Hola las soluciones de las  ecuaciones diferenciales cobran cuando evalúas las integrales en las correctas condiciones de contorno.

\( \displaystyle\frac{dQ(t)}{dt}=\displaystyle\frac{-Q(t)}{RC} \)

\( \displaystyle \int_{Qo}^Q\frac{dQ}{Q}=\displaystyle\int_{to}^t\frac{-dt}{RC} \)

\( \displaystyle Ln \frac{Q(t)}{Qo}=-\displaystyle\frac{t-to}{RC} \)

Con \( to =0 \)

\(  \dfrac{Q(t)}{Qo}=\displaystyle e^{\frac{-t}{RC}} \)

\(  Q(t)=\displaystyle Qo e^{\frac{-t}{RC}} \)

Del mismo modo la corriente queda

\( Io=\dfrac{Vo}{R}=\dfrac{Qo}{RC} \)

\(  I(t)=\displaystyle Io e^{\frac{-t}{RC}} \)

De acuerdo a la teoría se requiere un tiempo infinito para descargar el capacitor.

Claro no es tan simple.
El potencial varía con la carga que le queda al capacitor. La carga que se va del capacitor por unidad de tiempo,  es la corriente que circula por la resistencia.


Te animas a plantear la ecuación diferencial  que rige el sistema.?

Hola las expresiones están  fuera de contexto , podrías citar la fuente de donda  has extraido las formulas?
si tienes dos bobinas en un  transformador o circuito magnético , se suele llamar \( L_1\equiv L_{11} \) es decir es la autoinductancia de la bobina así también

\( L_2\equiv L_{22}  \)

luego del mismo podo defines la inductancia mutual es decir lo que inducen la otra bobina respecto de lo que esta genera y viceversa
\( M=L_{12}+L_{21} \)
entonces

\( L=\displaystyle\frac{L_1L_2-M^2}{L_1+L_2 \pm 2M} \)

sería la inductancia total del circuito  y el valor que toma \(  M \) depende del sentido en que bueno bobinadas las inductancias, si refuerzan o debilitan el flujo del campo magnético.
Creo que no se trata de un tema matemático sino mas bien de una interpretación física de un circuito magnético,  creo que previendo a donde derivará el tema, será mejor que este en temas de física.

Hola a tod@s.

He considerado el origen de coordenadas en el punto P, donde se pretende hallar el campo magnético.

1) Campo magnético debido al segmento horizontal de longitud L.

\( d\vec{l}=dx\hat\imath \)

\( \vec{r}=-x\hat\imath-\dfrac{L}{2}\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dx(-\hat k) \)

\( \vec{B_1}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dx}{\left(x^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

2) Campo magnético debido al segmento vertical izquierdo de longitud L/2.

\( d\vec{l}=dy\hat\jmath \)

\( \vec{r}=\dfrac{L}{2}\hat\imath-y\hat\jmath \)

\( d\vec{l}\times\vec{r}=\dfrac{L}{2}dy(-\hat k) \)

\( \vec{B_2}=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{0}^{\frac{L}{2}}\dfrac{\dfrac{L}{2}dy}{\left(\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+y^2 \right)^{3/2}}(-\hat k)=\dfrac{\mu_0I}{2\sqrt{2}\pi L}(-\hat k) \)

3) Campo magnético debido al segmento vertical derecho de longitud L/2. Coincide con 2).

4) Campo magnético total.

\( \vec{B}=\vec{B_1}+2\vec{B_2}=\dfrac{\sqrt{2}\mu_0I}{\pi L}(-\hat k)=2,26\cdot10^{-4}(-\hat k)\ T \).

Saludos cordiales,
JCB.

Si señor, es el campo del otro conductor.   Como tienen carga de distinto signo entre \( a \le r \le d-a \) los campos se suman.

Hola a tod@s.

Una vez resuelta la primera pregunta del ejercicio (“La aceleración de la masa”), ahora queda por resolver la segunda pregunta: “Las condiciones bajo las cuales el cilindro desliza mientras gira”. Para ello, y recordando el apartado 2) de la respuesta # 1,

\( F_r=T-Ma_G=mg-ma-M\dfrac{a}{2} \). Substituyendo \( a=\dfrac{8mg}{8m+3M} \) y operando,
\( F_r=-\dfrac{Mmg}{8m+3M} \). Ahora no voy a entrar en ello, pero se da la paradoja que la fuerza de rozamiento, tiene el sentido contrario al inicialmente supuesto. A partir de aquí considero el módulo de \( F_r \).

Para que el cilindro deslice, la fuerza de rozamiento debe superar a la máxima fuerza de rozamiento estático,

\( F_r>\mu_e Mg \),

\( \mu_e<\dfrac{F_r}{Mg} \),

\( \mu_e<\dfrac{m}{8m+3M} \). Finalmente, esta es la condición para que el cilindro deslice mientras gira.

Saludos cordiales,
JCB.