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Mensajes - poolnikov

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1
Hola a todos.

Dejo por aquí un vídeo de "No todo es matemáticas" con la solución.


 
Vídeo con la solución

Un saludo.

2
Foro general / Re: Homenaje a michel
« en: 08 Julio, 2021, 11:31 pm »
Una pena,

Últimamente no paso mucho por aquí, y me extrañó mucho no ver sus mensajes.

Compartí muchos mensajes con Michel aquí en el foro. Un gran maestro para todos.

Un fuerte abrazo allí donde estés.

3
De oposición y olimpíadas / Re: Triángulo. Teorema de Routh?
« en: 01 Mayo, 2021, 06:49 pm »
Hola,

Gracias el_manco, y perdonad todos, pero ese tampoco es el dibujo del enunciado original.

Era este:



En este caso sí, es un poco más laborioso que los dos anteriores.

Un saludo y disculpad

4
De oposición y olimpíadas / Re: Triángulo. Teorema de Routh?
« en: 30 Abril, 2021, 08:15 pm »
Hola,

Este problema salió en las oposiciones de Madrid año 2006, pero el dibujo no era así.

En el examen el punto E, sobre el lado BC del dibujo, se encontraba a 1/3 de C. El resto de puntos estaba igual que en el dibujo original.

Un saludo


6
Hola,
Para probar que son múltiplos de 3 yo tomaría congruencias módulo 3.
Para probar que son múltiplos de 4 lo haría con congruencias módulo 8.
Saludos

7
Gracias el_manco.

saludos a todos

8

Sean \( \left\{{u_n}\right\} \) y \( \{v_n\} \) dos sucesiones con \( a+b\not=0 \) tales que:
   
         \( u_1=a  \)
    \( \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n+v_n} \)
           
       
   
         \( v_1=b \)
    \( \\ u_{n+1}=\dfrac{v_n^2}{u_n+v_n} \)
           
   


    a) Si \( a=b \) entonces  calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n \) y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)
   b) Si \( |b|<|a| \) demostrar que las dos sucesiones son convergentes.
    c) Si \( |b|<|a| \) calcular \( \lim\limits_{n \to \infty}u_n  \)y \( \lim\limits_{n \to \infty}v_n \)


Un saludo a todos.



9
Hola

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

No sé si quedó claro que la solución que pusiste en el Spoiler está MAL. Allí se gira sólo \( 60 \) grados en lugar de \( 120 \). Si giramos un punto respecto al origen, dos veces sucesivas \( 60 \) grados lo que se obtiene NO es un triángulo equilátero, sino uno isósceles de ángulos \( 30,30,120 \).

Saludos.

Hola.

Gracias Luis. Me quedó claro con la explicación de robinlambada tenían que girar \( 120º \).

Voy a editar el spoiler con la solución correcta.

Saludos a todos y muchas gracias.

10
Hola.

¡Vale! Muchas gracias. Me estaba volviendo loco.

No encontraba por donde fallaba. Gracias de nuevo

Saludos!!

11
 Hola a todos,

Demostrar que si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero y \( \left |{z_1}\right |=\left |{z_2}\right |=\left |{z_3}\right |=1 \), entonces se cumple que \( z_1+z_2+z_3=0 \)

Resolviendo este problema me encontré con la solución que pongo en el spoiler a continuación y la duda que me surge:

Editado con la solución correcta.

Spoiler
si \( z_1 \), \( z_2 \) y \( z_3 \) son los vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno debe estar girado un ángulo de  \( \displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3} \) respecto del otro. Sabemos que multiplicar un complejo \( u \) de módulo 1 es un giro de amplitud igual a \( arg(u) \).

Definamos \( u=cos(\displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3})+i sen(\displaystyle\frac{\textcolor{Red}{2}\pi}{3}) \). Entonces los 3 vértices los podremos escribir como \( z_1 \), \( z_1\cdot{}u \) y \( z_1\cdot{}u^2 \) y por lo tanto:
\( z_1+z_2+z_3=z_1(1+u+u^2)=z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \)

Ahora ya tengo claro que \( u^3=1 \) y por lo tanto la suma es cero.

Pues bien, no entiendo o no sé por qué \( z_1 \displaystyle\frac{u^3-1}{u-1}=0 \) según mis cálculos \( u^3=-1 \) y por lo tanto esa igualdad no es cero. (aclarado y por lo tanto esto ahora ya no tiene sentido)

[cerrar]

Gracias a todos y saludos.

12
De oposición y olimpíadas / Problema 5. Galicia 2017. Probabilidad
« en: 28 Septiembre, 2017, 09:07 pm »
Hola.

Problema 5: Oposiciones Secundaria Galicia 2017

Se realiza un juego entre dos jugadores \( A \) y \( B \), en cada partida la probabilidad de que gane el juego el jugador \( A \) es \( p \), la probabilidad de que gane el jugador \( B \) es \( q \), y la probabilidad de que queden en tablas (empate) es \( r \). Gana el juego el jugador que gana dos partidas. Calcule la probabilidad de que gane el juego el jugador \( A \)

Gracias y saludos.

