Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - alexpglez

Páginas: [1] 2 3 4 ... 9
1
Álgebra y Aritmética Básicas / Re: proposiciones
« en: 13 Abril, 2021, 03:24 pm »
Hola, no, no son equivalentes. En general no se puede intercambiar el [texx] \exists [/texx] y [texx] \forall [/texx], y en las situaciones que se puede hacer, ese resultado se suele llamar teorema en mayúsculas.
Por ponerte un ejemplo útil, sea [texx] f_n:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R [/texx] una sucesión de funciones y [texx] f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R [/texx] otra funcion. La propiedad:
$$ \forall \epsilon>0 \; \forall x\in \mathbb R \;  \exists N \in \mathbb N \; \forall n\geq N \; |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$
Es equivalente a decir que, [texx] f_n [/texx] convergen a [texx] f [/texx] puntualmente:
$$ \lim_nf_n(x)=f(x), \;\; \forall x\in \mathbb R $$
Sin embargo la propiedad:
$$  \forall \epsilon>0 \; \exists N \in \mathbb N \; \forall x\in \mathbb R  \; \forall n\geq N \; |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$
Es muchísimo más fuerte, y se llama límite uniforme: [texx] f_n [/texx] converge uniformemente a [texx] f [/texx].
Fíjate que sólo hemos intercambiado [texx] \exists N\in \mathbb N [/texx] y [texx] \forall x \in \mathbb R [/texx]. Esto significa que en el primer caso [texx] N=N(x,\epsilon) [/texx] puede depender de [texx] x [/texx] y [texx] \epsilon [/texx], pero en el segundo caso [texx] N=N(\epsilon) [/texx] sólo puede depender de [texx] \epsilon [/texx] (mucho más fuerte). ¿Qué implica ésto? Vamos a poner un ejemplo:
$$ f_n(x)=(x+\frac{1}{n})^2, \; f(x)=x^2 $$
Es fácil de ver que el límite puntual de [texx] f_n [/texx] es [texx] f [/texx]. Pero el límite no es uniforme pues si:
$$ |f_n(x)-f(x)|=\frac{2|x|}{n}+\frac{1}{n^2}<\epsilon $$
Entonces:
$$ n>\frac{2|x|}{\epsilon} $$
Luego no podemos escoger [texx] N [/texx] independiente de [texx] x [/texx].

Espero que este ejemplo aclare los conceptos de intercambiar los cuantificadores.

Ahora voy a dar un ejemplo sencillo, pon [texx] p(x,y)\equiv x=y [/texx].
Está claro que para todo [texx] y [/texx] hay un [texx] x\;(=y) [/texx] tal que se cumple [texx] p(x,y) [/texx].
Pero, no existe ningún [texx] x [/texx] tal que todo [texx] y [/texx] cumpla [texx] p(x,y) [/texx], (pues si [texx] x=3 [/texx] y [texx] x=5 [/texx], [texx] 3=5 [/texx] y esto no es verdad)


2
Para abordar la integral por ese orden de integración, debes dividir el dominio en 3 trozos. Esto es porque [texx] \cos x [/texx] y [texx] \sin x [/texx] no son inyectivas.
Los trozos son [texx] y\in (\sqrt{2}/2,1) [/texx], [texx] y\in (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) [/texx], [texx] y\in (-1,-\sqrt{2}/2) [/texx]. Hazte un dibujo, porque con palabras es complicado de explicar.

Para el primer trozo, nota que si [texx] y\in (\sqrt{2}/2,1) [/texx], entonces [texx] x\in (x_1,x_2) [/texx], donde [texx] y=\sin x_1=\sin x_2 [/texx], [texx]x_1\leq x_2 [/texx] y [texx] x_1,x_2\in (\pi/4,3\pi/4) [/texx]. (Estas son las únicas soluciones como puedes ver en el dibujo)

Para el tercer trozo es similar: si [texx] y\in (-1,-\sqrt{2}/2) [/texx], entonces [texx] x\in (x_1,x_2) [/texx], donde [texx] y=\cos x_1=\cos x_2 [/texx], [texx]x_1\leq x_2 [/texx] y [texx] x_1,x_2\in (3\pi/4,5\pi/4) [/texx].

