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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: JordiMath en 03 Noviembre, 2020, 11:20 pm

Título: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 03 Noviembre, 2020, 11:20 pm
Veo que en \( AP_{2} \) se crean conjuntos del tipo \( A_{n}\equiv{\{m|<n,m>∈A\}} \)

Entiendo pues que, por ejemplo, \( A_{0}\equiv{\{m|<0,m>∈A\}} \)
\( A_{1}\equiv{\{m|<1,m>∈A\}} \)

y así sucesivamente. Y A está formado por conjuntos de tipo \( A_{n} \). Pero con esta definición ningún conjunto sería vacío pues A tendría al menos un elemento.

Para evitar eso se define \( A^{+}=\{n|n+1∈A\} \) con \( 0∈A \)

Así pues, \( A\equiv{\{0\}\cup{\{n+1|n∈A^{+}\}}} \)

Y luego se dice que A es el conjunto de conjuntos cuyos elementos son los de \( A^{+}_{n} \) con \( 0∈A \)

Preguntas:

1. ¿Qué es realmente \( A^{+}_{n} \)?

2. ¿Cómo evitamos así que ningún conjunto A sea vacío?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 04 Noviembre, 2020, 01:52 am
Vamos a codificar un conjunto que tenga dos elementos, el primero que sea el conjunto de los múltiplos de \( 5 \) y el segundo el de los múltiplos de \( 7 \). Si lo hiciéramos "descuidadamente", tomaríamos

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k{\color{red})}\} \)

Así tenemos que \( A_0 \) es el conjunto de los múltiplos de \( 5 \) y \( A_1 \) el de los múltiplos de \( 7 \), pero en realidad falla algo, porque también tenemos que \( A_n=\emptyset \) para \( n>1 \), luego nuestro conjunto \( A \) tiene en realidad tres elementos: el de los múltiplos de 5, el de los múltiplos de 7 y el conjunto vacio.

Podríamos deshacernos del vacío con otra definición que haga que \( A_{2n} \) sea el conjunto de los múltiplos de 5 y \( A_{2n+1} \) el de los múltiplos de 7. Así cada uno de los dos conjuntos se repetiría infinitas veces, pero no quedaría espacio para que se nos cuele el vacío intruso. Pero el problema es que así no podemos evitar que siempre haya al menos un conjunto. Aun tomando \( A=\emptyset \), se cumple que cada \( A_n=\emptyset \) y, por lo tanto, \( A \) codifica \( \{\emptyset\} \).

Para evitar esto definimos

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k(m=0\lor m=5k+1){\color{red})}\lor (n=1\land \exists k(m=0\lor m=7k+1){\color{red})}\} \)

De este modo \( A_0 \) contiene a \( 0 \) y a los números \( 5k+1 \), mientras que \( A_1 \) contiene a \( 0 \) y a los números \( 7k+1 \) y \( A_n \) es vacío para \( n>1 \).

Por lo tanto, \( A_0^+ \) es el conjunto de los múltiplos de \( 5 \), \( A_1^+ \) es el conjunto de los múltiplos de \( 7 \) y los demás no importan, porque ahora entendemos que \( A \) codifica el conjunto que contiene únicamente a \( A_0^+ \) y a \( A_1^+ \), ya que son los únicos tales que \( 0\in A_n \). Los \( A_n \) con \( n>1 \) no se usan, porque no contienen al \( 0 \).

Con esta codificación, el conjunto \( A=\emptyset \) codifica al conjunto vacío, pues, todos los \( A_n \) son vacíos y, como no contienen al \( 0 \), no los contamos como elementos de (el conjunto codificado por) \( A \).

Lo he escrito un poco rápido porque ahora mismo tengo prisa. Si no está claro, dilo y mañana por la tarde te respondo con más tiempo.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: manooooh en 04 Noviembre, 2020, 02:14 am
Hola Carlos

Unas cosas. Primero que seguro con el apuro creo que faltan unos paréntesis:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k(m=0\lor m=5k+1)\color{red}\textbf{)}\color{black}\lor (n=1\land \exists k(m=0\lor m=7k+1)\color{red}\textbf{)}\color{black}\} \)

También quisiera saber si cuando dices:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k\} \)

se sobreentiende que \( A \) es \( A_n \), porque luego hablas de ciertos \( A_0,A_1,\ldots \), y no me queda claro si se desprende de esa definición o hay algo más.

