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Mensajes - razielcero

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Matemática Aplicada / Re: Valor esperado de normal multivariante
« en: 06 Enero, 2022, 06:20 pm »
Masacroso, gracias por tu pronta y oportuna respuesta. No se me habría ocurrido el método de solución que expusiste. Gracias de nuevo!

Saludos.

2
Matemática Aplicada / Valor esperado de normal multivariante
« en: 06 Enero, 2022, 03:01 am »
Hola a todos

Estoy realizando una actividad sobre procesos estocásticos, en la que debo mostrar que \( \displaystyle E[W(t_2) | W(t_1)=x_1,W(t_3)=x_3] = x_1 + \left( \frac{x_3 - x_1}{t_3-t_1}\right)(t_2 - t_1) \), donde \(  W(t)  \) es un proceso estocástico de Wiener, y por tanto gaussiano, es decir que la distribución de un vector de este proceso es normal multivariante. Dicho esto, sé que para la normal bivariante se tiene la siguiente igualdad

\(
\displaystyle
E[X_1|X_2=x_2] = \mu_1 + \rho \frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_2 - \mu_2) \)

Sin embargo, no sé cómo extender este resultado al caso de otra variable (i.e., ¿cómo determino la expresión para \( E[X_1|X_2=x_2,X_3=x_3]  \)) para poderlo usar en mi ejercicio.

Les agradezco cualquier orientación que me puedan dar  :D

Saludos,

3
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente problema, pero no encuentro la forma satisfactoria, agradezco por favor cualquier orientación al respecto  ;D

Una forma de incrementar la probabilidad de operación de un sistema es mediante la introducción de una copia de los componentes en una configuración paralela. Supóngase que la NASA desea una probabilidad no menor a 0.99999 de que el transbordador espacial entre en orbita alrededor de la tierra con éxito. ¿Cuántos motores cohete deben configurarse en paralelo para alcanzar esta confiabilidad de operación si se sabe que la probabilidad de que uno, cualquiera, de los motores funcione adecuadamente es de 0.95? Suponga que los motores funcionan de forma independiente entre sí.

Según el libro la respuesta es \(  n= 4 \) Inicialmente trate de establecer una ecuación pero el resultado me dio decimal, luego he intentado hacer dibujos acomodando los motores de distitnas formas en paralelo y aplicando propiedades de probabilidad pero no me sale el 4.

Gracias por cualquier orientación!

Saludos. 

4
Como siempre muchas gracias geómetracat!

Con lo de \( x >0  \) , se ve que muchas veces me dedico solo a la parte algorítmica de los problemas y olvido revisar las condiciones conceptuales de los mismos  :banghead:

Saludos!  :)

5
Estadística / Prueba de hipótesis con razones de verosimilitud
« en: 08 Julio, 2020, 08:47 am »
Hola!  :)

Estoy resolviendo el siguiente problema: contrastar \(  H_0 : \theta = 1  \) VS \(  H_1 : \theta > 1  \) mediante la razón de verosimilitudes para una población \( X  \) tal que \(  \displaystyle f(x) = \frac{1}{\theta} e^{\displaystyle - \frac{x}{\theta}}  \) con \(  x>0  \). Tomar \(  \alpha = 0.05  \) y \(  n= 10  \).

Bien, entonces ya he avanzado y sé que debo construir un \(  \lambda  \) tal que sea la razón entre las verosimilitudes. Luego de todo el proceso obtengo lo siguiente:
\(
\displaystyle
\lambda = \frac{e^{\sum{x_i}}}{{\bar{x}}^n e^n}
 \)

Ya comprobé que esa parte es correcta (o al menos lo contrasté con el libro guía y coincide con mi resultado). Ahora, dado que no conozco la distribución de lambda, entonces realizo \(  2ln\lambda  \) que sigue asintóticamente una distribución chi cuadrado:

\(
\displaystyle
 2ln(\lambda)\\
= 2 ln\left( \frac{e^{\sum{x_i}}}{\bar{x}^n e^n} \right)\\
= 2 \left[ ln \left(e^\sum{x_i} \right) - ln(\bar{x}e)^n \right]\\
= 2\sum{x_i} - 2nln(\bar{x}e)\\
= 2n\bar{x} - 2n[ln\bar{x} + ln(e)]\\
=2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > k
 \)

La última expresión distribuye \(  \chi^2_1  \), así que \(  2n\bar{x} - 2nln\bar{x} + 2n > \chi^2_{1;0.05}  \)

con lo cual despejando dado que n no es variable, entonces se rechaza \(  H_0  \) con un nivel de confianza del 95% si \(  \bar{x} - ln\bar{x} > \displaystyle \frac{\chi^2_{1,0.05}}{2n} +1 =  1.192  \)

Quisiera preguntar, primero si mi procedimiento es correcto.