Para el segundo trozo [texx] y \in (-\sqrt{2}/2,+\sqrt{2}/2) [/texx] nota que las funciones:
$$ \cos:(\pi/4,3\pi/4)\longrightarrow (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) $$
$$ \sin:(3\pi/4,5\pi/4)\longrightarrow (-\sqrt{2}/2,\sqrt{2},2) $$
Son biyectivas y decrecientes. Coge las inversas [texx] \cos^{-1} [/texx] y [texx] \sin^{-1} [/texx] (estas funciones no son el arcocoseno ni el arcoseno usual, que se determinan por otra rama de inyectividad distinta, sin embargo serán iguales salvo un factor sumando constante). Entonces en este trozo:
$$ \cos x \leq y \leq \sin x \;\; \Longleftrightarrow \;\; \cos^{-1}y \leq x \leq \sin^{-1}y $$

Si no me he equivocado, esta sería la solución.

3
La respuesta es afirmativa, [texx] u \in C^{\infty}((0,+\infty),L^2)[/texx]. Escribo la solución por si alguien le interesa.
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Me he dado cuenta que hay que usar una versión distinta del lema de Weirstrass:
Sea [texx] \{u_k\}_k [/texx] una base ortonormal de un espacio de Hilbert y sea [texx] c_k\in C^1(I) [/texx] donde [texx] I\subset \mathbb R [/texx] es un intervalo.
Si para todo compacto [texx] K\subset I [/texx], [texx] \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c_k(t)|^2, \; \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c'_k(t)|^2<+\infty [/texx], entonces:
$$ u(t):=\sum_k c_k(t)u_k \in C^1(I,H)$$
$$ u'(t):=\sum_k c_k'(t)u_k \in C(I,H) $$
La demostración es trivial usando el teorema de convergencia dominada.

En el caso de [texx] c_k(t)=a_ke^{-\lambda_k t} [/texx]. [texx] c_k'(t)=-a_k\lambda_k e^{-\lambda_k t} [/texx]. Definimos:
$$ C(t)=\max_{x\in [0,+\infty)}xe^{-xt}=\frac{e^{-1}}{t} $$
Y así:
$$ \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in (0,+\infty)}} |c_k(t)|^2\leq \sum_k |a_k|^2<+\infty $$
$$\sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in [\delta,+\infty)}}|c_k'(t)|^2\leq C(\delta)\sum_k |a_k|^2<+\infty, \;\; \forall \delta>0 $$
De donde el lema de Weirstrass implica que la función que yo quería es [texx]  C^1((0,+\infty),L^2) [/texx]. Aplicando esto reiteradamente se ve que es suave (e incluso se puede ver que es analítica)

Nota: Tenía un error ayer, para que funcione el TCD tenía que pedir un poco más en el lema. (Lo he escrito en rojo)

4
$$ \sum_{k=k_0}^{\infty} \lambda_k^n e^{-\lambda_k\delta}<+\infty, \;\;\; \forall n\in \mathbb N, \;\;\;  \forall \delta>0 $$
Evidentemente esto es falso para [texx] \lambda_k=\log(k) [/texx]...

Esto me confunde, creía que la solución a la ecuación del calor era regular para [texx] t>0 [/texx] (que es lo que me pide el ejercicio demostrar para [texx] L [/texx])...

5
Estaba enfrentando un problema de EDP, en la cuál me ha aparecido el análisis de cierta serie.
Sea [texx] U\subset \mathbb R^n [/texx] un dominio acotado con frontera regular, sean [texx] a^{ij}, c \in C^{\infty}(\overline U) [/texx], con [texx] A=(a_{ij}) [/texx] simétrica y uniformemente elíptica:
$$ \xi^TA(x)\xi\geq \theta|\xi|^2, \;\;\; \theta>0 $$
Sea [texx] L [/texx] el operador elíptico:
$$  Lu:=-\sum_{ij} \partial_i(a_{ij}\partial_ju)+cu $$
Nos preguntamos por la EDP tipo calor, para [texx] t>0 [/texx]:
$$ u_t=-Lu $$
$$ u|_{\partial U}=0 $$
$$ u(0)=u_0$$
Como [texx] L [/texx] es uniformemente elíptico y simétrico, y por la regularidad, hay una base ortonormal de autovectores [texx] u_k\in C^{\infty}(\overline U)[/texx] cuyos autovalores [texx]\lambda_k[/texx] crecen a infinito. Desarrollando la [texx] u [/texx] en la base, y resolviendo las EDOs para los coeficientes (sin mucha preocupación de convergencia), obtenemos:
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Llamemos [texx] k_0 [/texx] al primer natural tal que [texx] \lambda_{k_0}>0 [/texx]. Si quiero comprobar las sucesivas derivabilidades (entre otras regularidades), aplicando (por ejemplo) el teorema de Weirstrass para series, me encuentro con el problema de saber si:
$$ \sum_{k=k_0}^{\infty} \lambda_k^n e^{-\lambda_k\delta}<+\infty, \;\;\; \forall n\in \mathbb N, \;\;\;  \forall \delta>0 $$

