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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: manooooh en 13 Agosto, 2018, 09:40 am

Título: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 13 Agosto, 2018, 09:40 am
Hola!

Dadas

\( \begin{matrix}
(P_1)&\exists x:&p(x)\vee q(x)\\\\
(P_2)&\forall x:&q(x)\Rightarrow r(x)\\\\
(P_3)&\exists x:&\neg r(x)\\\\\hline\\
(C_1)&\exists x:&p(x)\\\\
(C_2)&\exists x:&p(x)\vee r(x):
\end{matrix} \)

1) \( C_1 \) y \( C_2 \) son válidas;

2) \( C_1 \) es válida y \( C_2 \) inválida;

3) \( C_1 \) es inválida y \( C_2 \) válida;

4) \( C_1 \) y \( C_2 \) son inválidas.




Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).



Lo que yo pensé fue:

Supongamos que las premisas son verdaderas. Es claro que entre las premisas no hay ninguna contradicción, salvo quizás la función \( r(x) \) (*).

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \), y de acá se concluye \( (C_1) \).

Luego, como existe un \( x \) que hace \( p(x) \) verdadera, al agregar cualquier otra función proposicional con una disyunción (por ejemplo un \( x \) que cumpla \( r(x) \)) se concluye que \( C_2 \) también es válida.

Por tanto ambas conclusiones son válidas, o sea la opción correcta es la 1).



(*): me di cuenta de esto que quizás haga inválido todo mi razonamiento anterior. Así que otra opción que se me ocurre es que como las premisas son contradictorias, se puede concluir que el razonamiento es válido, en particular ambas conclusiones lo son. Por tanto la respuesta correcta es la 1).



Al menos uno de los dos razonamientos tiene que estar mal, ¿cuál es? ¿Son los dos? ¿Cómo se resuelve?

Gracias!
Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: martiniano en 13 Agosto, 2018, 02:37 pm
Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: martiniano en 13 Agosto, 2018, 02:45 pm
Hola, perdón, se me había olvidado para resolverlo...

\( C_1 \) me sale falsa. Búscate un contraejemplo sencillo.

Para demostrar \( C_2 \) considera dos casos: \( \exists{x}:p(x) \) y no existe x tal que \( p(x) \)

Si quedas atascado en algo avisa. Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: feriva en 13 Agosto, 2018, 03:47 pm

Hola, manooooh

A ojo sobre la pantalla me sale lo que a martiniano (antes de haber visto su respuesta).

Por si te sirve para refrendar algo (tratándose de mí seguro que ahora dudarás :D )

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 13 Agosto, 2018, 05:14 pm
Hola

feriva, ¡de tus errores también se aprende! :laugh:

martiniano:

Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Gracias por la observación. Tenía en mente que podía llegar a confusión, pero lo que utilicé fue el recurso de ya haber dicho que era una disyunción:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \), y de acá se concluye \( (C_1) \).

Al hacer una enumeración de funciones proposicionales unidas por \( \vee \) pensé que se entendería que la operación es la disyunción, no otra. Así que lo que quise decir fue \( \exists x:p(x)\vee\exists x:q(x) \).

¿Sigue invalidando mi razonamiento?



Por otra parte, no puedo buscar un contraejemplo :(.

Imponiendo valores de verdad, de la premisa tres \( (P_3) \) si \( \neg r(x) \) es verdadero, \( r(x) \) es falso.

Vamos a la \( (P_2) \): como tenemos \( \forall x:q(x)\Rightarrow\text F \) se cumple para uno en particular, es decir \( q(a)\Rightarrow\text F \). Como asumimos que las premisas deben ser verdaderas para que esa implicación lo sea debe ser \( V[q(a)]=\text F \).

Y por último vamos a la \( (P_1) \): si existe un \( x \) también existe un \( a \). Luego \( p(a)\vee\text F \). Como asumimos que son verdaderas, \( V[p(a)\vee\text F]=\text V\;\Leftrightarrow\;V[p(a)]=\text V \).

No hemos encontrado contradicciones. De hecho, creo que es el único camino usando valores de verdad, puesto que ya desde la tercera premisa "implica" a las otras.

