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Matemática => Matemática Aplicada => Mensaje iniciado por: Margarita Castillo en 04 Noviembre, 2021, 03:50 am

Título: Var(min(X,Y))
Publicado por: Margarita Castillo en 04 Noviembre, 2021, 03:50 am
Hola, tengo este problema, debo mostrar o refutar que \( Var(\min(X,Y))\leq Var(X) \), y lo único que me dice es que \( X \) y \( Y \) son variables aleatorias que tienen varianza finita, cuando \( \min(X,Y)=X \), pues se cumple, ya que \( Var(X)=Var(X) \), el problema lo tengo cuando tomo el caso \( Var(\min(X,Y)=Y \), claramente \( Y<X, \) pero como pruebo que \( Var(Y)<Var(X) \)?.
Sé que \( Var(\min(X,Y)=Var(\max(X,Y)) \) cuando están tienen la misma distribución o son simétricas, y leí también que \( Var(\min(X,Y))\leq Var(X)+Var(Y) \) pero esto ultimo no se como probarlo ni tampoco como son las restricciones de tal afirmación, agradecería su ayuda.
Título: Re: Var(min(X,Y))
Publicado por: geómetracat en 04 Noviembre, 2021, 08:14 am
Es falso. Una idea: toma como \[ X \] una variable aleatoria con distribución degenerada (que toma un único valor con probabilidad \[ 1 \]) y como \[ Y \] una variable aleatoria con varianza positiva pero que siempre esté por debajo de \[ X \] (por ejemplo, una uniforme cuyo límite superior esté por debajo del valor de \[ X \]).
Título: Re: Var(min(X,Y))
Publicado por: Margarita Castillo en 05 Noviembre, 2021, 02:57 am
Muchas gracias.. logre ver el contraejemplo.