¿Es esto verdad para toda sucesión creciente [texx] 0< \lambda_{k_0} \leq \lambda_{k_0+1} \leq ...[/texx], [texx]\lim_k \lambda_k=+\infty [/texx]?

En caso de no ser cierto, ¿es en general la serie diferenciable o hay que suponer algo en el enunciado o demostrar alguna condición extra para [texx] \lambda_k [/texx]?

Muchas gracias,

6
Topología (general) / Re: Probar que es una topología
« en: 29 Marzo, 2021, 07:40 pm »
Hola gracias por las aclaraciones pero me siguen quedando dudas. Al hablar de unión arbitraria ¿hablamos de uniones infinitas?
No, las uniones arbitrarias son arbitrarias. Puedes unir 2 conjuntos, 3, 7, "0 conjuntos" (por definición esto es el vacío), un conjunto finito, infinito, numerable o no numerable.
En nuestro caso. Tenemos que unir varios \(  U_i  \) con \(  i\in I  \) un conjunto de índices, vacío, finito, numerable o no. He supuesto que \(  I\not=\emptyset  \) y que todo \(  U_i=D(0,r_i)  \) es un disco abierto, pues trivialmente \(  U_i=\emptyset  \) no añade elementos y si \(  U_i=\mathbb R^2  \) para un cierto índice, la unión es todo \(  \mathbb R^2  \) y son casos triviales. 

Lo otro a la pregunta que me planteas del cerrado ams pequeño que contiene la hiperbola entiendo que es \( \{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\geqslant2\} \) pero no comprendo el por que es el mas pequeño.
Los puntos más cercanos al origen son \(  (x,y)=(1,1), \; (-1,-1)  \), por tanto el cierre es \( \{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2\geqslant 2\} \). Es el cerrado más pequeño porque por definición los conjuntos cerrados son los complementarios de los abiertos: en nuestro caso son \(  \emptyset  \), \(  \mathbb R^2  \) y \(  \mathbb R^2 \setminus D(0,r)  \).

7
Ecuaciones diferenciales / Alternativa de Fredholm
« en: 29 Marzo, 2021, 06:58 pm »
Tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo atacarlo.
Estudiar la formulación débil de la ecuación:
$$ e^x u''-e^x u'-cu=1-2x, \;\; x\in (0,1) $$
$$ u'(0)=u'(1)=0 $$
Y discutir su resolubilidad en función del parámetro \(  c  \).

Integrando por partes, la ecuación débil del problema es:
$$ \int_0^1 (e^xu'v'+2e^xu'v+cuv)=\int_0^1fv, \;\;\;  \forall v\in H^1 $$
$$ f(x)=2x-1 $$

Lo único que se me ocurre es intentar una estimación de energía para saber si se puede aplicar Lax-Milgram. A posteriori creo que hay que usar el teorema "Alternativa de Fredholm", pero no tengo claro como y no he visto ningún ejemplo.

Muchas gracias 


8
Topología (general) / Re: Probar que es una topología
« en: 29 Marzo, 2021, 06:38 pm »
Hola, si no he entendido mal, ¿la topología está formada por los discos abiertos centrados en el origen? (junto con el vacío y el total)
El primer axioma es trivialmente cierto por lo que mencionas.
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
Aquí debes comprobar que la unión de los discos abiertos centrados en el origen es un disco abierto centrado en el origen.
$$ \bigcup_{i\in I} D(0,r_i)=D(0,r) \; \text{o} \; \emptyset \; \text{o} \; \mathbb R^2 $$
Estaría bien que lo dibujaras, si unes dos discos de radio \(  r_1  \) y \(  r_2  \), digamos que \(  r_1\leq r_2  \), entonces \(  r=r_2=\text{max}(r_1,r_2)  \). Así intuitivamente \(  r=\sup_{i\in I} r_i  \) (en caso de ser \(  r<+\infty  \)), y es el total si este número es infinito (o incluso el vacío si la unión es vacía). No es complicado hacer una demostración formal de ésto (dejo que lo intentes).