Segundo, so pena de ser quizás una pregunta tonta, pero no entiendo para qué al inicio necesito la condición de que \(  x > 0 \)  ??? No logro ver en qué momento utilizo esa parte o si es necesaria...

Saludos.

6
Como siempre, muchas gracias geómetracat. Tu explicación es muy clara!

Una vez se ha llegado a la última expresión que escribiste, ahí terminaría esa parte del ejercicio, verdad? quiero decir que no se puede concluir nada dado que no hay ningún valor para \(  \bar{X}  \)..??

En cuanto a la construcción de la curva de potencia sería algo como:

\(
5-1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 4.74 \\
5+1.64\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}} = 5.26
 \)

Entonces:

\(
P(\lambda) = 1 - \left[ \left( \frac{5.26 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) - \left( \frac{4.74 - \lambda}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{200}}} \right) \right]
 \)

Y ahí empezaría a darle valores a lambda para graficar??


7
Estadística / Prueba de hipótesis de una distribución Poisson
« en: 06 Julio, 2020, 07:42 am »
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente problema: Constrúyase una prueba aproximada con \(  \alpha = 0.10  \) para contrastar que la media de
una distribución Poisson es igual a 5, a partir de una muestra de tamaño \(  n=200  \). Constrúyase además la curva de potencia de la prueba.

Tengo la idea que puedo utilizar el hecho que la estadística \(  \displaystyle Z = \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}  \) distribuye \(  N ~(0, 1) \) con n suficientemente grandes.... La primera inquietud que tengo es si con \(  n=200  \) ya puedo asumir esa aproximación o no??

Suponiendo que la puedo asumir, entonces seguí de esta forma:

\(
\displaystyle
P(Z_1 \leq Z \leq Z_2) = 1 - \alpha \\ \\

P\left( Z_1 \leq  \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \leq Z_2 \right) = 1 - \alpha \\

P(\lambda + Z_1 \sqrt{\lambda} \leq X \leq  \lambda - Z_2 \sqrt{\lambda}) = 1 - \alpha \\

\textrm{En este caso}\\
P(5 + 1.64 \sqrt{5} \leq X \leq 5 - 1.64 \sqrt{5} )
 \)

No sé si hasta ahí estoy haciendo bien las cosas... y en todo caso no sé cómo debo continuar  :-\

Gracias por cualquier comentario y orientación!

Saludos.

8
Estadística / Re: Determinar mejor estimador
« en: 19 Junio, 2020, 06:53 pm »
Gracias por tu ayuda! me aclara bastante; voy a resolver la inecuación y hacer lo de consistencia por tenerlo claro también... Estuve leyendo y encontré algo sobre que debería cumplirse la cota de Rao Cramer como una propiedad de ser buen estimador, valdría la pena aquí? o el hecho de que en el ECM ya esté comparando varianzas me quitaría ese problema??  ???

9
Estadística / Re: Determinar mejor estimador
« en: 19 Junio, 2020, 08:11 am »
Gracias por la respuesta geómetracat, es decir que sería algo así?:

\(  \displaystyle E(T_1) = E\left( \frac{X}{n}\right) = \frac{1}{n}E(X) = \frac{np}{n} = p  \)

\(  \displaystyle E(T_2) = E \left( \frac{X+1}{n+2} \right) = \frac{1}{n+2}E(X+1) = \frac{np+1}{n+2} \)

Y luego con las varianzas entonces algo así:

\(  \displaystyle V(T_1) = V\left( \frac{X}{n} \right) = \frac{1}{n^2}V(X) = \frac{np(1-p)}{n^2} = \frac{p(1-p)}{n} \)

\(  \displaystyle V(T_2) = V \left( \frac{X+1}{n+2} \right) = \frac{1}{(n+2)^2}V(X+1) = \frac{np(1-p)}{(n+2)^2} \)

Y luego comparar los ECM de cada uno, como:

\( \frac{p(1-p)}{n} > \frac{np(1-p)}{(n+2)^2} +  \frac{np+1}{n+2}  \)

Resolver esa inecuación para \( p \) a fin de averiguar cuándo es cierta??

