatrix}
y^{2} \\ x
\end{pmatrix}  \) Multiplico el jacobiano con dicho vector y obtengo \(  F_{*}(X)=(y^{2}-y/x)\frac{{\partial}}{{\partial x}}+y^{2}\frac{{\partial}}{{\partial y}}  \)
Me podría indicar si me quedó bien, por fa.

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Geometría Diferencial - Variedades / Subrupo de Lie.
« en: 08 Octubre, 2021, 03:01 pm »
Hola. Como les comentaba estoy teniendo dificultades con un par de egercicios. El otro es este, quedo atento a cualquier sugerencia.
Sea \(  G  \) un grupo de Lie, con álgebra de Lie \(  g  \)  y supongamos que \(  h  \) es un subálgebra de Lie (un subespacio cerrado por el corchete). Pruebe que \(  D_{g}=\left\{{X_g| X \in h}\right\}  \) es una distribución involutiva de \(  G  \). Muestre que la hoja \(  H  \)  de la distribución \(  D  \) que contiene a la identidad \(  e  \)  es un subgrupo de Lie tal que bajo la identificación \(  g \succeq T_{e}G  \), se tiene que \(  h=d_{i_{e}}(T_e(H))  \) i es la inclusión.

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Geometría Diferencial - Variedades / Kernel disribución integrable.
« en: 08 Octubre, 2021, 01:49 pm »
Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios. No sé si podrían ayudarme, con este par de ejercicios.
Sea \(  F: M \longrightarrow{N}  \) una submersión. Muestre que \(  D_{p}=ker(dF_{P})  \) es una distribución de \(  M  \). Muestre que \(  D  \) es una distribución integrable y encuentre las hojas de \(  D  \). Me falta ver que \(  D_{p}  \) es suave. El resto de cosas ya las probé.
Quedo muy agradecido. Mil gracias.

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