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Mensajes - zimbawe

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Computación e Informática / Dispositivos graficadores.
« en: 04 Agosto, 2022, 05:03 am »
Hola, a todos.
Quería pregungar si alguna conoce un software diferente a Geogebra que permita graficar sólidos.
Voy a enseñar el método de rebanadas y necesito hacer gráficas de sólidos.
Quedo muy agradecido.

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Hola a todos, de antemano agradezco su ayuda.
Estoy tratando de probar lo siguiente.
Sea \(  E  \) una curva elíptica, \(  K(E)  \) su cuerpo de funciones racionales y [/tex] \Omega_{E} [/tex] su espacio de diferenciales. Entonces \(  \Omega_{E}  \) es un 1-dimensional \(  K(E)  \) espacio vectorial.
La representación de las funciones racionales en una curva elíptica (dada en la forma \(  y^2=x^3+ax+b  \) es de la forma \(  a(x)+yb(x)  \).
Luego \(  d(a(x)+yb(x))=d(a(x))+yd(b(x))+b(x)dy  \) pero \(  dy=\frac{(3x^2+a)dx}{2y}  \), me imagino que a partir de esto cada elemento de \(  \Omega_{E}  \) es un múltiplo de \(  dx  \)
¿Es correcto?
Mil gracias.

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Gracias Luis.

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Con razón, no fuí cuidadoso desde el principio.  Lo estaba interpretando al revés y por eso muchas cosas no tenían sentido. Todo súper, súper claro.

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Ya comprendí porqué eso implica que el grado es 1.

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¿ \(  1/X=X/Y^5  \)? ¿No?
Si, entiendo, pero se supone que es \(  K(C)  \) el que es una extensión de \(  \phi^{*} K(C)  \) entiendo que
\(  \phi^{*} K(C)=K(t)  \)  pero esto por qué implica que el grado es 1?
O sea, es claro que el grado es 1. Pero quiero comprender bien esas implicaciones.
Gracias Geometracat.

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Citar
Una base para una extensión de grado uno es \( \{1 \} \) (o de hecho cualquier otro elemento no nulo del cuerpo).
Respecto a esto, tenemos que los elementos de \(  K(C)  \) pueden ser escritos en la forma \(  a(Y)+Xb(Y)  \) cuando miro los elementos de la imagen via el pullback, obtengo \(  a(t^2)+t^5b(t^2)  \).
Sin embargo, lo que quiero es ver que todo elemento de \(  K(C)  \) lo puedo escribir de esta forma, para en efecto mostrar que la extensión tiene grado 1.
Mil gracias.

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Había obtenido esa inversa y de esa forma comprobé que el grado es 1 ¿Qué quiere decir que el denominador no se anule idénticamente en C?
También pensándolo como bases ¿Cuál sería una base para esta extensión?
¿Algún libro que me recomienden? La aproximación que hace el de "Aritmética de Curvas Elípticas" de Silverman da por hecho que uno es experto en geometría algebraica.
Busco sobre todo un libro donde se hagan este tipo de cuentas, la mayoría de ejemplos me toca pensarlos.
Mil gracias Geometracat y Luis.

9
Hola Luis. Comprendo, pero tengo dos preguntas:
1) ¿Puedo encontrar la prueba al resultado que aludes en algún lado?
Bueno, lo segundo no es una duda sino una cuestión conceptual.
Si por ejemplo considero \(  V(Y^5-X^2)  \) y \(  W=\mathbb{A}^{1}  \) y defino \(  \varphi(t)=(t^5, t^2)  \) utilizando el método que me explicaste obtengo que el grado es 1. Pero tratando de encontrar una base, obtengo que el grado es por lo menos 3.

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Creo que ya pudé con ambos, pero me gustaría confirmar.
Para el primero me dió que el grado es 1, para el segundo obtuve que una base era \(  \left\{{1, x, y, z}\right\}  \) o sea, el grado es cuatro, pero quisiera que me ayudaran a confirmarlo. Mil gracias.

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Hola, estoy teniendo problemitas al momento de encontrar el grado de aplicaciones racionales entre variedades proyectivas y curvas.
Dada una aplicación racional entre curvas (o variedades proyectivas)
\(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) se define \(  \phi^{*} K(C_1) \longrightarrow K(C_2)  \) mediante:
\(  \phi^{*}(f)=f \circ \phi  \).
Ya sé bajo qué condiciones, dicha aplicación induce una extensión de sus cuerpos de funciones.
El problema lo encuentro al momento de calcular el grado de la extensión, no porque no sepa, sino porque me cuesta encontrar una base para la extensión.
Tengo los dos siguientes problemas.
Sea \(  C_1: Y^2=X^3  \) y \(  C_2: Y^2=X  \) y sea \(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) definida como \(  \phi(x,y)=(x, y/x)  \) me piden encontrar el grado de \(  \phi  \). Encontré que \(  K(C1)  \) puede ser identificado con \(  K(X)+YK(X)  \) y que \(  K(C_2)  \) puede ser identificado con \(  K(Y)  \) sin embargo, no logró hallar el grado porque, según yo el pullback no tendría sentido.
Otro ejemplo en el que me piden hacer cálculos es:
Dado
\(  f: \mathbb{P}^{2} \longrightarrow \mathbb{P}^{2}  \) por \(  f(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2)  \) me piden encontrar el grado de \(  f  \).
Agradecería cualquier sugerencia o aclaración, no estoy tan confundido sino que me cuesta hallar una base para dichas extensiones. Gracias.

