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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 11:33 am

Título: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 11:33 am
Yo creo maestro ancape que se refieren a esto:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=115217.0;attach=22499)


Saludos

La tabla que expones es la típica tabla que ilustra las clases de lógica. El problema es su aplicación a este caso. ¿En la afirmación inicial, que es \( P \) y \( Q? \).
Además la condición inicial es falsa y en la tabla sólo contempla el caso \( P\Rightarrow{Q} \). ¿Acaso si \( P \) no implica \( Q \), podemos aplicar la tabla?

Por otra parte, si leemos el enunciado detenidamente, podemos observar que no piden que digamos qué opción es correcta sin más, sino que dicen que supuesta cierta la igualdad, digamos qué opción sería correcta. No dice que miremos si la igualdad es cierta o no. Creo que es más bien un ejercicio de lógica matemática que de trigonometría.

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.

Enunciado del problema

Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta

a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)


Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Viene esto a cuento de que en este hilo se ha puesto el foco en ver si es verdad o mentira la expresión inicial cuando el enunciado dice claramente que supongamos que fuese cierta. Este hecho no es tan descabellado. Los padres de las geometrías no euclídeas partieron del supuesto, en contra del sentido común, de que el quinto postulado de Euclides no era cierto.

Saludos
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: geómetracat en 08 Diciembre, 2020, 11:53 am
Vaya por delante que esta discusión me parece un tanto irrelevante para el problema inicial. Creo que ya ha quedado claro que hay una errata en el enunciado o está mal planteado.

La tabla que expones es la típica tabla que ilustra las clases de lógica. El problema es su aplicación a este caso. ¿En la afirmación inicial, que es \( P \) y \( Q \).
Además la condición inicial es falsa y en la tabla sólo contempla el caso \( P\Rightarrow{Q} \). ¿Acaso si \( P \) no implica \( Q \), podemos aplicar la tabla?

En este caso, \[ P \] sería "se cumple \( \sin t^2= X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \)" y \( Q \) sería cualquiera de las opciones. Entonces, por supuesto que se puede hablar del valor de la proposición \( P \to Q \), y en este caso sería verdadero para cualquier opción pues \( P \) es falso. Siempre se puede hablar del valor de verdad de \( P \to Q \), y viene dado por la tabla. Cuando se dice "\( P \) no implica \( Q \)" normalmente uno se refiere a que el condicional \( P \to Q \) es falso.

Citar
Por otra parte, si leemos el enunciado detenidamente, podemos observar que no piden que digamos qué opción es correcta sin más, sino que dicen que supuesta cierta la igualdad, digamos qué opción sería correcta. No dice que miremos si la igualdad es cierta o no. Creo que es más bien un ejercicio de lógica matemática que de trigonometría.

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.

Enunciado del problema

Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta

a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)


Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Fernando Revilla en 08 Diciembre, 2020, 12:10 pm
Al impecable razonamiento de geómetracat:

El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Añadiría lo siguiente:

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.
Enunciado del problema
Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta
a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)

Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Si \( 3=5 \) fuera cierto estarías aplicando incorrectamente el modus ponens. Para el modus ponens no basta con \( P\to Q \) sino que "de \( P \) y \( P\to Q \), se deduce \( Q \)", que es regla de deducción tanto en el sistema formal del cálculo de enunciados formal \( L \) como en el cálculo de predicados formal \( \mathcal{L} \) para la construcción de teoremas.
 
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 12:20 pm

En este caso, \[ P \] sería "se cumple \( \sin t^2= X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \)" y \( Q \) sería cualquiera de las opciones. Entonces, por supuesto que se puede hablar del valor de la proposición \( P \to Q \), y en este caso sería verdadero para cualquier opción pues \( P \) es falso. Siempre se puede hablar del valor de verdad de \( P \to Q \), y viene dado por la tabla. Cuando se dice "\( P \) no implica \( Q \)" normalmente uno se refiere a que el condicional \( P \to Q \) es falso.


Si tu lo dices......
El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.


Saludos
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 12:25 pm
Al impecable razonamiento de geómetracat:

El problema con esto es que a partir de algo falso puedes demostrar absolutamente cualquier cosa. Por ejemplo, partiendo de \( 3=5 \), restando \( 3 \) a ambos lados, tenemos \( 0=2 \). Pero \( 0 \leq 1 \leq 2=0 \), luego por la antisimetría del orden, \( 1=0=2 \). En particular d) es verdadera. Ahora, sumando \( 6 \) a ambos lados de la igualdad \( 1=2 \), tenemos \( 7=8 \). Luego a) es verdadera. Y b) es verdadera, sin necesidad de usar la hipótesis (puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \)). Así pues, usando la hipótesis \( 3=5 \) hemos demostrado que todas las opciones son verdaderas. Si te has centrado en la c) es simplemente porque es la más sencilla de deducir, pero eso es engañoso. En lógica clásica a partir de una premisa falsa puedes demostrar cualquier cosa (es el llamado principio de explosión).

Añadiría lo siguiente:

Voy a poner un ejemplo sencillo para ilustrarlo.
Enunciado del problema
Si \(  3=5  \) marcar la opción correcta
a) \( 7=8 \)
b) \( 7\neq 8 \)
c) \( 8 = 10 \)
d) \( 1 = 2 \)

Claramente, si la hipótesis fuese cierta, la respuesta correcta es c) pues si \(  3=5  \), sumando \( 5 \) a ambos miembros de la igualdad hipótesis, obtenemos la condición c)

Si \( 3=5 \) fuera cierto estarías aplicando incorrectamente el modus ponens. Para el modus ponens no basta con \( P\to Q \) sino que "de \( P \) y \( P\to Q \), se deduce \( Q \)", que es regla de deducción tanto en el sistema formal del cálculo de enunciados formal \( L \) como en el cálculo de predicados formal \( \mathcal{L} \) para la construcción de teoremas.

En la edad media los médicos recurrían al latín cuando no sabían explicar algo.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: geómetracat en 08 Diciembre, 2020, 12:47 pm
Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Fernando Revilla en 08 Diciembre, 2020, 01:16 pm
En la edad media los médicos recurrían al latín cuando no sabían explicar algo.