El hecho de que el primer estimador ya sea insesgado (y el segundo no) no implica que es mejor que el otro automáticamente?  ??? ???

Además de lo anterior también debería hacer el límite \( n \to \infty  \) sobre el ECM, verdad?

En fin que me quedan preguntas pero ya las voy despejando gracias a la orientación.

Gracias por cualquier comentario de nuevo.

10
Estadística / Determinar mejor estimador
« en: 17 Junio, 2020, 02:30 am »
Hola a todos: tengo el siguiente problema; en un experimento binomial hay observados \(  x  \) éxitos en \(  n  \) ensayos independientes. Como estimadores de la proporción de éxitos se proponen las estadísticas:

\(  \displaystyle T_1 = \frac{X}{n}\\ T_2 = \frac{X+1}{n+2} \)

Me preguntan si alguno de ellos es mejor que el otro para cualquier valor del parámetro p.

Según tengo entendido, debería entonces verificar si ambos cumplen con ser insesgados, consistentes y de mínima varianza. ¿Es así? De ser así, cómo puedo mostrar la consistencia? un límite de n tendiendo a infinito??  :-\

No sé en qué influye mencionar lo "cualquier valor del parámetro p", me hace pensar que dependiendo de ese valor p puede ser que uno sea mejor que el otro (me imagino que el primero será asintóticamente insesgado aunque no lo sé  :-\

Gracias por cualquier orientación!

Saludos.

11
Gracias geómetracat!

No tenía presente la igualdad que mencionaste, con ella todo fue mucho más sencillo de ver!  ;)

12
Hola a todos!

Debo resolver el siguiente ejercicio: los valores de la variable A se obtienen de la suma de los valores de las variables X y Y. Demostrar que la varianza de A puede ser mayor, menor o igual que la suma de las varianzas de X y Y

Y ya desde ahí el enunciado me genera confusión. Pues para mi resulta un poco evidente que la varianza de una variable (entendida como un número positivo) tiene que ser mayor, menor o igual que otro número cualquiera. Es decir, creo que es algo obvio al menos en la forma en que está escrita  ??? ???

Ahora bien, he iniciado de todos modos a hacer algo de trabajo algebraico y me he propuesto desarrollar la siguiente inecuación:

\(  s^2_{A} > s^2_{X} + s^2_{Y} \)

He utilizado la definición de varianza, algunas simplificaciones, etc. Pero a la final, no tengo claro a qué cosa tengo que llegar en esa expresión para mostrar que la desigualdad es cierta y bajo qué condición  :-\

Por otra parte, estuve leyendo que la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas solamente cuando las variables X y Y son independientes, pero no entiendo cómo incorporar ese hecho a las fórmulas  :-\

Finalmente, también me queda otra duda, debo asumir que las variables X y Y ambas tienen la misma cantidad de datos, de lo contrario no se podría resolver...??

Agradezco cualquier orientación al respecto!!  :)

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Anuncios / Re: ¡Vuelve el foro!
« en: 22 Mayo, 2020, 08:11 pm »
¡Enhorabuena por el retorno del foro! el mismo se ha venido constituyendo, a lo largo de los años, en una herramienta potente para realizar interacciones académicas entre personas de ciudades y países diversos, hecho social que trasciende las ayudas puramente matemáticas. Su importancia se resaltó ante su ausencia.

Gracias a quienes hicieron posible el regreso de este espacio!  :D

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Estadística / Re: Confianza en un muestreo
« en: 02 Abril, 2020, 12:01 am »
Hola

Es una pregunta difícil porque es amplia. El tamaño de una muestra depende de fundamentalmente dos factores: el nivel de confianza que se desee y el error muestral que se esté dispuesto a aceptar. Lo ideal sería un nivel de confianza alto y un EM bajo, sin embargo para que eso suceda entonces se debe ir haciendo cada vez mayor la muestra (obviamente el caso ideal sería tener un censo es decir tomar todo N). Hay varias fórmulas para calcular el tamaño de la muestra, tales fórmulas dependen esencialmente de:
1. tamaño de la población
2. el nivel de confianza (estandarizado)
3. la cuasivarianza muestral (obtenida a partir de una prueba piloto)
4. el Error Muestral (que viene a referir al ancho medio del intervalo de confianza)

