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Teoría de grafos / Interpretando un problema
« en: 07 Enero, 2017, 01:13 pm »
Buenos días, tiempo sin pasar por aquí.

Quisiera preguntar por cómo debo entender el siguiente problema:

Let \( T \) be a tree. Show that the graph whose vertices are proper \( 3- \)colorings of \( T \) and whose edges are pairs of colorings which differ at only a single vertex is connected.

No he sabido cómo interpretarlo.

Muchas gracias.



2
Hola ¿cómo va todo?

Quiero demostrar el siguiente ejercicio que aparece en el libro Topology, Measure and Fractal Geometry de Gerald Edgar:

Sean \( p_1, p_2, p_3 \) tres puntos cualesquiera del plano, definimos el sistema iterado de funciones \( (f_1,f_2,f_3) \) donde las funciones son \( f_i(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x+p_i) \). Para este sistema iterado existe un único triángulo de Sierpinski \( S \) que es atractor. Tomamos una sucesión \( k_n \) de elementos \( \{1,2,3\} \) y un punto cualquiera \( a \) del plano y definimos
\( x_0=a \) \( x_{n+1}=f_{k_n}(x_n) \)
Entonces pruebe que
(1) Todo punto de acumulación de \( \{x_n\} \) está contenido en \( S \).
(2) Dado un punto en \( S \) existe una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) lo tenga como punto de acumulación.
(3) Existe un punto \( a \) en el plano y una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) tenga como conjunto de acumulación a todo \( S \).

El teorema principal de la sección dice que dado un sistema iterado de contracciones \( (f_1,...,f_n) \) en un espacio métrico completo \( X \) existe un único conjunto compacto \( K \) que cumple la ecuación \( K=\bigcup_{i=1}^n f_i[K] \). Además para cualquier conjunto compacto \( A\subset X \) la sucesión \( A_0=A \) y \( A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^n f_i[A_n] \) converge a \( K \) en la métrica de Hausdorff.

Sólo he podido lograr el punto (1) encontrando en el triángulo de Sierpinski una sucesión que se "comporta igual" a la sucesión dada. Esto es que encontré una sucesión \( \{y_n\} \) de elementos de \( S \) tal que dado un \( \epsilon \) existe un \( N \) con la propiedad de que \( n\geq N \) entonces \( d(x_n,y_n)<\epsilon \). Este tipo de sucesiones coinciden en sus puntos de acumulación y como \( S \) es cerrado, se tiene este punto.

Con el segundo y el tercer punto a pesar de haberle gastado un buen tiempo, no he logrado mayor cosa con ellos. En el punto (2) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino en las tres direcciones dadas de modo que nos acerquemos a cualquier punto del triángulo. En (3) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino que ande entre por todo el triángulo infinitas veces. Pero esta intuición no me ha ayudado mucho...

Agradezco cualquier consejo.

 ;D


3
Hola

Debo probar que no existe una función \( \phi:S^n \rightarrow S^1 \) para \( n\geq 2 \) tal que \( \phi(-x)=-\phi(x) \).

He intentado varias cosas y ninguna muy próspera. Entre ella hacer un levantamiento \( \alpha \) de una curva \( \alpha \) en el espacio proyectivo n-dimensional y tratar de mostar que estas curvas dan bajo \( \phi \) una curva no trivial en \( S^1 \) lo que sería una contradicción. Pero no logro probar o convencerme de que la curva efectivamente es no trivial.

¿Me podrían dar alguna indicación?

Gracias.

4
Ecuaciones diferenciales / Ecuación de onda elástica.
« en: 12 Mayo, 2015, 03:59 am »
Dado el operador \( \Lambda=(\partial_t^2-c_1^2\partial_r^2)(\partial_t^2-c_2\partial_r^2) \) demuestre que la media esférica
\( M_u(x,r,t)=\displaystyle\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t) dS(r) \)
satisface la ecuación \( \Lambda(rM_u)=0 \).

