Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Foro general => Mensaje iniciado por: mg en 18 Enero, 2022, 12:33 am

Título: Concepto de continuidad
Publicado por: mg en 18 Enero, 2022, 12:33 am
Hola,

Hoy traigo un tema que me ha llamado la atención. En uno de los vídeos, el profesor de unicoos estudiando la continuidad de la función \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{x} \) dice que es discontinua, y esto ha creado polémica con otros divulgadores de matemáticas. Dejo aquí uno de los videos respuesta.


Puesto que tengo mucho respeto por las personas que forman esta comunidad matemática, quería preguntaros por vuestra posición en este tema. (que debería ser única). Si a mi me preguntaran, diría que la función que se propone es continua, porque en cada punto del dominio lo es, y ciertamente no se puede estudiar la continuidad en puntos que no son del dominio. Sin embargo, es cierto que presenta una discontinuidad en 0, pues es punto de acumulación. Por lo tanto lo que pienso es que simplemente continuidad y discontinuidad no son excluyentes. Es decir una función puede ser continua y dsicontinua a la vez, en vista de este caso (claro que un punto en concreto de la función solo puede ser una de las dos).

Un saludo.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 18 Enero, 2022, 01:01 am
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Hola,

Hoy traigo un tema que me ha llamado la atención. En uno de los vídeos, el profesor de unicoos estudiando la continuidad de la función \( f(\displaystyle\frac{1}{x}) \) dice que es discontinua, y esto ha creado polémica con otros divulgadores de matemáticas. Dejo aquí uno de los videos respuesta.


Puesto que tengo mucho respeto por las personas que forman esta comunidad matemática, quería preguntaros por vuestra posición en este tema. (que debería ser única). Si a mi me preguntaran, diría que la función que se propone es continua, porque en cada punto del dominio lo es, y ciertamente no se puede estudiar la continuidad en puntos que no son del dominio. Sin embargo, es cierto que presenta una discontinuidad en 0, pues es punto de acumulación. Por lo tanto lo que pienso es que simplemente continuidad y discontinuidad no son excluyentes. Es decir una función puede ser continua y dsicontinua a la vez, en vista de este caso (claro que un punto en concreto de la función solo puede ser una de las dos).

Un saludo.
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Pones la continuidad de \( f(\dfrac{1}{x})  \) cuando en el video pones la contiunidad de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).

Evidentemente \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) es continua en su dominio, no veo el error.

Es como decir que como:
 \( -\dfrac{1}{n}  \) es negativo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es negativo por ser punto de acumulación.
\( \dfrac{1}{n}  \) es positivo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es positivo por ser punto de acumulación.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Masacroso en 18 Enero, 2022, 07:05 am
De esto se ha hablado ya en otros hilos, no sé exactamente cuáles, pero es un tema recurrente del foro. Lo que ocurre es que la definición de función continua que se utiliza en la ESO y bachiller (en España), y creo que determina el ministerio de educación, difiere de la verdadera definición de continuidad, la que se utiliza a nivel universitario en todo el mundo.

En la ESO y bachiller creo que se dice que una función real es continua en un punto si y solo si sus dos límites laterales existen y son iguales. En este punto hay que observar que no se utiliza tampoco la definición de función normal sino una más intuitiva y menos formal, por ejemplo es típico definir una función en la ESO y bachiller sin especificar su dominio y codominio sino simplemente por una relación algebraica en \( \mathbb{R} \), como por ejemplo \( f(x)=1/x \). Entonces como \( \lim_{x\to 0}f(x) \) no existe se dice que la función es discontinua en el cero, pero eso no sería cierto a un nivel universitario ya que en principio \( f \) ni siquiera sería una función porque no se ha especificado su dominio y codominio, y como el cero no podría pertenecer al dominio de una función como relación algebraica \( x\mapsto 1/x \) (porque dividir por cero no tiene sentido, al menos en el caso general) entonces decir que tal función fuese o no continua en un punto donde tal función no existe no tiene mucho sentido.

En definitiva, es una cuestión de pedagogía, la noción de continuidad y de función que se utiliza en la ESO y bachiller (no sé si en todos los cursos) no son las definiciones que utilizan los matemáticos. Alguien que dé clases en un instituto seguro podrá aclararlo mucho mejor que yo.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: geómetracat en 18 Enero, 2022, 08:26 am
En la ESO y bachiller creo que se dice que una función real es continua en un punto si y solo si sus dos límites laterales existen y son iguales.
Y además coinciden con el valor de la función en el punto.
Esta definición en principio es equivalente a la definición usual de continuidad. El problema empieza cuando el dominio de la función no es todo \[ \Bbb R \], no está definida la función en un punto, o no tiene sentido plantearse el límite o algún límite lateral (por ejemplo, en un punto aislado del dominio, o si la función solamente está definida hacia un lado del punto). Si la función no está definida en un punto no tiene sentido plantearse la continuidad ahí, pero sí que puede tener sentido plantearse si existe el límite (si es punto de acumulación del dominio), o los límites laterales. El problema es que en esas situaciones hay profesores (como el de unicoos, David Calle) que dicen que si la función no está definida en el punto ya no es continua. Este convenio es contrario al que se usa universalmente en matemáticas superiores. Pero al final no deja de ser una cuestión de convenio.

Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Masacroso en 18 Enero, 2022, 08:36 am
Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.

No estaba al tanto de esto. Sí, su persistencia denota ya algo más serio, ya que esos conceptos son elementales, de primer año de carrera. Muy raro que alguien que dé clases de matemáticas no sepa eso.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Enero, 2022, 09:12 am
Hola

 Por completar el asunto aquí están algunos de los Twitts:

https://twitter.com/davidcpvm/status/1480911230613299219

https://twitter.com/davidcpvm/status/1481024944830046209

Saludos.
 
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: martiniano en 18 Enero, 2022, 09:19 am
Hola.

Vaya por delante que no tengo mucha idea de lo que hace esta persona ni de la actitud que haya tomado frente a este asunto. Desde luego yo pienso que todo esto se arregla admitiendo que todo es cuestión del convenio que se tome, como ya habéis dicho por aquí.

Ahora bien, no acabo de entender la crítica que le hacéis en cuanto a lo de que la función \[ f(x) =\displaystyle\frac{1}{x} \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intérvalo \[ [-a, a]  \]. Si he entendido bien la situación él defiende que es porque es discontinua en \[ x=0 \], y supongo que decís que debería haber dicho que en tal intérvalo está el cero, valor para el que no está definida la función. Pero esta diferencia en los argumentos, ¿no es precisamente "la cuestión de convenio"?

