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Temas - razielcero

Páginas: [1] 2
1
Matemática Aplicada / Valor esperado de normal multivariante
« en: 06 Enero, 2022, 03:01 am »
Hola a todos

Estoy realizando una actividad sobre procesos estocásticos, en la que debo mostrar que \( \displaystyle E[W(t_2) | W(t_1)=x_1,W(t_3)=x_3] = x_1 + \left( \frac{x_3 - x_1}{t_3-t_1}\right)(t_2 - t_1) \), donde \(  W(t)  \) es un proceso estocástico de Wiener, y por tanto gaussiano, es decir que la distribución de un vector de este proceso es normal multivariante. Dicho esto, sé que para la normal bivariante se tiene la siguiente igualdad

\(
\displaystyle
E[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2) \)

Sin embargo, no sé cómo extender este resultado al caso de otra variable (i.e., ¿cómo determino la expresión para \( E[X_1|X_2=x_2,X_3=x_3]  \)) para poderlo usar en mi ejercicio.

Les agradezco cualquier orientación que me puedan dar  :D

Saludos,

2
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente problema, pero no encuentro la forma satisfactoria, agradezco por favor cualquier orientación al respecto  ;D

Una forma de incrementar la probabilidad de operación de un sistema es mediante la introducción de una copia de los componentes en una configuración paralela. Supóngase que la NASA desea una probabilidad no menor a 0.99999 de que el transbordador espacial entre en orbita alrededor de la tierra con éxito. ¿Cuántos motores cohete deben configurarse en paralelo para alcanzar esta confiabilidad de operación si se sabe que la probabilidad de que uno, cualquiera, de los motores funcione adecuadamente es de 0.95? Suponga que los motores funcionan de forma independiente entre sí.

Según el libro la respuesta es \(  n= 4 \) Inicialmente trate de establecer una ecuación pero el resultado me dio decimal, luego he intentado hacer dibujos acomodando los motores de distitnas formas en paralelo y aplicando propiedades de probabilidad pero no me sale el 4.

Gracias por cualquier orientación!

Saludos. 

3
Estadística / Prueba de hipótesis con razones de verosimilitud
« en: 08 Julio, 2020, 08:47 am »
Hola!  :)

Estoy resolviendo el siguiente problema: contrastar \(  H_0 : \theta = 1  \) VS \(  H_1 : \theta > 1  \) mediante la razón de verosimilitudes para una población \( X  \) tal que \(  \displaystyle f(x) = \frac{1}{\theta} e^{\displaystyle - \frac{x}{\theta}}  \) con \(  x>0  \). Tomar \(  \alpha = 0.05  \) y \(  n= 10  \).

Bien, entonces ya he avanzado y sé que debo construir un \(  \lambda  \) tal que sea la razón entre las verosimilitudes. Luego de todo el proceso obtengo lo siguiente:
\(
\displaystyle
\lambda = \frac{e^{\sum{x_i}}}{{\bar{x}}^n e^n}
 \)

Ya comprobé que esa parte es correcta (o al menos lo contrasté con el libro guía y coincide con mi resultado). Ahora, dado que no conozco la distribución de lambda, entonces realizo \(  2ln\lambda  \) que sigue asintóticamente una distribución chi cuadrado:

\(
\displaystyle
 2ln(\lambda)\\
= 2 ln\left( \frac{e^{\sum{x_i}}}{\bar{x}^n e^n} \right)\\
= 2 \left[ ln \left(e^\sum{x_i} \right) - ln(\bar{x}e)^n \right]\\
= 2\sum{x_i} - 2nln(\bar{x}e)\\
= 2n\bar{x} - 2n[ln\bar{x} + ln(e)]\\
=2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > k
 \)

La última expresión distribuye \(  \chi^2_1  \), así que \(  2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > \chi^2_{1;0.05}  \)

con lo cual despejando dado que n no es variable, entonces se rechaza \(  H_0  \) con un nivel de confianza del 95% si \(  \bar{x} - ln\bar{x} > \displaystyle \frac{\chi^2_{1,0.05}}{2n} +1 =  1.192  \)

Quisiera preguntar, primero si mi procedimiento es correcto.

Segundo, so pena de ser quizás una pregunta tonta, pero no entiendo para qué al inicio necesito la condición de que \(  x > 0 \)  ??? No logro ver en qué momento utilizo esa parte o si es necesaria...