He tenido problemas calculando las derivadas respecto a \( r \), en realidad no sé muy bien cómo hacerlo sólo tengo claro que la primera es

\( \partial_r rM_u=-\displaystyle\frac{3\cdot2}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t)dS(r)+\displaystyle\frac{3}{4\pi r^2}\int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

pero según el operador de se debe derivar hasta cuatro veces y en particular no sé cómo derivar respecto a \( r \) a

\( \int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

¿alguna ayuda?

Gracias.

5
Hola

Quisiera preguntar por unas referencias donde se discutan las ecuación de onda del siguiente tipo y similares:

\( u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy}) \)
\( u(x,y,0)=0 \)
\( u_t(x,y,0)=x^2+y^2 \)

donde \( x,y\in\mathbb{R} \). Estos son problemas que no son de frontera y entonces el método de separación de variables creo que no funciona.

Muchas gracias.  ;D

6
Teoría de la Medida - Fractales / Funciones continuas por abajo
« en: 31 Marzo, 2015, 03:51 am »
Hola!

El límite superior de una función \( f \) real (o real extendida) en un punto \( y \) es:
\( \lim_{x\rightarrow y}\sup f(x)=\inf_{\delta>0} \sup_{0<|x-y|<\delta} f(x) \)
el límite inferior en el punto \( y \) se define de manera similar.

Una función \( f \) de valores en los reales extendidos es semicontinua inferior en un punto \( y \) si \( \lim_{x\rightarrow y}\sup_{x\rightarrow y}f(x)\geq f(y) \). Diremos que es semicontinua inferior en un intervalo si es semicontinua inferior en todo punto del intervalo.

Me piden que demuestre lo siguiente

- Una función definida en un intervalo \( [a,b] \) es semicontinua inferior si y sólo si existe una sequencia monónota creciente \( \phi_n \) de funciones paso semicontinuas inferior en \( [a,b] \) tales que para cada \( \phi_n\rightarrow f \) puntualmente.

Todos estas definiciones (y el enunciado anterior) son para dar algo de contexto del ejercicio del que tengo dudas. Asimismo la demostración de el anterior enunciado por eso irá en spoiler.

demostración
Dado \( n \). Consideremos los siguientes intervalos abiertos del intervalo \( [a,b] \):
\( E_1=(x_0,x_1), E_2=(x_1,x_2),...,E_n=(x_{n-1},x_n) \)
Donde \( x_i=a+\displaystyle\frac{i(b-a)}{2^n} \) \( i=0,...,2^n \)

Definimos \( \phi_n \) como sigue

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{a_i}&\mbox{ si  }& x\in E_i
             \\ \min(a_i,a_{i+1}) & \mbox{si}& x=x_i
             \\ a_1                     & \mbox{si}& x=a
              \\ a_{2^n}              & \mbox{si}& x=b
       \end{matrix}
 \)
Con \( a_i=\inf_{x\in E_1} f(x), i=1,...,2^n \). Cada una de las funciones dadas es continua inferiormente y forman una sucesión creciente de funciones puesto que en cada nueva partición del intervalo el ínfimo de cada subconjunto debe ser mayor o igual al ínfimo del conjunto completo.
La sucesión \( \{\phi_n(y)\} \) converge a \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) \) pero como \( \phi_n(x)\leq f(y) \) entonces \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) =\lim_n \phi_n(x)\leq f(y)\leq \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x)  \) puesto que es continua inferiormente. Esto implica la convergencia a \( f \) puntualmente de las funciones \( \phi_n \).
[cerrar]

Este ejercicio es el previo al siguiente que no he podido realizar:

Demuestre que se puede realizar el mismo tipo de aproximación con funciones continuas que la dada en el teorema anterior.

¿Alguna sugerencia?

¡Muchas gracias!  ;D

7
¡Hola!

Quisiera me dieran una pequeña ayuda para resolver el siguiente ejercicio.