Para el axioma 3 es más sencillo, pues la intersección es finita. Si intersecamos dos circulos centrados de radios \(  r_1\leq r_2  \), entonces el radio de la intersección es \(  r=r_1  \) y en general siempre será el menor radio. En caso de hacer intersecciones infinitas, puede que la intersección sea sólo el centro y no sea ningún círculo.

La clausura de un conjunto es el cerrado más pequeño que lo contiene. Los conjuntos cerrados de la topología son los complementarios de bolas abiertas \(  \mathbb R^2 \setminus B(0,r)  \), junto con el total y el vacío. ¿Cuál es el cerrado más pequeño que contiene a la hipérbola?
Otro modo equivalente de verlo es que los puntos de la clausura son los puntos tal que todo entorno abierto del punto corta al conjunto y por este razonamiento obtienes el mismo resultado.

Paso a comentar dos errores tuyos:

\( A2 \) \( {\mathbb{R}}^2 \cup  \) Todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0  \) resulta \( {\mathbb{R}}^2 \) por lo cual \( {\mathbb{R}}^2 \in \tau \)
Es cierto que la unión de todos los discos abiertos de es el total, pero el axioma pide que la unión arbitraria de abiertos sea un abierto.

\( A3  \) \( {\mathbb{R}}^2 \cap  \) todos los discos abiertos \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) resulta \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \) por lo cual \( \{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau \)
Y aquí igual. Es cierto que la intersección de todos los discos es el centro, pero el axioma pide que cualquier intersección finita de abiertos sea un abierto.

Espero haberte ayudado. Por favor, pide aclaraciones si algo no está bien explicado, entiendo que al principio la topología parece muy liosa, por eso es bueno acompañarse de dibujos.

9
Para la equivalencia entre 2) y 3).
Si [texx] T [/texx] cerrada, se ve que [texx] S(X)=D(T) [/texx]. Si [texx] T:D(T) \longrightarrow X [/texx] es cerrada y biyectiva, entonces su inversa [texx] S:X \longrightarrow D(T)[/texx] es cerrada, y por el teorema de la gráfica cerrada tiene que ser continua.

10
2) implica 1) tiene pinta de demostrarse así:
Por simplicidad de notación, [texx] T=L-\lambda I: D(T) \longrightarrow Im(T) [/texx] donde [texx] D(T) [/texx] es el dominio y [texx] Im(T) [/texx] la imagen.
Si [texx] T [/texx] es inyectiva, [texx] T^{-1}: Im(T) \longrightarrow D(T) [/texx] es continuo y la imagen es densa, tenemos una (única) extensión continua:
$$ S: X \longrightarrow \overline{D(T)} $$
$$ S|_{Im(T)}=T^{-1} $$
Este es el candidato a la inversa de 1).
¿esta [texx] S [/texx] es inyectiva, y cuál sería su imagen?
[texx] Sy=0\in D(T) [/texx] implica que [texx] y=TSy=0 [/texx]. Luego [texx] S [/texx] es inyectiva y [texx] D(T)\subseteq S(X) \subseteq \overline{D(T)} [/texx].
El operador [texx] \hat T=S^{-1}:S(X) \longrightarrow X [/texx] es una extensión de [texx] T [/texx] para el cuál existe trivialmente una inversa acotada.
Es decir 2) implica que [texx] L [/texx] tiene una extensión para la cual 1) es cierta.
¿Se puede afirmar algo sobre [texx] S(X) [/texx]? ¿[texx] S(X) [/texx] tiene que ser necesariamente [texx] D(T) [/texx] o [texx] \overline{D(T)} [/texx], o podría ser un espacio intermedio?

