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Mensajes - JordiMath

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Topología (general) / Re: Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 26 Marzo, 2021, 03:01 pm »
Vale, entendido. Muchas gracias.

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Topología (general) / Re: Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 26 Marzo, 2021, 02:37 pm »
Pero entonces la definición debería matizarse, ¿no? ¿No debería decir “para toda banda V de X (distinta de la banda diagonal)”?

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Topología (general) / Espacio uniforme totalmente acotado
« en: 25 Marzo, 2021, 11:34 pm »
Según la definición que veo en Topología de Carlos Ivorra (página 116), un espacio uniforme \( X \) es totalmente acotado si para toda banda \( V \) de \( X \) existe un subconjunto finito \( A\subset{X} \) tal que \( X=V[A] \), que no es más que cubrir todo el espacio con bolas de radio \( V \) y centro en un número finito de puntos.

Pero si por ejemplo \( X=(0,1) \) en \( \mathbb{R} \) y \( V \) es la banda diagonal entonces para cubrir todo el espacio necesitaríamos tantas bolas como puntos, ¿no? Y hay infinitos puntos en el intervalo. Pero entonces no se cumpliría la definición para toda banda \( V \) de \( X \), ¿no?

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Sigo con la demostración.

Más adelante (página 98, antepenúltimo párrafo), se define el conjunto \( A^{\beta}=A\cap{X^{\beta}} \), que es el conjunto de los elementos de A de altura \( \beta \), donde A es el conjunto de todos los \( p\in{\mathbb{P}} \) tales que M(p) no está contenido en ninguna unión finita de abiertos de \( \mathcal{C} \). \( \mathcal{C} \) es un cubrimiento abierto de X. En definitiva, estamos diciendo que A es el conjunto de todos los p tales que el conjunto de todos los x que los contienen no es compacto, por no tener un subcubrimiento finito. Por eso supongo que basta probar que \( A=\emptyset \).

A partir de ahí se dice que si \( \beta<\alpha \) y \( s\in{A^{\beta}} \), entonces \( C(s)=\{t(\beta)|t\in{A}\wedge s\varsubsetneq{t}\} \) es cerrado en \( X_{\beta} \).

¿Qué elementos tiene C(s)? Por ejemplo, si \( \beta=2 \) y \( s=(a,b), a\in{A_0}, b\in{A_1} \), entiendo que t ha de ser cualquier elemento de A con altura mayor que s (mayor que \( \beta \)) y cuyas primeras dos componentes son a y b, pero ¿qué es \( t(\beta) \)?

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Vale, muchas gracias. Mañana sigo leyendo la demostración.

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En la página 98 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone la demostración del siguiente teorema:

Sea \( \{X_i\}_{i\in{I}} \) una familia de espacios topológicos compactos. Supongamos que I admite un buen orden y que, si I es infinito, existe una función de elección sobre el conjunto de todos los cerrados en todos los espacios \( X_i \). Entonces el producto \( X=\prod_{i\in{I}}X_i \) es compacto.

La demostración es un poco larga y parece un poco compleja y prefiero asegurar que lo estoy entendiendo bien. Supongo que plantearé alguna duda más, pero de momento expongo las que tengo:

1. Se habla del conjunto \( \mathbb{P}=\bigcup_{\beta\leq{\alpha}}X^{\beta} \), donde \( \beta,\alpha \) son ordinales. Tal como lo entiendo, si por ejemplo \( \alpha \) es el ordinal 3, ¿entonces \( \mathbb{P}=X\cup{X^2}\cup{X^3} \)?

2. Luego se define la altura de un \( p\in{\mathbb{P}} \) como el único ordinal \( \beta\leq{\alpha} \) tal que \( p\in{X^{\beta}} \). Entonces, entiendo que si p es un elemento de \( X^2 \) su altura es 2, ¿no?

3. Luego se define \( M(p)=\{x\in{X}|p\subset{x}\} \). Esto lo interpreto como que, por ejemplo, si \( p\in{X^2} \) y p=(a,b) y \( x\in{X^3} \), entonces M(p) son todos los puntos tipo \( (a,b,x_3) \). ¿Es así?