Dadas \( M_1, M_2 \) variedades diferenciables, \( \phi:M_1\rightarrow M_2 \) un difeomorfismo local. Pruebe que si \( M_2 \) es orientable entonces \( M_1 \) es orientable.

Lo realizado:
Como \( \phi \) es un difeomorfismo local podemos escoger para cada \( p\in M \) dos conjuntos abiertos \( U_p\subset M_1 \) y \( V_p\subset M_2 \) conteniendo a \( p \) y  a \( \phi(p) \) respectivamente tales que \( \phi\upharpoonright U_p=\phi_p:U_p\rightarrow V_p \) es un difeomorfismo. Como $M_2$ está orientada existe un atlas \( \{(y_\alpha,W_\alpha)\} \) que induce una orientación en \( M_2 \).

Realmente esto no es mucho. No sé cómo inducir un atlas sobre \( M_1 \) de tal manera que induzca una orientación.

Agradezco las sugerencias y las ayudas.

 ;D

8
Hola

Quisiera que alguien me recomendara un texto o unas notas donde describan las reducciones de las ecuaciones de la forma

\( a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + a_1u_x + a_2u_y + a_0u = 0 \)

donde los aes son constantes a formas donde no aparecen las derivadas parciales cruzadas.

Gracias de antemano.

9
Hola

Dadas las funciones reales \( f_1(x)=x/3 \) y \( f_2(x)=(x+2)/3 \) tenemos que el conjunto de Cantor $C$ cumple la ecuación
\( C=f_1(C)\cup f_2(C) \)
la demostración -que la comprendo- consiste en que se toma como probado la ecuación
\( C_{k+1}=f_1(C_k)\cup f_2(C_k) \)
sin embargo esta última no entiendo cómo probarla formalmente, aunque intuitivamente es más que clara. ¿Cómo probar esta ecuación? Sé que es por inducción, pero este tipo de argumentos por inducción se me hacen particularmente complicados, en parte porque me dan la "sensación" de ser informales y no se me ocurren. Así mismo la prueba de que \( C \) consiste de los puntos que en base tres sólo consiste de \( 0 \) y \( 1 \) se me hace extraña y un poco informal.

¿Podrían mostrarme una demostración de esta ecuación?

EDITADO: La definición aquí asumida del conjunto de Cantor es por medio de la siguiente contrucción, definimos \( C_0=[0,1] \), el conjunto \( C_1 \) es retirar el intervalo \( (1/2,2/3) \) de \( C_0 \), en general definido  \( C_k \), el conjunto \( C_{k+1} \) se obtiene de \( C_k \) retirando de cada intervalo que lo compone el intervalo abierto del medio. El conjunto \( C \) es la intersección de los \( C_k \)

¡Gracias!

10
Geometría Diferencial - Variedades / Pseudoesfera.
« en: 29 Noviembre, 2014, 01:31 am »
Hola

Debo calcular la curvatura gaussiana de una pseudoesfera, parametrizada como:

\( x(u,v)=(\cos u \sin v, \sin u \sin v , \cos v+\log (\tan {v/2})) \)

con \( 0<v<\pi \) y \( 0<u<2\pi \).

Mi estrategia para ahorrar cálculo, fue calcular la curvatura con signo de la tractriz, la que según tenía entendido era una línea de curvatura. Esta curvatura me dio

\( k_1=-\tan v \)

sin embargo, las otras líneas de curvaturas son círculo con radio \( \sin v \) y por tanto su curvatura es \( \csc v \) que claramente al multiplicarse con la otra curvatura no da \( -1 \). ¿Qué estoy interpretando mal?


¡Gracias!

11
Hola  :)

Sea \( X(\theta,\phi)=(\sin \theta \cos \phi, \sin\theta\sin \phi, \cos\theta) \) una parametrización de la esfera \( S^2 \). Sea \( P \) un plano \( x=z \cot\alpha \), \( 0<\alpha<\pi \) y \( \beta \) el ángulo que la curva \( P\cap S^2 \) hace con el semimeridiano \( \phi=\phi_0 \). Compute \( \cos \beta \).