Saludos.

4
Estadística / Prueba de hipótesis de una distribución Poisson
« en: 06 Julio, 2020, 07:42 am »
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente problema: Constrúyase una prueba aproximada con \(  \alpha = 0.10  \) para contrastar que la media de
una distribución Poisson es igual a 5, a partir de una muestra de tamaño \(  n=200  \). Constrúyase además la curva de potencia de la prueba.

Tengo la idea que puedo utilizar el hecho que la estadística \(  \displaystyle Z = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}  \) distribuye \(  N ~(0, 1) \) con n suficientemente grandes.... La primera inquietud que tengo es si con \(  n=200  \) ya puedo asumir esa aproximación o no??

Suponiendo que la puedo asumir, entonces seguí de esta forma:

\(
\displaystyle
P(Z_1 \leq Z \leq Z_2) = 1 - \alpha \\ \\

P\left( Z_1 \leq  \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \leq Z_2 \right) = 1 - \alpha \\

P(\lambda + Z_1 \sqrt{\lambda} \leq X \leq  \lambda - Z_2 \sqrt{\lambda}) = 1 - \alpha \\

\textrm{En este caso}\\
P(5 + 1.64 \sqrt{5} \leq X \leq 5 - 1.64 \sqrt{5} )
 \)

No sé si hasta ahí estoy haciendo bien las cosas... y en todo caso no sé cómo debo continuar  :-\

Gracias por cualquier comentario y orientación!

Saludos.

5
Estadística / Determinar mejor estimador
« en: 17 Junio, 2020, 02:30 am »
Hola a todos: tengo el siguiente problema; en un experimento binomial hay observados \(  x  \) éxitos en \(  n  \) ensayos independientes. Como estimadores de la proporción de éxitos se proponen las estadísticas:

\(  \displaystyle T_1 = \frac{X}{n}\\ T_2 = \frac{X+1}{n+2} \)

Me preguntan si alguno de ellos es mejor que el otro para cualquier valor del parámetro p.

Según tengo entendido, debería entonces verificar si ambos cumplen con ser insesgados, consistentes y de mínima varianza. ¿Es así? De ser así, cómo puedo mostrar la consistencia? un límite de n tendiendo a infinito??  :-\

No sé en qué influye mencionar lo "cualquier valor del parámetro p", me hace pensar que dependiendo de ese valor p puede ser que uno sea mejor que el otro (me imagino que el primero será asintóticamente insesgado aunque no lo sé  :-\

Gracias por cualquier orientación!

Saludos.

6
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente ejercicio: los valores de la variable A se obtienen de la suma de los valores de las variables X y Y. Demostrar que la varianza de A puede ser mayor, menor o igual que la suma de las varianzas de X y Y

Y ya desde ahí el enunciado me genera confusión. Pues para mi resulta un poco evidente que la varianza de una variable (entendida como un número positivo) tiene que ser mayor, menor o igual que otro número cualquiera. Es decir, creo que es algo obvio al menos en la forma en que está escrita  ??? ???

Ahora bien, he iniciado de todos modos a hacer algo de trabajo algebraico y me he propuesto desarrollar la siguiente inecuación:

\(  s^2_{A} > s^2_{X} + s^2_{Y} \)

He utilizado la definición de varianza, algunas simplificaciones, etc. Pero a la final, no tengo claro a qué cosa tengo que llegar en esa expresión para mostrar que la desigualdad es cierta y bajo qué condición  :-\

Por otra parte, estuve leyendo que la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas solamente cuando las variables X y Y son independientes, pero no entiendo cómo incorporar ese hecho a las fórmulas  :-\

Finalmente, también me queda otra duda, debo asumir que las variables X y Y ambas tienen la misma cantidad de datos, de lo contrario no se podría resolver...??