13
De oposición y olimpíadas / Problema 4. Galicia 2017. Complejos
« en: 28 Septiembre, 2017, 09:01 pm »
Hola.

Problema 4: Galicia 2017

Los vértices de un triángulo equilátero \( ABC \) son los afijos de los complejos: \( z_A=1 \) ; \( z_B=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \) ; \( z_C=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)

a) Dadas las relaciones \( z+z_1=2z_A \) ; \( z_1+z_2=2z_B \) ; \( z_2+z_3=2z_C \). Hallar las trasformaciones geométricas \( M\rightarrow{}M_1 \) ; \( M\rightarrow{}M_2 \) ; \( M\rightarrow{}M_3 \) ; siendo \( M_1 \), \( M_2 \), \( M_3 \) y \( M \) los afijos de \( z_1 \), \( z_2 \), \( z_3 \) y \( z \).

b) Cuando el punto \( M \) describe la circunferencia circunscrita al triángulo \( ABC \), determinar la linea descrita por el afijo \( z_4 \) dado por la siguiente relación: \( z_4=z+\dfrac{a^2}{z} \) siendo \( a \) un número real dado.
Especificar, en particular, el caso en que \( a \) es el radio de la circunferencia.


Muchas gracias y saludos.

14
Hola de nuevo.

Problema 3: Galicia 2017

Una circunferencia variable \( C \) es tangente al eje de abscisas en el punto\(  A(-1,0) \). Sea \( r \) la recta tangente a \( C \) en el punto diametralmente opuesto a \( A \), y \( s \) la tangente a \( C \) distinta de \( OX \) que pasa por \( B(1,0) \). Hallar el lugar geométrico de los puntos de intersección de \( r \) y \( s \) .

Nota: Este mismo ejercicio se propuso también en Canarias en 1989

Un saludo y muchas gracias.

15
Hola.

Gracias Ignacio y saludos.

16
Hola.

Problema 2 , Oposiciones secundaria Galicia 2017

Sea \( \mathbb{R} \) la recta real y \( T  \) la familia formada por el \( \emptyset \) y todos los subconjuntos de \( \mathbb{R} \) que son complementarios de conjuntos finitos. Demostrar:
a) \( T \) es una topología en \( \mathbb{} \).
b)  \( \{ \mathbb{R},T \} \) no es un espacio de Hausdorff.
c)  \( \{ \mathbb{R},T \} \) es un espacio compacto.

Gracias y saludos para todos.

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Hola a todos.

Han caído en mis manos los enunciados de algunos de los problemas de las oposiciones de secundaria de Galicia 2017, así que, tal y como he hecho en otras ocasiones los voy a compartir con todos vosotros, y el que quiera resolverlos, pues ya sabe... para ser sincero con todos vosotros yo hasta el momento no lo he intentado. Pero bueno...

Creo recordar que fueron al menos 8 problemas, yo solamente tengo hasta el momento 5 enunciados de esos 8. Si consigo más, los pondré.

Este límite no fue el problema 1, pero como desconozco el orden real y eso tampoco importa nada, pues he decidido llamarlo así.

Problema 1: Oposiciones Secundaria Galicia 2017
Resuelva el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\sqrt[n ]{(a+\sqrt[ ]{n^2+a^2})(2a+\sqrt[ ]{n^2+4a^2})\ldots(na+\sqrt[ ]{n^2+n^2a^2}} \)

Gracias y saludos.

18
Hola.

Gracias el_manco. Las coordenadas baricéntricas es un recurso que nunca utilizo y recuerdo que ya me las habías sugerido para resolver otro problema que había planteado por aquí.

Gracias de nuevo y saludos.

19
Hola,

He intentado de todo y no llego a ningún sitio. No encuentro ninguna semejanza, por Pitágoras tampoco veo que llegue a nada...

¿Alguna sugerencia para seguir?

Saludos!

20
Hola a todos.

Acaba de caer en mis manos el siguiente problema de Aragón 2004. Aquí os lo dejo para el que quiera intentarlo...

Sea la función \( f(x)=L(1+x)^2- arctg \  x \). Demostrar que:

\( f^{(n}(x)=\dfrac{P_n(x)}{(1+x^2)^n} \)

donde \( P_n(x) \) representa un polinomio de grado \( n \) con \( n \) ceros reales diferentes.


Creo que debe ser más bién:  \( f(x)=\log (1+x^2)- \arctg  x \)


Tiene que ser así seguro. Lo dejo con spoiler por si alguien quiere disfrutarlo.
 
Spoiler
Derivando directamente, tenemos que:

\( f'(x)=\dfrac{2x-1}{(1+x^2)} \)

es de la forma prevista. Supongamos que es cierto que

\( f^{(n}(x)=\dfrac{P_n(x)}{(1+x^2)^n} \)

y veamos que entonces

\( f^{(n+1}(x)=\dfrac{P_{n+1}(x)}{(1+x^2)^{n+1}} \)

Derivando \( f^{(n}(x) \)

\( f^{(n+1}(x)=\dfrac{P'_n(x)(1+x^2)^n - P_n(x)\cdot{}n(1+x^2)^{n-1}2x}{(1+x^2)^{2n}}=\dfrac{P'_n(x)(1+x^2) - 2n\cdot{}x\cdot{}P_n(x)}{(1+x^2)^{n+1}} \)

Los dos términos de la diferencia del numerador son polinomios de grado \( n+1 \). Veamos que el coeficiente de \( x^{n+1} \) no es nulo. Si es \( a_n \) el coeficiente principal de \( P_n(x) \) y \( a_{n+1} \) el de \( P_{n+1}(x) \), tenemos que:

\( a_{n+1}= n\cdot{}a_n - 2n\cdot{}a_n = - n\cdot{}a_n \neq{0}\;\forall{n}>1 \)

Solo queda ver que tiene n+1 ceros reales. Creo que es sencillo de ver por el Teorema de Rolle con alguna consideración añadida, pero ahora no tengo tiempo de seguir. Queda para otro rato.
[cerrar]



Hola.

Perdón. Tienes toda la razón. Lo copié mal, ya lo corrijo.

Un saludo y gracias por la corrección.

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