Ahora, cuando alguien intenta justificar lo injustificable sin recurrir a la razón se dice que está usando un argumento ad hominen.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 01:23 pm
Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

La premisa no es contradictoria, como tampoco lo es que por un punto exterior a una recta sólo se pueda trazar una paralela, en todo caso lo único que puede decirse es que en la aritmética que generan los axiomas de Peano, la proposición no es cierta \( (cierta \neq contradictoria) \)

El enunciado dice exactamente que supongamos que la igualdad fuese válida y actuemos en consecuencia. Es el típico problema de lógica matemática.

No vale demostrar 7=8 con esa premisa, \( 7\neq8 \) con otra premisa (la demostración usual basada en los axiomas de Peano) y concluir que las afirmaciones 7=8 y \( 7\neq8 \) son ambas ciertas como no valdría decir que la suma de ángulos de un triángulo es 180º pues puede demostrarse (en geometría euclídea) pero no suman 180º porque también puede demostrarse (geometrías no euclídeas).

Saludos
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 01:25 pm
En la edad media los médicos recurrían al latín cuando no sabían explicar algo.

Ahora, cuando alguien intenta justificar lo injustificable sin recurrir a la razón se dice que está usando un argumento ad hominen.

No sabía que usaras argumentos ad hominen
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Fernando Revilla en 08 Diciembre, 2020, 01:35 pm
No sabía que usaras argumentos ad hominen

Ya, ya, je je. Estudia lógica (puedes empezar con los libros de bachillerato) y si tienes alguna duda, pregunta.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: geómetracat en 08 Diciembre, 2020, 01:45 pm
Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Pero es que la propia premisa es contradictoria. Puedes dar la demostración usual de que \( 7 \neq 8 \), a partir de los axiomas de Peano o donde quieras. Una demostración incondicional, que no use la premisa, es también una demostración bajo la premisa. Dicho de otra forma, si \( Q \) es cierto, también lo es \( P \to Q \) sea cual sea \( P \).

La premisa no es contradictoria, como tampoco lo es que por un punto exterior a una recta sólo se pueda trazar una paralela, en todo caso lo único que puede decirse es que en la aritmética que generan los axiomas de Peano, la proposición no es cierta \( (cierta \neq contradictoria) \)

El enunciado dice exactamente que supongamos que la igualdad fuese válida y actuemos en consecuencia. Es el típico problema de lógica matemática.

No vale demostrar 7=8 con esa premisa, \( 7\neq8 \) con otra premisa (la demostración usual basada en los axiomas de Peano) y concluir que las afirmaciones 7=8 y \( 7\neq8 \) son ambas ciertas como no valdría decir que la suma de ángulos de un triángulo es 180º pues puede demostrarse (en geometría euclídea) pero no suman 180º porque también puede demostrarse (geometrías no euclídeas).

Saludos

Si en la aritmética de Peano puedes demostrar que \( 3 \neq 5 \), el sistema formado por la aritmética de Peano añadiendo \( 3=5 \) es contradictorio. Al igual que si añades a los axiomas de la geometría euclídea un axioma que diga que dada una recta y un punto exterior pasa más de una paralela también obtienes un sistema contradictorio.

Si no asumes la aritmética de Peano, habrá que aclarar bien cuáles son los axiomas que se pueden usar, si no es imposible contestar al problema. Bajo ciertas interpretaciones podría ser perfectamente consistente y entonces \( 7 \neq 8 \) no se podría demostrar. Por ejemplo, si consideras los axiomas de Peano,  le quitas el axioma que dice que \( 0 \) no es sucesor de ningún natural, y le añades \( 3=5 \), entonces es perfectamente consistente que \( 7 \neq 8 \) (de hecho hay un modelo en el que únicamente hay un objeto, de manera que \( m=n \) para todo \( m,n \)). Pero hay que dejar muy claro de entrada cuál es el marco del que partes.

En cualquier caso, el problema original está aclarado hace tiempo, ahora le estamos dando vueltas a no sé muy bien qué.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: feriva en 08 Diciembre, 2020, 05:32 pm
Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

Es la primera vez que oigo que una proposición con antecedente falso es siempre verdadera.
Un saludo

Por lo que he visto aquí en el foro al resolver cosas de éstas, si P es falsa, la proposición, es decir, lo que es la implicación sobre Q, siempre es verdadera; tanto si \( P\rightarrow Q
  \) como si \( P\rightarrow\neg Q
  \), porque el valor de verdad está en la implicación en sí, en la flechita, otra cosa distinta es que pueda acabar en \( Q
  \) o en \( \neg Q
  \), que no tiene nada que ver con si es verdadera o falsa la proposición (por lo que he visto siempre comentar, ya digo, que no sé).

Saludos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 08 Diciembre, 2020, 07:31 pm
Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: martiniano en 08 Diciembre, 2020, 07:38 pm
Hola.


Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Conozco una anécdota en la que un estudiante le pidió a Russell que demostrase que si \( 2+2=5 \) él era el Papa. En Wikipedia hablan del  tema (https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://es.m.wikipedia.org/wiki/2_%252B_2_%253D_5&ved=2ahUKEwiEg5imhL_tAhVzpHEKHUJJC-QQFjASegQIIBAC&usg=AOvVaw1mh5QExBvmZPmkKflDRoLD).

Toma que b) es falsa y la igualdad del enunciado es cierta para algunos valores de las constantes. Luego aplica el razonamiento de Luis y llegarás a un absurdo que te indicará que si la igualdad del enunciado es cierta entonces b) también tiene que serlo.

Un saludo.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: feriva en 08 Diciembre, 2020, 07:54 pm
Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

 
Por lo que leo a Geómetracat ahora (no había leído anteriores respuestas más despacio) no era correcto decir que no se parte de algo falso en una demostración por reducción al absurdo; así que lo meto en spoiler. Perdón por la equivocación.

Spoiler
Pero es distinto; no se parte de una falsedad

Supongamos que raíz de 2 es racional; entonces:

\( 2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}
  \)

Para empezar esa igualdad no es falsa, ya que, existe a/b, pero no es racional.

Otra cosa diferente sería dar por bueno (no como hipótesis) la afirmación “raíz de dos es racional”; entonces a ver quién demuestra que no lo es, si lo tomamos como una verdad de la cual partir en vez de una hipótesis.
[cerrar]

Yo creo que la cuestión está más bien aquí, pero no sé, a lo mejor me equivoco otra vez.