Agradezco cualquier orientación al respecto!!  :)

7
Estadística / Problema con estimadores de muestreo con reemplazo
« en: 01 Abril, 2020, 11:52 pm »
Hola!  ;D

Estoy resolviendo un problema de muestreo que me dejaron pero me encuentro atascado, agradezco alguna orientación. El problema dice:
Para estimar el ingreso promedio por hogar para una población de \( N = 200 \) hogares, se utilizó una lista de las 600 personas que pertenecen a los 200 hogares de la siguiente manera: se extrajo una muestra (con reemplazo) de tamaño \( m = 10 \) personas. Se identificaron los hogares de las personas seleccionadas y se recopiló información sobre el ingreso promedio del hogar, \( y_{k}/x_k \), donde \( y_k \) es el ingreso total del hogar en dólares y \( x_k \) es el número de personas en el hogar. Los resultados son los siguientes:
[tex]
Extracción i      Promedio
1                      7000
2                      8000
3                      6000
4                      5000
5                      9000
6                      4000
7                      7000
8                      8000
9                      4000
10                     2000
 

Calcule una estimación del ingreso promedio por hogar con base en el estimador pwr (estimador de Hansen - Hurwitz), así como el cve correspondiente.

Mi problema está en que, al hacer la extracción de 10 personas sobre las 600 no puedo asegurar que no pertenezcan a un misma casa (al ser con remplazo) y entonces no sabría como hacer el promedio, porque entiendo que el estimador del promedio se hace sobre los hogares y no sobre las personas.. O no sé si sea igual  ??? ???

8
Hola a todos!

Debo probar que dado un conjunto universal \(  \Omega \neq  \phi  \) y sea \(  \mathcal{A} \) un álgebra sobre \(  \Omega \) entonces:

1. \(  A_{1}, A_{2},...A_{n} \in \mathcal{A} \Longrightarrow{} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal{A} \)

2. \(  A_{1}, A_{2},...A_{n} \in \mathcal{A} \Longrightarrow{} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal{A} \)

En ambos casos me sugirieron hacer inducción sobre n, pero hay algo que no me convence. Lo traté de hacer como sigue:

1. Es evidente que para \(  n= 0 \) se cumple. Ahora, supongamos que para \( n \) se cumple, se debe probar el caso \( n+1 \):
Sea \( B \in \mathcal{A} \) tal que \(  B \neq A_{i  }   \forall i = 1, 2,...n \) entonces \(  B \cup \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal {A} \) por definición de álgebra. Por lo tanto, \(  \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n+1}{A_{k}} \in \mathcal {A}  \).

Pero, no sé si es válido dar un conjunto \( B \in \mathcal{A} \) que aparezca "de la nada" ?? cómo quedaría probada la existencia de ese conjunto \( B  \) teniendo en cuenta que son uniones finitas...  ???

Desde luego para el caso de las intersecciones, utilizo leyes de De Morgan para convertir todo en uniones y utilizar el resultado anterior, pero llego a un punto análogo en el que debo hacer uso de un conjunto que no está en la sucesión de conjuntos pero que sí pertenece al álgebra. 

Gracias por la ayuda!

9
Teoría de Conjuntos / Propiedades de la imagen recíproca
« en: 06 Marzo, 2020, 04:41 am »
Hola!  ;D

Tengo que comprobar algunas propiedades de la imagen recíproca. Creo que en general lo he logrado, pero aún no me fío y quisiera que, por favor, me hicieran saber si hay algún error en algún procedimiento. Gracias!!  :)

1. \( f^{-1}(\phi) = \phi \)

Dem: supongamos que \( \exists{x} : x \in f^{-1}(\phi) \longrightarrow{} f(x) \in \phi \) por definición de la imagen recíproca. Pero lo anterior es evidentemente una contradicción, lo cual prueba que no existe ningún elemento que lo cumpla y por tanto  \( f^{-1}(\phi) = \phi \)

2.\(  f^{-1}( \Omega_{2}) = \Omega_{1}  \) (definiendo la función imagen recíproca como \( f : \Omega_{1} \rightarrow{} \Omega_{2} \))

Dem: Sea \(  x \in f^{-1} (\Omega_{2}) \Longleftrightarrow{} f(x) \in \Omega_{2} \Longleftrightarrow{} x \in \Omega_{1} \) lo cual comprueba la propiedad...