Por tanto, con los valores de verdad hallados, vale decir \( V[p(x)]=\text V \), \( V[q(x)]=V[r(x)]=\text F \), y las conclusiones se satisfacen, puesto que la primera es verdadera y la segunda es \( \text V\vee\text F\equiv\text V \).

¿En qué me estoy equivocando? De seguro en no ver que entre las premisas 2 y 3 se asegura que "para todo \( x \) hay un \( r(x) \)", pero la 3 dice "existe un \( x \) tal que \( \neg r(x) \)", pero vean, ¡no llegué a ninguna contradicción! ???.

También, me gustaría recibir ayuda en esto, por favor:

Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).

EDIT: el quote que hago es lo que hice en parte (particularizar), lo que no hice fue considerarlas como proposiciones (o sea unir a las premisas con conjunciones y a través de operaciones lógicas llegar o no a las conclusiones). Así que si me lo corrigen estarían resolviendo en parte esta otra duda.

Saludos y desde ya gracias
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: martiniano en 13 Agosto, 2018, 07:40 pm
Hola manooooh.

Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Gracias por la observación. Tenía en mente que podía llegar a confusión, pero lo que utilicé fue el recurso de ya haber dicho que era una disyunción:

Vale, vale, ahora te entiendo, yo sí que me he confundido entonces  :D.

Imponiendo valores de verdad, de la premisa tres \( (P_3) \) si \( \neg r(x) \) es verdadero, \( r(x) \) es falso.

Lo que dices es cierto, pero no creo que haga falta recurrir a la premisa 3 para deducirlo... Y la verdad es que lo de la siguiente cita no lo entiendo:

Vamos a la \( (P_2) \): como tenemos \( \forall x:q(x)\Rightarrow\text F \) se cumple para uno en particular, es decir \( q(a)\Rightarrow\text F \). Como asumimos que las premisas deben ser verdaderas para que esa implicación lo sea debe ser \( V[q(a)]=\text F \).

Y lo siguiente tampoco:

Y por último vamos a la \( (P_1) \): si existe un \( x \) también existe un \( a \). Luego \( p(a)\vee\text F \). Como asumimos que son verdaderas, \( V[p(a)\vee\text F]=\text V\;\Leftrightarrow\;V[p(a)]=\text V \).

Mira a ver si con este contraejemplo entiendes que   \( C_1 \)   no es válida:

Spoiler
\( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \)

\( q(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 9 \)

\( r(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 3 \)
[cerrar]

Y ahora te cuento lo que haría yo para demostrar la segunda:

Spoiler
Diferenciemos dos casos, el primero:
\( \exists{}x:p(x)\;\Rightarrow{}\;\exists{x}:p(x)\vee r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida

CORREGIDO

El segundo:
No existe \( x \) tal que \( p(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}q(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}r(x)\;\exists{x:}p(x)\vee\,r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida
[cerrar]

No sé si es la respuesta que esperabas, pero es lo que yo veo. Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 13 Agosto, 2018, 07:50 pm
Hola

Perdón por la notación. Con \( V[p(x)] \) me refiero al valor de verdad de la función proposicional (verdadero V, falso F). Lo que he hecho ha sido deducir qué valores de verdad tienen que tener cada una de las proposiciones y deducir si las conclusiones son válidas o no.

(...)
No sé si es la respuesta que esperabas, pero es lo que yo veo.

Veo que la primer premisa es falsa, pero ¿no es que debemos suponerla verdadera? ???.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: martiniano en 13 Agosto, 2018, 08:03 pm
Hola.

A ver, yo entiendo que nos están pidiendo que digamos si se pueden demostrar \( C_1 \) y \( C_2 \) a partir de \( P_1, P_2 \) y \( P_3 \). Mi respuesta es que \( C_1 \) no se puede demostrar, ya que no siempre es válida, como muestra el contraejemplo que he propuesto. \( C_2 \) sí me parece válida por las razones que he expuesto también. ¿Tú no interpretas así el enunciado?

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 13 Agosto, 2018, 08:12 pm
No tengo mucho tiempo últimamente y no me he leído con detalle los mensajes anteriores. Me limito a presentar una solución del problema.