He tenido inconvenientes intentando obtener una ecuación decente para la intersección...

Quiero decir, las ecuaciones que obtengo son:
\( x=\cos \theta \cot\alpha \)
\( y=\sqrt{\sin^2\theta-\cos^2\theta\cot\alpha} \)
\( z=\cos\theta \)

sin embargo, no sé muy bien qué hacer con esta ecuaciones.

Gracias por la ayuda y los comentarios.  ;D

12
¡Hola!

Dadas \( n \) a funciones de valores reales  \( f_1,...,f_n \) cada un diferenciable en un intervalo abierto  \( (a,b) \) en \( \mathbb{R} \). Para cada \( x=(x_1,..., x_n) \) en el intervalo \( n- \)dimensional
\( S=\{(x_1,..., x_n): a<x_k<b, \text{ k=1 , ... , n}\}  \)
definimos \( f(x)=f_1(x_1)+\cdots + f_n(x_n) \). Demuestre que \( f \) es diferenciable en cada punto de \( S \) y que
\( df_{x}(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f'_k(x_k)u_i \)
donde \( u=(u_1,..., u_n) \).

El procedimiento que seguí fue el siguiente:
My procedure: Para cada \( k \) tenemos la ecuación:
\( f_k(x_k-u_k)-f_k(u_k)=f'(x_k)u_k+u_kE_k(u_k) \)
donde \( E_k(u_k) \) tiende a cero cuando \( u_k \) tiende a cero. Esto es posible porque \( f \) es diferenciable. Sumando para \( k=1,...,n \) tendremos
\( f(x-u)-f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n f_k(x_k-u_k)-f_k(u_k)=\displaystyle\sum_{k=1}^nf'(x_k)u_k+\displaystyle\sum_{k=1}^nu_kE_k(u_k) \)
entonces deberíamos probar que la cantidad
\( \displaystyle\frac{1}{|u|}\displaystyle\sum_{k=1}^nu_kE_k(u_k) \)
tiende a cero cuando \( u \) tiende a cero.

¿Cómo puedo hacerlo?

¡Gracias!

13
¡Buenas, buenas!

En el libro de Do Carmo de geometría de curvas y superficies se introduce de manera más bien informal los conceptos de tangente fuerte y tangente débil de una curva. En pro de la completitud fijaremos \( \alpha: [a,b]\rightarrow \mahbb{R}^3 \)  una curva continua y \( t_0 \) un punto de \( [a,b] \).

Lo que se dice en el Do Carmo es más o menos lo siguiente:

Decimos que hay una tangente débil en \( t_0 \) si existe una posición final para la recta que pasa por los puntos \( \alpha(t_0), \alpha(t_0+h) \) cuando \( h\rightarrow 0 \).

Decimos que hay una tangente fuerte en \( t_0 \) si existe una posición final para la recta que pasa por los puntos \( \alpha(t_0+h), \alpha(t_0+k) \) cuando \( (h,k)\rightarrow (0,0) \).


No creo que haga mucha falta decir que estos conceptos son muy poco claros como para hacer seriamente una demostración. Quiero decir que "una posición final" suena ambiguo. Sin embargo es más o menos claro que al hacer un dibujito sí es posible imaginarse una posible tangente débil y una tangente fuerte de una función.

También pueden imaginarse distintas o inexistentes.  Ul ejemplo que provee el mismo Do Carmo es \( t\mapsto(t^3,t^2) \) usando la gráfica puede una darse cuenta que esta curva tiene una tangente débil, pero que la tangente fuerte tiene al menos dos posibilidades, una perpendicular a la otra.