Saludos

15
Estadística / Problema con estimadores de muestreo con reemplazo
« en: 01 Abril, 2020, 11:52 pm »
Hola!  ;D

Estoy resolviendo un problema de muestreo que me dejaron pero me encuentro atascado, agradezco alguna orientación. El problema dice:
Para estimar el ingreso promedio por hogar para una población de \( N = 200 \) hogares, se utilizó una lista de las 600 personas que pertenecen a los 200 hogares de la siguiente manera: se extrajo una muestra (con reemplazo) de tamaño \( m = 10 \) personas. Se identificaron los hogares de las personas seleccionadas y se recopiló información sobre el ingreso promedio del hogar, \( y_{k}/x_k \), donde \( y_k \) es el ingreso total del hogar en dólares y \( x_k \) es el número de personas en el hogar. Los resultados son los siguientes:
[tex]
Extracción i      Promedio
1                      7000
2                      8000
3                      6000
4                      5000
5                      9000
6                      4000
7                      7000
8                      8000
9                      4000
10                     2000
 

Calcule una estimación del ingreso promedio por hogar con base en el estimador pwr (estimador de Hansen - Hurwitz), así como el cve correspondiente.

Mi problema está en que, al hacer la extracción de 10 personas sobre las 600 no puedo asegurar que no pertenezcan a un misma casa (al ser con remplazo) y entonces no sabría como hacer el promedio, porque entiendo que el estimador del promedio se hace sobre los hogares y no sobre las personas.. O no sé si sea igual  ??? ???

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Probabilidad / Re: Límite de conjuntos
« en: 23 Marzo, 2020, 07:33 pm »
No he hecho el ejercicio que propones, pero en principio veo relativamente sencillo resolver tu duda. Se tiene que:

\( 1.  A_{1}= \displaystyle  \{ \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1},.... \} = \mathbb{N}  \)

\( 2.  A_{2} = \displaystyle \{ \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}.... \} \)

\( 3.  A_{3} = \displaystyle \{ \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{4}{3}.... \} \)

\( 4.  A_{4} = \displaystyle \{ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{5}{4}.... \} \)

Al hacer las uniones:

\(  \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty}{A_{k}} = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}... = \mathbb{Q^{+}} \) (Aunque el 0 no pertenece al conjunto que resulta de las uniones...)

Para hacer la segunda unión y no tener problema, basta con ver que \(  A_{1} = \mathbb{N} \subseteq A_{2} \)

Sea \(  x \in \mathbb{N}  \) pero además \(  \displaystyle x = \frac{2x}{2} \) y se tiene que: \(  \displaystyle \frac{2x}{2} \in A_{2}  (\forall x \in \mathbb{N})  \) por tanto \( x \in A_{2} \)

Entonces, al hacer la siguiente unión:

\(  \displaystyle \bigcup_{k=2}^{\infty}{A_{k}} = A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}...= \mathbb{Q^{+}} \) dado que los naturales quedaron incluidos en \( A_{2} \)

En la siguiente unión:
\(  \displaystyle \bigcup_{k=3}^{\infty}{A_{k}} = A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5}...= \mathbb{Q^{+}} \) para ello basta justificar que  \(  A_{2} \subseteq A_{4} \)

Y así sucesivamente.... O al menos así lo veo yo, veremos si alguien tiene alguna observación más  :)

Saludos.

17
Probabilidad / Re: Límite de conjuntos
« en: 22 Marzo, 2020, 09:01 pm »
Hola

Aunque, como bien menciona Fernando, en su página está el ejercicio totalmente resuelto y explicado al detalle; yo solo agregaría algo más a modo de consejo tanto para "visualizar" este ejercicio, como quizás otros de estilo similar.