Deducción de \( C_2 \):

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\lor q(x))&\mbox{Premisa}\\
2) &\forall x(q(x)\rightarrow r(x))&\mbox{Premisa}\\
3)& p(x)\lor q(x)&\mbox{Eliminación del particularizador 1)}\\
4)& \lnot p(x)&\mbox{Hipótesis}\\
5)& q(x)&\mbox{Modus tolendo ponens 3,4)}\\
6)&q(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Eliminación del generalizador 2)}\\
7) &r(x)&\mbox{Modus ponens 5, 6)}\\
8)&\lnot p(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Conclusión de 4, 7)}\\
9)& p(x)\lor r(x)&\mbox{Equivalencia disyunción-implicación 8)}\\
10)&\exists x(p(x)\lor r(x))&\mbox{Introducción del particularizador 9)}
\end{array}
 \)

Demostración de que \( C_1 \) no es deducible de las premisas:

Tomamos un universo formado por dos objetos \( U=\{a,b\} \), de modo que \( a \) cumple \( q \) y \( r \), pero no \( p \) y \( b \) no cumple ni \( p \), ni \( q \) ni \( r \).

Entonces, la primera premisa se cumple con \( x=a \), la segunda se cumple porque  \( q(a)\rightarrow r(a) \) (la hipótesis y la tesis son verdaderas) y también \( q(b)\rightarrow r(b) \) (la hipótesis y la tesis son falsas), la tercera premisa se cumple con \( x = b \).

Por lo tanto, las tres premisas son vedaderas, pero \( C_1 \) es falsa, ya que ni \( a \) ni \( b \) cumplen \( p \). Por lo tanto,  \( C_1 \)  no es consecuencia de las premisas.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 02:58 am
Hola

Muchas gracias por sus comentarios. Sepan entender que hoy estoy un poco duro para aprender de sus respuestas.

martiniano:

Sí, te entiendo mejor ahora.

A ver, yo entiendo que nos están pidiendo que digamos si se pueden demostrar \( C_1 \) y \( C_2 \) a partir de \( P_1, P_2 \) y \( P_3 \). Mi respuesta es que \( C_1 \) no se puede demostrar, ya que no siempre es válida, como muestra el contraejemplo que he propuesto. \( C_2 \) sí me parece válida por las razones que he expuesto también. ¿Tú no interpretas así el enunciado?

Lo interpreto como vos mencionás.

Mira a ver si con este contraejemplo entiendes que \( {\color{red}\bf P_1} \) no es válida:

Spoiler
\( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \)

\( q(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 9 \)

\( r(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 3 \)
[cerrar]

Y ahora te cuento lo que haría yo para demostrar la segunda:

Spoiler
Diferenciemos dos casos, el primero:
\( \exists{}x:p(x)\;\Rightarrow{}\;\exists{x}:p(x)\vee r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida

CORREGIDO

El segundo:
No existe \( x \) tal que \( p(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}q(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}r(x)\;\exists{x:}p(x)\vee\,r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida
[cerrar]

Lo que está en rojo no lo entiendo. ¿No debería decir \( C_1 \)?

Ahhhh, ahora entiendo lo otro. ¡Yo tomé a la \( P_1 \) como una proposición sola (la \( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \))! Y la verdad es que: 1) \( (P_1) \) no es una proposición sino una premisa, y 2) \( p(x)\vee q(x) \) es verdadera, no como dije yo antes. Ha sido mi error.



Carlos:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\lor q(x))&\mbox{Premisa}\\
2) &\forall x(q(x)\rightarrow r(x))&\mbox{Premisa}\\
3)& p(x)\lor q(x)&\mbox{Eliminación del particularizador 1)}\\
4)& \lnot p(x)&\mbox{Hipótesis}\\
5)& q(x)&\mbox{Modus tolendo ponens 3,4)}\\
6)&q(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Eliminación del generalizador 2)}\\
7) &r(x)&\mbox{Modus ponens 5, 6)}\\
8)&\lnot p(x)\rightarrow r(x)&\mbox{Conclusión de 4, 7)}\\
9)& p(x)\lor r(x)&\mbox{Equivalencia disyunción-implicación 8)}\\
10)&\exists x(p(x)\lor r(x))&\mbox{Introducción del particularizador 9)}
\end{array}
 \)

Dos preguntas:

¿Por qué no agregás la \( (P_3) \)?

