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Matemática => Álgebra => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: marinavzqz en 19 Abril, 2022, 11:30 am

Título: las 27 rectas de la cubica de fermat
Publicado por: marinavzqz en 19 Abril, 2022, 11:30 am
Buenas,
estoy viendo las 27 rectas de ka cubica de Fermat
Veamos que una recta L en el espacio proyectivo ℙ3 está dada por dos hiperplanos, que son hipersuperficies de grado1 1. Elegimos una recta L en ℙ3, salvo cambio de coordenadas, estos dos hiperplanos vienen dados por 𝑥=𝑎𝑧+𝑏𝑡,𝑦=𝑐𝑧+𝑑𝑡
Por tanto, la recta L está contenida en la cúbica de Fermat si y sólo si (𝑎𝑧+𝑏𝑡)3+(𝑐𝑧+𝑑𝑡)3+𝑧3+𝑡3=0 como polinomio en ℂ[𝑧,𝑡]
Desarrollando esta expresión,
𝑎3𝑧3+𝑏3𝑡3+3𝑎𝑧𝑏2𝑡2+3𝑎2𝑧2𝑏𝑡
+𝑐3𝑧3+𝑑3𝑡3+3𝑐𝑧𝑑2𝑡2+3𝑐2𝑧2𝑑𝑡
+𝑧3+𝑡3=0
Deben satisfacerse las siguientes cuatro ecuaciones: \\
(1)𝑎3+𝑐3+1=0\\
(2)𝑏3+𝑑3+1=0\\
(3)𝑎𝑏2+𝑐𝑑2=0\\
(4)𝑎2𝑏+𝑐2𝑑=0\\
Si suponemos que los a,b,c,d son todos distintos de cero, entonces haciendo (3)2/(4) obtenemos 𝑏3=−𝑑3 lo que contradice (2). Por tanto, al menos uno de estos a,b,c,d debe ser no nulo.
Salvo cambio de coordenadas, podemos asumir que a=0 y así obtenemos que 𝑏3=𝑐3=−1 y a=d=0. El par (b,c) será de la forma (b,c)=(−𝑤𝑗,−𝑤𝑘) para 0≤𝑗, k≤2 donde w es la raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir, w=𝑒2𝜋𝑖3. Las rectas son producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas: 
𝑥+𝑡𝑤𝑘=𝑦+𝑧𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
𝑥+𝑧𝑤𝑘=𝑡+𝑦𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
𝑥+𝑦𝑤𝑘=𝑡+𝑧𝑤𝑗=,0≤𝑗,𝑘≤2
y mi pregunta es por que las rectas son producto de todas las posibles permutaciones de las coordenadas??
gracias
Título: Re: las 27 rectas de la cubica de fermat
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Abril, 2022, 04:28 pm
Hola
 
 Prácticamente el mismo planteamiento lo habías puesto aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119885.msg483136#msg483136

En este mensaje has hecho un copy-paste que impide que se vean bien las fórmulas. Evita esto, por favor.

 Además si quieres seguir preguntando sobre ese planteamiento hazlo en el hilo donde lo habías propuesto (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119885.msg483136#msg483136), añadiendo tu nueva pregunta.

 Este hilo queda bloqueado.

Saludos.