3. \(  f^{-1} (B^ c) = \left [ f^{-1}(B) \right ]^{c} \)

Dem: Sea \( a \in f^{-1}(B^c) \Longleftrightarrow{} f(a) \in B^{c} \Longleftrightarrow{} f(a) \not\in{} B \Longleftrightarrow{} a \not\in f^{-1}(B) \Longleftrightarrow{} a \in \left [ f^{-1}(B) \right ]^{c}  \)


4. \(  f^{-1} \left( \displaystyle \displaystyle\bigcup_{i \in I}^{}{B_{i} } \right) =  \displaystyle\bigcup_{i \in I}^{}{f^{-1} (B_{i}) }  \)

Dem: \(  \exists{a} : a \in  f^{-1} \left( \displaystyle \displaystyle\bigcup_{i \in I}^{}{B_{i} } \right) \Longleftrightarrow{} f(a) \in \displaystyle\bigcup_{i \in I}^{}{B_{i} }  \) lo cual implica que \(  \exists{B_{i_{0}}} \subseteq{} \Omega_{1} : f(a) \in B_{i_{0}}  \) entonces \(  a \in f^{-1}(B_{i_{0}}) \Longleftrightarrow{} a \in \displaystyle\bigcup_{i \in I}^{}{f^{-1} (B_{i}) }  \)

5. \(  f^{-1} \left( \displaystyle \displaystyle\bigcap_{i \in I}{B_{i}} \right) = \displaystyle\bigcap_{i \in I} {f^{-1} (B_{i})}   \)

Dem: \( \exists{x} : x \in f^{-1} \left( \displaystyle \displaystyle\bigcap_{i \in I}{B_{i}} \right) \Longleftrightarrow{} f(x) \in \displaystyle\bigcap_{i \in I} {(B_{i})}  \) lo cual significa que \(  ( f(x) \in B_{i})  (\forall i \in I)  \) entonces \(  x \in f^{-1}(B_{i}) (\forall i \in I) \) y entonces por definición de la intersección \(  x \in \displaystyle\bigcap_{i \in I} {f^{-1} (B_{i})} \)


Gracias por sus observaciones!

10
Matemática Aplicada / Bibliografía sobre teoría de probabilidad
« en: 29 Febrero, 2020, 04:36 am »
Hola a todos

En las próximas semanas iniciaré estudios de Master en Estadística en mi país  ;D y una de las asignaturas que veré en el primer periodo se llama Teoría de Probabilidad. Aunque la profesora del curso tiene un libro con las notas de clase, me gustaría saber si alguien aquí podría, por favor, sugerirme algunos textos en los que se aborden estos temas, pues me interesa tratar de ir adelantado desde el inicio.

Algunos de los contenidos que tiene el curso son: funciones indicadoras, conjuntos de Borel, variables aleatorias, vectores aleatorios, distribución condicional, integración y valor esperado, teorema de convergencia monotona, lema de Fatou, teorema de transformación, desigualdad de Markov, funciones características, teorema de inversión y continuidad, modos de convergencia, etc.

En fin, agradezco cualquier ayuda sobre libros que traten estos temas. También si me pueden sugerir que conceptos (temas, asignaturas) previos debo tener muy claros antes de iniciar con esto  ;D

Gracias.

11
Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Definición incorrecta de Rn?
« en: 24 Septiembre, 2019, 07:07 am »
Hola

Estaba leyendo un libro sobre Álgebra lineal y encontré una definición de \(  \mathbb{R^n}  \) pero no me acabó de convencer. Dice así:

"Se usa el símbolo \(  \mathbb{R^n}  \) para denotar al conjunto de todos los n-vectores \begin{bmatrix}a_1\\{a_2}\\ \vdots\\{a_n}\end{bmatrix}

donde cada \(  a_{i}  \) es un número real".

Y básicamente no me acaba de cerrar esa definición, porque pareciera afirmar que uno puede hacer corresponder cada \(  a_{i}; (0\leq{} i \leq{} n)  \) con cada número real y eso intuitivamente me suena a asumir que los reales son numerables cuando no es así.

No sé qué tan fundamentada pueda estar mi inquietud o si no hay problema en definir \(  \mathbb{R^n}  \) de la manera en que lo hace el libro, pues siempre he venido acostumbrado a definirlo como espacio vectorial.

Gracias.  :)

12
Hola, tengo el siguiente ejercicio y no he logrado que me resulte: "Dos jugadores profesionales de tenis, A y B jugarán un partido; el ganador es el primer jugador que gane tres sets de un total que no puede exceder de cinco. El evento de que A gane algún set es independiente del evento de que A gane cualquier otro, y la probabilidad de que A gane algún set es igual a 0.6. Sea x igual al número total de sets en el partido, es decir x = {3, 4, 5}. Determine p(x)."