Y, no entiendo cómo llegás al paso \( 4) \), porque se parece mucho a decir "\( 4)\quad\neg{\color{red}r}(x)\quad{\color{red}\text{Premisa}} \)" pero no es a lo que apuntabas.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: martiniano en 14 Agosto, 2018, 08:37 am
Hola


Mira a ver si con este contraejemplo entiendes que \( {\color{red}\bf P_1} \) no es válida:

Spoiler
\( p(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural menor que \( -1 \)

\( q(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 9 \)

\( r(x)\;\Leftrightarrow{}\;x \) es un número natural múltiplo de \( 3 \)
[cerrar]

Y ahora te cuento lo que haría yo para demostrar la segunda:

Spoiler
Diferenciemos dos casos, el primero:
\( \exists{}x:p(x)\;\Rightarrow{}\;\exists{x}:p(x)\vee r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida

CORREGIDO

El segundo:
No existe \( x \) tal que \( p(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}q(x)\;\Rightarrow{\;}\exists{x:}r(x)\;\exists{x:}p(x)\vee\,r(x)\;\Rightarrow{\;}C_2 \) es válida
[cerrar]

Lo que está en rojo no lo entiendo. ¿No debería decir \( C_1 \)?

Sí, tienes razón. Me he liado.

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Agosto, 2018, 09:29 am
Dos preguntas:

¿Por qué no agregás la \( (P_3) \)?

Cuando Napoleón le preguntó a Laplace cómo era posible que en su Tratado de mecánica celeste no mencionaba a Dios en ningún momento, éste le respondió: "Sire, no he necesitado esa hipótesis".

Pues lo mismo pasa aquí.

Y, no entiendo cómo llegás al paso \( 4) \), porque se parece mucho a decir "\( 4)\quad\neg{\color{red}r}(x)\quad{\color{red}\text{Premisa}} \)" pero no es a lo que apuntabas.

No llego a ello de ningún sitio. En cualquier momento de una deducción puedes suponer lo que quieras, en este caso \( \lnot p(x) \) y, si al cabo de unos pasos llegas a otra cosa, como en este caso \( r(x) \) en la línea 7, puedes concluir que \( \lnot p(x)\rightarrow r(x) \) (si suponiendo \( A \) deduces \( B \), es que se cumple \( A\rightarrow B \)). Eso sí, luego ya no puedes usar las líneas entre la hipótesis y la conclusión, porque no son consecuencias de las premisas, sino que usan una premisa adicional que no puedes dar por cierta. Sólo la has supuesto temporalmente para demostrar la implicación.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 10:22 am
Hola

Los he entendido a todos. Si tengo alguna duda vuelvo a retomar el hilo. Muchísimas gracias.

Para concluir, miren lo que encontré en un libro que leí hace unos meses sobre Laplace......:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=105713.0;attach=20027)

Carlos casi nunca se equivoca en sus mensajes, y eso me hace sentir más humano... ;D :P.

Saludos

Cita de: Laplace a Lagrange
En todo caso, no deja de ser una bella inútil hipótesis.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Agosto, 2018, 11:00 am
Carlos casi nunca se equivoca en sus mensajes, y eso me hace sentir más humano... ;D :P.

No cabe duda de que me equivoco de tanto en tanto, incluso con más frecuencia de lo que sería deseable, pero la verdad es que en este caso no entiendo a qué te refieres. Si es porque mi versión de la frase no es exactamente la que pone en el libro, no puedes tener eso en cuenta, porque se trata de dos traducciones del francés. El original usa la expresión "avoir besoin de", que se traduce habitualmente por "necesitar", aunque "tener necesidad" es una traducción más literal.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 11:03 am
Carlos casi nunca se equivoca en sus mensajes, y eso me hace sentir más humano... ;D :P.