En una demostración por reducción al absurdo, la premisa de partida P no es una falsedad que se tome por verdadera, la falsedad que se toma por verdadera está en la implicación.

\( P\underset{{\color{red}V}}{\rightarrow}Q
  \)

O puede ser lo contrario, se supone que algo cierto es falso

\( P\underset{{\color{red}F}}{\rightarrow}Q
  \).

Sencillamente no es el caso que estás considerando lo que se usa en una demostración por reducción al absurdo; partir de una P falsa (a sabiendas) no sirve para demostrar nada en matemáticas, ni por reducción al absurdo de ninguna manera.

Saludos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Diciembre, 2020, 08:13 pm
Hola

Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

Lo que dicen geómetracat y Fernando (y martiniano e ingmarov y yo), en esencia, es que estas dos proposiciones son verdaderas:

1) Si \( 3=5 \) entonces \( 7=8 \).
2) Si \( 3=5 \) entonces \( 7\neq 8 \).

Entonces preguntas concretas:

a) Estás de acuerdo con que esas dos proposiciones son verdaderas. En caso contrario, ¿qué valor de verdad crees que tienen cada una y por qué?.
b) ¿Entiendes qué (1) y (2) sean verdaderas es DISTINTO qué afirmar que (i) \( 7=8 \) y (ii) \( 7\neq 8 \) sean ambas verdaderas?.

Saludos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: geómetracat en 08 Diciembre, 2020, 08:27 pm
Creo que geómetracat y Fernando debían leerse lo que han escrito anteriormente pues según lo que sostienen, las demostraciones por reducción al absurdo dejan de ser válidas cuando resulta ser cierto tanto que A=B como \( A\neq B \). Espero que Shakespeare tome nota de que no vale decir 'Ser o no ser...' ahora hay que decir 'Ser y no ser'

No entiendo lo que dices, y no me gusta tu tono, así que dejaré de participar aquí. Pero para dejarlo claro: en una demostración por reducción al absurdo de \( P \) se parte de \( \neg P \) y de ahí se deriva una contradicción.

Lo que yo decía es universalmente conocido y se puede encontrar en cualquier libro de lógica básica (con nombres como principio de explosión, o ex falso quodlibet, aunque sé que no te gusta el latín): para cualesquiera proposiciones \( P,Q \), se tiene que \( P \wedge \neg P \vdash Q \), o equivalentemente por el teorema de deducción, \( P \wedge \neg P \to Q \) es una tautología. Es decir, si partimos de una contradicción como premisa, se puede probar cualquier cosa. Y es tan sencillo como ver que como \( P \wedge \neg P \) es falso sea cual sea el valor de verdad de \( P \) y por tanto el condicional \( P \wedge \neg P \to Q \) es verdadero, por la tabla de verdad del condicional.

No veo ninguna contradicción entre esto y la reducción al absurdo, la verdad. Dicho esto, ya no participaré más en esta discusión pues no creo que pueda aportar nada más.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 09 Diciembre, 2020, 11:43 am
He separado estos mensajes de este otro hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115217.0

Porque el tema tratado aquí ya no tiene que ver con el asunto original, sino que se trata ya de si alguien se considera con fuerzas, no de explicar, sino de explicarle a ancape, que no es lo mismo, que una proposición falsa implica cualquier proposición.

ancape: Te he puesto un -1 en el "karma" para que sirva de indicación a otros usuarios de que tiendes a afirmar categóricamente cosas clarmaente falsas, por lo que tus respuestas no son, en general, muy de fiar.

Por poner otro ejemplo, aparte del del hilo del que procede éste, aquí:

El enunciado no es correcto pues las integrales iteradas están mal escritas, si lo que hay que demostrar es
\( \displaystyle\int_{U} dx\displaystyle\int_{V} f(x,y)dy =\displaystyle\int_{V}dy \displaystyle\int_{U} f(x,y)dx \).
Es una simple aplicación del Teorema de Fubini.

Las integrales iteradas no están mal escritas. De hecho, no digo que sea incorrecto escribirlas como las escribes tú, pero a mí, personalmente, me gusta más la forma en que están escritas en el planteamiento del hilo. Me parece estéticamente feo escribir \( dx \) antes de la función que hay que integrar.

En la medida en que sigas haciendo esto (no digo equivocarte, sino equivocarte en términos que pueden confundir a los usuarios inseguros con las matemáticas), te iremos bajando el karma para que no crees confusiones innecesarias. Si dejas de hacerlo te lo iremos subiendo.

Efectivamente hay otras opciones que se podrían marcar pero nunca a) y b) pues son contradictorias. Te reto a que demuestres b) a partir de la igualdad dada.

Sólo por la curiosidad de ver qué dices:

Demostración de que \( 3=5 \) implica b) \( 7 \neq 8 \):

Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que \( 7=8 \).

Entonces, por hipótesis tenemos que \( 3=5 \) y, por otra parte, es un teorema conocido que \( 3\neq 5 \). Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que \( 7 \neq 8 \).

Esta demostración es correcta según todos los estándares formalistas que tanto te gustan y tanto desconoces, pero creo imaginar qué clase de objeción le encontrarás. A ver si me sorprendes.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 09 Diciembre, 2020, 07:01 pm
...........
Porque el tema tratado aquí ya no tiene que ver con el asunto original, sino que se trata ya de si alguien se considera con fuerzas, no de explicar, sino de explicarle a ancape, que no es lo mismo, que una proposición falsa implica cualquier proposición.

Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas

Citar
ancape: Te he puesto un -1 en el "karma" para que sirva de indicación a otros usuarios de que tiendes a afirmar categóricamente cosas clarmaente falsas, por lo que tus respuestas no son, en general, muy de fiar.

No sabia que el depositario de la verdad fueras tú. Las matemáticas se defienden con razonamientos no con la autoridad del que las expone como ocurre con otras disciplinas

Citar

Por poner otro ejemplo, aparte del del hilo del que procede éste, aquí:

El enunciado no es correcto pues las integrales iteradas están mal escritas, si lo que hay que demostrar es
\( \displaystyle\int_{U} dx\displaystyle\int_{V} f(x,y)dy =\displaystyle\int_{V}dy \displaystyle\int_{U} f(x,y)dx \).
Es una simple aplicación del Teorema de Fubini.