Lo que he tratado es lo siguiente: se trata de calcular p(3), p(4) y p(5). Entonces, empezaré por el primer caso.

1. Calcular p(3): Aquí se trata de que A gane los tres sets, por tanto será \(  0.6 ^3 = 0.216 \)

2. Calcular p(4): Aquí hay cuatro sets, de los que se deben ganar 3, pero además se debe establecer la condición de que el último set lo debe ganar A y además debe perder uno de los cuatro, porque si gana los primeros tres, pues no tendría sentido hacer un cuarto set. Entonces:

\(  p(4) = 3(0.4 \times 0.6^2) \cdot{} 0.6  \)

Para este caso, multiplico por 3 porque son las combinaciones que hay en las cuales A gana dos de los tres partidos iniciales, es decir \( 3C2 \).  Y multiplico por 0.6 al final, simplemente para resaltar que ese es el último set y que por obligación lo debe ganar A (y además ese cuarto set no entra en las combinaciones).

Con lo cual \(  p(4) = 0.259 \).

3. Calcular p(5): para este caso mi razonamiento fue igual: el último set lo debe ganar A, además A debe perder dos de los sets y, en consecuencia, los tres que gane no pueden ser los primeros, para que tenga sentido llegar hasta el quinto.  Entonces:

\(  p(5) = 6 (0.4^2 \cdot{} 0.6^2) \cdot{} 0.6 \)

de nuevo, el 6 lo saco de \(  4C2  \) y el último 0.6 lo multiplico al final para resaltar que es el último set, con lo cual \(  p(5) = 0.207 \)

El problema está en que la suma de las probabilidades me debería dar 1, pero en cambio: \(  0.216 + 0.26 + 0.207 = 0.683 \) con lo que es evidente que algo anda mal, pero no veo qué puede ser.

Gracias por la ayuda desde ya  ;D

13
Estructuras algebraicas / Comprobar si son grupos cíclicos
« en: 02 Febrero, 2019, 03:59 am »
Hola

Debo probar si los siguientes grupos son cíclicos y, en caso de serlo, encontrar todos los generadores del grupo. Agradecería si me indican si mis razonamientos son válidos o no.

1. \(  G_ 1 = \left<{ \mathbb{Z}, +}\right> \)
Considero que sí es cíclico y sus generadores son \(  1  \) y \( -1 \)

2. \(  G_2 = \left<{\mathbb{Q}, +}\right> \)
Considero que no es un grupo cíclico. Sin embargo, en este caso no logro ver una razón para explicarlo... Pero tampoco se me ocurre un elemento generador...  :banghead:

3. \(  G_3 = \left<{\mathbb{Q^+}, \cdot}\right> \)
Considero que no es cíclico. El argumento trato de darlo mediante una reducción al absurdo. Supongamos que sí existe un elemento \( [(a,b)] \in Q  \) (el número racional escrito como clase de equivalencia, quiero decir por ejemplo \(  [(1,2)] = \{ 1/2, 2/4, 3/6, 4/8,... \} \)) tal que \( [(a,b)] \) genere a todo el grupo \(  G_3 \). Es claro que \(  (a,b) =1 \) entonces entre los números que genera ese \( [(a,b)] \) siempre van a hacer falta aquellos de la forma \( [(d,b)] \) donde \(  d \in N; (a,d) = 1 \) pues en el numerador solo van a aparecer potencias de \( a \).

4. \(  G_4 = \left<{6\mathbb{Z}, +}\right> \) 
Considero que sí es un grupo cíclico y sus generadores son \( 6, -6 \)

5. \(  G_ 5 = \{6^n | n \in \mathbb{Z}\} \) bajo la multiplicación.
Considero que sí es un grupo cíclico y su generador es \( 6 \)

6. \(  G_6 = \{ a+b\sqrt{2} | a,b \in \mathbb{Z} \}  \) bajo la suma.
Considero que no es cíclico. El argumento trato de hacer por reducción al absurdo. Supongamos que sí existen \( p, q \in Z \) tales que \( \left<{ p +q\sqrt{2}}\right> = \{ a+b\sqrt{2} \}  \). Hay dos opciones. Si \(  p = q \) entonces al conjunto que van a generar le hacen falta elementos de \( G_6 \), pues solo van a aparecer \(  1 + \sqrt{2}; 2 + 2\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2},... \) (y sus opuestos desde luego, pero aún así harían falta otros elementos).

