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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: w a y s en 22 Septiembre, 2020, 07:40 pm

Título: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: w a y s en 22 Septiembre, 2020, 07:40 pm
Hola buenas, necesito ayuda para determinar si las dos proposiciones sigueintes son equivalentes.

   -Si P y Q entonces C.
   -Si P y no C entonces no Q.


Sería magnífico si alguien con más conociemientos de lógica que yo pudiese ayudarme a resolver esta cuestión.

Gracias de antemano
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: robinlambada en 22 Septiembre, 2020, 08:15 pm
Hola:
Hola buenas, necesito ayuda para determinar si las dos proposiciones sigueintes son equivalentes.

   -Si P y Q entonces C.
   -Si P y no C entonces no Q.


Sería magnífico si alguien con más conociemientos de lógica que yo pudiese ayudarme a resolver esta cuestión.

Gracias de antemano

Aunque no soy especialista en lógica , dos proposiciones son equivalentes \( (1)\Longleftrightarrow{}(2) \) si y solo si \( (1)\Rightarrow{(2)} \) y \( (2)\Rightarrow{(1)} \)

Siendo: (1) Si P y Q entonces C.
             (2) Si P y no C entonces no Q.

Puedes probar tanto  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) como  \( (2)\Rightarrow{(1)} \) , por reducción al absurdo.

Empiezo  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) :

Suponemos cierto (1) que P y Q entonces C. y falso (2)  P y no C entonces no Q, (es decir también considera P y no C entonces si Q es verdadero) , debes llegar a un absurdo.

Saludos.
P.D.: Lo escrito en azul es añadido.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: w a y s en 23 Septiembre, 2020, 08:57 pm
Hola:
Hola buenas, necesito ayuda para determinar si las dos proposiciones sigueintes son equivalentes.

   -Si P y Q entonces C.
   -Si P y no C entonces no Q.


Sería magnífico si alguien con más conociemientos de lógica que yo pudiese ayudarme a resolver esta cuestión.

Gracias de antemano

Aunque no soy especialista en lógica , dos proposiciones son equivalentes \( (1)\Longleftrightarrow{}(2) \) si y solo si \( (1)\Rightarrow{(2)} \) y \( (2)\Rightarrow{(1)} \)

Siendo: (1) Si P y Q entonces C.
             (2) Si P y no C entonces no Q.

Puedes probar tanto  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) como  \( (2)\Rightarrow{(1)} \) , por reducción al absurdo.

Empiezo  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) :

Suponemos cierto (1) que P y Q entonces C. y falso (2)  P y no C entonces no Q, (es decir considera P y no C entonces si Q) , debes llegar a un absurdo.

Saludos.


Hola, tu respuesta me sirvió de mucha ayuda, ahora ya sé demostrar que esas dos proposiciones son equivalentes y así me aseguro de poder usar esa equivalencia en mis exámenes, muchas gracias por tu ayuda.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: robinlambada en 23 Septiembre, 2020, 11:02 pm
Hola:
Hola buenas, necesito ayuda para determinar si las dos proposiciones sigueintes son equivalentes.

   -Si P y Q entonces C.
   -Si P y no C entonces no Q.


Sería magnífico si alguien con más conociemientos de lógica que yo pudiese ayudarme a resolver esta cuestión.

Gracias de antemano

Aunque no soy especialista en lógica , dos proposiciones son equivalentes \( (1)\Longleftrightarrow{}(2) \) si y solo si \( (1)\Rightarrow{(2)} \) y \( (2)\Rightarrow{(1)} \)

Siendo: (1) Si P y Q entonces C.
             (2) Si P y no C entonces no Q.

Puedes probar tanto  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) como  \( (2)\Rightarrow{(1)} \) , por reducción al absurdo.

Empiezo  \( (1)\Rightarrow{(2)} \) :

Suponemos cierto (1) que P y Q entonces C. y falso (2)  P y no C entonces no Q, (es decir considera P y no C entonces si Q) , debes llegar a un absurdo.

Saludos.


Hola, tu respuesta me sirvió de mucha ayuda, ahora ya se demostrar que esas dos proposiciones son equivalentes y así me aseguro de poder usar esa equivalencia en mis exámenes, muchas gracias por tu ayuda.
De nada, un comenterio más, fíjate la simetría de la primera proposición que implica que haya una tercera proposición equivalente a ambas, que sería
:
(3) Si Q y no C entonces no P. (P y Q son intercambiables)

Saludos.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: martiniano en 26 Septiembre, 2020, 12:10 am
Hola.

Se me olvidó comentar esto el otro día.

Suponemos cierto (1) que P y Q entonces C. y falso (2)  P y no C entonces no Q, (es decir considera P y no C entonces si Q) , debes llegar a un absurdo.

Cuidado. La proposición negada de (2) no es: P y no C entonces Q.

Toma:

\( P: x \in{\mathbb{R}} \)
\( C: x \in{\mathbb{Q}} \)
\( Q: x =\sqrt[ ]{2} \).

Ambas proposiciones son falsas.

Aún así considero cierto el enunciado. Lo que yo hubiese hecho es quitar los si... entonces... :

\( P\wedge Q\rightarrow{ C}\;\Leftrightarrow{\;}\overline{P\wedge Q}\vee C\;\Leftrightarrow{\;}\overline{P}\vee\overline{Q}\vee C \).