Un saludo.

Pd. Luis ha adjuntado enlaces mientras escribía. Voy a intentar echarles un vistazo.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Enero, 2022, 09:28 am
Hola

Ahora bien, no acabo de entender la crítica que le hacéis en cuanto a lo de que la función \[ f(x) =\displaystyle\frac{1}{x} \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano en el intérvalo \[ [-a, a]  \]. Si he entendido bien la situación él defiende que es porque es discontinua en \[ x=0 \], y supongo que decís que debería haber dicho que en tal intérvalo está el cero, valor para el que no está definida la función. Pero esta diferencia en los argumentos, ¿no es precisamente "la cuestión de convenio"?

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?. Es decir, o bien tiene algún error concpetual ahí (quizá pasajero, es decir, un despiste) o simplemente citar el Teorema de Bolzano no aporta nada al debate.

Por cierto cuando se dice que un Teorema fallaría yo entiendo a que se refiere a que se cumplen las hipótesis pero no la tesis; si directamente no se cumplen las hipótesis es que el teorema no se puede aplicar, que es distinto.

Por otra parte es cierto que David Calle, añade en la mayoría de sus frases "... en el punto \( x=0 \)...", y es cierto que \( f(x)=1/x \) no es continua en \( x=0 \), pero el motivo es que no está definida en ese punto: no tiene sentido hablar de continuidad.

El inicio de la polémica estuvo en el twitt de otro youtuber conocido Juan Medina:

https://yosoytuprofe.20minutos.es/2022/01/14/la-funcion-es-continua-el-debate-de-dos-famosos-youtubers-david-calle-juan-medina/

El caso es que él dijo: "No me canso de decir que la función f(x)=1/x es CONTINUA."

A partir de ahí, creo, surgieron las réplicas de David Calle.

Por cierto totalmente de acuerdo con esto:

Citar
Vaya por delante que no tengo mucha idea de lo que hace esta persona ni de la actitud que haya tomado frente a este asunto. Desde luego yo pienso que todo esto se arregla admitiendo que todo es cuestión del convenio que se tome, como ya habéis dicho por aquí.

El problema es que en esas situaciones hay profesores (como el de unicoos, David Calle) que dicen que si la función no está definida en el punto ya no es continua. Este convenio es contrario al que se usa universalmente en matemáticas superiores. Pero al final no deja de ser una cuestión de convenio.

Creo que un debate de este tipo es imprescindible hacer mención a ese matiz

Saludos.

CORREGIDO
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: martiniano en 18 Enero, 2022, 11:13 pm
Hola.

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?

Pues supongo que por lo que tú has dicho en el párrafo anterior. Supongo que su "defensa" consiste en algo así:

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).

Pues no sé... Cuestión de convenio sobre un simple sintagma... No creo que haya mucho más...

A mí la verdad es que me parece muy natural decir, en el contexto del ejercicio, que una función es discontinua en un punto aislado del complementario de su dominio. Juraría que también lo he visto en literatura universitaria. Concretamente cuando se habla de discontinuidades evitables.

Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: manooooh en 18 Enero, 2022, 11:59 pm
Hola

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Para mí todas las oraciones son verdaderas (y por tanto bien formuladas), salvo la última, porque en \( x=0 \) la función no es ni continua ni discontinua; por lo tanto es falsa.

Saludos
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: mg en 19 Enero, 2022, 01:02 am


Pones la continuidad de \( f(\dfrac{1}{x})  \) cuando en el video pones la contiunidad de \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).

Evidentemente \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) es continua en su dominio, no veo el error.

Es como decir que como:
 \( -\dfrac{1}{n}  \) es negativo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es negativo por ser punto de acumulación.
\( \dfrac{1}{n}  \) es positivo para todo \( n \in \mathbb{N}  \) entonces \( 0 \) es positivo por ser punto de acumulación.


Corregido.


\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)

A mi me chirrian un poco las tres primeras, puesto que en realidad siempre he dado por hecho que cuando se dice que una función es continua lo es en su dominio (sino el dado, pues el dominio de existencia). Y después de haber leído el hilo y reforzar los conceptos de continuidad pues las últimas dos no estaría de acuerdo. Porque en \( x=0 \) no se puede estudiar la continuidad, luego no es ni continua ni deja de serlo.


A posta del tema, en un video de uno de los implicados dice que discontinua no es lo mismo que no continua, y ahí si que discrepo, a menos que usteden me aclaren. El caso es, que habiendo convenido, que la continuidad se estudia en los puntos del dominio, supongamos ahora que tenemos una función y en un punto de su dominio no es continua, esto implicaría que la función es discontinua en ese punto, y por tanto al existir un punto de discontinuidad decimos que la función es discontinua. ¿Qué opinan?

A esto se refiere el profesor de lasmatematicas.es en el minuto 5:13 del siguiente video.

Consultando mis apuntes de 1º veo que dicen que se dirá que la función es discontinua en un punto del dominio si no es continua. Luego los puntos de acumulación del dominio que no pertenezcan al dominio quedan fuera de estudio. Y además no continuidad es lo mismo que discontinuidad.


Un saludo.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 19 Enero, 2022, 01:31 am
Es como decir que \( f(x) = \sqrt{1-x^2}  \) no es continua por que no lo es en \( x = 5 \), pero el dominio de \( f \) es \( [-1,1]  \), no puedes estudiar la continuidad fuera del dominio, tampoco puedes decir  que es discontinua en \( x = 5 \), no está definida en ese punto.

Si tenemos \( f(x) = \dfrac{1}{x}  \) para \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}  \) y \( f(0) = a \in \mathbb{R}  \) esta función si es discontinua en el cero para todo valor de \( a \).
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: geómetracat en 19 Enero, 2022, 07:46 am
El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).
Es que nadie dice que \[ f \] sea continua en \[ [-1,1] \]. Unos dicen que no es continua en \[ [-1,1] \] y otros que la función es continua (a secas, se sobreentiende en su dominio). Pero para los segundos decir que la función es continua o no en \[ 0 \] no tiene sentido porque no es un punto del dominio.

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

Citar
A mí la verdad es que me parece muy natural decir, en el contexto del ejercicio, que una función es discontinua en un punto aislado del complementario de su dominio. Juraría que también lo he visto en literatura universitaria. Concretamente cuando se habla de discontinuidades evitables.
Yo a eso lo llamo "singularidad evitable".  :P Precisamente para evitar la nomenclatura de "discontinuidad". Pero vamos, que es cuestión de nomenclatura y convenio.

