Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - yotas

Páginas: [1] 2 3 4 ... 37
1
Teoría de grafos / Interpretando un problema
« en: 07 Enero, 2017, 01:13 pm »
Buenos días, tiempo sin pasar por aquí.

Quisiera preguntar por cómo debo entender el siguiente problema:

Let \( T \) be a tree. Show that the graph whose vertices are proper \( 3- \)colorings of \( T \) and whose edges are pairs of colorings which differ at only a single vertex is connected.

No he sabido cómo interpretarlo.

Muchas gracias.



2
Cálculo de Varias Variables / Re: Conjunto no acotado
« en: 11 Julio, 2016, 05:26 am »
Por otra parte, sabemos que un conjunto tiene volumen \( 0 \) si dado \( \varepsilon>0 \), existen \( I_1,I_2,...,I_k \) intervalos cerrados tales que \( A\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^k I_i \) y \( \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} v(I_i)<\varepsilon. \) Bueno, se supone que debería demostrar que una de las condiciones anteriores no se cumple.

En esta definición de volumen nulo ¿no tienes un problema con el \( k \) que aparece en la unión y el \( \infty \) que aparece en la suma? Si ambos símbolos deben ser \( k \) entonces, ningún conjunto no acotado puede tener volumen nulo (con esa definición) porque no lo puedes cubrir con una unión finita de intervalos.

3
Hola ¿cómo va todo?

Quiero demostrar el siguiente ejercicio que aparece en el libro Topology, Measure and Fractal Geometry de Gerald Edgar:

Sean \( p_1, p_2, p_3 \) tres puntos cualesquiera del plano, definimos el sistema iterado de funciones \( (f_1,f_2,f_3) \) donde las funciones son \( f_i(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x+p_i) \). Para este sistema iterado existe un único triángulo de Sierpinski \( S \) que es atractor. Tomamos una sucesión \( k_n \) de elementos \( \{1,2,3\} \) y un punto cualquiera \( a \) del plano y definimos
\( x_0=a \) \( x_{n+1}=f_{k_n}(x_n) \)
Entonces pruebe que
(1) Todo punto de acumulación de \( \{x_n\} \) está contenido en \( S \).
(2) Dado un punto en \( S \) existe una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) lo tenga como punto de acumulación.
(3) Existe un punto \( a \) en el plano y una escogencia de \( k_n \) tales que \( \{x_n\} \) tenga como conjunto de acumulación a todo \( S \).

El teorema principal de la sección dice que dado un sistema iterado de contracciones \( (f_1,...,f_n) \) en un espacio métrico completo \( X \) existe un único conjunto compacto \( K \) que cumple la ecuación \( K=\bigcup_{i=1}^n f_i[K] \). Además para cualquier conjunto compacto \( A\subset X \) la sucesión \( A_0=A \) y \( A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^n f_i[A_n] \) converge a \( K \) en la métrica de Hausdorff.

Sólo he podido lograr el punto (1) encontrando en el triángulo de Sierpinski una sucesión que se "comporta igual" a la sucesión dada. Esto es que encontré una sucesión \( \{y_n\} \) de elementos de \( S \) tal que dado un \( \epsilon \) existe un \( N \) con la propiedad de que \( n\geq N \) entonces \( d(x_n,y_n)<\epsilon \). Este tipo de sucesiones coinciden en sus puntos de acumulación y como \( S \) es cerrado, se tiene este punto.

Con el segundo y el tercer punto a pesar de haberle gastado un buen tiempo, no he logrado mayor cosa con ellos. En el punto (2) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino en las tres direcciones dadas de modo que nos acerquemos a cualquier punto del triángulo. En (3) la idea intuitiva es que podemos "armar" un camino que ande entre por todo el triángulo infinitas veces. Pero esta intuición no me ha ayudado mucho...

Agradezco cualquier consejo.

 ;D


4
En el libro de Massey (que se supone guía del curso) está la versión para \( n=2 \). Entonces este ejercicio realmente era trivial con este resultado.

Gracias por el consejo.

5
Hola

Debo probar que no existe una función \( \phi:S^n \rightarrow S^1 \) para \( n\geq 2 \) tal que \( \phi(-x)=-\phi(x) \).

He intentado varias cosas y ninguna muy próspera. Entre ella hacer un levantamiento \( \alpha \) de una curva \( \alpha \) en el espacio proyectivo n-dimensional y tratar de mostar que estas curvas dan bajo \( \phi \) una curva no trivial en \( S^1 \) lo que sería una contradicción. Pero no logro probar o convencerme de que la curva efectivamente es no trivial.

¿Me podrían dar alguna indicación?

Gracias.