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Topología Algebraica / Re: Imagen en la topología de Zariski.
« en: 06 Julio, 2022, 07:15 pm »
Hola Luis. Todo claro. La propiedad que mencionas no la hemos probado, pero igual no es díficil de probar creo. Un millón de gracias, se me habia olvidado incluir dicho punto.

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Topología Algebraica / Imagen en la topología de Zariski.
« en: 06 Julio, 2022, 06:48 pm »
Hola a todos.
Me piden encontrar \(  f(\mathbb{A}^{2})  \) donde \(  f: \mathbb{A}^{2} \longrightarrow \mathbb{A}^{2}  \) donde f es la aplicación regular dada por \(  f(x,y)=(x,xy)  \) obtuve que la imagen es todo el espacio 2-afin menos el eje y.
La pregunta es ¿Este conjunto es abierto y denso en la Topología de Zariski? A ambas respuesta conteste sí, pero no estoy seguro de como funciona la densidad en dicha topología.  Gracias.

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Álgebra / Re: Orden de un punto sobre una curva.
« en: 06 Julio, 2022, 06:15 pm »
Ya solucioné mis dudas respecto a este ejercicio. Mil gracias.

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Álgebra / Orden de un punto sobre una curva.
« en: 05 Julio, 2022, 04:31 am »
Hola a todos. Estoy tratando de responder a una pregunta, agradecería con que me dijeran si mis cuentas están bien hechas.
El problema es
Sea \(  V(X^2+Y^2-1) \subset \mathbb{A}^{2}  \) tengo que encontrar el orden de \(  X-1  \) en \(  (1, 0)  \)  Mi pregunta es, ¿el ideal maximal de dicho punto, es el generado por \(  (x-1, y)  \) en el anillo local de \(  (0,1)  \)? En ese orden de ideas \(  x-1  \) tendría orden 2, ¿Si?

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Hola a todos y a todas. Tengo una cuestión sobre un problema de geometría algebraica, que no he podido resolver por el simple hecho de que solo conozco los resultados para curvas y no para variedades.
En esencia, es la misma cuestión que aparece aquí:
https://math.stackexchange.com/questions/3178018/dimension-of-m-m2-over-k-where-m-m-pv-and-v-vx2-y3-y2-z3

Pero pasa que el libro que estoy estudiando es el Fulton y esa equivalencia que coloca el que resuelve el problema no la he demostrado ni tampoco aparece por el momento en el libro de Fulton.
Quedo agradecido si hay una forma (haciendo cuentas) de llegar a esta misma respuesta.

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Ahhhh, pensé que era algo más complejo. Mil gracias.

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Hola a todos. Espero la estén pasando bien.
He estado estudiando geometría algebraica y me encontré un comentario, que no comprendo del todo bien. Quedo agradecido con su ayuda.
Es el siguiente.
Primero:
Sean \(  V \subset \mathbb{A}^{n}  \), \(  W \subset \mathbb{A}^{m}  \) variedades. Una función \(  \varphi: V \rightarrow{W}  \) se denomina una aplicación polinómica si existen \(  T_1,..,T_m \ in K[X_1,...,X_n]  \) tales que
\(  \varphi(a_1,...,a_n)=(T_1(a_1,...,a_n),...,T_m(a_1,...,a_n)) \in W \forall (a_1,..,a_n) \in V  \).
Esto lo entiendo bien.
Ahora lo que no comprendo muy bien, es el siguiente comentario:
Si \(  V=\mathbb{A}^{n}  \) y \(  W=\mathbb{A}^{m}  \) y \(  T_1,..,T_m \in K[X_1,...,X_n]  \) determinan una aplicación polinómica \(  T: \mathbb{A}^{n} \longrightarrow{\mathbb{A}^{m}} \), los \(  T_i  \) están univocamente determinados por \(  T  \)
No comprendo muy bien el comentario. Agradecería si me ayudarán a dilucidarlo.
Mil y mil gracias.

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Estructuras algebraicas / Re: Ideal maximal.
« en: 15 Abril, 2022, 03:31 pm »
Mil gracias Carlos.

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Estructuras algebraicas / Ideal maximal.
« en: 15 Abril, 2022, 01:08 am »
Hola, agradezco de antemano por su ayuda.
Quiero probar que dado un cuerpo \(  K  \) el ideal
\( I=(x_1-a_1,...,x_n-a_n)  \) es maximal sobre \(  K[x_1,...,x_n]  \).
Se me ocurre probar que
\(  K[x_1,...,x_n]/I  \) es un cuerpo.
Encontre, que
\(  \bar{x_i}=\bar{a_i}  \).
Luego dado  un elemento \(  g  \) de \(  K[x_1,...,x_n]/I  \) puedo tomar como represantante a uno de la forma \(  k+I  \) que claramente tiene como inverso a \(  k^{-1}+I  \).
Luego, \(  K[x_1,...,x_n]/I  \)  es un cuerpo y por lo tanto \(  I  \) es maximal.
¿Está bien mi razonamiento?
Agradezco su ayuda.

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