Citar
Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Enero, 2022, 09:31 am
Hola

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).
Es que nadie dice que \[ f \] sea continua en \[ [-1,1] \]. Unos dicen que no es continua en \[ [-1,1] \] y otros que la función es continua (a secas, se sobreentiende en su dominio). Pero para los segundos decir que la función es continua o no en \[ 0 \] no tiene sentido porque no es un punto del dominio.

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

¡Claro! Totalmente de acuerdo con geómetracat. Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24376)

¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

Citar
Citar
Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.

Gracias. Un saludo.  ;)
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.

También de acuerdo con geómetracat (él ha querido decir que las que menos le chirrían son las dos primeras).

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Tengo curiosidad por saber exactamente cómo desarrollan la teoría al respecto los libros de Bachillerato. Sospecho que muchos no son 100% rigurosos (y puede ser lógico por el nivel para el cuál están escritos), o dejan el el aire ciertos matices. Con rigurosos no me refiero a seguir uno u otro criterio, si no a presentar las cosas de manera totalmente coherente.

Buscando por internet libros descargables, me he topado con dos.

En este (https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/Matematicas%20II.pdf) (continuidad: pág 237; discontinuidades: pág 239), si uno sigue al pie de la letra las definiciones, la función \( f(x)=\ln(x) \) sería, por ejemplo, discontinua en \( x=-4 \). Lo cual no tiene mucho sentido. El motivo es que para ser continua en un punto pone como condición que la función esté definida en él y luego define discontinuidad como un punto donde no es continua.

En este otro sin embargo (https://eduteka.icesi.edu.co/gp/upload/1BGU-Matematicas.pdf) define continuidad (pág 100 del PDF) sólo sobre puntos del dominio; después sin embargo permite hablar de discontinuidad evitable (pág 101 del PDF) en puntos donde no está definida pero si existen los límites laterales. Esto es más coherente. Simplemente ahí punto de discontinuidad no es lo mismo que punto donde no es continua.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Masacroso en 19 Enero, 2022, 10:58 am
Por rizar un poco el rizo, incluso podríamos decir que \( f:\hat{\mathbb C}\to \hat{\mathbb C},\, z\mapsto 1/z \) es continua (de hecho es una involución) donde \( \hat{\mathbb C} \) sería la esfera de Riemann. Por tanto cualquier restricción de \( f \) a algún subconjunto de \( \hat{\mathbb C} \) seguiría siendo continua.

 >:D

Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: martiniano en 19 Enero, 2022, 11:22 am
Hola.

Es como decir que \( f(x) = \sqrt{1-x^2}  \) no es continua por que no lo es en \( x = 5 \), pero el dominio de \( f \) es \( [-1,1]  \), no puedes estudiar la continuidad fuera del dominio, tampoco puedes decir  que es discontinua en \( x = 5 \), no está definida en ese punto.

Sí. Desde luego que esto sonaría muy mal. De todas formas, creo que no es lo mismo que el caso que nos ocupa, que a mí no me suena tan mal. Supongo que la razón es que el cero es un punto aislado del complementario del dominio de \[ f(x) =1/x \].

Y lo que está mal, a mi parecer, es defender que la función \[ 1/x \] no puede ser continua porque en otro caso fallaría Bolzano, cuando Bolzano se enuncia para funciones definidas en todo un intervalo \[ [a,b] \]. Por supuesto que si una función no está definida en todo el intervalo Bolzano ya no se aplica, pero eso no dice nada sobre su continuidad o no.

Claro. Ahí está la "trampa". Se elude que el teorema de Bolzano se enuncia para funciones definidas en un intérvalo, pero el caso es que a mí no me parece ni más ni menos grave que la cuestión debatida originalmente. Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo a eso lo llamo "singularidad evitable".  :P Precisamente para evitar la nomenclatura de "discontinuidad". Pero vamos, que es cuestión de nomenclatura y convenio.

Ah, pues mira. Es una opción muy coherente. Ahora que lo dices, se me ocurre que tal vez toda esta falta de convenio venga provocada por alguna traducción imprecisa al castellano de algún libro en otra lengua.

Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24376)

¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

Estoy de acuerdo en lo que dices, pero claro, el complementario del dominio de esta función no tiene puntos aislados. Creo que es en esa situación concreta en la que se acusa la falta de convenio.

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Una vez más totalmente de acuerdo.

Tengo curiosidad por saber exactamente cómo desarrollan la teoría al respecto los libros de Bachillerato. Sospecho que muchos no son 100% rigurosos (y puede ser lógico por el nivel para el cuál están escritos), o dejan el el aire ciertos matices. Con rigurosos no me refiero a seguir uno u otro criterio, si no a presentar las cosas de manera totalmente coherente.

Buscando por internet libros descargables, me he topado con dos.

En este (https://www.apuntesmareaverde.org.es/grupos/mat/Bachillerato/Matematicas%20II.pdf) (continuidad: pág 237; discontinuidades: pág 239), si uno sigue al pie de la letra las definiciones, la función \( f(x)=\ln(x) \) sería, por ejemplo, discontinua en \( x=-4 \). Lo cual no tiene mucho sentido. El motivo es que para ser continua en un punto pone como condición que la función esté definida en él y luego define discontinuidad como un punto donde no es continua.

En este otro sin embargo (https://eduteka.icesi.edu.co/gp/upload/1BGU-Matematicas.pdf) define continuidad (pág 100 del PDF) sólo sobre puntos del dominio; después sin embargo permite hablar de discontinuidad evitable (pág 101 del PDF) en puntos donde no está definida pero si existen los límites laterales. Esto es más coherente. Simplemente ahí punto de discontinuidad no es lo mismo que punto donde no es continua.

Yo creo que lo que más se sigue en segundo de bachillerato es la segunda opción. De hecho, creo que es lo que quiere expresar el primero, aunque no haya estado del todo afortunado.

El inicio de la polémica estuvo en el twitt de otro youtuber conocido Juan Medina:

https://yosoytuprofe.20minutos.es/2022/01/14/la-funcion-es-continua-el-debate-de-dos-famosos-youtubers-david-calle-juan-medina/

El caso es que él dijo: "No me canso de decir que la función f(x)=1/x es CONTINUA."

A partir de ahí, creo, surgieron las réplicas de David Calle.

No me manejo muy bien con el Twitter porque me cuesta adivinar a quién le está contestando alguien cuando dice lo que sea. Tampoco entiendo qué quiere decir que algunas intervenciones tengan un tamaño de letra mayor que las otras. Pero les he echado un vistazo medio por encima a los enlaces y diría que existe la posibilidad de que estos dos ya vengan picados de antes por otro motivo...