6
Análisis Matemático / Re: Función discreta e integral
« en: 26 Mayo, 2015, 01:53 am »
Por un lado, ten cuidado una integral no es una suma, es un límite de sumas. Por otro lado ¿qué significa \( \delta \)?

7
Cálculo 1 variable / Re: Integral definida
« en: 25 Mayo, 2015, 07:55 pm »
¿No tienes más condiciones del problema?

Yo creo que así no puedes calcular alguan solución. Lo primero que se me ocurre es que podrías calcular \( Y' \) y obtener una expresión en términos de \( X \) y \( X' \). Aunque no sé para qué.

¿Por qué no expones el problema completo?

8
Cálculo 1 variable / Re: Integral definida
« en: 25 Mayo, 2015, 07:30 pm »
¿Qué es \( X \)?

9
Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuación de onda elástica.
« en: 12 Mayo, 2015, 04:48 pm »
Después de revisar el ejercicio aún no comprendo muy bien cuáles debieran ser las correciciones. Porque si lo que he escrito es correcto entonces no hay que preocuparse realmente mucho por la integral, puesto que el integrando no dependería de \( r \) y las derivadas se realizarían sin problema alguno. Aunque tampoco habría necesidad de integrar... en fin. Voy a preguntar para saber dónde está el error.

10
Ecuaciones diferenciales / Ecuación de onda elástica.
« en: 12 Mayo, 2015, 03:59 am »
Dado el operador \( \Lambda=(\partial_t^2-c_1^2\partial_r^2)(\partial_t^2-c_2\partial_r^2) \) demuestre que la media esférica
\( M_u(x,r,t)=\displaystyle\frac{3}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t) dS(r) \)
satisface la ecuación \( \Lambda(rM_u)=0 \).

He tenido problemas calculando las derivadas respecto a \( r \), en realidad no sé muy bien cómo hacerlo sólo tengo claro que la primera es

\( \partial_r rM_u=-\displaystyle\frac{3\cdot2}{4\pi r^3}\int_{B(x,r)}u(x,t)dS(r)+\displaystyle\frac{3}{4\pi r^2}\int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

pero según el operador de se debe derivar hasta cuatro veces y en particular no sé cómo derivar respecto a \( r \) a

\( \int_{\partial B(x,r)}u(x,t)dS(r) \)

¿alguna ayuda?

Gracias.

11
Hola

Quisiera preguntar por unas referencias donde se discutan las ecuación de onda del siguiente tipo y similares:

\( u_{tt}=c^2(u_{xx}+u_{yy}) \)
\( u(x,y,0)=0 \)
\( u_t(x,y,0)=x^2+y^2 \)

donde \( x,y\in\mathbb{R} \). Estos son problemas que no son de frontera y entonces el método de separación de variables creo que no funciona.

Muchas gracias.  ;D

12
Teoría de la Medida - Fractales / Funciones continuas por abajo
« en: 31 Marzo, 2015, 03:51 am »
Hola!

El límite superior de una función \( f \) real (o real extendida) en un punto \( y \) es:
\( \lim_{x\rightarrow y}\sup f(x)=\inf_{\delta>0} \sup_{0<|x-y|<\delta} f(x) \)
el límite inferior en el punto \( y \) se define de manera similar.

Una función \( f \) de valores en los reales extendidos es semicontinua inferior en un punto \( y \) si \( \lim_{x\rightarrow y}\sup_{x\rightarrow y}f(x)\geq f(y) \). Diremos que es semicontinua inferior en un intervalo si es semicontinua inferior en todo punto del intervalo.

Me piden que demuestre lo siguiente

- Una función definida en un intervalo \( [a,b] \) es semicontinua inferior si y sólo si existe una sequencia monónota creciente \( \phi_n \) de funciones paso semicontinuas inferior en \( [a,b] \) tales que para cada \( \phi_n\rightarrow f \) puntualmente.

Todos estas definiciones (y el enunciado anterior) son para dar algo de contexto del ejercicio del que tengo dudas. Asimismo la demostración de el anterior enunciado por eso irá en spoiler.

demostración
Dado \( n \). Consideremos los siguientes intervalos abiertos del intervalo \( [a,b] \):
\( E_1=(x_0,x_1), E_2=(x_1,x_2),...,E_n=(x_{n-1},x_n) \)
Donde \( x_i=a+\displaystyle\frac{i(b-a)}{2^n} \) \( i=0,...,2^n \)