Después de meditar un rato, supuse que una buena definición de tangente débil sería la siguiente: Si el siguiente límite existe

\( \lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\alpha(t_0)-\alpha(t_0+h)}{|\alpha(t_0)-\alpha(t_0+h)|} \)

decimos que hay una tangente débil en \( t_0 \).

De manera análoga para una tangente fuerte: Si el límite siguiente existe

\( \lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)}\displaystyle\frac{\alpha(t_0+h)-\alpha(t_0+k)}{|\alpha(t_0+h)-\alpha(t_0+k)|} \)

diremos que existe una tangente fuerte en \( t_0 \).

Esta definiciones parecen a primera vista adecuadas, porque permiten conservar el sentido del vector que define la recta que pasa por el punto \( \alpha (t_0) \). Además estas son sufientes mostrar formalmente que la curva \( t\mapsto (t^3, t^2) \) tiene una tangente débil pero no una tangente fuerte (ejercicio :P ).

Sin embargo, hay una ambigüedad el límite definido por la tangente fuerte usualmente tendrá dos valores en caso de poderse definir una recta límite, estos dos vectores serán paralelos, pero igual significa que el límite no existe y por tanto la definición es insuficiente. Creo que la misma observación puede aplicarse a la definición de tangente débil.


Estos dos conceptos sólo los he encontrado en el Do Carmo y esporádicamente en internet haciendo mención, casi siempre a este libro.


El problema de la definición surgió por uno de los numerales de los ejercicios del libro: si \( \alpha \) es derivable y regular en \( t_0 \) entonces tiene una tangente fuerte en \( t_0 \). Donde surge el problema de las direcciones.

¿Alguien conoce este concepto bien formalizado o en otra fuentes bibliográficas?


Gracias.  ;D







14
¡Buenas, buenas!

Tengo la sucesión definida por \( s_n=\cos (n) \). Sé que el conjunto de puntos límites es \( [-1, 1] \) ¿cómo lo pruebo?

Recibí un consejo: considerar que el siguiente conjunto \( A=\left\{\displaystyle\frac{n}{\pi}-\left[\displaystyle\frac{n}{\pi}\right]\right\} \) es denso en \( [0,1) \). Sinceramente no supe qué hacer con eso.

Sin embargo me llevó a intentar probar que si \( x \) es irracional entonces \( \{nx-[nx] : n\in \mathbb{N}\} \) es denso en \( [0,1) \). Y con esto problema tampoco he llegado a mucho  ;D  ...

Pero he encontrado temas interesantes.  :P

Agradezco ayudas y sugerencias.


15
Análisis Matemático / Pregunta
« en: 29 Abril, 2014, 09:38 pm »
¡Buenas buenas!

Me piden encuentre una función derivable \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) tal que \( |f'(x)|<1 \) y no exista ningún punto fijo para \( f \). ¿No es esto imposible por el teorema del punto fijo para contracciones?

¡Gracias!

16
Análisis Matemático / Limites relacionados de una función.
« en: 24 Abril, 2014, 05:21 am »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Sea \( f:[0. +\infty]\rightarrow\ \mathbb{R} \) una función acotada en cada intervalo acotado. \( Si \lim_{x\rightarrow \infty} [f(x+1)-f(x)]=L] \) entonces

\( \lim_{x\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{f(x)}{x}=L \)

No he encontrado un camino para lograr demostrarlo. Me serviría un consejo.

¡Gracias por las sugerencias y comentarios!  ;D

17
Docencia / ¿Cómo calificar?
« en: 23 Abril, 2014, 06:57 am »
¡Buenas, buenas!

Suelo pasar mucho tiempo pensando en cuál debería ser la manera de calificar de un profesor. Suelo asumir que un examen no es la mejor idea, pero también considero que no sé responder por una alternativa ¿conocen ustedes maneras distintas de calificar o evaluar un estudiante? Hay varias razones a considerar, por poner algunas

1. En un examen se llega a valorar poco la actividad extra clase que realiza el estudiante. Como los libros que consulta, la forma en la que toma los apuntes, las dudas que se le pudieron generar.

