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Mensajes - Fernando Revilla

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De acuerdo, lo he entendido, muchas gracias a todos. Una última cosa, la siguiente expresión es cierta, ¿verdad?
\(  [x]=[y]  \) en \(  \mathbb{Z} _n \Longleftrightarrow{x\equiv_n{y}} \)

Sí, es cierta. Te puede ser útill ver la construcción del anillo \(  \mathbb{Z} _n \): https://fernandorevilla.es/2021/02/23/congruencias/.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Norma y Angulos
« en: 11 Enero, 2022, 08:12 pm »
¿Esto quiere decir que la norma es \[  \left\|{x}\right\| = \sqrt{ \displaystyle\int_{a}^{b} [f(x)g(x) + f'(x)g'(x)]dx}  \]? ¿Se puede simplificar de alguna manera?

Sería \( \left\|{f}\right\| =\sqrt{\langle f,f \rangle} =\sqrt{ \displaystyle\int_{a}^{b} [f(x)^2 + f'(x)^2]dx} \).

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Añado algo.

1) ¿Cuál es el valor de la curvatura de un punto?

Incluso considerando un punto como una curva, por ejemplo \( \mathbf{r}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^2 \) dada por \( \mathbf{r}(t)=(0.0) \), la curvatura mide la variación del cociente \( \displaystyle\frac{\Delta \theta}{\Delta s} \) cuando \( \Delta s\to 0 \) siendo \( \Delta \theta \) la variación del ángulo de las tangentes y \( \Delta s \) la variación de la longitud de arco. Aqui el cociente no está definido y por tanto no tiene sentido hablar de curvatura. No tendríamos una representación paramétrica regular.

4
Una tercera manera, es usando el teorema general del cambio de base \( A\to Q^{-1}AP \). Hay un ejemplo en  https://fernandorevilla.es/2014/05/21/cambio-de-base-en-aplicaciones-lineales-matrices-equivalentes/ (ejercicio 3, primer método).

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Encontrar una función \( f(x) \) tal que:
si \( x<b \) entonces \( y=1 \)
si \( x\geq b \) entonces \( y=-1 \)

Te devuelvo el problema. Encuentra una función \( f(x) \) tal que \( f(x)=x^2 \).

Solución
\( f(x)=x^2. \)
[cerrar]

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... me parece bastante grave que en una oposición un enunciado esté mal y pase desapercibido.

¡Bah! ninguna sorpresa, acuérdate del problema de los relojes. Y de otros :).

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- Otros - / Re: Base ortonormal en R4
« en: 24 Diciembre, 2021, 08:39 pm »

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Topología (general) / Re: Espacios topológicos continuos
« en: 19 Diciembre, 2021, 01:42 am »
Sugiero que corrijas la ortografía del título. Lo mismo le dije a armando.unica que comparte ordenador contigo.

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Topología (general) / Re: Espacios topológicos
« en: 19 Diciembre, 2021, 01:39 am »
El título "espacios topologicos" no corresponde con el nivel que se le supone a alumnos universitarios. Sugiero que lo cambies por "Espacios topológicos".

P.D. Ya te comenté algo al respecto en otro hilo.

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Teoría de números / Re: Serie de potencias $$S_m$$
« en: 18 Diciembre, 2021, 08:23 pm »
Tal vez pueden ser útiles los apartados 10 y 11 de https://fernandorevilla.es/2015/09/30/diferencias-de-orden-k-y-monomios-generalizados/, en donde aparece \( S_k \) como combinación lineal de monomios generalizados.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 18 Diciembre, 2021, 10:11 am »
Disculpa como el teorema trata de matriz, entoces debo verlo de la siguiente manera? como $$T$$ es normal , entonces la matriz $$A$$ es normal y por eso existe un $$U \in \mathbb{}C^{n\times{n}}$$ es correcto verlo de esa forma?

Es correcto, pero te falta añadir "respecto de una base ortonormal" (que siempre existe).

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 18 Diciembre, 2021, 12:56 am »
Y sobre esto por favor, no he encontrado informacion para apoyarme " Como \( T \) es normal, es diagonalizable unitariamente i.e. existe \( U\in \mathbb{C}^{n\times n} \) unitaria ..."

Es el conocido teorema espectral para matrices normales. Viene en el primer enlace que te proporcioné.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Ejercicio convolución
« en: 15 Diciembre, 2021, 06:14 pm »
Si me podrías dar alguna idea, gracias.

El apartado \( a) \) es rutinario, aplica la definición de convolución y te aparecerá la integral de una función racional.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 15 Diciembre, 2021, 06:09 pm »
No logro llegar a la conclusion
$$U^*AU=D\Rightarrow{(U^*AU)^*=D^*}\Rightarrow{UA^*U^*=D^*}$$ ,  debería quedar asi?
es en esta parte que no logro captar $$U^*A^*U=D=U^*AU$$ Donde queda el $$D^*$$ ??

Por las propiedades de la adjunta (mira https://fernandorevilla.es/2014/09/03/matriz-adjunta/),

        \( (U^*AU)^*=U^*A^*(U^*)^*=U^*A^*U \)

Por otra parte, al ser \( D \) diagonal real, \( D^*=D \).

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Ejercicio convolución
« en: 15 Diciembre, 2021, 08:49 am »
Sea \( f\left(x\right)=\frac{1}{\pi }\frac{1}{x^2+1} \). Calcula la convolución \( (f*f)(x) \):
a) Mediante integral directa usando la definición de convolución.
b) Mediante transformada de Fourier.
Estoy empezando a hacer este ejercicio. Si me pudierais ayudar, gracias de antemano.

Bien, escribe hasta donde has llegado y vamos revisando.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 14 Diciembre, 2021, 10:38 pm »
$$A=UDU^*$$ estos se asemeja a lo presentado en el primer comentario, pero no puedo avanzar , no se en que estoy fallando

Lo que has escrito equivale a \( U^*AU=D \). Entonces,

        \( U^*AU=D\Rightarrow (U^*AU)^*=D^*\Rightarrow U^*A^*U=D=U^*AU\Rightarrow A^*=A. \)

La matriz \( A \) de \( T \) en una base ortonormal es autoadjunta, por tanto \( T \) es autoadjunta.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 14 Diciembre, 2021, 11:57 am »
A ver si ayuda esto: https://fernandorevilla.es/2014/12/03/matrices-normales/. Hay que tener en cuenta que un operador \( T \) es normal si y sólo si, la matriz \( A \) de \( T \) en cualquier base ortonormal, es normal.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Autoadjunta
« en: 13 Diciembre, 2021, 01:04 am »
Sea $$V$$ un espacio de dimension finita sobre $$\mathbb{C}$$ con producto interno y sea $$T:V\rightarrow{V}$$ una transformacion lineal normal. Supongamos que todo autovalor de $$T$$ es real. Demuestre que $$T$$ es autoadjunta.

Si \( A \) es la matriz de \( T \) respecto de una base ortonormal, la matriz de \( T^* \) en tal base es \( A^*. \) Como \( T \) es normal, es diagonalizable unitariamente i.e. existe \( U\in \mathbb{C}^{n\times n} \) unitaria con \( U^*AU=D \) (con \( D \) diagonal real por hipótesis). Ahora, toma \( {}^* \) en \( U^*AU=D \).

P.D. Por favor, empieza los títulos con mayúscula. Lo he corregido.

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