Gracias y saludos

P.D. El uso de [tex]\left<...\right>[/tex] se desaconseja totalmente, como se indica aquí (https://tex.stackexchange.com/q/47078). En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 04 Noviembre, 2020, 12:34 pm
Vale, entonces entiendo que el aspecto clave es crear conjuntos \( A^{+}_{n} \) que contengan el 0 y entonces forman parte de A. Si no contienen el 0, no.

No entiendo por qué estableces m=5k+1 y dices que esto son todos los múltiplos de 5. ¿No debería ser m=5(k+1)? Porque si no m no son todos los múltiplos de 5 sino 1, 6, 11, 16... Supongo que es un lapsus.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 04 Noviembre, 2020, 04:53 pm
Vale, entonces entiendo que el aspecto clave es crear conjuntos \( A^{+}_{n} \) que contengan el 0 y entonces forman parte de A. Si no contienen el 0, no.

Eso es.

No entiendo por qué estableces m=5k+1 y dices que esto son todos los múltiplos de 5. ¿No debería ser m=5(k+1)? Porque si no m no son todos los múltiplos de 5 sino 1, 6, 11, 16... Supongo que es un lapsus.

No, no. Está bien así. Para que uno de los elementos del conjunto sea el de los múltiplos de \( 5 \), en \( A_0 \) pongo los números de la forma \( 5k+1 \), para que así

\( A_0^+ = \{n\mid n+1\in A_0\} \)

esté formado por los múltiplos de \( 5 \). Al pasar de \( A_0 \) a \( A_0^+ \) se resta \( 1 \) a todos los elementos no nulos de \( A_0 \), así que pongo los \( 5k+1 \) para que al restarles \( 1 \) queden los \( 5k \).
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 04 Noviembre, 2020, 05:03 pm
También quisiera saber si cuando dices:

\( A=\{\left<n,m\right>\mid (n=0\land \exists k\ m=5k)\lor (n=1\land \exists k\ m=7k\} \)

se sobreentiende que \( A \) es \( A_n \), porque luego hablas de ciertos \( A_0,A_1,\ldots \), y no me queda claro si se desprende de esa definición o hay algo más.

La definición de \( A_n \) está en el mensaje inicial del hilo.

P.D. El uso de [tex]\left<...\right>[/tex] se desaconseja totalmente, como se indica aquí (https://tex.stackexchange.com/q/47078).

De vez en cuando me escribe algún plasta para quejarse de que en mi página de Historia Jesús no resucita y cosas así. Te digo lo mismo que a ellos: si lo que escribo es contrario a tu religión, no lo leas, que nadie te obliga a hacerlo, y mucho menos a husmear en el código fuente.

En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].

¿Y \left< no se puede usar?  Serás tú el que no pueda, porque yo lo he usado y no me ha fulminado ningún rayo de Zeus. Si a causa de estos pecados acabo ardiendo en el infierno en otra vida ya le diré cuatro cosas a Zeus, pero, de momento, poderse parece que sí que se puede.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: geómetracat en 04 Noviembre, 2020, 05:32 pm
Un comentario sobre lo del LaTeX. Lo primero es que no es muy educado quejarse por los comandos que usa cada uno, y más en un foro donde no se está haciendo un documento para la posteridad, sino que se están resolviendo dudas de matemáticas. Yo soy el primero que va con poco cuidado con el LaTeX cuando escribe mensajes en el foro.

Pero es que además, en este caso, no veo en tu enlace nada en contra del uso de \left< y \right>. De hecho lo que pone ahí es que \left< es un alias para \left\langle. Así que en todo caso, usar \left< es mejor que usar \langle, porque escala al contenido. Por ejemplo:
Con \langle:
\[ \langle \frac{1}{2} \rangle \]
Con \left<:
\[ \left< \frac{1}{2} \right> \]

Lo único que sí es cierto, y lo que dice el mensaje que enlazas, es que hay que evitar < > como delimitadores porque queda horrible: \( <a> \).
Vamos, me da la sensación de que esta vez "te has pasado de listo" con el LaTeX.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 04 Noviembre, 2020, 05:56 pm
Gracias por las respuestas.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: manooooh en 05 Noviembre, 2020, 02:00 am
Hola

La definición de \( A_n \) está en el mensaje inicial del hilo.

Ah, cierto. Dentro contiene el conjunto \( A \). Gracias.