Definimos \( \phi_n \) como sigue

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{a_i}&\mbox{ si  }& x\in E_i
             \\ \min(a_i,a_{i+1}) & \mbox{si}& x=x_i
             \\ a_1                     & \mbox{si}& x=a
              \\ a_{2^n}              & \mbox{si}& x=b
       \end{matrix}
 \)
Con \( a_i=\inf_{x\in E_1} f(x), i=1,...,2^n \). Cada una de las funciones dadas es continua inferiormente y forman una sucesión creciente de funciones puesto que en cada nueva partición del intervalo el ínfimo de cada subconjunto debe ser mayor o igual al ínfimo del conjunto completo.
La sucesión \( \{\phi_n(y)\} \) converge a \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) \) pero como \( \phi_n(x)\leq f(y) \) entonces \( \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x) =\lim_n \phi_n(x)\leq f(y)\leq \lim_{x\rightarrow y} \inf f(x)  \) puesto que es continua inferiormente. Esto implica la convergencia a \( f \) puntualmente de las funciones \( \phi_n \).
[cerrar]

Este ejercicio es el previo al siguiente que no he podido realizar:

Demuestre que se puede realizar el mismo tipo de aproximación con funciones continuas que la dada en el teorema anterior.

¿Alguna sugerencia?

¡Muchas gracias!  ;D

13
¡Hola!

Quisiera me dieran una pequeña ayuda para resolver el siguiente ejercicio.

Dadas \( M_1, M_2 \) variedades diferenciables, \( \phi:M_1\rightarrow M_2 \) un difeomorfismo local. Pruebe que si \( M_2 \) es orientable entonces \( M_1 \) es orientable.

Lo realizado:
Como \( \phi \) es un difeomorfismo local podemos escoger para cada \( p\in M \) dos conjuntos abiertos \( U_p\subset M_1 \) y \( V_p\subset M_2 \) conteniendo a \( p \) y  a \( \phi(p) \) respectivamente tales que \( \phi\upharpoonright U_p=\phi_p:U_p\rightarrow V_p \) es un difeomorfismo. Como $M_2$ está orientada existe un atlas \( \{(y_\alpha,W_\alpha)\} \) que induce una orientación en \( M_2 \).

Realmente esto no es mucho. No sé cómo inducir un atlas sobre \( M_1 \) de tal manera que induzca una orientación.

Agradezco las sugerencias y las ayudas.

 ;D

14
Puede ayudarte el Do Carmo, tercer o cuarto capítulo. O el Lee, Smooth Manifolds.

15
Hola

Quisiera que alguien me recomendara un texto o unas notas donde describan las reducciones de las ecuaciones de la forma

\( a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + a_1u_x + a_2u_y + a_0u = 0 \)

donde los aes son constantes a formas donde no aparecen las derivadas parciales cruzadas.

Gracias de antemano.

16
Cálculo 1 variable / Re: Límite de la forma sen(x)/x
« en: 25 Febrero, 2015, 12:52 am »
Es necesario probarlo sólo si quieres tener certeza de ello, supongo que preguntas "por qué" puesto que te parece obvio. Aunque igual te pregunto, ¿por qué dudas que sea necesario probarlo?

Por otro lado, siempre que \( f(x) \) tienda a \( A \) cuando \( x \) tienda a \( a \) y \( g(x) \) tiende a \( a \) cuando \( x \) tiende a \( c \) tendrás que

\( \lim_{x\rightarrow c}f(g(x))=A \)


17
Álgebra / Re: Resolución de problema con dos incógnitas
« en: 17 Febrero, 2015, 04:28 am »
¿Qué has intentado para resolverlo? Es realizar una aplicación tras otra para encontrar los números.

18
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Rectas Tangentes
« en: 17 Febrero, 2015, 03:42 am »
Ahhh Trabajamos con el binormal

Claro, la idea es mostrar que el binormal no cambia, luego, no hay cambio de plano.

19
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Rectas Tangentes
« en: 12 Febrero, 2015, 04:58 am »
Para el primero: Si \( \alpha(s)  \) es la curva regular con la propiedad dicha (parametrizada por longitud de arco) y \( A \) el punto por el cual pasan todas las rectas tangentes, entonces para todo \( s \) existe \( t(s) \) tal que:

\( \alpha'(s)t(s)+\alpha(t)=A \)

entonces deriva y encuentra que \( |\alpha''(t)=0| \) que implica que la curva es una recta.

Para el segundo: Como \( t(s) \) es un vector paralelo a un plano existen vectores unitarios \( u,v \) tales que

\( t(s)=a(s)u+c(s)v \)

donde \( a,c \) son funciones diferenciables. Calcula \( n(s)=\alpha''(s)=t'(s) \) para obtener \( b=t\times n \) y concluir que es constante. (debes usar que \( u,v \) fueron escogidos unitarios.


20
Hola, yotas. ¿Qué es \( C_k \)?

He editado la pregunta colocando la definición. Los \( C_k \) son el k-ésimo paso de la construcción del conjunto de Cantor.

Páginas: [1] 2 3 4 ... 37