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Topología (general) / Re: Espacios compactos (Kuratowski)
« en: 20 Marzo, 2021, 09:40 pm »
Muchas gracias!!

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Topología (general) / Re: Producto de espacios compactos
« en: 20 Marzo, 2021, 09:36 pm »
Muchas gracias.

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Topología (general) / Espacios compactos (Kuratowski)
« en: 20 Marzo, 2021, 09:14 pm »
En la página 101 del libro Topología de Carlos Ivorra se expone el ejemplo de la función \( f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=\begin{cases}1/x &\mbox{si }x\neq{0}\\0 &\mbox{si }x=0\end{cases} \)
es discontinua, pero su gráfica es cerrada.

El teorema 4.19 dice si \( f:X\longrightarrow{Y} \) es una aplicación entre espacios topológicos donde Y es de Hausdorff y compacto, entonces f es continua si y solo si es cerrada como subconjunto de \( X\times{Y} \).

Entiendo que al no cumplirse el requisito de la compacidad de Y (que en este caso es \( \mathbb{R} \)), entonces puede no darse la continuidad de f aunque ésta sea cerrada. ¿Es correcto?

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Topología (general) / Producto de espacios compactos
« en: 20 Marzo, 2021, 08:59 pm »
En la página 97 del libro Topología de Carlos Ivorra se demuestra que \( \prod_{i\in{I}}X_{i}\neq{\emptyset} \) equivale al axioma de elección.

Para ello se construye un espacio topológico \( Y_{i}=X_{i}\cup{\{p\}} \), donde p es cualquier conjunto que no esté en \( \bigcup_{i\in{I}}X_{i} \), con la topología que tiene por cerrados a \( Y_{i} \), \( X_{i} \) y los conjuntos finitos. Y se dice que esa topología no es de Hausdorff si \( X_{i} \) es infinito. ¿Por qué?

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Teoría de Conjuntos / Re: Axioma de elección
« en: 16 Marzo, 2021, 06:52 pm »
Entonces teniendo en cuenta que el principio de elecciones dependientes se puede inferir del axioma de elección (aunque entiendo que el axioma de elección es más amplio porque puede no ser dependiente), ¿no hay ahí una cierta contradicción con el axioma de regularidad? ¿La inexistencia de minimal y la existencia de una sucesión decreciente no son incompatibles con la regularidad?

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Teoría de Conjuntos / Axioma de elección
« en: 15 Marzo, 2021, 03:06 pm »
Leo en el libro Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra (página 141), que una relación R en un conjunto A está bien fundada si y solo si no existe ninguna sucesión \( \{x_n\}_{n\in{\omega}} \) de elementos de A tal que \( \wedge{n}\in{\omega} \quad x_{n+1}Rx_n \)

Y posteriormente, en la demostración, si no lo entiendo mal, se dice que si se cumplen las hipótesis del principio de elecciones dependientes entonces la relación no está bien fundada.

Entonces, ¿ello significa que la relación expuesta en el principio de elecciones dependientes no está bien fundada? ¿Lo estoy entendiendo correctamente?

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Topología (general) / Re: Espacios conexos
« en: 13 Marzo, 2021, 07:28 pm »
Muchas gracias a los tres por las aclaraciones.

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Topología (general) / Re: Espacios conexos
« en: 13 Marzo, 2021, 01:14 pm »
Vale, entendido el concepto de que Q ha de estar contenido en un abierto cerrado U, que está compuesto por todos los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) incluido el segmento \( [0,1]\times{\{0\}} \) al que convergen aquellos. Y también entendido que como solo este último segmento contiene al punto (0,0) entonces Q ha de ser este segmento entero.

Solo me queda confirmar o aclarar la definición de componente conexa y de cuasicomponente conexa.