De vez en cuando me escribe algún plasta para quejarse de que en mi página de Historia Jesús no resucita y cosas así. Te digo lo mismo que a ellos: si lo que escribo es contrario a tu religión, no lo leas, que nadie te obliga a hacerlo, y mucho menos a husmear en el código fuente.

En cambio se puede usar [tex]\langle...\rangle[/tex].

¿Y \left< no se puede usar?  Serás tú el que no pueda, porque yo lo he usado y no me ha fulminado ningún rayo de Zeus. Si a causa de estos pecados acabo ardiendo en el infierno en otra vida ya le diré cuatro cosas a Zeus, pero, de momento, poderse parece que sí que se puede.

Todo lo que hagas y no repercuta en los demás bien, nada que objetar, pero el problema es que ese código LaTeX puede ser visto por cualquiera sin saber que existe una manera en que los especialistas recomiendan usar, y no los llamo ignorantes o algo así sino que pues falta de experiencia. Si el código no se viera o no se pueda deducir de ninguna manera, no hay nada que objetar.

He dado una serie de argumentos pero parece que metí la pata cuando cité un mensaje que se me borró lo que había escrito.

Vamos, me da la sensación de que esta vez "te has pasado de listo" con el LaTeX.

Yo sólo transmití un mensaje. :P

Saludos
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 05 Noviembre, 2020, 03:33 pm
Todo lo que hagas y no repercuta en los demás bien, nada que objetar, pero el problema es que ese código LaTeX puede ser visto por cualquiera sin saber que existe una manera en que los especialistas recomiendan usar, y no los llamo ignorantes o algo así sino que pues falta de experiencia. Si el código no se viera o no se pueda deducir de ninguna manera, no hay nada que objetar.

Ah, pero como sí que puede verse, sí que tienes algo que objetar. Me estás diciendo que yo puedo escribir en LaTeX como quiera siempre y cuando nadie vea lo que escribo, porque si se ve "tienes algo que objetar", "es un problema." ¿Y si yo te dijera lo mismo? ¿Y si yo te dijera que puedes profesar tu doctrina de la Sagrada Verdad Revelada por los Santos Expertos privadamente, pero que deberías abstenerte de mencionarla en público, no vayas a confundir a algún incauto que te pudiera tomar en serio? Porque no pasa nada por que me digas esto a mí. Yo me río de tu necedad y ya está, pero si sigues con tu obsesión de decirle a todo el mundo lo que puede y no puede hacer, lo que debe verse y lo que debe ocultarse de la mirada de la gente, a algún infeliz confundirás algún día. (Sólo espero que nunca convenzas a ningún infeliz con poder para imponer tus dogmas.)

Pero parece que no has entendido lo que te ha dicho geómetracat, que la página que citas no dice lo que tú crees que dice. Hay algo más plasta que un fanático plasta, y es un fanático plasta que no sabe leer su Biblia. No quise señalarte lo que te ha advertido geómetracat (y que al parecer no has entendido), por no rebatirte con tus pseudoargumentos. Aunque en esa página realmente hubiera dicho lo que tú crees que dice, daría lo mismo. Lo que digan unos histéricos que dicen que les sangran los ojos si ven tal cosa escrita así o asá no tiene relevancia alguna. Si tú quieres ser la reencarnación de Phileas Fogg, allá tú, pero podrías abstenerte de hacer proselitismo entre quienes no estamos interesados en tus consejos. Y —siguiendo tu política— te recomendaría evitar el "problema" que supone que expongas tu religión normativa públicamente.

Yo sólo transmití un mensaje. :P

Probablemente, si hiciéramos un inventario de mantras repetidas por fanáticos de todo tipo, éste sería el más repetido.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 05 Noviembre, 2020, 08:10 pm
Por cierto, volviendo al tema, las traducciones de los axiomas de \( Z_{num} \) a \( AP_{2} \) me están costando de digerir, especialmente la del axioma de infinitud. De momento las he pasado un poco de puntillas aunque al terminar el capítulo les daré otra vuelta, a ver si las asimilo mejor.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 05 Noviembre, 2020, 10:25 pm
Por cierto, volviendo al tema, las traducciones de los axiomas de \( Z_{num} \) a \( AP_{2} \) me están costando de digerir, especialmente la del axioma de infinitud. De momento las he pasado un poco de puntillas aunque al terminar el capítulo les daré otra vuelta, a ver si las asimilo mejor.