Por otra parte si \(  p \neq q \) entonces sé con seguridad que por lo menos al conjunto le va a hacer falta el elemento \(  1 + \sqrt{2} \) pues no hay manera que \( np + nq\sqrt{2} = 1 + \sqrt{2} \) con las condiciones de que \(  n, p, q \in Z \) y \(  p \neq q \) (la \( n \) la utilizo de la definición de grupo cíclico)

Agradezco sus comentarios!

14
Hola

Estoy resolviendo el siguiente ejercicio: Si \( A \) es una base para una topología sobre \( X \), entonces la topología generada por \( A \) es igual a la intersección de todas las topologías sobre \( X \) que contienen a \( A \).

Lo estoy resolviendo así: lo que se debe mostrar es que

\( \tau_{A} = \bigcap \tau_{\alpha} \)

Donde \(  \tau_A \) es la topologia generada por \( A \) y \( \tau_{\alpha} \) son las topologías que contienen a \( A \). Voy a proceder mostrando las contenencias.

1. Mostrar que \( \bigcap \tau_{\alpha} \subseteq \tau_A  \)

Sea \( C \) tal que \(  C \in\bigcap \tau_{\alpha}  \) como está en las topologías que contienen a \( A \), por definición de base, \( C \) es igual a la unión de elementos de la base: \( C = \bigcup_{B \in A} B \) y, por tanto resulta que \(  C \in \tau_{A} \) (pues \( \tau_{A} \) es la totalidad de uniones de elementos de \( A \))

2. Mostrar que \(  \tau_A \subseteq \bigcap \tau_{\alpha} \)
Sea \( C \) tal que \(  C \in \tau_A \), por definición de \( \tau_A \) se sabe que \( C = \bigcup_{B\in A} B \) lo que implica que \(  C \in A \) y como consecuencia \(  C \in \bigcap \tau_{\alpha} \supseteq{A}  \)

Agradezco si, por favor, me pueden indicar si es correcta o en caso contrario qué debo corregir. Gracias   ;D

15
Topología (general) / Unión de dos topologías
« en: 21 Enero, 2019, 05:59 am »
Hola

Estoy estudiando si la unión de dos topologías es una topología. Ya tengo claro que no es así, y he visto en internet un ejemplo que parece clásico y es considerar \(  X= \{a, b, c \} \) y \(  T = \{X, \phi, \{a \} \}; \beta = \{X, \phi, \{b \} \} \) allí se concluye que \(  T \cup \beta \) no es topología porque \(  \{1\} \cup \{2\} = \{ 1,2 \} \notin T \cup \beta  \). Sin embargo antes de revisar en internet, traté de hacer la demostración de que sí es una topología, porque eso era lo que pensaba. Mi razonamiento iba así:

Sean \( \tau  \) y \( \mu \) elementos de \( Top(X) \), verificar si \(  \tau \cup \mu \in Top(X) \)

1. Revisar si \( \phi \) y \( X \) están en \(  \tau \cup \mu  \):
se sabe que \(  (\phi \wedge X \in \tau) \wedge (\phi \wedge X \in \mu) \) por definición de topología. Pues en particular, pertenecen a la unión \(  \tau \cup \mu  \) dado que la misma no es excluyente.

2. Sean \( A, B \in \tau \cup \mu \) verificar si \(  A \cap B \in \tau \cup \mu \):
 Se tiene que \( (A, B \in \tau) \vee (A, B \in \mu)  \) por definición de topología se sabe que \(  A \cap B \in \tau \vee A \cap B \in \mu  \) y por definición de unión: \(  A \cap B \in \tau \cup \mu \). En este punto es posible que \( A \cap B = \phi  \) pero en dicho caso se tendría \( A \cap B = \phi \in \tau \cup \mu \)

3. Sea \(  \{ A_{i} \}_ {i \in I} \in \tau \cup \mu  \) verificar si \(  \bigcup_{i \in I} A_{i} \in \tau \cup \mu  \):
se tiene que \(  \{ A_{i} \}_ {i \in I} \in \tau \vee \{ A_{i} \}_ {i \in I} \in \mu \) por definición de topología \(  \bigcup A_{i} \in \tau \vee \bigcup A_{i} \in \mu \) y en particular, está en la unión: \( \bigcup A_{i} \in \tau \cup \mu \)

No logro advertir dónde está el error del razonamiento, pues lógicamente que debe tener algo mal. Gracias por su ayuda! 