Por rizar un poco el rizo, incluso podríamos decir que \( f:\hat{\mathbb C}\to \hat{\mathbb C},\, z\mapsto 1/z \) es continua (de hecho es una involución) donde \( \hat{\mathbb C} \) sería la esfera de Riemann. Por tanto cualquier restricción de \( f \) a algún subconjunto de \( \hat{\mathbb C} \) seguiría siendo continua.

Ya... Bueno, supongo que es muy importante lo del contexto.

Por curiosidad, entre estas frases, ¿cuáles os chirrían más y cuáles menos?

\[ f(x) =1/x \] es continua en todo su dominio.
\[ f(x) =1/x \] es continua en \[ \mathbb{R-\{0\}} \].
\[ f(x) =1/x \] es continua en cualquier número real salvo en el 0.
\[ f(x) =1/x \] no es continua en \[ x=0 \] pero sí en el resto de números reales.
\[ f(x) =1/x \] es discontinua en \[ x=0 \] pero continua en el resto de números reales.
Para mí todas las oraciones son verdaderas (y por tanto bien formuladas), salvo la última, porque en \( x=0 \) la función no es ni continua ni discontinua; por lo tanto es falsa.
A mi me chirrian un poco las tres primeras, puesto que en realidad siempre he dado por hecho que cuando se dice que una función es continua lo es en su dominio (sino el dado, pues el dominio de existencia). Y después de haber leído el hilo y reforzar los conceptos de continuidad pues las últimas dos no estaría de acuerdo. Porque en \( x=0 \) no se puede estudiar la continuidad, luego no es ni continua ni deja de serlo.
Para mí: las dos primeras sin discusión, el resto me chirría más pero tampoco creo que estén mal.
También de acuerdo con geómetracat (él ha querido decir que las que menos le chirrían son las dos primeras).

Entiendo. Gracias chicos. Un saludo.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Enero, 2022, 11:37 am
Hola

 No quiero ser pesado, pero es que martiniano me sorprende un poco la insistencia con el asunto del Teorema de Bolzano. No se si capta lo que quiero decir.

Claro. Ahí está la "trampa". Se elude que el teorema de Bolzano se enuncia para funciones definidas en un intérvalo, pero el caso es que a mí no me parece ni más ni menos grave que la cuestión debatida originalmente. Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Citar
Estoy de acuerdo en lo que dices, pero claro, el complementario del dominio de esta función no tiene puntos aislados. Creo que es en esa situación concreta en la que se acusa la falta de convenio.

Quiero hacer hincapié una vez más en que todo es cuestión de convenio. A mi no me parece tan mal el convenio que se usa en Bachillerato, pero es bueno que un profesor sea consciente de que las limitaciones del mismo. Creo que quien se meta en un debate de este tipo defienda una u otra posición tiene que hacer alusión a que todo depende de la definición de cada concepto (continuidad, discontinuidad). El conflicto prácticamente desaparece entonces.

Como he dicho el fondo de lo que se debate es pura cuestión de convenio y en el fondo en ese sentido no merece la pena discutirlo más.

Pero otra cosa es dar a entender, que es lo que hace David Calle y con lo que pareces estar de alguna forma de acuerdo, que el Teorema de Bolzano carga de razones a quien defiende el convenio de Bachillerato. Y eso, lo que de manera un tanto más tajante, si digo que no tiene sentido alguno.

El problema no es decir esto:

Citar
Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo tampoco veo más grave una cosa que otra. El problema es usar eso como argumento para defender que no se debe decir que la función \( f(x)=1/x \) es continua (así, sin especificar nada más).

Soy consciente de que mi ejemplo \( f(x)=x\ln(x^2-1) \) es distinto en cuanto a la discusión original de lo que pasa en \( x=0 \) para \( 1/x \); pero lo veo sin embargo totalmente pertinente para hacer notar que el Teorema de Bolzano no sirve para argumentar nada al respecto.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: martiniano en 19 Enero, 2022, 04:58 pm
Hola.

No quiero ser pesado, pero es que martiniano me sorprende un poco la insistencia con el asunto del Teorema de Bolzano. No se si capta lo que quiero decir.

¡Ahí va! Pues disculpadme vosotros si el insistente he sido yo, no me había dado cuenta. Luis, tú no has sido pesado en absoluto, no faltaba más. Además, creo que estamos diciendo más o menos lo mismo.

Pero otra cosa es dar a entender, que es lo que hace David Calle y con lo que pareces estar de alguna forma de acuerdo, que el Teorema de Bolzano carga de razones a quien defiende el convenio de Bachillerato. Y eso, lo que de manera un tanto más tajante, si digo que no tiene sentido alguno.

Estoy contigo. No aporta nada citar a Bolzano. He intentado transmitir esta misma idea aquí:

Él parece argumentar que si se admite que es continua, entonces el Teorema de Bolzano fallaría (no lo llega a decir explícitamente) para la función \( f(x)=1/x \) en \( [-a,a]. \) Pero el Teorema de Bolzano no falla, sino que simplemente no se puede aplicar porque no estamos en las hipótesis (no hay que hablar ni de continuidad): la función no está definida en ese intervalo.

Entonces si él tiene claro eso. ¿Por qué lo usa como argumento para reforzar que \( 1/x \) no se puede considerar continua?

Pues supongo que por lo que tú has dicho en el párrafo anterior. Supongo que su "defensa" consiste en algo así:

El teorema de Bolzano puede enunciarse como sigue:

Si \[ f(x) \] es continua en \[ [a, b] \] y \[ f(a) f(b) <0 \] entonces existe \[ c\in{(a, b) } \] tal que \[ f(c) =0 \].

Si \[ f(x) =1/x \] fuese continua en \[ [-1,1] \] como \[ f(-1)=-1<0 \] y  \[ f(1)=1>0 \] por Bolzano tendríamos que existe \[ x_0\in{(-1,1)} \] tal que \[ f(x_0)=0 \]. Como tal \[ x_0 \] no existe (y el teorema de Bolzano no puede fallar) entonces \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \].

A mí me parece que estamos en las mismas, pero bueno... Es decir, sigue estando abierto el debate sobre si \[ f \] no es continua en \[ [-1,1] \] ¿porque tiene puntos de discontinuidad, o porque tiene puntos en los que no está definida? (Y también está el detalle, un tanto tramposo, de que cuando enuncio el teorema de Bolzano no digo nada sobre el dominio de \[ f \]...).