Las integrales iteradas no están mal escritas. De hecho, no digo que sea incorrecto escribirlas como las escribes tú, pero a mí, personalmente, me gusta más la forma en que están escritas en el planteamiento del hilo. Me parece estéticamente feo escribir \( dx \) antes de la función que hay que integrar.

Las integrales estaban mal escritas, el símbolo \( dxdy \) representa una forma diferencial bidimensional y debe reservarse para cuando se integra en dos dimensiones, esto es, para la integral doble. Estaría de acuerdo con la expresión \( \displaystyle\int_{a}^{b}(\displaystyle\int_{a}^{b}fdy)dx \) pues no te gusta que \( dx \) vaya delante del integrando (observa los paréntesis), pero nunca con \( dxdy \) dentro de una integral simple.

Citar

Sólo por la curiosidad de ver qué dices:

Demostración de que \( 3=5 \) implica b) \( 7 \neq 8 \):

Razonamos por reducción al absurdo. Suponemos que \( 7=8 \).

Entonces, por hipótesis tenemos que \( 3=5 \) y, por otra parte, es un teorema conocido que \( 3\neq 5 \). Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que \( 7 \neq 8 \).

Esta demostración es correcta según todos los estándares formalistas que tanto te gustan y tanto desconoces, pero creo imaginar qué clase de objeción le encontrarás. A ver si me sorprendes.

Creo que el que no  ha pensado matemáticamente lo que escribe eres tú, por una parte lanzas como hipótesis 3=5 lo que te sitúa en un sistema axiomático diferente del usual. Luego la frase 'es un teorema conocido que \( 3\neq5 \)' hace que aparezca un teorema de un mundo que no es compatible con la axiomática de la hipótesis. Es así como se llega a cualquier cosa, mezclando razonamientos de un mundo con los de otro, pero no te preocupes, le pasa a todo el mundo que está un poco lejos de las matemáticas.

En resumen, estoy muy orgulloso de que me hayas puesto un -1 en el karma pues mis razonamientos no son muy de fiar y podrían confundir a personas no muy diestras en matemáticas gracias a que desde pequeños han tenido  profesores que les han enseñado que las matemáticas son una mezcla de sentido común, razonamientos en los que cabe todo y muchas fórmulas que hay que aprender de memoria. No te preocupes pues ya no me merece la pena seguir participando en un foro tipo academia necesaria para aprobar una asignatura.


Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: sugata en 09 Diciembre, 2020, 07:34 pm
Una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas.
Una implicación falsa implica que se puede deducir de ella cualquier proposición, falsa o verdadera. Incluyendo proposiciones contrarias, pero no a la vez.
La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta.
Partimos de una implicación falsa\( 3=5 \), y usando axiomas correctos \( 3\neq5 \) llegamos a otra contradicción.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: mathtruco en 09 Diciembre, 2020, 07:45 pm

Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas


Creo entender donde está el error.

\( F\rightarrow q \) es verdadero independiente del valor de verdad de \( q \), ¿estás de acuerdo?

Nota que no se afirma nada sobre el valor de verdad de \( q \), sólo afirma que la proposición \( F\rightarrow q \) es verdadera.

Repito lo que cité:


Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas


La proposición falsa (antecedente) no dice nada sobre el valor de verdad del consecuente (dos proposiciones contrarias son a la vez verdaderas).
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Masacroso en 09 Diciembre, 2020, 09:57 pm
Por lo que leo a Geómetracat ahora (no había leído anteriores respuestas más despacio) no era correcto decir que no se parte de algo falso en una demostración por reducción al absurdo; así que lo meto en spoiler. Perdón por la equivocación.

Spoiler
Pero es distinto; no se parte de una falsedad

Supongamos que raíz de 2 es racional; entonces:

\( 2=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}
  \)

Para empezar esa igualdad no es falsa, ya que, existe a/b, pero no es racional.

Otra cosa diferente sería dar por bueno (no como hipótesis) la afirmación “raíz de dos es racional”; entonces a ver quién demuestra que no lo es, si lo tomamos como una verdad de la cual partir en vez de una hipótesis.
[cerrar]

Yo creo que la cuestión está más bien aquí, pero no sé, a lo mejor me equivoco otra vez.

En una demostración por reducción al absurdo, la premisa de partida P no es una falsedad que se tome por verdadera, la falsedad que se toma por verdadera está en la implicación.

\( P\underset{{\color{red}V}}{\rightarrow}Q
  \)

O puede ser lo contrario, se supone que algo cierto es falso

\( P\underset{{\color{red}F}}{\rightarrow}Q
  \).

Sencillamente no es el caso que estás considerando lo que se usa en una demostración por reducción al absurdo; partir de una P falsa (a sabiendas) no sirve para demostrar nada en matemáticas, ni por reducción al absurdo de ninguna manera.

Saludos.

Yo lo entiendo de esta manera feriva, aunque podría haber algo inexacto (o erróneo) ya que no sé mucho de lógica. Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: feriva en 09 Diciembre, 2020, 11:41 pm

Yo lo entiendo de esta manera feriva, aunque podría haber algo inexacto (o erróneo) ya que no sé mucho de lógica. Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

A ver, espera que lo piense... que yo sí que no sé de lógica formal casi nada.

O sea, entiendo que tenemos un teorema \( A\Longrightarrow B
  \), entonces consideramos por reducción al absurdo que la implicación es falsa. En ese caso la implicación \( \neg A\Longrightarrow\, B
  \) tendrá que ser verdadera (porque es una cosa u otra). Ahora, dado que B es verdadera, de ambas proposiciones se deduce que \( A
  \) no puede ser falsa. ¿Es eso?

Saludos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: geómetracat en 09 Diciembre, 2020, 11:46 pm
Se me pasó el mensaje de feriva. Lo que dice Masacroso es correcto, pero no acabo de ver ahí la reducción al absurdo. Reducción al absurdo consiste en lo siguiente. Quieres probar que \( A \) es verdadero. Para ello supones que \( \neg A \) y a partir de ahí llegas a una falsedad. Si lo consigues, has demostrado que \( A \) es verdadero.

