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Matemática => Álgebra => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: Champion9999 en 11 Agosto, 2005, 08:34 pm

Título: Semianillos y Matrices en Semianillos
Publicado por: Champion9999 en 11 Agosto, 2005, 08:34 pm
Hola. ¿Alguien sabe sobre teoría de semianillos?

Estoy interesado en lo siguiente:

Consideremos en Z53 la siguiente función:

f(x1,x2,x3)=(x1x3,x23,x1x2).

Tal función se puede expresar como una matriz:
A =  1  0  1
       0  3  0
       1  1  0
Las entradas de A son las potencias de las variables.

A x1 =  x11x20x31  = f(x1,x2,x3)(puesto como columna)
   x2     x10x23x30
   x3     x11x21x30

donde por convención: 00=1

para determinar f compuesto con f, simplemente tomamos A2. Pero si una entrada de A2 es 5, escribimos 1; si es 6, escribimos 2 (pues x5=x1, x6=x2 para todo x en Z5) y asi sucesivamente. Es decir, las entradas de A2 solo serian números entre 0 y 4. Lo mismo sucede para Ak.(Es decir, cuando vemos un numero mayor o igual que 5, lo
"reducimos")

Se puede definir una suma y producto en B={0,1,2,3,4}. Por ejemplo: 4+3=7,
pero en B tendríamos 4+3="Reduccion de 7"=3 (pues x7=x3 para todo x en Z5). Analogamente se define un producto.

Asi tenemos una suma y producto definidos en B. Pero no para todo elemento existe inverso aditivo; por eso no es un anillo. Sin embargo estas operaciones cumplen las demás condiciones de anillo (inclusive cumplen las demás condiciones de dominio).

Entonces A sería una matriz cuyos elementos están en B, y se puede definir suma y producto de matrices usando la estructura de B. Luego el conjunto de matrices con entradas en B también resulta un semianillo.

A sería algo así como una "transformación multiplicativa" de Z53 a Z53.

Para estudiar el comportamiento de f basta estudiar el comportamiento de A.

¿Alguien sabe dónde se puede conseguir informacion de este tipo de estructuras? (especialmente de las matrices)

Gracias y saludos.
Título: Re: Semianillos y Matrices en Semianillos
Publicado por: teeteto en 11 Agosto, 2005, 09:43 pm
Tengo sólo un pero que hacerte, aunque no mucho tiempo.

Es cierto que x5=x en Z5, pero entonces lo que sucede es que los coeficientes de Ak están en {0,1,2,3,4}

Saludos.
Título: Re: Semianillos y Matrices en Semianillos
Publicado por: Champion9999 en 11 Agosto, 2005, 09:52 pm
Tienes razon, ya lo corregi.

Mas saludos