Lo de que todo es cuestión de convenio ya ha quedado claro... Y en cuanto a esto:

El problema no es decir esto:

Citar
Es decir, no veo que decir que \[ f(x) =1/x \] no cumple las hipótesis del teorema de Bolzano porque no es continua en \[ [-1,1] \] (aunque lo que pase es que hay puntos en los que no está definida) sea ni más ni menos grave que decir que no es continua en el cero.

Yo tampoco veo más grave una cosa que otra.

Pues parece que también estamos de acuerdo...

Si he insistido algo más de la cuenta con lo de Bolzano ha sido porque me asusté un poco al leer esto:

Otra cosa es que, en este caso particular, David Calle empezó una huída hacia delante en twitter defendiendo a muerte que la función \[ f(x)=1/x \] no era continua, y llegó a decir cosas como "si es continua, ¿cómo es que no se cumple el teorema de Bolzano en un intervalo \[ [-a,a] \]?", que a mi entender denotan un grave problema conceptual en un profesor de matemáticas.

No estaba al tanto de esto. Sí, su persistencia denota ya algo más serio, ya que esos conceptos son elementales, de primer año de carrera. Muy raro que alguien que dé clases de matemáticas no sepa eso.

Y digo que me asusté al leerlo porque no vi demasiada diferencia entre citar ahí a Bolzano y aferrarse a uno de los dos convenios (de hecho, me parece natural que alguien que no vea más allá del convenio de Bachillerato piense que así refuerza su idea). Y pensé, "¿a ver si voy a tener yo un error conceptual con el teorema de Bolzano y estoy viviendo ajeno al mismo?"  ;D Pero parece que no es eso, y que las diferencias que podamos tener en nuestras percepciones sobre todo esto se deben a matices mínimos sin demasiada importancia.

Por ejemplo, a mí me parece que el error más grave de David Calle (y error de Juan Medina también) es no ver que todo esto se debe a una cuestión de convenio, y otros pueden pensar que el error más grave es citar a Bolzano cuando no viene a cuento. Pero este matiz no tiene importancia alguna mientras todos tengamos claro que todo esto se debe en realidad a una cuestión de convenio y todos entendamos el teorema de Bolzano.

Gracias chicos. Un saludo.  ;)
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Ignacio Larrosa en 23 Enero, 2022, 09:27 pm
Yo intervine activamente en esas discusiones en Twitter, lo que creo que no fue muy buena idea porque no es el marco idóneo para discusiones de este tipo. Es difícil seguir el orden de los hilos, no se sabe quién replica a quién ni a que, y rápidamente se exaltan los ánimos ...

Pero el problema que se suscitaba con el teorema de Bolzano, y en general con todos los teoremas de funciones continuas y de funciones continuas y derivables, es que usualmente se enuncian así: "Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ...". Si se afirma que f(x)=1/x es continua sin más apreciaciones, el alumno cuando va a aplicar el teorema entiende que si es continua, lo es siempre, en cualquier intervalo, por lo ni se plantea comprobar nada a este respecto, aplica el teorema y te dice que el teorema falla ...

Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24398)
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24400)(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24402)

Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

Pero en definitiva, todo es cuestión de definiciones. Lo que es necesario es que las definiciones sean coherentes. Y conveniente que sean útiles y a ser posible fácilmente inteligibles a quienes están destinadas.

Saludos,
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Enero, 2022, 10:09 pm
Hola

Yo intervine activamente en esas discusiones en Twitter, lo que creo que no fue muy buena idea porque no es el marco idóneo para discusiones de este tipo. Es difícil seguir el orden de los hilos, no se sabe quién replica a quién ni a que, y rápidamente se exaltan los ánimos ...

Pero el problema que se suscitaba con el teorema de Bolzano, y en general con todos los teoremas de funciones continuas y de funciones continuas y derivables, es que usualmente se enuncian así: "Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ...". Si se afirma que f(x)=1/x es continua sin más apreciaciones, el alumno cuando va a aplicar el teorema entiende que si es continua, lo es siempre, en cualquier intervalo, por lo ni se plantea comprobar nada a este respecto, aplica el teorema y te dice que el teorema falla ...

Eso es entrar en la psicología del alumno; no dudo que hoy por hoy causaría problemas y el alumno pensase como tu dices. Pero realmente estaría entendiendo mal las cosas.

Porque TODOS los que estamos en este debate estamos de acuerdo en que \( 1/x \) NO es continua en \( x=0 \). El matiz es que para unos simplemente no está definida en ese punto y no tiene sentido hablar de continuidad (ni discontinuidad) en él; para otros si tiene sentido hablar de discontinuidad en él. Entonces si el alumno entiende que si es continua lo es en cualquier intervalo, pues entiende mal las cosas y hay que ayudarle a que las entienda bien. Si es continua es continua en cualquier subconjunto de su dominio (que tampoco es tan difícil de entender), no en el conjunto que nos de la gana.

Citar
Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

No. La frase "continua en un conjunto \( U \)" significa continua en todos los puntos de \( U \). La frase continua a secas, significa continua en su dominio. Ambas son definiciones coherentes y compatibles. Entonces si se explican así las cosas no hay que reformular nada. La función \( 1/x \) no es continua en \( [-1,1] \) porque no está definida en \( x=0 \).

Citar
Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24398)
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24400)(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24402)

Lanzo algunas preguntas no retóricas (o a lo mejor un poquito si, o un poco capciosas, pero me gustaría una respuesta  :D):

1) Con la definición del Apóstol la función \(  ln(x) \) no es continua en \( -1 \). ¿Qué te parece eso?.
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.
3) La función que le proponía a Martiniano:

 
Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24376)

¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

¿Qué motivo darías tu para que no se pueda aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \)?. ¿Qué no está definida en todo el intervalo? ¿O aludirías a problemas de continuidad?. ¿Cómo se lo explicarías a un alumno?. Y otra cuestión más, ¿dirías que es una función continua? (estas preguntas me interesan especialmente)

Citar
Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

 Estoy de acuerdo. Pero por ejemplo, no veo que ese matiz aparezca en el Apóstol; no al menos en las páginas que has puesto. Seguro que aparece en la práctica, es decir, implícitamente pero no lo veo explícito. Si no se hace se llegaría al absurdo (en mi opinión) de que siguiendo su propio convenio tener que decir que la función logaritmo no es continua.

 Este es un problema (para discutir cuestiones sutiles) que veo de fondo en muchos apuntes y libros de Bachillerato y algunos Universitarios. No son totalmente rigurosos; dejan cabos sueltos. No es grave para entender las cosas. Pero para debatir estas sutilezas eso es un problema.

Citar
Pero en definitiva, todo es cuestión de definiciones. Lo que es necesario es que las definiciones sean coherentes. Y conveniente que sean útiles y a ser posible fácilmente inteligibles a quienes están destinadas.