Una manera sencilla de entender por qué funciona es la siguiente: demostrar una falsedad a partir de \( \neg A \) es lo mismo que demostrar que la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera (\( \bot \) significa falso).  Pero si la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera, como \( \bot \) es falso, quiere decir que \( \neg A \) es falso (porque si fuera verdadero, \( \neg A \to \bot \) sería falso). Pero si \( \neg A \) es falso, entonces \( A \) es verdadero, que es lo que queríamos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 09 Diciembre, 2020, 11:59 pm
Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2020, 12:17 am
Se me pasó el mensaje de feriva. Lo que dice Masacroso es correcto, pero no acabo de ver ahí la reducción al absurdo. Reducción al absurdo consiste en lo siguiente. Quieres probar que \( A \) es verdadero. Para ello supones que \( \neg A \) y a partir de ahí llegas a una falsedad. Si lo consigues, has demostrado que \( A \) es verdadero.

Una manera sencilla de entender por qué funciona es la siguiente: demostrar una falsedad a partir de \( \neg A \) es lo mismo que demostrar que la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera (\( \bot \) significa falso).  Pero si la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera, como \( \bot \) es falso, quiere decir que \( \neg A \) es falso (porque si fuera verdadero, \( \neg A \to \bot \) sería falso). Pero si \( \neg A \) es falso, entonces \( A \) es verdadero, que es lo que queríamos.

Ahí lo veo más sencillo; más semejante a los problemas prácticos. Si “No A” implica falso y la implicación es verdadera, entonces es “Sí A”, debido a que con “No A” da falso.

Gracias, Geómetracat.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 10 Diciembre, 2020, 12:32 am
Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.

Estaba Jesús con sus apóstoles y dijo 'Yo soy el que soy'. Le responde San Pedro: Si me gustas maestro es por lo bien que te expresas.

Cuando se habla de temas de lógica matemática, hay que hacerlo con una precisión extrema. Si se usan medias palabras se pueden decir cosas que hacen sonreír a cualquier interlocutor que sepa algo del tema.

Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 10 Diciembre, 2020, 12:38 am
Una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas.
Una implicación falsa implica que se puede deducir de ella cualquier proposición, falsa o verdadera. Incluyendo proposiciones contrarias, pero no a la vez.
La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta.
Partimos de una implicación falsa\( 3=5 \), y usando axiomas correctos \( 3\neq5 \) llegamos a otra contradicción.

Una de dos, o no te has leído que yo he escrito exactamente: 'Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas' o tu frase 'La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta' se refiere a mi y no a Carlos que sostiene justo lo contrario.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 10 Diciembre, 2020, 12:45 am
Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas

Es que dos proposiciones contrarias no pueden ser verdaderas a la vez. Nadie ha dicho eso. Sugata te lo ha explicado muy bien.

No sabia que el depositario de la verdad fueras tú. Las matemáticas se defienden con razonamientos no con la autoridad del que las expone como ocurre con otras disciplinas

Eso es relativo. Si envías un artículo a una revista para que te lo publiquen, el resultado no será que te lo aceptan si  lo que pones en él es verdad y que te lo rechazan si no es verdad, sino que dependerá de si los que evalúan tu artículo consideran que es verdad o los que te evalúan tu artículo consideran que no es verdad. Siempre que hay que tomar una decisión práctica, es necesario que haya un "depositario de la verdad" (o mejor, varios). Eso es inevitable y lo máximo que puede hacerse es procurar que los "depositarios de la verdad" sean tan fiables como sea posible y, por supuesto, que siempre sea posible consultar más opiniones en caso de duda o discrepancia.

En este foro, los inevitables "depositarios de la verdad" somos los moderadores y administradores y, sin que lo que voy a decir me incluya a mí (al contrario que a ti, no me gusta valorarme a mí mismo), estoy convencido de que todos ellos están muy bien elegidos. Dudo mucho que haya un solo matemático serio que lea tus mensajes y, en caso de tener que ejercer como "depositario de la verdad" no coincidiera en el veredicto de que a menudo no sabes de lo que hablas y te pones en evidencia en una de cada cuatro frases que escribes. Si encuentras una opinión imparcial que discrepe de la mía, será interesante leer unos argumentos que sostengan tus puntos de vista y que no sean los tuyos. Si, por el contrario, considerar que tu razón es suficiente para llevarle la contraria a todo el mundo... pues poco podré decir yo, que soy parte del mundo, para convencerte de que algo falla ahí.

Las integrales estaban mal escritas, el símbolo \( dxdy \) representa una forma diferencial bidimensional y debe reservarse para cuando se integra en dos dimensiones, esto es, para la integral doble.

Magister dixit.  ¿Quién es ahora el depositario de la verdad?

Estaría de acuerdo con la expresión \( \displaystyle\int_{a}^{b}(\displaystyle\int_{a}^{b}fdy)dx \) pues no te gusta que \( dx \) vaya delante del integrando (observa los paréntesis), pero nunca con \( dxdy \) dentro de una integral simple.

Es que en la notación que censuras no hay dos diferenciales dentro de una integral simple. Entre el categórico "la integral está mal escrita" y el más modesto "yo pondría unos paréntesis" hay bastante diferencia. Y de toda la vida, el criterio práctico con los paréntesis es que si se pueden omitir sin que la expresión resultante sea ambigua, es lícito omitirlos.

Si no, cada vez que escribes \( f(2, 3) \) te podría decir que eso está mal escrito porque deberías escribir \( f((2, 3)) \), ya que se trata de la imagen \( f(x) \) del par ordenado \( x=(2, 3) \) por la función \( f \). Pero eso sería una pedantería, como lo que dices de la integral.


Creo que el que no  ha pensado matemáticamente lo que escribe eres tú,

Eso es poco menos que una prueba de que yo tengo razón.

por una parte lanzas como hipótesis 3=5 lo que te sitúa en un sistema axiomático diferente del usual.