No cabe duda de que me equivoco de tanto en tanto, incluso con más frecuencia de lo que sería deseable, pero la verdad es que en este caso no entiendo a qué te refieres. Si es porque mi versión de la frase no es exactamente la que pone en el libro, no puedes tener eso en cuenta, porque se trata de dos traducciones del francés. El original usa la expresión "avoir besoin de", que se traduce habitualmente por "necesitar", aunque "tener necesidad" es una traducción más literal.

¿Por qué todos malinterpretan lo que quiero transmitir? :(. No me refería a eso, es claro que viene de una traducción y es subjetivo de quien lo lee.  Me refería a que muy pocas veces he visto que te has confundido en tus mensajes que leí. Perdón el malentendido... mejoraré mi redacción.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Agosto, 2018, 11:11 am
¿Por qué todos malinterpretan lo que quiero transmitir? :(. No me refería a eso, es claro que viene de una traducción y es subjetivo de quien lo lee.  Me refería a que muy pocas veces he visto que te has confundido en tus mensajes que leí. Perdón el malentendido... mejoraré mi redacción.

Ah, pues no te había entendido, pero no, la verdad es que si buscas bien en mi historial verás errores que, afortunadamente, si no los detecta alguien antes, no se le escapan al siempre atento Luis.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 11:19 am
Ah, pues no te había entendido, pero no, la verdad es que si buscas bien en mi historial verás errores que, afortunadamente, si no los detecta alguien antes, no se le escapan al siempre atento Luis.

(Y Carlos contraataca) es que da gusto leerte pero si te soy sincero no te he encontrado muchos errores. A otros usuarios que colaboran también me gusta leerlos, es una pena que algunos de ellos no hayan sacado algún libro.

Hablando de Luis, ¿dónde está? Se lo extraña participando. Hace semanas que no lo veo por aquí. ¿Se quedó festejando tus 50 quizás? Jaja (lo invitaste y quizás se perdió por ahí, o vaya a saber qué le pasó).

Saludos y perdón por la cantidad de off-topics
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Agosto, 2018, 11:33 am
Pues supongo que Luis estará de vacaciones. No sé si te has parado a pensar en las consecuencias climatológicas que tiene el hecho de que vivimos en hemisferios opuestos y sus repercusiones laborales.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 11:36 am
¿No es que Luis y vos viven en España?

Si te referías al trecho de distancia que nos separa pues no; como vos estás últimamente en el foro (con poco tiempo, lo sé) pensé que Luis también estaría. Pero no es así. Acá me parece que vendría bien que yo recuerde lo dicho por Laplace... (¿necesito suponer que hay algún tipo de relación laboral/territorial entre Luis y Carlos?) :laugh:.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 14 Agosto, 2018, 12:07 pm
¿No es que Luis y vos viven en España?

Si te referías al trecho de distancia que nos separa pues no; como vos estás últimamente en el foro (con poco tiempo, lo sé) pensé que Luis también estaría. Pero no es así. Acá me parece que vendría bien que yo recuerde lo dicho por Laplace... (¿necesito suponer que hay algún tipo de relación laboral/territorial entre Luis y Carlos?) :laugh:.

Saludos

Me refiero a que ahora en España es pleno verano y no invierno. Por lo que agosto es el més más habitual para tomarse unas vacaciones.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: feriva en 14 Agosto, 2018, 01:23 pm
Hola

feriva, ¡de tus errores también se aprende! :laugh:



Por eso no me han echado todavía del foro :D

Mira a ver si esto que se me ha ocurrido sería acorde con el problema:

Spoiler

Empiezo desde la última, P3, hacia arriba.

Supongamos que x son los naturales.

imagina que r(x) significa:

“r es un número tal que dividido entre 2 da un natural”

Entonces es verdad que existen algunos “x” tal que r(x) es falsa, los impares.

...

Subimos a la otra proposición.

\( q(x)\Rightarrow r(x)
  \) para todo x.

Si q(x) son los pares, la implicación es cierta para todo x, pues tomando “q(x)=2x” puedes dar cualquier valor a x.

...

Subimos a la primera proposición.