11
2) implica 1) tiene pinta de demostrarse así:
Por simplicidad de notación, [texx] T=L-\lambda I: D(T) \longrightarrow Im(T) [/texx] donde [texx] D(T) [/texx] es el dominio y [texx] Im(T) [/texx] la imagen.
Si [texx] T [/texx] es inyectiva, [texx] T^{-1}: Im(T) \longrightarrow D(T) [/texx] es continuo y la imagen es densa, tenemos una (única) extensión continua:
$$ S: X \longrightarrow \overline{D(T)} $$
$$ S|_{Im(T)}=T^{-1} $$
Este es el candidato a la inversa de 1).
¿esta [texx] S [/texx] es inyectiva, y cuál sería su imagen?

12
Por otra parte no sé lo que es \( L_{\lambda }(D(L)) \).
La imagen de la aplicación [texx] L_{\lambda}:=L-\lambda I_{D(L)} [/texx]

13
Que un operador lineal sea inyectivo no te asegura que sea invertible cuando las dimensiones del espacio de Hilbert son infinitas.
Si, sí. Quizá no me expliqué bien pero ésto no se da en los casos que considero.

Añado: si te sirve de algo la definición que conozco de espectro es la segunda, no me queda claro que sea equivalente a la primera. Por otra parte si asumes que \( T \) tiene inversa entonces necesariamente su imagen debe ser todo \( X \).
Llamemos [texx] L_{\lambda}=L-\lambda I_{D(L)}: D(L) \longrightarrow L_{\lambda}(D(L)) [/texx]. Si [texx] L_{\lambda} [/texx] es inyectivo, [texx] L_{\lambda}(D(L)) [/texx] es denso y [texx] L_{\lambda}^{-1}: L_{\lambda}(D(L))  \longrightarrow D(L) [/texx] acotado, entonces ¿[texx] L_{\lambda}(D(L))=X [/texx]?

Nota: Quizá para demostrarlo hay que asumir en la definición que, o bien [texx] L [/texx] es un operador acotado, o bien no existe ninguna aplicación lineal (acotada) que extienda a [texx] L [/texx]...

Nota2: La equivalencia tiene que ser cierta o wikipedia tiene erratas: 1), 2) y 3)

14
Buenas tardes,
He leído 2 definiciones de espectro ligeramente distintas.
Sea [texx] X [/texx] un espacio de Banach, [texx] D(L)\subset X [/texx] un subespacio vectorial (no necesariamente denso) y [texx] L:D(L)\longrightarrow X [/texx] una aplicación lineal. El espectro de [texx] L [/texx] es el complementario del conjunto resolvente [texx] \rho(L)\subset \mathbb C [/texx]:
1) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] tiene una inversa [texx] S:X \longrightarrow D(L) [/texx] acotada.
2) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] es inyectiva, su imagen densa en [texx] X [/texx] y su inversa está acotada.

Por lo que si [texx] \lambda [/texx] cumple 1), entonces cumple 2) trivialmente. Pero si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] es inyectiva, su imagen es densa y su inversa está acotada, ¿se puede deducir que la imagen es todo [texx] X [/texx]?

Por otra parte, si  [texx] L [/texx] es una aplicación cerrada (y quizá [texx] D(L) [/texx] se requiera denso...), ¿se puede deducir que:
3) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{D(L)} [/texx] tiene una inversa [texx] S:X \longrightarrow D(L) [/texx] (Es decir, que la existencia de [texx] S [/texx] implica automáticamente que [texx] S [/texx] es acotada)?

Como caso particular de 3) o por el teorema de la aplicación abierta, si [texx] L:X\longrightarrow X [/texx] está acotada entonces:
4) [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{X} [/texx] tiene una inversa
Y si [texx] X [/texx] es finito dimensional, entonces [texx] \lambda \in \rho(L) [/texx] si y sólo si [texx] L-\lambda I_{X} [/texx] es inyectivo.

Pregunta adicional divulgativa:
Sea [texx] T [/texx] es un operador autoadjunto (o normal) en un espacio de Hilbert, si además es inyectivo, ¿su imagen es densa? (He leído que su espectro residual tiene que ser vacío... se me ocurrió que ésta creo que es una forma equivalente de interpretarlo: porque si no fuera densa, [texx] 0 [/texx] sería un elemento de este espectro)

Muchas gracias

15
Muchas gracias Masacroso!
Qué demostración tan elegante!

16
No dice que la aplicación lineal sea acotada lo que te propone  alexpglez es que \( \dfrac{|Dg(x_0)(x-x_0)|}{\|x-x_0\|}  \) es acotado.