 ::)  La experiencia me avisa de que sería inútil preguntarte por enésima vez cuál es ese sistema axiomático usual en el que estás pensando y que nunca has sabido concretarme, por lo que sería más inútil aún preguntarte por cuál es ese nuevo sistema axiomático en el que me sitúas. ¿Desde cuándo una hipótesis me sitúa en otro sistema axiomático? ¿Cada vez que demuestras una implicación estás cambiando de sistema axiomático? ¿Sabes lo que es un sistema axiomático? (Olvida la pregunta, he acabado en una pregunta retórica cuya respuesta es obvia.) En un sistema axiomático puedes suponer lo que quieras y con ello no cambias de sistema axiomático.

Luego la frase 'es un teorema conocido que \( 3\neq5 \)' hace que aparezca un teorema de un mundo que no es compatible con la axiomática de la hipótesis. Es así como se llega a cualquier cosa, mezclando razonamientos de un mundo con los de otro,

Para que veas lo poco que me cuesta reconocer mis errores, confieso mi error: Pensé que no me ibas a sorprender, pero me has sorprendido. Cuando pides sustentar la verdad con razonamientos, resulta que los tuyos consisten en hablar de mundos incompatibles con axiomáticas. Eso sí, unas axiomáticas misteriosas que nadie ha logrado saber jamás cuáles son.

pero no te preocupes, le pasa a todo el mundo que está un poco lejos de las matemáticas.

 :aplauso:  No sé si me creerás, pero te juro que he tenido que deja de escribir casi un minuto para esperar que se me pasara la risa. ¿Te piensas mucho estas estocadas o te salen espontáneas? Probablemente habrá a quien le incomode tu actitud, pero a mí, ver a alguien tan desorientado lanzar tales puyas sin fundamento me da risa. Es como cuando ves a un chihuahua ladrándole todo enfadado a un pedazo de perro que lo mira asombrado (técnicamente, aquí el pedazo de perro sería yo, pero eso es anecdótico, lo que me hace gracia es que le ladras así a cualquiera).

En resumen, estoy muy orgulloso de que me hayas puesto un -1 en el karma pues mis razonamientos no son muy de fiar y podrían confundir a personas no muy diestras en matemáticas

No lo he hecho para llenarte de orgullo ni para lo contrario. Es para que no asustes a nadie.

gracias a que desde pequeños han tenido  profesores que les han enseñado que las matemáticas son una mezcla de sentido común, razonamientos en los que cabe todo y muchas fórmulas que hay que aprender de memoria.

Te falta añadir: ¡Pecadores! ¡Arderéis en el infierno!

No te preocupes pues ya no me merece la pena seguir participando en un foro tipo academia necesaria para aprobar una asignatura.

Puente de plata.

Pero poco te ha durado la decisión:

Estaba Jesús con sus apóstoles y dijo 'Yo soy el que soy'. Le responde San Pedro: Si me gustas maestro es por lo bien que te expresas.

Eso no lo dijo Jesús a los apóstoles. Se lo dijo Yahveh a Moisés. Un poco de culturilla...

Cuando se habla de temas de lógica matemática, hay que hacerlo con una precisión extrema. Si se usan medias palabras se pueden decir cosas que hacen sonreír a cualquier interlocutor que sepa algo del tema.

¿Conoces a alguien que sepa del tema? Pues pídele que te explique unas cuantas cosas. Yo, en cambio, coincido con Einstein cuando dijo que si no eres capaz de explicarle algo a tu abuela (a una abuela nacida en el siglo XIX, sin estudios) es que no lo entiendes.

De todos modos, a ver si el problema va a ser ése. Entonces puedes ir leyéndote esto

https://www.uv.es/ivorra/Libros/LM.pdf

Y si encuentras alguna falta de precisión, me avisas.

Una de dos, o no te has leído que yo he escrito exactamente: 'Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas' o tu frase 'La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta' se refiere a mi y no a Carlos que sostiene justo lo contrario.

¿Y no será la de tres? ¿Y si eres tú el que ni entiende lo que he dicho yo, ni entiende lo que ha dicho Sugata, ni entiende nada de nada?

¿Y qué haces todavía en este foro de academia? Se me ocurre que podrías recomendar a tus alumnos que se pasaran por aquí, no para aprender recetas de academia, pero seguro que les interesaba ver a su profe haciendo el ridículo. Si te sientes tan orgulloso como dices, invítalos, aunque sólo sea para presumir de lo bien que estás quedando, que es algo que te gusta mucho.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: ancape en 10 Diciembre, 2020, 01:06 am
Carlos

Voy a dejar el tema pues veo que de razonar entiendes poco, solo sabes insultar y eso no es lo que buscaba en este foro.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: sugata en 10 Diciembre, 2020, 01:10 am
Una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas.
Una implicación falsa implica que se puede deducir de ella cualquier proposición, falsa o verdadera. Incluyendo proposiciones contrarias, pero no a la vez.
La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta.
Partimos de una implicación falsa\( 3=5 \), y usando axiomas correctos \( 3\neq5 \) llegamos a otra contradicción.

Una de dos, o no te has leído que yo he escrito exactamente: 'Sigo pensando que una proposición falsa no implica que dos proposiciones contrarias sean a la vez verdaderas' o tu frase 'La demostración de Carlos Ivorra me parece correcta' se refiere a mi y no a Carlos que sostiene justo lo contrario.

He leído lo que has escrito exactamente, creo que tu no has leído exactamente lo mío, y eso que lo he resaltado en negrita.
Y si, me refiero a Carlos Ivorra.
Carlos lo ha explicado perfectamente.
Carlos, perdona, se que me has defendido, pero sabiendo poco de lógica y entendiendo el tema perfectamente, he decidido defenderme, aunque se que los que sabéis siempre estáis al quite. Gracias y perdona de nuevo.

Edito ya que se ha adelantado ancape:
Revisando el hilo, el primero en denigrar los conocimientos de los demás eres tu, ancape. No veo una respuesta fuera de lugar tras tus respuestas.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 10 Diciembre, 2020, 01:34 am
Carlos

Voy a dejar el tema pues veo que de razonar entiendes poco, solo sabes insultar y eso no es lo que buscaba en este foro.