Recuerda que: \(  \displaystyle\liminf_{n \to{}\infty}{} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \displaystyle \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} \) y que \(  \displaystyle\limsup_{n \to{}\infty}{} = \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} \displaystyle \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}  \). Si inicias estudiando el límite inferior, puedes ir tomando casos particulares:

\( 1. \displaystyle A_{1} =[0, \frac{1}{2})  \)
\( 2. \displaystyle A_{2} = [0, \frac{2}{3})  \)
\( 3. \displaystyle A_{3} = [0, \frac{3}{4})  \)

De lo anterior, es evidente que el intervalo resultante va a tender a ser \( [0,1) \) a medida que \( n \) crezca. Ahora, al hacer las intersecciones por casos particulares:

\(  \displaystyle \bigcap_{k=1}^{\infty} = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}.... = [0, \frac{1}{2}) \)
\(  \displaystyle \bigcap_{k=2}^{\infty} = A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4}.... = [0, \frac{2}{3}) \)
\(  \displaystyle \bigcap_{k=3}^{\infty} = A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5}.... = [0, \frac{3}{4}) \)

Y de forma evidente, al hacer las uniones de esas intersecciones, se obtiene:

\( \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} = [0,1) \)

Lo cual, no es más que el límite inferior. Un procedimiento análogo se puede hacer para el límite superior y concluir que coinciden los dos. Insisto, no creo que mi procedimiento sea una demostración; es más bien un análisis previo a la demostración misma, el cual tal vez te pueda servir para algún ejercicio similar en el que no se sepa qué hacer.

Saludos.

18

Concuerdo con lo que decís, pero si de verdad querés hilar fino no sólo debés probar que tiene elemento a derecha sino que NO tiene elemento a izquierda, porque que tenga neutro a derecha no dice nada acerca de qué sucede a izquierda. ¿No? ???

¿Y cómo se prueba la inexistencia de elemento neutro a izquierda? Pues no lo sé, pero creo que lógicamente el razonamiento es así. Estaría agradecido si alguien sabe cómo probarlo.

Saludos

Creería que, para probar que no existe, se debe hacer contradicción. Supongamos que existe \( e' \in \mathbb{R} : e' * y = y \). Por un teorema básico de grupos, si una operación tiene elemento neutro a izquierda y a derecha, estos deben ser el mismo. Para el caso del elemento a derecha ya se mostró que \(  e = 0 \). Si suponemos que son el mismo entonces \( e = 0 = e' \) y aplicando la definición: debería cumplirse que \(  0 * y = y  \) lo que es igual a \(  0 + 2y = y \Longleftrightarrow{} 2y = y  \) lo cual claramente es contradicción y en consecuencia \(  \nexists{e' }  \)... Creo que sería así  ;D

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Gracias por la ayuda! en efecto, la definición de álgebra que tengo es la unión solo de dos conjuntos de la sigma álgebra. Con tu aclaración me queda claro que no debo garantizar la existencia del conjunto.  ;D

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Hola a todos!

Debo probar que dado un conjunto universal \(  \Omega \neq  \phi  \) y sea \(  \mathcal{A} \) un álgebra sobre \(  \Omega \) entonces:

1. \(  A_{1}, A_{2},...A_{n} \in \mathcal{A} \Longrightarrow{} \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal{A} \)

2. \(  A_{1}, A_{2},...A_{n} \in \mathcal{A} \Longrightarrow{} \displaystyle \bigcap_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal{A} \)

En ambos casos me sugirieron hacer inducción sobre n, pero hay algo que no me convence. Lo traté de hacer como sigue:

1. Es evidente que para \(  n= 0 \) se cumple. Ahora, supongamos que para \( n \) se cumple, se debe probar el caso \( n+1 \):
Sea \( B \in \mathcal{A} \) tal que \(  B \neq A_{i  }   \forall i = 1, 2,...n \) entonces \(  B \cup \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n}{A_{k}} \in \mathcal {A} \) por definición de álgebra. Por lo tanto, \(  \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n+1}{A_{k}} \in \mathcal {A}  \).

Pero, no sé si es válido dar un conjunto \( B \in \mathcal{A} \) que aparezca "de la nada" ?? cómo quedaría probada la existencia de ese conjunto \( B  \) teniendo en cuenta que son uniones finitas...  ???

Desde luego para el caso de las intersecciones, utilizo leyes de De Morgan para convertir todo en uniones y utilizar el resultado anterior, pero llego a un punto análogo en el que debo hacer uso de un conjunto que no está en la sucesión de conjuntos pero que sí pertenece al álgebra. 

Gracias por la ayuda!

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