Si precisas las dudas que tienes podemos intentar aclararlas, pero dicho así no sabría qué decirte.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 08 Noviembre, 2020, 08:39 pm
He empezado la relectura de la parte donde se define \( AP_{2} \) y lo primero en que profundizar es la relación de pertenencia \( A∈^{*}B\equiv{\exists{n}(0∈B_{n}\wedge{A}\approx{B^{+}_{n}})} \) y básicamente la parte de \( A\approx{B^{+}_{n}} \) que equivale a \( \forall{m}(0∈A_{m}\rightarrow{\exists{n}A_{m}=B^{+}_{n}})\wedge{\forall{n}(0∈B^{+}_{n}\rightarrow{\exists{m}B^{+}_{n}=A_{m}})} \)

Ello significa que los conjuntos \( A_{m} \) que componen A son todos aquellos que incluyen el 0 (obvio) y cada uno de los cuales es igual a algún conjunto \( B^{+}_{n} \), siendo ello para todos los n, dado que la relación de pertenencia es para todo n.

Por tanto, sabiendo que \( B^{+}=\{n|n+1∈B\} \) entonces realmente que \( A∈^{*}B \) equivale a que A sea “igual” a todos los \( B^{+}_{n} \), que no son más que los elementos de B a los que se resta 1. ¿Es así?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 08 Noviembre, 2020, 09:02 pm
Ello significa que los conjuntos \( A_{m} \) que componen A son todos aquellos que incluyen el 0 (obvio) y cada uno de los cuales es igual a algún conjunto \( B^{+}_{n} \), siendo ello para todos los n, dado que la relación de pertenencia es para todo n.

Por tanto, sabiendo que \( B^{+}=\{n|n+1∈B\} \) entonces realmente que \( A∈^{*}B \) equivale a que A sea “igual” a todos los \( B^{+}_{n} \), que no son más que los elementos de B a los que se resta 1. ¿Es así?

Pues no me cuadra mucho lo que dices. Estamos definiendo una relación \( A\in^* B \), donde, en sentido estricto, \( A \) y \( B \) son dos conjuntos de números naturales, pero queremos verlos como códigos de conjuntos de conjuntos de números naturales. El conjunto \( A \) está codificando el conjunto formado por todos los conjuntos \( A^+_n \) tales que \( 0\in A_n \). Lo mismo vale para \( B \).

Ahora, la relación \( A\approx B \) se cumple cuando \( A \) y \( B \) codifican la misma familia de conjuntos, es decir, cuando todo elemento de \( A \), es decir, todo \( A^+_n \) tal que \( 0\in A_n \), es igual a un \( B^+_m \) con \( 0\in B_m \) (aunque esto equivale a que \( A_n=B_n \) y es más corto), y viceversa.

Asegúrate de que ves esto claro: \( A\approx B \) significa que  \( A \) y \( B \) son códigos tal vez distintos para un mismo conjunto. Pueden ser distintos, por ejemplo, porque un mismo conjunto sea igual a siete conjuntos \( A^+_n \) y a doce conjuntos \( B^+_m \), por ejemplo, pero que al final aparezcan los mismos conjuntos en la lista, sin contar sus repeticiones.

Una vez entendido eso, lo que dice la relación de pertenencia es que \( A\in^*B \) significa que \( A \) es uno de los elementos de \( B \), es decir, uno de los conjuntos \( B^+_n \) con \( 0\in B_n \), pero no en el sentido de que sean el mismo código, sino que \( A \) y \( B^+_n \) codifican el mismo conjunto.

Si quieres desarrollar esto más (aunque no creo que contribuya a aclarar nada) esto significa que cada conjunto \( A^+_n \) con \( 0\in A_n \) es igual a un \( (B^+_n)^+_m \) con \( 0\in (B^+_n)_m \) y viceversa.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: manooooh en 08 Noviembre, 2020, 09:37 pm
Hola

Tengo una duda:

Ahora, la relación \( A\approx B \) se cumple cuando \( A \) y \( B \) codifican la misma familia de conjuntos, es decir, cuando todo elemento de \( A \), es decir, todo \( A^+_n \) tal que \( 0\in A_n \), es igual a un \( B^+_m \) con \( 0\in B_m \) (aunque esto equivale a que \( A_n=B_n \) y es más corto), y viceversa.

¿Podría decirse que la relación \( \approx \) como la defines es de equivalencia?