16
Hola... Estoy tratando de mostrar (o más bien de refutar, sin mucho éxito) que el conjunto \( H= \{ \pi ^n | n \in \mathbb{Z}\} \) es subgrupo de \( ( \mathbb{C}, +) \). El libro me indica que no lo es... Pero no logro ver cuál condición se incumple. Mi razonamiento es así:

1. \( H  \)debe ser cerrado bajo la suma de \(  C  \)..... Primero, se sabe que \(  \pi ^n = \underbrace{\pi + \pi  + ....+ \pi}_{n-  veces} = n\pi  \). Luego sean \( n, m \in \mathbb{Z} \) se tiene que \(  n\pi + m\pi = (n+m)\pi \) y \(  (n+m) \in \mathbb{Z}  \) con lo cual es cerrado.... Sin embargo, lo único que me hace dudar es justamente aquí, pues mi argumento lo hago pasando de \(  \pi^n \) a \( n\pi \) porque si escribo \(  \pi ^n + \pi ^m = \pi^{n+m} \) pues resulta... "extraño", en el sentido usual de las propiedades de la potencia. 

2. El elemento neutro de \( ( \mathbb{C}, +) \) es \( (0,0) \) y en particular para este caso \( 0 \in H \) pues \(  \pi ^0 = 0 \)
 
3. Si \( \forall n \in Z  \) se sabe que \(  \pi ^n = n\pi \in H \), pues en particular el inverso de n; \( -n \) también va a estar en \( Z \)  y en consecuencia \(  \pi ^{-n} \in H  \)

Gracias por la ayuda!  ;D

17
Estructuras algebraicas / Grupos con tres elementos
« en: 05 Enero, 2019, 06:45 am »
Hola... Tengo el siguiente ejercicio: Con 2 elementos hay 16 operaciones binarias, ¿cuántas de ellas tienen estructura de grupo? Para 3 elementos hay 19683 operaciones binarias, ¿cuántas tienen estructura de grupo?

Para resolver la pregunta de dos elementos ha sido sencillo. Son dos operaciones las que tienen estructura de grupo.

Ahora, para resolver el problema de tres elementos he razonado así: Los elementos del grupo serán \(  \{ e,a, b \} \) (Supondré a \( e \) como el elemento neutro). Para que sea grupo entonces hay dos posibilidades iniciales para "llenar la tabla":

Primera:

\begin{array}{|c|r@{--}l|} \hline &{e} &{a} &{b}\\  \hline e & e & a & b \\ a & a & 3opc & 3opc \\ b & b & 3opc & 3opc \\ \hline \end{array}

Donde he colocado "3opc" (tres opciones) es porque son espacios en los que puede ir \( e, a  \) o \( b \). Lo cual lleva decir que hay 81 posibilidades \( (3^4) \). Sin embargo, el elemento neutro debe aparecer en cada fila y en cada columna, lo cual reduce las posibilidades a algo así:

\begin{array}{|c|r@{--}l|} \hline &{e} &{a} &{b}\\  \hline e & e & a & b \\ a & a & e & 3opc \\ b & b & 3opc & e \\ \hline \end{array}

Allí solo hay 9 posibilidades \(  (3^2) \). No obstante, se pueden permutar las "e" con las casillas de "3 opciones" y aparecerían otras 9 posibilidades. Con lo cual van 18.   

Al inicio mencioné que había otra manera de completar la tabla para formar grupos de tres elementos, quedaría algo así:

Segunda:

\begin{array}{|c|r@{--}l|} \hline &{e} &{a} &{b}\\  \hline e & 3opc & 3opc & e \\ a & 3opc & 3opc & a \\ b & e & a & b \\ \hline \end{array}

Con esa nueva opción de tabla, realicé un razonamiento análogo al anterior para obtener otras 18 posibilidades. Con lo cual, finalmente, habrían 36 operaciones binarias formadas con tres elementos que tienen estructura de grupo.