 Yo creo que cualquiera de los dos convenios pueden plantearse de manera totalmente coherente.

 Añado una cosa más, me parece que profesores Universitarios y de Bachillerato deberían de ser conscientes de la disparidad de criterios en esas definiciones y a la hora de corregir un ejercicio, sobre todo en las EBAU, permitir las dos posibilidades. En una asignatura donde el profesor marca las reglas, puede pasar que el profesor imponga su criterio; pero en las EBAU, que son pruebas externas, debería de haber sensibilidad a la posible disparidad de convenios.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Ignacio Larrosa en 24 Enero, 2022, 10:58 am

Eso es entrar en la psicología del alumno; no dudo que hoy por hoy causaría problemas y el alumno pensase como tu dices. Pero realmente estaría entendiendo mal las cosas.

Indudablemente, pero diciendo que 1/x es continua, sin otras apreciaciones, creo que le ayudamos bastante a ello.

Porque TODOS los que estamos en este debate estamos de acuerdo en que  NO es continua en \( x=0 \).

Pero si NO ES continua en x = 0, me parece engañoso decir que ES continua. Y \( \mathbb{R} \) no es cualquier conjunto, es lo que a veces se llama conjunto Inicial, que no Dominio, de la aplicación,  que en el caso de funciones reales de variable real, es  \( \mathbb{R} \).

El matiz es que para unos simplemente no está definida en ese punto y no tiene sentido hablar de continuidad (ni discontinuidad) en él; para otros si tiene sentido hablar de discontinuidad en él. Entonces si el alumno entiende que si es continua lo es en cualquier intervalo, pues entiende mal las cosas y hay que ayudarle a que las entienda bien. Si es continua es continua en cualquier subconjunto de su dominio (que tampoco es tan difícil de entender), no en el conjunto que nos de la gana.

Citar
Si convenimos en decir que una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio, debemos reformular estos enunciados y decir "Si f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b] y ..."

No. La frase "continua en un conjunto \( U \)" significa continua en todos los puntos de \( U \). La frase continua a secas, significa continua en su dominio. Ambas son definiciones coherentes y compatibles. Entonces si se explican así las cosas no hay que reformular nada. La función \( 1/x \) no es continua en \( [-1,1] \) porque no está definida en \( x=0 \).

Si, creo que en esto esta de acuerdo todo el mundo, la continuidad en un conjunto implica que la función esta definida en el conjunto. Pero es el obviar los puntos en que no esta definida al decir que es continua sin más, es lo que me lleva, forzando el argumento, a reclamar que se exija la definición de la función en el conjunto en que se trata de aplicar. Evidentemente creo que es mejor opción hablar de continuidad en su dominio.



Citar
Por otra parte, la definición de continuidad a partir de las tres condiciones: 1. Existencia de la función, 2. Existencia del límite y 3. Igualdad de ambos, no es exclusiva del Bachillerato (en la ESO no recuerdo haber hablado nunca de nada remotamente relacionado con esto), ni de España. Y definir y clasificar las discontinuidades a partir de cuales de estas tres condiciones no se cumplen. Para muestra un botón extraído del 'Análisis Matemático' de Tom M. Apostol la primera y del 'Calculus' del mismo autor, aunque hay más, las otras dos:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24398)
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24400)(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24402)

Lanzo algunas preguntas no retóricas (o a lo mejor un poquito si, o un poco capciosas, pero me gustaría una respuesta  :D):

1) Con la definición del Apóstol la función \(  ln(x) \) no es continua en \( -1 \). ¿Qué te parece eso?.


Pues cada vez me inclino más por decir que no es continua en x=-1. Es decir, es falso que sea continua en x=-1. Recordando aquello del tercio excluido, o es continua o no lo es, y en esta caso claramente no lo es. Tampoco es continua en z=i, como función real de variable real, pero ahí ya nos salimos del conjunto inicia en el que estábamos trabajando.

2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).


3) La función que le proponía a Martiniano:

 
Como ejemplo para incidir en la idea pensemos en la función \( f(x)=x\ln(x^2-1) \). Creo que unos y otros estarían de acuerdo en afirmar que esta función es continua. La gráfica es esta:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24376)

¿Hay acaso algún conflicto entonces con el teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \) (sombreado en el dibujo)?. No. El Teorema no aplica porque la función no está definida en todos los puntos del intervalo \( [-1.3,1.3] \), y no tiene nada que ver la continuidad o no. Lo mismo con la función que nos ocupa.

¿Qué motivo darías tu para que no se pueda aplicar el Teorema de Bolzano en el intervalo \( [-1.3,1.3] \)?. ¿Qué no está definida en todo el intervalo? ¿O aludirías a problemas de continuidad?. ¿Cómo se lo explicarías a un alumno?. Y otra cuestión más, ¿dirías que es una función continua? (estas preguntas me interesan especialmente)

Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \). Si se intenta verificar las hipótesis del teorema vemos que no es continua en [-1,1] puesto que de entrada no esta definida.

Citar
Yo entiendo que implícitamente siempre está hablando de puntos de acumulación del dominio de la función, que es donde puede plantearse calcular un límite. No tiene mucho sentido, a mi modo de ver, hablar de la continuidad de la función en puntos del interior de intervalos que no son del dominio, como tampoco en puntos aislados del dominio.

 Estoy de acuerdo. Pero por ejemplo, no veo que ese matiz aparezca en el Apóstol; no al menos en las páginas que has puesto. Seguro que aparece en la práctica, es decir, implícitamente pero no lo veo explícito. Si no se hace se llegaría al absurdo (en mi opinión) de que siguiendo su propio convenio tener que decir que la función logaritmo no es continua.
Pues como puede verse en lo anterior, me voy reconduciendo a mi pensamiento previo a todo este asunto. Creo que puse en la intención de Apostol cosas que no expresa. Una función donde no está definida no puede ser, y por tanto no es, continua.

Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

 
Añado una cosa más, me parece que profesores Universitarios y de Bachillerato deberían de ser conscientes de la disparidad de criterios en esas definiciones y a la hora de corregir un ejercicio, sobre todo en las EBAU, permitir las dos posibilidades. En una asignatura donde el profesor marca las reglas, puede pasar que el profesor imponga su criterio; pero en las EBAU, que son pruebas externas, debería de haber sensibilidad a la posible disparidad de convenios.

Completamente de acuerdo.

Yo creo que toda la discusión es bastante nominalista, sobre como llamamos a las cosas o que definiciones utilizamos, sobre el fondo nadie discrepa. Pero la terminología es fundamental para evitar confusiones.