Gracias y saludos
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 08 Noviembre, 2020, 10:38 pm
¿Podría decirse que la relación \( \approx \) como la defines es de equivalencia?

Sí.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 09 Noviembre, 2020, 02:25 pm
A ver, voy a tomar un ejemplo.

Supongamos los siguientes conjuntos:
\( A_{0}=\{0,2,4\} \) que corresponde al conjunto \( A^{+}_{0}=\{1,3\} \)
\( A_{1}=\{0,1,3,5\} \) que corresponde al conjunto \( A^{+}_{1}=\{0,2,4\} \)

Así pues, \( A=\{\langle0,2\rangle,\langle0,4\rangle,\langle1,1\rangle,\langle1,3\rangle,\langle1,5\rangle\} \)

Ahora supongamos los siguientes conjuntos:
\( B_{0}=\{0,2\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{0}=\{1\} \)
\( B_{1}=\{0,4\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{1}=\{3\} \)
\( B_{2}=\{0,1\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{2}=\{0\} \)
\( B_{3}=\{0,3\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{3}=\{2\} \)
\( B_{4}=\{0,5\} \) que corresponde al conjunto \( B^{+}_{4}=\{4\} \)

Así pues, \( B=\{\langle0,2\rangle,\langle1,4\rangle,\langle2,1\rangle,\langle3,3\rangle,\langle4,5\rangle\} \)

Aunque en realidad B codifica el mismo conjunto de elementos que A, con lo que \( A\approx{B} \)

Ahora supongamos un conjunto C integrado solo por los conjuntos:
\( C_{0}=\{0,2\} \) que corresponde al conjunto \( C^{+}_{0}=\{1\} \)
\( C_{1}=\{0,4\} \) que corresponde al conjunto \( C^{+}_{1}=\{3\} \)

de forma que \( C=\{\langle0,2\rangle,\langle1,4\rangle\} \)

Por tanto, C codifica el mismo conjunto de elementos que \( A^{+}_{0} \) (\( C\approx{A^{+}_{0}} \) y \( 0\in{A_{0}} \)), de forma que podemos afirmar que \( C\in^*A \)

Y del mismo modo, podemos afirmar que \( C^{+}_{0} \) es igual a \( (A^{+}_{0})^{+}_{0} \) y que \( C^{+}_{1} \) es igual a \( (A^{+}_{0})^{+}_{1} \), en todos los casos con el 0 incluido en los correspondientes conjuntos sin superíndice +.

¿Es correcto?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 09 Noviembre, 2020, 09:25 pm
No, no es así. La verdad es que no consigo imaginar cómo lo estás pensando. No es cierto que \( A\approx B \) ni por asomo.

Ante todo, te dejas el \( 0 \) al codificar los conjuntos. Al conjunto \( A \) te falta ponerle los pares \( \left<0,0\right> \) y \( \left<1,0\right> \) para que \( A_0 \) y \( A_1 \) sean los que has dicho (y lo mismo le pasa a \( B \)). Pero, pasando eso por alto, ¿por qué dices que \( B \) codifica el mismo conjunto de elementos que \( A \) si tú mismo has probado que no es así?

El conjunto \( A \) (con los pares que le faltan) codifica un conjunto con dos elementos, que son los conjuntos \( \{1, 3\} \) y \( \{0, 2, 4\} \), mientras que el conjunto \( B \) codifica un conjunto con cinco elementos, que son los conjuntos \( \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\} \) ¡No se parecen en nada!

Un ejemplo de conjunto \( B \) que codifica el mismo conjunto que el conjunto \( A \) que has definido podría ser:

\( B = \{\left<0, 0\right>,\left<0, 1\right>, \left<0, 3\right>, \left<0, 5\right>, \left<1, 0\right>,\left<1, 2\right>, \left<1, 4\right>, \left<2, 0\right>, \left<2, 2\right>, \left<2, 4\right>, \left<3, 7\right>, \left<3, 9\right>, \left<4, 8\right>\} \)

Porque así \( B_0=A_1, B_1=A_0, B_2=A_0 \) y los demás \( B_n \) no cuentan porque no tienen al \( 0 \).

Antes de seguir con lo que dices después, sería conveniente aclarar esto. ¿Ves que \( A\approx B \) con mis ejemplos, pero no con los tuyos?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 09 Noviembre, 2020, 09:46 pm
Vale, han de ser exactamente los mismos conjuntos aunque pueda haber repeticiones y conjuntos que podemos ignorar por no tener el cero. Yo estaba considerando erróneamente los elementos de los conjuntos de tipo \( A^{+} \). Entendido.