2. Aunque hay maneras de disminuir este factor, la "suerte" suele jugar su papel. Es muy posible que los problemas que colocan no se les encuentre el truco al momento y no se logre resolver. Me refiero a disminuir el factor en los casos en que se sabe que un examen sale de un taller, por ejemplo.

3. Aunque yo considero este factor menos frecuente (de existir datos cuantitativos estaría feliz) deben contarse la cantidad de personas con conocimiento en lo que se evalúa que suelen llenarse de nervios en las evaluaciones.

Asunto que considero suceden pero que son más difíciles de discutir:

4. El interés de un estudiante se ve muy por menorisado, quiero decir, se valora poco o para el estudiante es importante guardárselo. Cuando se preparara una persona para un parcial, suele tener una cantidad fija de temas que debe estudiar, y puede que incluso un libro fijo. En caso que el estudiante sienta curiosidad por algún otro tema que se encuentre mientras aprende aquellos que se dictan en la clase, deberá dejarlos para después -limitando su entusiasmo- puesto que en el momento no le será posible.

5. Considero que cuando el conjunto de temas es muy fijo, la creatividad se ve poco motivada. Como sucede en un examen hay un conjunto de temas y un conjunto de posibles problemas, un estudiante preferirá prepararse para resolver los problemas antes que adentrarse en la materia para comprenderla, y con resolver, me refiero únicamente a saber resolver los problemas para los que se prepara, no la habilidad para responder problemas que la materia permite resolver.

No sé qué puntos se puedan añadir y/o analizar de mi lista, para discutir y criticar.

La amenaza motivacional que se vive para intentar obtener buenas notas en un examen no es la alegría de aprender, sino un numerito en tu promedio, que tiene mucha influencia en las entradas que se puedan tener dentro y fuera de la universidad.

Incapaz como soy de pensar aún en otras maneras de evaluación creo que un examen (duración: 2 horas) debe contar en lo posible con las siguientes propiedades:

i. Procurar que evalúe los temas dictados que lo definen a nivel de comprensión, es decir, que los numerales busquen que al responderse obtengan del estudiante una confirmación de que entiende cierto concepto a evaluar. Con esto quiero que se omitan los ejercicios que requieren larga reflexión o haberlos buscando antes o un truquillo.

ii. Si es posible, que recoja a un nivel mayor temas que le son anteriores. Por ejemplo, en caso de numerabilidad en análisis, un buen manejo elemental de la numerabilidad en un primer curso de conjuntos.

iii. Sin entrar en conflicto con lo dicho en i.  un examen debe ser correspondiente a lo dictado en clase o aspectos que podamos considerar anexos (artículos, páginas web...,etc).

Sé que hay maneras de evaluar más amplias y que acogen más maneras de aprender, no he querido gastar demasiado tiempo en ellas (ahora tengo un poco para hacerlo) porque me dan la impresión que requieren algo que se tiene pocas veces: o un número pequeño de estudiantes o estudiantes entusiasmados. Si alguien conoce alguna, sería bien escuchada.

En general, tengo algo claras mis perspectivas en cuento a la pedagogía en la cabeza, pero cuando intento escribirlas me vuelvo una bola. Entonces, este espacio, puede ayudar a aclarar ideas (no sólo mías) en cuanto a modos de evaluación.

Quisiera preguntar ¿por qué usar el examen como método usual para la evalución y no otro? En algunas ocasiones me da la impresión que es facilidad algorítmica.

Otro aspecto importante a decir, es que estas son las ideas que está dando un estudiante, un estudiante que acaba está saliendo de finales (y por tanto tiene mucho odio en su interior  :P ) y entonces las ideas que bien podrían complementar alguien con experiencia enseñando se me escapan.