¿El tema? ¿Pero no ibas a dejar este foro de academia? ¿Llamarlo así no es un insulto al foro? ¿Tú sí puedes insultar y esperas que te salga gratis? ¿Recuerdas lo que te dije: sublata causa, tollitur effectus? A ver si con este ejemplo lo entiendes mejor. Se trata de una famosa frase de Sir Arthur Trevers Harris, más conocido como "Bombardero Harris" (organizaba los bombardeos de la RAF sobre Alemania durante la Segunda Guerra Mundial):

Citar
Los nazis entraron en esta guerra bajo la ilusión más bien infantil de que iban a bombardear a todos los demás y nadie los iba a bombardear a ellos. En Rotterdam, Londres, Varsovia y en medio centenar de otros lugares pusieron en práctica su ingenua teoría. Sembraron el viento, y ahora van a cosechar el torbellino.

(Quede claro que la comparación con los nazis es puramente accidental, lo cito por el principio general del argumento, no por los destinatarios.)

Por otro lado, la diferencia entre "no razonar" y "razonar en términos de mundos incompatibles con axiomas misteriosos" es inapreciable, y si después de expresarte en terminos de "mundos incompatibles con axiomas" vuelves a intervenir para soltar eso de:

Cuando se habla de temas de lógica matemática, hay que hacerlo con una precisión extrema. Si se usan medias palabras se pueden decir cosas que hacen sonreír a cualquier interlocutor que sepa algo del tema.

ya no puedo contener la risa. No hay que usar medias palabras, pero puedes rebatir un argumento diciendo que no vale porque provoca una guerra de los mundos. Si eso no hace sonreír a alguien es porque lo has dejado muerto de risa. A ver si Esopo te lo explica mejor que yo:

http://clasicashuelin.es/antogriego/fabricados/alforjas/literaria.htm

Por otro lado, te he indicado un libro de lógica donde no encontraras "insultos". Pero, claro, mejor disimular, no se vaya a notar que no entenderías ni dos páginas.

Carlos, perdona, se que me has defendido, pero sabiendo poco de lógica y entendiendo el tema perfectamente, he decidido defenderme, aunque se que los que sabéis siempre estáis al quite. Gracias y perdona de nuevo.

¿Qué tengo que perdonarte? Responderle a ancape es un derecho de todos, sería egoísta por mi parte acapararlo. Sólo te digo que no te lo tomes en serio. Es como lo que decía del chihuahua. Si ves a un perrito escuchimizado ladrarle a un pastor alemán como si se lo fuera a comer, ¿harías otra cosa que no fuera reírte? Pues si te ladra a ti, piensa que la situación es ésa. Si te apetece lanzarle un hueso a ver cómo lo roe, se lo lanzas, y si no, no, pero no te preocupes como si realmente pudiera hacerte algo.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: sugata en 10 Diciembre, 2020, 01:38 am
Tengo la sana costumbre de que me resbala todo lo que dicen en las redes sociales, pero para una vez que tengo razón, me apetecía responder.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 10 Diciembre, 2020, 01:41 am
pero para una vez que tengo razón,...

¡Qué mal repartida está la modestia en este mundo!, unos tanta y otros tan poca. Así la media de los participantes en este hilo queda equilibrada.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Masacroso en 10 Diciembre, 2020, 08:46 am
Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.

Ok, ya me parecía que había alguna cosa que no estaba del todo bien.

Se me pasó el mensaje de feriva. Lo que dice Masacroso es correcto, pero no acabo de ver ahí la reducción al absurdo. Reducción al absurdo consiste en lo siguiente. Quieres probar que \( A \) es verdadero. Para ello supones que \( \neg A \) y a partir de ahí llegas a una falsedad. Si lo consigues, has demostrado que \( A \) es verdadero.

Una manera sencilla de entender por qué funciona es la siguiente: demostrar una falsedad a partir de \( \neg A \) es lo mismo que demostrar que la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera (\( \bot \) significa falso).  Pero si la implicación \( \neg A \to \bot \) es verdadera, como \( \bot \) es falso, quiere decir que \( \neg A \) es falso (porque si fuera verdadero, \( \neg A \to \bot \) sería falso). Pero si \( \neg A \) es falso, entonces \( A \) es verdadero, que es lo que queríamos.

Gracias geómetracat a ti también por tu aclaración, ya me queda claro.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2020, 12:19 pm

Luego la frase 'es un teorema conocido que \( 3\neq5 \)' hace que aparezca un teorema de un mundo que no es compatible con la axiomática de la hipótesis. Es así como se llega a cualquier cosa, mezclando razonamientos de un mundo con los de otro

No llego a ver el conflicto. Si esto \( P:\,3=5  \) es verdad en otro sistema axiomático no creo que os pueda dar problemas, porque lo que estáis considerando es que es falso en el sistema axiomático normal; es falso pero se le da valor de verdad, ése es el tipo de implicación que se discute, si es que estoy entendiendo bien, que podría ser que no.

Entonces, si fuera así y consideramos \( 3=5\Rightarrow7\neq8  \) en el sistema axiomático corriente para números reales, podemos hacer, entre otras cosas, restando 3 a ambos lados, esto:

\( 0=2  \)

y 2 es el neutro de verdad; puesto que esa igualdad tiene valor de verdad y hemos operado correctamente según los axiomas y definiciones habituales.

Si ahora consideramos, por reducción al absurdo, \( 7=8  \), restando 7 a los dos lados tenemos que el neutro para la suma también es \( 0=1  \).

Sumando esta igualdad miembro a miembro a la anterior tenemos \( 0=3 \); volviendo a sumarla a ésta última, tenemos \( 0=4  \)... y así \( 0=n \). Por tanto, \( \mathbb{N=}\{0\}  \); y como todos los dígitos son cero los reales en general son \( 0,000... \); y así todo real es igual a cero. Se viene a bajo todo, se volatilizan los números; por lo que debemos asumir que la implicación \( 3=5\Rightarrow7\neq8  \) es cierta (simplemente porque con la otra “posibilidad” se acabó el hacer cuentas).

...

Otra forma quizá podría ser así:

Consideremos ahora la implicación contraria \( 3=5\Rightarrow7=8
   \).