En tu ejemplo entonces es evidente que si tenemos \( C=B_{0}=A_{1} \) está claro que \( C\in^{*}A \).

¿Qué sería un conjunto tipo \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 11 Noviembre, 2020, 04:18 pm
Creo que este hilo ha quedado aparcado.

Quedaba pendiente aclarar qué era el conjunto \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)

Me lanzo a la piscina. No sé muy bien si es correcto lo que planteo.

Veo que dicho concepto aparece en la traducción a \( AP_{2} \) del axioma de la unión, con lo que interpreto que ha de tener algo que ver con el conjunto de los elementos de los elementos.

Supongamos que tenemos

\( A_{0}=\{\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\} \) y por tanto \( A^{+}_{0}=\{\{0,1\},\{0,1,2\}\} \) entonces tendríamos
\( (A^{+}_{0})_{m_{0}}=\{0,1\} \)
\( (A^{+}_{0})_{m_{1}}=\{0,1,2\} \)

Y también
\( (A^{+}_{0})^{+}_{m_{0}}=\{0\} \)
\( (A^{+}_{0})^{+}_{m_{1}}=\{0,1\} \)

Entonces entiendo que podemos definir el conjunto unión Y:
\( Y=\{\langle\langle0,m_{0}\rangle,0\rangle, \langle\langle0,m_{0}\rangle,1\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,0\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,1\rangle, \langle\langle0,m_{1}\rangle,2\rangle\} \)

Y entonces está claro que puede haber un conjunto \( U \) tal que \( U\approx{(A^{+}_{0})^{+}_{m_{i}}} \) para algún \( m_{i} \) con \( 0\in{(A^{+}_{0})_{m_{i}}} \)

En este caso supongo que sería \( A=\{\langle0,m_{0}\rangle,\langle0,m_{1}\rangle\} \)
Lo que no sé es cuál sería el valor de \( m_{0} \) y de \( m_{1} \) al tratarse de conjuntos y no números.

Pero si no son conjuntos y son números entonces al bajar de niveles me encuentro que no hay ningún conjunto que pertenezca al conjunto unión Y, ya que entonces me encuentro con un solo conjunto tal que \( (A^{+}_{0})_{m}=\{0\} \) y al pasarlo a \( (A^{+}_{0})^{+}_{m} \) pasa a ser vacío, con lo que el único conjunto que pertenecería a la unión sería el conjunto vacío.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 11 Noviembre, 2020, 05:24 pm
Creo que este hilo ha quedado aparcado.

Quedaba pendiente aclarar qué era el conjunto \( (A^{+}_{n})^{+}_{m} \)

Disculpa. No vi la pregunta.

Para eso, lo que tienes que tener presente es que \( \left<m, n\right> \) no es ninguna clase de objeto nuevo, sino que es un número natural. Y todo números natural es de la forma  \( \left<m, n\right> \) para unos únicos números naturales \( m \) y \( n \).

Explícitamente (definición 5.14):

\( \displaystyle \left<x, y\right>=\frac{(x+y)(x+y+1)}2+x \).

Así, dado un conjunto

\( A=\{\left<0,0\right>,\left<0,4\right>,\left<0,7\right>,\left<1,0\right>,\left<1,6\right>,\left<1,9\right>,\left<1,13\right>\} \)

tenemos que \( A_0=\{0, 4, 7\} \), luego \( A_0^+=\{3,6\} \), mientras que \( A_1=\{0, 6, 9, 13\} \), luego \( A_1^+=\{5,8,12\} \).

Si ahora quieres calcular, por ejemplo, \( (A_1^+)^+_2 \), necesitas expresar los elementos de \( A^+_1 \) como pares y —si no me he equivocado en las cuentas— son  \( A_1^+=\{\left<2, 0\right>,\left<2,1\right>,\left<2,2\right> \} \) y, viéndolo así, ya podemos concluir que

\( (A_1^+)_2=\{0,1,2\} \), luego \( (A_1^+)_2^+=\{0,1\} \).