¡Agradezco cualquier aporte a la discusión!  ::)

18
Análisis Matemático / Resta de compactos es compacto.
« en: 20 Abril, 2014, 08:38 pm »
¡Buenas buenas!

Tengo el siguiente problema:

Dado que \( K_1, K_2 \) subconjunto de los números reales son compactos entonces \( K_1-K_2=\{x_1-x_2 : x_1\in K_1, x_2\in K_2\} \) es compacto.

Y la siguiente demostración:

Sea \( \Lambda \) un recubrimiento abierto de \( K_1-K_2 \). Para cada \( x_2\in K_2 \) tenemos que el conjunto \( K_1-x_2 \) es compacto puesto que \( K_1 \) lo es, por tanto para cada \( x_2\in K_2 \) existe un subrecubrimiento finito de \( \Lambda \) que recubre a \( K_1-x_2 \), llamémoslo \( \mathcal{O}_{x_1} \). Tenemos que \( \cup{\mathcal{O}_{x_1} \) recubre a \( K_1-K_2 \). Luego, como \( K_2 \) es compacto podemos obtener una cantidad finita \( y_1, y_2,..., y_n\in K_2 \) tal que para cada \( x_1\in K_1 \) el recubrimiento \( \mathcal{O}=\cup{\mathcal{O}_{y_i}}_{i=1}^m \)  recubra a  \( x_1- K_1 \). Por tanto \( \mathcal{O} \) es un subrecubrimiento finito de \( \Lambda \) que recubre a \( K_1-K_2 \), luego \( K_1-K_2 \) es compacto.

Digamos que me creo la demostración. Pero la parte en rojo me causa dudas, no me parece claro. ¿Podría alguien ayudarme a aclarármelo?

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

19
Matemáticas Generales / Función generatriz
« en: 18 Abril, 2014, 10:22 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema

Sea \( p(n) \) el número de particiones no restringidas de \( n \). Sea \( f(x) \) la función generatriz de \( p(n) \) explique por qué:

\( f(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{1-x^n}} \)


... Bueno, el asunto es que me doy cuenta que la función \( f_1(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots \) cuenta el número de formas que se puede escribir un número como suma de un sólo término (sí mismo) luego cada coeficiente es \( 1 \). En caso de \( f_2(x)=\displaystyle\frac{1}{1-x}\displaystyle\frac{1}{1-x^2}=(1+x+x^2+x^3+\cdots)(1+x^2+x^4+x^6\cdots) \) noto que el coeficiente cuenta las distintas maneras en que puede escribirse un número como suma de un sólo término y de dos términos y así... pero no creo que esto constituya una explicación.

Había visto en internet algo como: El uno puede contribuir en la suma 0,1,2,3... veces entonces el primer término es (1+x+x^2+\cdots), el dos puede contribuir en la suma 0,1,2,3... veces entonces el segundo término es (1+x^2+x^4+x^5\cdots). Siguiendo con este razonamiento encontramos que el la función generatriz es

\( \displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}{\displaystyle\frac{1}{1-x^n}} \)

Pero también suena muy "tirada" -o ya de conocedores...

¿cómo estaría bien una explicación de que \( f(x) \) sí tiene la forma mencionada?

¡Gracias por las ayudas y comentarios!

20
- Otros - / Ranas saltándose entre sí.
« en: 18 Abril, 2014, 08:51 pm »
¡Buenas, buenas!

Tengo el siguiente problema:

Tres ranas son colocadas en tres vértices de un cuadrado. Cada minuto, una rana salta sobre otra de tal modo que la "saltada" es el punto medio del segmento que define el punto inicial y el punto final de la rana "saltadora". ¿En algún momento alguna rana ocupará el vértice del cuadrado que en principio estaba sin ocupar?

Adjunto mi solución, con ánimos de preguntar si es correcta y a sabiendas que no tengo buena habilidad para dar con las respuestas sencillas a estos problemas sencillos, entonces pregunto ¿alguien conoce -o le resulta- una prueba más sencilla?

¡Gracias por las ayudas y sugerencias!

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