Puedes usar que \( (x-x_0) = \|x-x_0\| \cdot \vec{u}  \) con \( \|\vec{u}\| = 1  \).
Entonces \( Dg(x_0)(x-x_0) = Dg(x_0)(\|x-x_0\| \cdot \vec{u}) = \|x-x_0\| \cdot Dg(x_0)(\vec{u})  \)

Si tienes la base \( \{w_1,w_2, \cdots, w_n\}  \)  puedes tomar \( K = max\{\|D(x_0)(w_i)\| | i \in \{1,2, \cdots , n \} \}  \), donde \( D(x_0)(u) = D(x_0)(\sum_{i=1}^n u_i \cdot w_i)    \)
Creo que puede liar un poco el comentario. Lo que yo he dicho es que como \(  Dg(x_0)  \) es una aplicación lineal acotada, entonces se da la acotación. Esta demostración vale para el caso finito-dimensional, una vez que sabes que todas las normas son equivalentes. (Porque sólo lo demuestra para la norma \(  ||v||_1=\sum_i|v_i|  \)).

17
Si, toda la razón, omití una parte de la función que es importante, gracias.

Me gustaría saber por favor por qué es una aplicación lineal acotada.

Muchas gracias.
Para aplicaciones lineales entre espacios finito dimensionales, toda aplicación lineal está acotada (con respecto a cualquier norma en los espacios finito dimensionales, ya que son equivalentes).
En el caso infinito-dimensional hay que pedir que la diferencial esté acotada. (Aquí es importante la norma escogida, pues no todas son equivalentes)

18
Por cierto, está mal copiado ésto:
\( \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\displaystyle\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-(g(x_0)D(f)(x_0)-f(x_0)D(g)(x_0))}{\left\|{x-x_0}\right\|}}  \)
La fórmula que quieres demostrar es:
$$\lim_{x \to{x_0}}\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)-(g(x_0)D(f)(x_0)+f(x_0)D(g)(x_0))(x-x_0)}{\left\|{x-x_0}\right\|} $$
Imagino que lo tienes bien en tu cuaderno o apuntes, pues ese límite que preguntas aparece desarrollando esta fórmula.

19
Gracias alexpglez,

Pero hay algo que no entiendo: el segundo factor está compuesto por la división de \( \displaystyle\frac{(\vec{x}-\vec{x_0})}{\left\|{\vec{x}-\vec{x_0}}\right\|} \)    , que es el vector unitario, multiplicado por un número real: \( Dg(\vec{x_0}) \), es decir, el segundo factor es un vector que lo multiplicamos por algo que tiende a cero (el primer factor). Entonces es un vector que tiende a 0 (\( \vec{0} \))

Muchísimas gracias.
No, fíjate que \(  Dg(x_0)  \) es una aplicación lineal que aplicas a \(  (x-x_0)  \), luego con la norma matricial de operador \(  ||Dg(x_0)||  \):
$$ |Dg(x_0)(x-x_0)||\leq ||Dg(x_0)|| ||x-x_0|| $$
Y así:
$$ \frac{|Dg(x_0)(x-x_0)|}{||x-x_0||}\leq ||Dg(x_0)|| $$

Viendo que este término está acotado y conociendo que \(  f  \) es continua:
$$ |(f(x)-f(x_0)) \frac{Dg(x_0)(x-x_0)}{||x-x_0||}|\leq ||Dg(x_0)|| |f(x)-f(x_0)| \overset{x \to x_0}{\longrightarrow} 0 $$

20
\(  \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{(f(\vec{x})-f(\vec{x_0}))[\displaystyle\frac{Dg(\vec{x_0})*(\vec{x}-\vec{x_0})}{\left\|{\vec{x}-\vec{x_0}}\right\|}}=0  \) ¿Cómo puedo probar que  éste último límite se cumple?

Muchísimas gracias.
Si \(  f \) es diferenciable en \(  x_0  \), también es continuo en el punto, luego el primer factor va a \(  0  \). Fíjate que además el segundo factor está acotado (en norma) por \(  ||Dg(x_0)||  \). Así que el límite va a \(  0  \) como querías demostrar.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 9