Si p(x) son los impares, es cierta la disyunción para todo x; luego existen valores de x tal que eso es verdad.

...

Miramos la conlcusión C2: p(x) ó r(x); es cierta, pues p(x) son los impares y r(x) los números divisibles entres 2, o sea los pares; y un número no puede ser par e impar a la vez.

C1 es entonces obviamente falsa, pues es falso que únicamente sea posible p(x).

¿Valdría o es una ferivada?

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Buscón en 14 Agosto, 2018, 06:20 pm
La mejor manera de aprender es equivocándose. Suponiendo que el universo del discurso es todo lo razonable, tomando    \( p:\textrm{razonar sobre} \)    y    \( a:\textrm{razonamiento propuesto} \),    (valga la redundancia), aquí dejo    \( p(a) \),    para que por favor juzguen si se verifica    \( p(a) \):


\begin{align*}
&P_1:\quad\exists x.\big(p(x)\vee q(x)\big)\\
&P_2:\quad\forall x.\big(q(x)\rightarrow r(x)\big)\\
&P_3:\quad\exists x.\neg r(x)\\
\hline
&C_1:\quad\exists x.p(x)\\
&C_2:\quad\exists x.\big(p(x)\vee r(x)\big)
\end{align*}

Para    \( C_1 \):

   - Sean    \( a \)    y    \( b \)    dos elementos    \( x \)    del universo del discurso que verifican    \( P_1 \)    y    \( P_3 \)
     respectivamente.

   - Particularizando    \( P_2 \),     si se verifica    \( q(x)\rightarrow{p(x)} \)    para cualquier elemento     \( x \)    del universo del
     discurso, entonces es obvio que se verifica tambien para los elementos    \( a \)    y    \( b \)    del universo del discurso. 

   - De lo anterior, no es posible deducir    \( C_1 \)    para ningún elemento del universo del discurso distinto de    \( a \)     o
     \( b \)   así que solo tiene sentido tomar    \( C_1 \)    como    \( p(a)\vee p(b) \)     (con que exista un elemento es suficiente para
     validar el razonamiento).

     Con todo lo anterior es posible reescribir

\begin{align*}
&P_1:\quad p(a)\vee q(a)\\
&P_2:\quad q(a)\rightarrow r(a)\\
&P_3:\quad\neg r(b)\\
&P_4:\quad q(b)\rightarrow r(b)\\
\hline
&C_1:\quad p(a)\vee p(b)
\end{align*}

     Es posible argumentar, (ya lo hizo Carlos Ivorra), que para    \( a \)    y    \( b \)    el razonamiento no es correcto. De las
     premisas no se deduce, (ni siquiera con    \( a=b \)),    \( p(a)\vee p(b) \).   Esto es posible generalizarlo. Si no es correcto
     para dos elementos arbitrarios del universo del discurso, no lo es para ningún todo elemento    \( x \)    del universo
     del discurso. Esto es, el primer razonamiento no es valido.

Para    \( C_2 \)    el razonamiento es análogo. Tomando como conclusión    \( p(a)\vee r(a)\vee p(b)\vee r(b) \),    también es posible argumentar que no es deducible de las premisas, con lo que podría generalizarse a todo el universo del discurso haciendo inválido el razonamiento.

Saludos y perdón por la intromisión.

CORREGIDO.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 14 Agosto, 2018, 10:58 pm
Hola

¿Valdría o es una ferivada?

¡Yo creo que valdría! Me gusta porque entiendo que usaste todas las premisas.



Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?

He leído todos sus comentarios y a través de deducciones se puede probar la validez o no de cada una de las conclusiones.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: feriva en 14 Agosto, 2018, 11:25 pm
Hola

¿Valdría o es una ferivada?

¡Yo creo que valdría! Me gusta porque entiendo que usaste todas las premisas.



Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?



Me alegro de que te parezca bien.

Y lo otro, pues sí, parece que todos estamos de acuerdo.

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 15 Agosto, 2018, 12:32 pm
Entonces, para que me quede claro, la propuesta era elegir una de las cuatro posibles respuestas: la respuesta correcta es la 3) \( C_1  \) es inválida y \( C_2 \) válida, ¿correcto?