Saludos,

Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Enero, 2022, 11:48 am
Hola

Indudablemente, pero diciendo que 1/x es continua, sin otras apreciaciones, creo que le ayudamos bastante a ello.

Nada que decir sobre esto. Es psicología.

Citar
Pero si NO ES continua en x = 0, me parece engañoso decir que ES continua. Y \( \mathbb{R} \) no es cualquier conjunto, es lo que a veces se llama conjunto Inicial, que no Dominio, de la aplicación,  que en el caso de funciones reales de variable real, es  \( \mathbb{R} \).

Esto lo comento después cuando vayamos a la función logaritmo.

Citar
Pues cada vez me inclino más por decir que no es continua en x=-1. Es decir, es falso que sea continua en x=-1. Recordando aquello del tercio excluido, o es continua o no lo es, y en esta caso claramente no lo es. Tampoco es continua en z=i, como función real de variable real, pero ahí ya nos salimos del conjunto inicia en el que estábamos trabajando.

Es que estamos de acuerdo, no es continua en \( x=-1 \) (porque no está definida). Hice mal la pregunta.

¿Dirías que tiene una discontinuidad en \( x=-1 \)?¿De qué tipo?.  :D

Citar
2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).

Aquí varias cosas y creo que está el fondo de tu opinión.

- Básicamente a ti no te gusta decir "función continua" a secas salvo que sea continua en todos los reales. Pues no tengo mucho que decir al respecto. Es un gusto respetable. Ahora bien se puede usar perfectamente función continua a secas de manera totalmente clara, nítida, intuitiva, coherente y sin ambigüedades; significa continua en todos los puntos de su dominio. ¡Y de hecho se usa!.

- Sin embargo a mi me parece que con la función logaritmo, eres más papista que el Papa. Sinceramente yo creo que el 99% de los matemáticos, profesores de Bachillerato o no, con unos u otros criterios, dirían sin tapujos que la función logaritmo es continua. Sin matices. Si Juan Medina hubiera twiteado: "No me canso de decir que la función \( ln(x) \) es continua" no hubiera habido la más mínima polémica.

- A donde voy es que yo creo que SI se usa función continua a secas en todo los ámbitos, y no sólo para funciones definidas en todos los reales (la función raíz cuadrada sería otro ejemplo).

Citar
Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \).

Ya... volvemos a lo mismo. Si le ponemos el apellido de indicar donde es continua, todos estamos de acuerdo.

Rizando un poco el rizo, sin embargo según tu criterio NO es continua (a secas). Entonces un alumno picajoso podría decir. ¿Cuáles son sus puntos de discontinuidad? ¿Cómo los clasificamos?.

Vaya por delante que se puede responder al alumno sin problemas, explicándole lo que pase en esos puntos. Pero lo que trato de resaltar es que admito que los dos criterios son defendibles; pero no vender uno como más claro, natural, menos confuso  o coherente con otro, entendiendo que los dos estén bien explicados.

 
Citar
Si se intenta verificar las hipótesis del teorema vemos que no es continua en [-1,1] puesto que de entrada no esta definida.

¡Exacto!. Como \( 1/x \) que no es continua en \( [-1,1] \) porque de entrada no está definida. Una vez más en eso todos de acuerdo.


Citar
Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

La continuidad en un punto del dominio se puede definir perfectamente en términos de \( \epsilon-\delta \) de manera que se pueda aplicar a puntos aislados del domino y resulten continuos.

En general me parece que mezclas la continuidad de la función con la conexidad del domino. Desde el punto de vista topológico y de manera intuitiva la continuidad refleja la idea de que el domino no se rompe al aplicar la función; en el caso de las funciones continuas con dominio NO conexo, eso se cumple. No se rompe el domino con la función; el dominio está "roto" de antemano, y cada trozo del mismo se aplica en un trozo de la imagen.

Citar
Yo creo que toda la discusión es bastante nominalista, sobre como llamamos a las cosas o que definiciones utilizamos, sobre el fondo nadie discrepa. Pero la terminología es fundamental para evitar confusiones.

Bien.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Ignacio Larrosa en 24 Enero, 2022, 01:47 pm
Hola,
Ésta página de 'A Course of Pure mathematics' de G.H. Hardy creo que dice bastantes cosas interesantes respecto a todo esto:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=119403.0;attach=24408)


¿Dirías que tiene una discontinuidad en \( x=-1 \)?¿De qué tipo?.  :D

Pues hay quien la denomina discontinuidad de 2ª especie por no estar definida ni poder definirse con continuidad. Me refiero a casos como este específicamente, puntos del interior de un intervalo en todo el cual la función no esta definida. En cuanto relocalice el libro acompaño una foto.

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2) Ahondando en la anterior si no aceptamos que continua a secas significa continua en su dominio, la función \( ln(x) \) no es continua. ¿Dirías que no es continua la función logaritmo?.

Es que hablar de función continua sin especificar donde, creo que no tiene mucho sentido. Si no lo especificamos es porque lo suponemos implícito. Yo reservaría continuidad a secas, hablando de funciones reales de variable real, a las que son continuas en todo \( \mathbb{R} \).

Aquí varias cosas y creo que está el fondo de tu opinión.

- Básicamente a ti no te gusta decir "función continua" a secas salvo que sea continua en todos los reales. Pues no tengo mucho que decir al respecto. Es un gusto respetable. Ahora bien se puede usar perfectamente función continua a secas de manera totalmente clara, nítida, intuitiva, coherente y sin ambigüedades; significa continua en todos los puntos de su dominio. ¡Y de hecho se usa!.

- Sin embargo a mi me parece que con la función logaritmo, eres más papista que el Papa. Sinceramente yo creo que el 99% de los matemáticos, profesores de Bachillerato o no, con unos u otros criterios, dirían sin tapujos que la función logaritmo es continua. Sin matices. Si Juan Medina hubiera twiteado: "No me canso de decir que la función \( ln(x) \) es continua" no hubiera habido la más mínima polémica.

- A donde voy es que yo creo que SI se usa función continua a secas en todo los ámbitos, y no sólo para funciones definidas en todos los reales (la función raíz cuadrada sería otro ejemplo).

Sin duda, la afirmación de que \( ln(x) \) es continua, sin más, es mucho menos chocante. Pero Hardy por ejemplo, se cuida muy mucho de hablar de continuidad sin más especificaciones. Habla de función continua en un punto, en un intervalo y en todas partes, esto último cuando lo es para cada valor de x. Quiero con esto decir que parece claro que hay diferentes posturas.