Si a una igualdad le sumamos lo mismo a ambos lados, se mantiene: si le sumamos algo distinto de cero en un solo lado, entonces se transforma en una desigualdad (supongo que todos convenimos que esto está de acuerdo con ZFC, Peano y la axiomática normal que sea; por elemental tiene que ser así, aunque yo no sepa bien del todo). Entonces hacemos:

\( 7-4=8-4\Rightarrow
   \)

\( 3=4
   \):

\( 3\neq4+1\Rightarrow
   \)

\( 3\neq5
   \)

Y llegamos a una contradicción con la proposición de salida que consideramos verdadera; por tanto, debemos concluir que \( 7\neq8
   \) es verdadera.

La última proposición es falsa; en el primer ejemplo teníamos \( P\longrightarrow Q
  \) y ahora tenemos \( P\longrightarrow\neg Q
  \) (si llamamos \( \neg Q
  \) a \( 7=8
  \)).

Yo entiendo que ambas implicaciones (las flechitas) son verdaderas, aparte de porque lo diga la tabla de verdad, porque en ambos casos he operado correctamente, las transiciones de unas cosas a otras, en ambos casos, son correctas (vamos, si no veo después algún error, que no sería nada raro). Y, si te digo la verdad, no sé si los matemáticos lo consideráis así o no o a medias; sin embargo, pienso que para cosas prácticas es útil considerarlo así; porque lo que nos importa es saber si nos equivocamos o no. La culpa de lo que pasa la tiene la premisa falsa de partida, no el tránsito de una cosa a otra (a no ser que se opere mal).
...
...

Esto es lo que yo veo, puede que esté metiendo la pata (ya me corregirán en ese caso) pero los alumnos que pasan por aquí me conocen de hace tiempo y saben que advierto con bastante frecuencia de que me equivoco mucho (que no hace falta ni que advierta, porque se dan cuenta debido a la frecuencia en los despistes y errores diversos) por lo que toman con reservas lo que digo salvo si ven que es claro.

Nadie en este foro me ha impedido nunca pensar por mí mismo y equivocarme; pero como hay alumnos que consultan, pues me corrigen cuando contesto algo que podría, en algún caso, llevar a alguien a suspender una asignatura; ésa es la razón por la que se corrige aquí a todo el que se equivoca (o no se equivoca pero contesta a una consulta esgrimiendo algún argumento fuera de lo académico, algo que pueda perjudicar al estudiante). Ésta es la razón por la cual se hacen correcciones, no porque un usuario sea expianista callejero en vez de matemático, no es la titulación la que manda en eso. Ahora bien, después, el foro tiene unas normas; y cada uno es libre para que le gusten más o menos, por supuesto, pero son las normas que han puesto los responsables de la página y, si se participa en ella, hay que aceptarlas; al igual que si uno conduce, pues no puede ir atropellando a la gente, por ejemplo, aunque le guste mucho.

Saludos.
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: argentinator en 14 Enero, 2021, 11:25 pm
Si la implicación \( A\implies B \) es falsa, entonces necesariamente la implicación \( \neg A \implies B \) es verdadera, ya que \( A\implies B\equiv \neg A\,\lor\, B \), de lo que se sigue que la proposición \( \neg A \) es falsa, por tanto \( A \,\lor\, B\equiv \neg A \implies B \) es una implicación verdadera (ya que \( A \) es verdadera).

Ojo. Eso, literalmente es cierto, pero puede llevar a engaño. Considera la afirmación:

Si un entero x es impar, entonces es primo.

Obviamente, no vas a poder probar nunca eso (para un x arbitrario). Normalmente, se dice que esa implicación es falsa. Sin embargo, no puedes deducir de ahí que

si x no es un entero impar, entonces x es primo.

Es verdad que tú no has dicho eso. Lo que has dicho es cierto para cada cosa x concreta que consideres. Si x es un entero impar,  es cierta la segunda afirmación, y si no lo es, es cierta la primera. Pero es fácil entenderlo mal y acabar pensando que de la primera afirmación que he puesto se puede pasar a la segunda.

Estoy algo sorprendido del significado de este ejemplo.

Interpreto el primer enunciado como:
\(\forall x\in\mathbb Z\,:\, \mbox{es-impar}(x) \to \mbox{es-primo}(x)\).

Sabemos que es una proposición FALSA porque \(x=9\) es impar y no es primo.
Por lo tanto, es VERDADERA la negación, cuya forma es:
\(\exists x\in\mathbb Z\,:\, \mbox{no-es-primo}(x) \to \mbox{es-par}(x)\).

(Editado: OJO, QUE NO ES ESA LA NEGACIÓN).  :banghead: :banghead:



Me parece sorprendente que de una proposición que hable sobre números primos e impares, y más aún, siendo FALSA, se deduzca un hecho sobre números compuestos pares.
Después de todo, el \(\exists x\) se convierte en un EFECTIVAMENTE ENCUENTRO UN \(x\), si es que me lo pongo a buscar, como podría ser el caso de \(x=4\).

No sé si me estoy sorprendiendo de una estupidez, o qué es lo que ví ahí.

Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Enero, 2021, 11:35 pm
¡Dichosos los ojos!

Pero la negación de \( p\rightarrow q \) no es \( \lnot q\rightarrow \lnot p \). Por ejemplo, si \( p, q \) son ambas verdaderas, entonces las dos implicaciones son verdaderas, lo que muestra que una no es la negación de la otra. La negación de \( p\rightarrow q \) es \( p\land \lnot q \).
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: argentinator en 14 Enero, 2021, 11:37 pm
¡Dichosos los ojos!

Pero la negación de \( p\rightarrow q \) no es \( \lnot q\rightarrow \lnot p \). Por ejemplo, si \( p, q \) son ambas verdaderas, entonces las dos implicaciones son verdaderas, lo que muestra que una no es la negación de la otra. La negación de \( p\rightarrow q \) es \( p\land \lnot q \).

Claro, ¡qué idiota! jaja.
Ya me parecía que estaba haciendo algo mal.

Puse como negación dos cosas que en realidad son equivalentes.

Perdón a la humanidad.

Saludos.
 ;D
Título: Re: Una proposición falsa implica cualquier proposición
Publicado por: manooooh en 14 Enero, 2021, 11:44 pm
Hola

Perdón a la humanidad.

Sólo daré un hecho:

[attachment id=0 msg=460240]

Creo que por un momento nos sorprendimos. :laugh: :laugh:

Saludos