Y con la otra parecido para llegar a la misma expresión.

Un saludo.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: robinlambada en 26 Septiembre, 2020, 10:29 am
Hola.
Hola.

Se me olvidó comentar esto el otro día.

Suponemos cierto (1) que P y Q entonces C. y falso (2)  P y no C entonces no Q, (es decir considera P y no C entonces si Q) , debes llegar a un absurdo.

Cuidado. La proposición negada de (2) no es: P y no C entonces Q.
No he dicho que sea la negada, si es cierto que he podido dar eso a entender y me podía haber expresado mejor. Pero en todo caso he dejado claro al principio que la demostración sería por reducción al absurdo.

 Quería decir que supongamos que (2) es falso y cierto lo contrario ( P y no C entonces si Q)


Citar

Toma:

\( P: x \in{\mathbb{R}} \)
\( C: x \in{\mathbb{Q}} \)
\( Q: x =\sqrt[ ]{2} \).

Ambas proposiciones son falsas.

Yo he dado por hecho que ambas proposiciones son ciertas, he asumido que la equivalencia se debe cumplir ,o al menos es relevante, cuando ambas proposiciones se toman por ciertas.

Gracias martiniano por  la puntualización.

Saludos.



Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: martiniano en 26 Septiembre, 2020, 11:09 am
Hola robinlambada.

Perdona que insista pero es que creo que es posible que no me hayas entendido.

Quería decir que supongamos que (2) es falso y cierto lo contrario ( P y no C entonces si Q  )

¿Ahí no estás diciendo que lo contrario de (2) es lo que te marco en rojo?

Un saludo.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: robinlambada en 26 Septiembre, 2020, 11:25 am
Hola robinlambada.

Perdona que insista pero es que creo que es posible que no me hayas entendido.

Quería decir que supongamos que (2) es falso y cierto lo contrario ( P y no C entonces si Q  )

¿Ahí no estás diciendo que lo contrario de (2) es lo que te marco en rojo?

Un saludo.
Si cierto, lo he dicho.  Es verdad que no es lo contrario del enunciado,  me refiero a que lo contrario de No Q es  Si Q.
Saludos.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: martiniano en 26 Septiembre, 2020, 11:38 am
Claro. A eso me refiero. Para probar que (1) implica (2) por reducción al absurdo hay que probar que el contrario de (2) implica el contrario de (1). ¿No?

Un saludo.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: geómetracat en 26 Septiembre, 2020, 12:09 pm
Claro. A eso me refiero. Para probar que (1) implica (2) por reducción al absurdo hay que probar que el contrario de (2) implica el contrario de (1). ¿No?

No necesariamente. Eso sería una prueba por contrarrecíproco. Por probar algo por reducción al absurdo normalmente se entiende suponer que lo que quieres probar es falso y llegar a una contradicción. Aunque muchas veces, sobre todo en el caso de implicaciones viene a ser equivalente.

Aplicado a este caso sería: suponemos que \( (1) \to (2) \) es falso (es decir, que \( (1) \) es verdadero y \( (2) \) es falso) y llegamos a una contradicción.

Es decir, suponemos que \( p \wedge q \to c \) es verdadero pero \( p\wedge \neg c \to \neg q \) es falso. Que sea falso quiere decir que \( p \wedge \neg c \) es verdadero y \( \neg q \) es falso, es decir, que \( p \) es verdadero, \( q \) es verdadero y \( c \) es falso. Pero como la implicación \( (1) \) es verdadera, y \( p,q \) son verdaderas, \( c \) debería ser verdadera, contradicción.

Esto sería una prueba por reducción al absurdo de que \( (1) \to (2) \).

Por cierto, que para este tipo de problemas (probar que dos fórmulas de lógica proposicional son equivalentes) si hay pocas variables como es el caso siempre hay el recurso algorítmico de hacer las tablas de verdad y comprobar si son iguales o no.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: martiniano en 26 Septiembre, 2020, 01:45 pm
Hola.

Es decir, suponemos que \( p \wedge q \to c \) es verdadero pero \( p\wedge \neg c \to \neg q \) es falso. Que sea falso quiere decir que \( p \wedge \neg c \) es verdadero y \( \neg q \) es falso, es decir, que \( p \) es verdadero, \( q \) es verdadero y \( c \) es falso. Pero como la implicación \( (1) \) es verdadera, y \( p,q \) son verdaderas, \( c \) debería ser verdadera, contradicción.

Esto sería una prueba por reducción al absurdo de que \( (1) \to (2) \).

Vale, sí. Eso sí que lo veo. Gracias.

Un saludo.
Título: Re: Demostrar que esta dos proposiciones son equivalentes.
Publicado por: feriva en 26 Septiembre, 2020, 06:59 pm
Yo lo veo así, no sé si estaré equivocado en la forma de plantearlo:

Si son equivalente se puede decir que lo que funciona en una tiene que funcionar en otra; entonces podemos escribir “sustituyendo” la “letra”; lo hacemos:

-Si P y Q, entonces C.

-Si P y no (P y Q)... entonces ¿qué pasa?

Como sí que ocurre P y no (P y Q) se deduce que tiene que ser “no Q” para que sea equivalente (aunque no lo dijera el enunciado) porque de lo contrario sería “Sí C”, contradiciendo la primera proposición (vamos, para quede más claro tendría valor de verdad contradictorio)

Saludos.