Correcto.

He leído todos sus comentarios y a través de deducciones se puede probar la validez o no de cada una de las conclusiones.

Si te refieres a este ejemplo, sí. En general, no. El cálculo deductivo de primer orden no es decidible. No existe ningún algoritmo que nos permita decidir si una fórmula dada se deduce o no de unas premisas dadas. Ya les gustaría a los matemáticos saber si \( 0\neq 0 \) es una consecuencia o no de los axiomas de la teoría de conjuntos. Pero, si no lo es, no hay forma de probarlo.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Buscón en 15 Agosto, 2018, 02:13 pm
Hola.

Lo que creo que invalida tu razonamiento es esto que te pongo en rojo:

Como existe un \( x \) para la disyunción \( p(x)\vee q(x) \), por una propiedad conocida, es la disyunción entre \( \exists x:p(x)  \) y \( \exists x:q(x) \)[/tex].

Si no me equivoco esa y debería ser una o.

Saludos.

Si existe un    \( x \)    tal que    \( p(x)\vee q(x) \)    es posible perfectamente llamarle    \( x_0 \)    a ese     \( x \)    que existe.

Entonces será    \( p(x_0)\vee q(x_0) \)

¿No? Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Buscón en 15 Agosto, 2018, 02:26 pm

También, me gustaría recibir ayuda en esto, por favor:

Según me dijeron, este ejercicio se resuelve considerando cada una de las funciones como proposiciones y usar particularización. ¿Es correcto hacerlo así?

Lo que ocurre es que tengo miedo de que algún usuario de este foro me rete por estar particularizando cosas que no pueden particularizarse :laugh:, así que ni intenté hacerlo por ese método, pero me gustaría saber si se puede hacer así y por qué (y si es el método más correcto y directo).

EDIT: el quote que hago es lo que hice en parte (particularizar), lo que no hice fue considerarlas como proposiciones (o sea unir a las premisas con conjunciones y a través de operaciones lógicas llegar o no a las conclusiones). Así que si me lo corrigen estarían resolviendo en parte esta otra duda.

Saludos y desde ya gracias

A mi también, no conozco otra manera más que usar particularización y generalización para probar el razonamiento. ¿Hay otras?

Saludos.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 16 Agosto, 2018, 03:24 am
Hola

A mi también, no conozco otra manera más que usar particularización y generalización para probar el razonamiento. ¿Hay otras?

Si estás de acuerdo con esto:

Sabemos que si tenemos un conjunto de premisas \( \{p_1,p_2,\ldots,p_n\} \) y un conjunto de conclusiones \( \{q_1,q_2,\ldots,q_m\} \) y un conjunto universal \( \mathscr U \) de un razonamiento entonces estas notaciones son equivalentes:

\( \begin{matrix}
\begin{matrix}p_1\\p_2\\\vdots\\p_n\\\hline q_1\\q_2\\\vdots\\q_m\end{matrix}&&\Leftrightarrow&&\Bigl(\left(p_1\wedge p_2\wedge\cdots\wedge p_n\right)&\Rightarrow&\left(q_1\wedge q_2\wedge\cdots\wedge q_{m}\right)\Bigr).
\end{matrix} \)

se observa que el lado derecho es un condicional: aplicando las reglas de inferencia + leyes lógicas (una vez particularizado correctamente) se puede probar la validez o no del razonamiento (o su equivalente, implicación). ¿Me seguís?

Aquí transcribo un ejercicio que hizo mi profesor:



¿Es válido el siguiente razonamiento?:

\( \Big[(p\Rightarrow q)\;\wedge\;(q\Leftrightarrow\neg r)\Big]\quad\Rightarrow\quad\Big(p\;\Rightarrow\;\neg r\Big). \)

Su respuesta:

Es válido, pues

\( \begin{array}{llll}
1)&p\Rightarrow q&&\text{Premisa}\\
2)&q\Leftrightarrow\neg r&&\text{Premisa}\\
3)&q\Rightarrow\neg r&&\text{Equivalencia bicondicional 2)}\\
4)&\neg r\Rightarrow q&&\text{Equivalencia bicondicional 2)}\\
5)&p&&\text{Ley de exportación}\\
6)&q\Rightarrow\neg r&&\text{Silogismo hipotético 1) y 3)}\\
7)&\boxed{\neg r}&&\text{Modus Ponens 5) y 6)}\\\\&&\therefore&\text{El razonamiento es } \underline{\text{válido}}.
\end{array} \)

Hecho por mi profesor.