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Yo diría que la función es continua en \( (-\infty, -1) \cup{} (1,\infty) \).

Ya... volvemos a lo mismo. Si le ponemos el apellido de indicar donde es continua, todos estamos de acuerdo.

Rizando un poco el rizo, sin embargo según tu criterio NO es continua (a secas). Entonces un alumno picajoso podría decir. ¿Cuáles son sus puntos de discontinuidad? ¿Cómo los clasificamos?.
Esto ya lo comenté antes. De todas formas, algo que insistí siempre con mis alumnos es que no se preocupasen mucho del nombre de la discontinuidad, puesto que hay una cierta diversidad en la nomenclatura, sino en decir claramente porque no es continua en los puntos en cuestión.

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Otro tema espinoso relacionado es la continuidad de funciones en puntos aislados, como \( f(x)=\sqrt{x^4-x^2}\textrm{ en }x=0 \). Hay quien lo da como algo absolutamente básico e incontrovertible. Y francamente yo no veo la continuidad por ningún lado. Ni por supuesto en las definiciones basadas en límites, ni en las de tipo\(  (\epsilon-\delta) \), en las que al menos algunos autores exigen que la función este definida en un entorno del punto, no solo en él.

La continuidad en un punto del dominio se puede definir perfectamente en términos de \( \epsilon-\delta \) de manera que se pueda aplicar a puntos aislados del domino y resulten continuos.

Con la  \( \epsilon-\delta \) se puede, aunque no todo el mundo lo hace, como Hardy y Juan de Burgos, por ejemplo. Ambos exigen que la función este definida en un entorno del punto (para la continuidad, otra cosa es la continuidad lateral). Con la definición que emplea límites, no se puede.

En general me parece que mezclas la continuidad de la función con la conexidad del domino. Desde el punto de vista topológico y de manera intuitiva la continuidad refleja la idea de que el domino no se rompe al aplicar la función; en el caso de las funciones continuas con dominio NO conexo, eso se cumple. No se rompe el domino con la función; el dominio está "roto" de antemano, y cada trozo del mismo se aplica en un trozo de la imagen.
Si, creo que ya lo dije en más de una ocasión, no entiendo que pueda hablarse de continuidad de una función si su dominio no es continuo (conexo). Yo me quedo con la idea de que donde la función es continua, a valores próximos de la variable, corresponden valores próximos de la función. Si no es así, por ejemplo porque no existen los valores de la función, no se puede, entiendo yo, decir que la función es continua.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Enero, 2022, 06:08 pm
Hola
 
 Creo que no tengo mucho más que añadir. No dudo que haya autores (reputados) que sigan el criterio que dices.  No dudo que pueda desarrollarse la teoría como dices de manera totalmente coherente.

 En mi opinión tu concepto de continuidad está mezclado de con el de conexidad. Lo cual una vez más es respetable; todo lo depende de la definiciones y el contexto.

 Para mi la ventaja de considerar \( 1/x \) continua o una función definida sólo en un punto aislado continua, es que  esa noción es compatible, con la noción de continuidad que se usa en topología. Modernamente, la topología es por excelencia la rama de las matemáticas que explora y estudia la noción de continuidad.

Saludos.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Ignacio Larrosa en 24 Enero, 2022, 07:11 pm
Hola,

Debo reconocer que la topología, más allá de las nociones iniciales, nunca me entusiasmó, por lo que ese otro punto de vista me resulta menos atrayente, aparte de verlo más alejado de mi ex-práctica docente.

Pero esta discusión, en Twitter y aquí, me ha servido para entender que es posible ese otro punto de vista, que seguro que tiene sus ventajas y que haya quien lo defiende seriamente. Cuando vi el primer mensaje en Twitter, me fuí directamente al calendario, como seguro que más de uno, a ver si era 28 de diciembre ...

Saludos,
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: Masacroso en 24 Enero, 2022, 08:14 pm
Hola,

Debo reconocer que la topología, más allá de las nociones iniciales, nunca me entusiasmó, por lo que ese otro punto de vista me resulta menos atrayente, aparte de verlo más alejado de mi ex-práctica docente.

Pero esta discusión, en Twitter y aquí, me ha servido para entender que es posible ese otro punto de vista, que seguro que tiene sus ventajas y que haya quien lo defiende seriamente. Cuando vi el primer mensaje en Twitter, me fuí directamente al calendario, como seguro que más de uno, a ver si era 28 de diciembre ...

Saludos,

Lo importante en matemáticas es la consistencia, es decir, da igual cómo definas las cosas siempre y cuando las demostraciones en base a esas definiciones sean correctas. Que todo sea consistente, vamos. Lo demás es una cuestión de convención y de tomar un lenguaje, más o menos común, para que una comunidad pueda entenderse.

Dicho esto, la noción que actualmente se utiliza de continuidad en todas partes, al menos a nivel universitario, es una equivalente a la topológica. Pero entiendo que, por motivos pedagógicos, las nociones puedan ser diferentes en la enseñanza obligatoria.
Título: Re: Concepto de continuidad
Publicado por: geómetracat en 24 Enero, 2022, 08:52 pm
Solamente añadir a lo que ya se ha dicho que la definición topológica de continuidad no es un capricho, al igual que tampoco lo es decir que una función es continua en un punto aislado de su dominio.

Son nociones que aparecen de manera natural, y es la generalización adecuada y más útil cuando se trabaja con funciones que no están definidas en subconjuntos de \[ \Bbb R \]. Por ejemplo, una propiedad esencial de la continuidad es que cualquier restricción de una función continua es continua, y si aceptas esto debes aceptar que una función es continua en un punto aislado de su dominio. Y este hecho es fundamental en muchas partes de la matemática moderna. Por poner un ejemplo, esto se usa continuamente en geometría diferencial.

El problema de todo esto es que en secundaria, y en análisis real de una variable más en general, \[ \Bbb R \] tiene un papel esencial y siempre está detrás como "espacio ambiente", lo cual es en cierta manera antinatural (desde mi punto de vista). Por ejemplo, lo que comentaba antes Ignacio de espacio inicial asociado a una función, a distinguir del dominio, es algo que yo nunca he visto y que además dudo que tenga ninguna utilidad o que alguien lo use fuera de \[ \Bbb R \].

Entiendo que decir cosas como que no tiene sentido plantearse la continuidad de una función en un punto aislado de su dominio (o incluso decir que no es continua ahí) puede tener algunas ventajas a nivel pedagógico en secundaria o un primer curso universitario, pero hay que ser consciente de que si el alumno sigue estudiando matemáticas a nivel superior en algún momento va a tener que ir en contra de ese convenio.