En resumen: \( A_n \) y \( A_n^+ \) están definidos para cualquier conjunto de números naturales \( A \). Para calcularlos, lo primero que tienes que hacer es expresar los elementos de \( A \) como pares y luego hacer lo de siempre.  Así, como \( A_n^+ \) es otro conjunto de números naturales, nada te impide volver a calcular a partir de él \( (A_n^+)_m^+ \), tomando \( A_n^+ \) como conjunto de partida.

Lo que dices de la unión no tiene mucho sentido:

Supongamos que tenemos

\( A_{0}=\{\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\} \) y por tanto \( A^{+}_{0}=\{\{0,1\},\{0,1,2\}\} \) entonces tendríamos
\( (A^{+}_{0})_{m_{0}}=\{0,1\} \)
\( (A^{+}_{0})_{m_{1}}=\{0,1,2\} \)

Pero eso no es así. \( A_0 \) no puede ser un conjunto cuyos elementos sean dos conjuntos. Aquí sólo tenemos conjuntos de números naturales. Los elementos son números naturales necesariamente, no conjuntos de números naturales. \( A_0^+ \) no estaría definido para el conjunto \( A_0 \) que escribes.

Poner un ejemplo concreto que no resulte bobo para el axioma de la unión es un tanto laborioso, porque hay que definir ejemplos explícitos de conjuntos y meterlos unos dentro de otros. Ahora mismo no tengo tiempo de hacer cuentas. En cuanto pueda te calculo un ejemplo.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 11 Noviembre, 2020, 05:47 pm
Entendido. Si se expresa cualquier número natural como par, entonces tiene todo el sentido. Ya veía que para el conjunto A se tomaba el par \( \langle{n,m}\rangle \) para codificar el elemento pero no había caído que para los \( A_{n} \) se podía hacer exactamente lo mismo. Muchísimas gracias.

Ahora en principio las traducciones a \( AP_{2} \) de los axiomas me son comprensibles, excepto la del axioma de infinitud, que tiene algunos términos diferentes. Cuando tenga un momento la releo y planteo las dudas.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 11 Noviembre, 2020, 08:55 pm
Ahora en principio las traducciones a \( AP_{2} \) de los axiomas me son comprensibles, excepto la del axioma de infinitud, que tiene algunos términos diferentes. Cuando tenga un momento la releo y planteo las dudas.

Pues si no necesitas el ejemplo, me lo ahorro, porque para presentar conjuntos concretos hay que codificar algunos conjuntos sencillos, como \( \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \), etc., y ello conlleva varios niveles de códigos, lo que resulta un tanto pesado de calcular.
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 11 Noviembre, 2020, 10:58 pm
¡Bah! No me gusta ser perezoso. Aquí van algunos cálculos:

\( A=\emptyset \) codifica el conjunto \( 0=\emptyset \).

\( B=\{\left<0,0\right>\}=\{0\} \) codifica el conjunto \( 1=\{0\} \).

\( C=\{\left<0, 0\right>, \left<1,0\right>,\left<1,1\right>\}=\{0, 2, 4\} \) codifica \( 2=\{0,1\} \).

\( D=\{\left<0,0\right>,\left<1,0\right>,\left<1,1\right>,\left<1,3\right>,\left<1,5\right>\}=\{0,2,4,11,22\} \) codifica \( \{0,2\} \).

\( X=\{\left<0,0\right>,\left<0,1\right>,\left<0,3\right>,\left<0,5\right>,\left<1,0\right>,\left<1,1\right>,\left<1,3\right>,\left<1,5\right>,\left<1,{\color{red}12}\right>,\left<1,{\color{red}23}\right>\} \)

\( = \{0,1,6,15,2,4,11,22,{\color{red}92, 301}\} \) codifica \( \{\{0,1\},\{0,2\}\} \).

La prueba del axioma de la unión muestra cómo construir a partir de \( X \) un conjunto de números naturales que codifique el conjunto \( \bigcup\{\{0,1\},\{0,2\}\}=\{0,1\}\cup \{0,2\}=\{0, 1, 2\} \).
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: JordiMath en 12 Noviembre, 2020, 12:44 am
¿Los últimos dos pares del conjunto X no deberían ser \( \langle{1,12}\rangle,\langle{1,23}\rangle \)?
Título: Re: Aritmética de Peano de segundo orden
Publicado por: Carlos Ivorra en 12 Noviembre, 2020, 12:51 am
¿Los últimos dos pares del conjunto X no deberían ser \( \langle{1,12}\rangle,\langle{1,23}\rangle \)?

Corregido, gracias.