 No sé si mi manera de razonar esté correcta o me hayan faltado por analizar más casos, pues me parece que 36 entre 19683 opciones son muy pocas. Además tampoco he pensando en ningún momento (consciente al menos) en la asociatividad de lo casos. Solo en que se cumplan los elementos neutros e inversos...

Gracias y excusas por la extensión del mensaje, ha sido muy complicado tratar de hacerme entender en este ejercicio  :-[


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Cálculo de Varias Variables / Construir una función continua
« en: 27 Diciembre, 2018, 07:05 am »
Hola, estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio del libro de Cálculo vectorial y la verdad es que no sé cómo iniciarlo, es:

Suponer que \( x  \) y \(  y \) están en \(  \mathbb {R}^n \) y que \( x \neq y \). Mostrar que existe una función continua \(  f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) con \( f(x) = 1, f(y)=0 \) y además \(  0 \leq f(z) \leq 1 \) para todo \( z \in \mathbb{R}^n \). Entiendo que antes de pedir ayuda debería mostrar aquí los intentos que he hecho, pero como dije, no se me ocurre la forma de abordarlo  :( :(

Además revisé la solución que propone el libro y me dejó todavía peor. Dice: Sea \( r = \frac{ \left\|{x-y}\right\|}{2} \). Si \(   \left\|{z-y}\right\| \leq r \) entonces \(  f(z)= \frac{ \left\|{z-y}\right\|}{r} \) y si \(  \left\|{z-y}\right\| > r  \) entonces \(  f(z)=1 \)... Pero no veo cómo es que ha construido la función por ningún lado.

Gracias por cualquier orientación al respecto.

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Topología (general) / Ejercicio de conjuntos abiertos
« en: 20 Diciembre, 2018, 02:30 am »
Hola, buenos días

Estoy realizando algunos ejercicios sobre conjuntos abiertos y debo demostrar que el conjunto C lo es... He hecho una prueba y quisiera saber si está bien o no.... Gracias por la ayuda!!

Demostrar que el conjunto \(  C=  \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \neq 0 \wedge  y \neq 0\right \}  \) es abierto

Dem

Sea \(  \overrightarrow x_0 = (x_0, y_0)  \) tal que \(  \overrightarrow x_0 \in B(r, x)  \) ello implica que \(  \left \| \overrightarrow x_0 - x \right \| < r \rightarrow \sqrt {(x_0- x)^2 + (y_0 - y)^2} < r  \)

Pero se sabe que \(  r < \sqrt{x_0^2 + y_0^2}  \) (la distancia del origen al centro es mayor que el radio...) por lo tanto, por transitividad \(  \sqrt {(x_0- x)^2 + (y_0 - y)^2} <  \sqrt{x_0^2 + y_0^2}  \) así, cancelando raíces cuadradas se tiene que

\(  (x_0- x)^2 + (y_0 - y)^2 <  x_0^2 + y_0^2  \) dado que se quiere mostrar que \(  x_0 \neq 0 \wedge y_0 \neq 0  \) entonces se supone lo contrario para llegar a una contradicción. Si \(  x_0 = 0 \wedge y_0 = 0  \)

\(  (0- x)^2 + (0 - y)^2 <  x_0^2 + y_0^2 \rightarrow x^2 + y^2 < 0  \) y esta ultima desigualdad no puede ocurrir nunca,con lo que se llega a contradicción, entonces se tiene que \(  x_0 \neq 0 \wedge y_0 \neq 0  \) así se tiene que  \(  \overrightarrow x_0 \in C  \)  y en consecuencia el conjunto es abierto

Gracias por la ayuda y las reacciones a mi intento!!

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Estadística / Error tipo II en proporciones
« en: 19 Mayo, 2015, 02:56 am »
Hola  :D

Estoy desarrollando un trabajo sobre los errores tipo I y II en pruebas de hipótesis cuando se hacen pruebas en distribuciones de medias y de proporciones. Para el caso de las medias he encontrado un método directo para calcular \( \beta \) que es la probabilidad de error tipo II y se trata de una fórmula sencilla.

Sin embargo no encuentro una fórmula análoga para calcular la probabilidad de error tipo II para el caso de proporciones. Solamente encuentro un método usando intervalos de confianza, pero asumo que debe existir otro caminos que sea análogo al de medias.

Agradezco cualquier ayuda!

Saludos,

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