Una componente conexa es la unión de todos los subespacios conexos que contienen a x. En mi interpretación un subespacio conexo T es un abierto cerrado porque no contiene ningún otro abierto cerrado que no sea el conjunto vacío. Y como el conjunto vacío es un abierto cerrado, obviamente T también lo es. Pero la unión de subespacios conexos, que es una componente conexa, no tiene por qué ser un abierto cerrado. En este ejemplo mismo, el segmento \( [0,1/2[\times{\{1/n\}} \) es una componente conexa y no es un abierto.

Del mismo modo, una cuasicomponente conexa es la intersección de abiertos cerrados que contienen a x, pero no necesariamente esa intersección ha de ser un abierto cerrado. En este ejemplo, el segmento \( [0,1]\times{\{0\}} \) es una cuasicomponente conexa y entiendo que tampoco es un abierto.

¿Es correcto?

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Topología (general) / Re: Espacios conexos
« en: 12 Marzo, 2021, 11:39 pm »
Ejemplo A.22

Replanteo dudas. Las componentes conexas son:

1. Todos los segmentos tipo \( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
2. El segmento \( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
3. El segmento \( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

Por tanto, \( X=\cup{A}\cup{B}\cup{C} \). Y por ello, ¿no son todas las componentes conexas abiertas y cerradas? Lo digo porque Luis dice que B y C no son abiertos.

Respecto a la cuasicomponente Q, no entiendo por qué es una cuasicomponente y no dos. Es decir, ¿por qué la cuasicomponente es \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus{\{(1/2,0)\}} \) y no dos cuasicomponentes que coinciden con los segmentos B y C? Porque por ejemplo el punto (0,0) no está en el segmento C, pero se incluye ese segmento en Q.

Aparte de eso, ¿todos los segmentos tipo A también son cuasicomponentes? Porque en la definición de cuasicomponente se dice que \( C(x)\subset{Q(x)} \) (la componente conexa de x está contenida en la cuasicomponente de x). Por ejemplo, si el segmento \( [0,1]\times{\{1/2\}} \) es componente conexa del punto, por ejemplo (1/2,1/2), ¿la cuasicomponente de ese mismo punto es el mismo segmento y sería otra cuasicomponente en este espacio?


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Topología (general) / Re: Espacios conexos
« en: 12 Marzo, 2021, 09:39 pm »
Me centro en ese segmento  \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) porque el espacio X es conexo, arcoconexo y localmente conexo pero su clausura no es arcoconexa ni localmente conexa. La diferencia entre X y su clausura es únicamente ese segmento A. Por tanto si la clausura de X no fuese conexa entiendo que se debería únicamente a ese segmento A, ya que sin él es conexo. Pero interpreto que como ese segmento A es cerrado y no abierto, no puede suponer una partición ni afectar a que la clausura pudiera ser no conexa.

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Topología (general) / Espacios conexos
« en: 12 Marzo, 2021, 06:05 pm »
Un par de dudas sobre conexión del libro de Topología de Carlos Ivorra.

En el ejemplo A.19 (pág. 485) se expone el ejemplo del seno del topólogo, que es el subespacio \( X \) de \( [0,1]^2 \) donde los segmentos verticales tienen como primera coordenada igual a 1/n para n=1,2,3... \( X \) es un subespacio arcoconexo pero su clausura \( \overline{X} \) no lo es.

Para entender el fondo del tema, hablando en términos coloquiales, podemos decir que \( \overline{X} \) no es arcoconexa porque la “serpiente” que representa la gráfica de \( X \) no tiene lugar de conexión cierto con el segmento {0}x[0,1]. Es decir, que puede “conectar” por cualquier \( y\in{[0,1]} \). Lo mismo sirve para que \( \overline{X} \) no sea localmente conexa. Pero no obstante, \( \overline{X} \) sí es conexo. ¿El motivo es que el segmento {0}x[0,1] no es un abierto?

Es decir, un espacio \( \overline{X} \) no es conexo si hay dos abiertos (y cerrados) disjuntos A y B tal que \( \overline{X}=A\cup{B} \). En este sentido, si consideramos \( A=\{0\}\times{[0,1]} \) y \( B=X \), entonces \( \overline{X}=A\cup{B} \) pero A no es abierto, con lo que no cumple la definición de espacio disconexo, con lo que es conexo. ¿Es así?

El segundo ejemplo es el A.22 (pág. 486), que es el espacio \( X \) formado por los segmentos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \) para n=1,2,3... junto con \( ([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \), en que las componentes conexas no coinciden con las cuasicomponentes.

Está claro que las componentes conexas de este espacio son los abiertos cerrados:
\( A=[0,1]\times{\{1/n\}} \)
\( B=[0,1/2[\times{\{0\}} \)
\( C=]1/2,1]\times{\{0\}} \)

pero no entiendo cuando se dice que \( Q=([0,1]\times{\{0\}})\setminus\{(1/2,0)\} \) es una cuasicomponente y se argumenta del siguiente modo:
Si U es un abierto cerrado en \( X \) que contiene, por ejemplo, a (0,0), tiene que contener a todos los segmentos conexos \( [0,1]\times{\{1/n\}} \). ¿Qué tiene que ver esto con que Q sea una cuasicomponente?

Si una cuasicomponente de x es la intersección de todos los abiertos cerrados que contienen a x, ¿por qué Q es una cuasicomponente? Me refiero a que, por ejemplo, \( (0,0)\in{B} \) y también \( (0,0)\in{Q} \) pero \( B\cap{Q}=B \), y ello no encaja con que Q sea una cuasicomponente.

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Topología (general) / Re: Conjuntos Gδ y Fσ
« en: 11 Enero, 2021, 03:38 pm »
Entendido. Muchas gracias!

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Topología (general) / Re: Conjuntos Gδ y Fσ
« en: 11 Enero, 2021, 03:07 pm »
En la página 307, en la primera línea, dice: “en un espacio métrico, todo cerrado es un \( G_{\delta} \)”.

Y en la wikipedia también he encontrado lo mismo y también que en un espacio métrico, todo abierto es un \( F_{\sigma} \). Aunque más abajo en la misma página dice: “Each closed set is a \( F_{\sigma} \)“. La entrada de la wikipedia a la que me refiero es esta:
https://en.wikipedia.org/wiki/F%CF%83_set

Pero por lo que comentas, entiendo que el recíproco no siempre es cierto. Es decir, no todo \( G_{\delta} \) es siempre cerrado y no todo \( F_{\sigma} \) es siempre abierto.

Así pues, sabemos que \( \mathbb{Q} \) es cerrado porque cualquier intervalo abierto contiene también irracionales. No obstante, \( \mathbb{Q} \) es \( F_{\sigma} \) como lo son todos los abiertos de un espacio metrizable. Pero como \( \mathbb{Q} \) es cerrado y todos los cerrados en un espacio metrizable son \( G_{\delta} \), \( \mathbb{Q} \) también lo es. Por tanto, \( \mathbb{Q} \) es cerrado, es \( F_{\sigma} \) y es \( G_{\delta} \). Por complementariedad, ello implica que \( \mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}} \) sea abierto, \( G_{\delta} \) y \( F_{\sigma} \).

¿Es así?

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Topología (general) / Conjuntos Gδ y Fσ
« en: 10 Enero, 2021, 11:42 pm »
Según veo en el libro de Topología de Carlos Ivorra (pág. 306 a 308) en un espacio metrizable un conjunto \( G_{\delta} \), que es intersección numerable de abiertos, es un conjunto cerrado.

Por otro lado, el conjunto \( F_{\sigma} \), que es unión numerable de cerrados, entiendo que es abierto en un espacio metrizable, dado que en la página 308 se dice que A es \( G_{\delta} \) en M y se construye el conjunto \( M\setminus{A} \) precisamente como unión numerable de cerrados.

También se dice que \( \mathbb{Q} \) es \( F_{\sigma} \) en \( \mathbb{R} \), por ser unión numerable de cerrados. Luego entiendo que \( \mathbb{Q} \) es abierto en \( \mathbb{R} \). Por tanto, \( \mathbb{R}\setminus{\mathbb{Q}} \) es cerrado, luego es \( G_{\delta} \), porque todo cerrado en un espacio metrizable es \( G_{\delta} \).

¿Es correcto?

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