De todas maneras soy consciente de que no ha habido cuantificadores... pero creo que ese es un ejemplo de usar leyes lógicas + reglas de inferencia, Buscón.



Saludos y espero cualquier comentario
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 08 Marzo, 2021, 05:57 am
Hola

Lamento decir esto, pero a día de hoy no me convencen las respuestas de martiniano y Carlos sobre la validez del razonamiento con \( C_2 \). Pero no es porque desconfíe de ellos, sino porque nunca he hecho ningún razonamiento así.

Entonces quería volver a consultar si el siguiente razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
\exists x\,p(x)\lor q(x)\\
\forall x\,q(x)\to r(x)\\
\exists x\,\neg r(x)\\\hline
\exists x\,p(x)\lor r(x)
\end{array}
 \)

es válido y puede demostrarse formalmente utilizando las siguientes propiedades y sin usar hipótesis adicionales:

Reglas de inferencia permitidas
Modus Ponens, Modus Tollens, Adición, Simplificación, silogismo hipotético, y las siguientes llamadas dilemas constructivo y silogismo disyuntivo (en ese orden):

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
r\to s\\
p\vee r\\\hline
\therefore q\vee s
\end{array}\qquad
\begin{array}{l}
p\vee q\\
\neg q\\\hline
\therefore p
\end{array}
 \)
[cerrar]

Yo no he podido. ¿Alguien?

Lo que se me ocurre ahora es usar reducción al absurdo, aunque nunca lo he hecho en estos tipos de razonamientos. He proseguido así:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Suposición}\\
6)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg r(x)&\text{Negación 5)}\\
7)&\neg p(a)\land\neg r(a)&\text{Particularización universal 6)}\\
8)&\neg r(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
9)&\neg q(a)&\text{Modus Tollens 4,8)}\\
10)&p(a)&\text{Silogismo disyuntivo 3,9)}\\
11)&\neg p(a)&\text{Eliminación conjunción 7)}\\
\end{array}
 \)

y aquí llegamos a una contradicción entre las líneas 10 y 11. Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 5) es falso, y el razonamiento es válido. ¿Cómo sabemos que la contradicción provino de haber supuesto la línea 5) pero no provino de alguna de las otras premisas? Porque yo podría haber dicho "Por lo tanto, lo que hemos supuesto en 1) es falso, y el razonamiento es válido". ¿Por qué la contradicción sólo proviene de 5)?



¿Lo ven bien? No me convence mucho, porque necesito probarlo solamente usando las leyes lógicas reglas de inferencia mostradas en la cita de más arriba y no se me ocurre cómo.

Gracias y saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 08 Marzo, 2021, 12:14 pm
Este es el problema de siempre: te diré que no pero seguro que me vas a cambiar las reglas.  :D
Ya te dije que eso no es un cálculo completo, pues no puedes deducir tautologías (sin premisas) ya que todas las reglas que usas tienen premisas.

Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque. No hay ninguna regla de las que pones que te permita operar con cuantificadores, así que a efectos prácticos es como si fuera una variable proposicional.

Si permites usar eliminación/introducción de cuantificadores y la tautología \[ p\to p \], puedes proceder como sigue:

\[
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,(p(x)\lor q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,(q(x)\to r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&p(a)\to p(a)&\text{Tautología}\\
6)&p(a)\vee r(a)&\text{Dilema constructivo 3,4,5)}\\
7)&\exists x \, (p(x) \vee r(x))&\text{Introducción existencial 6)}\\
\end{array}
 \]

La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

Pero igualmente, da lo mismo que las premisas sean contradictorias o no. Si son contradictorias puedes demostrar lo que quieras a partir de ellas, así que puedes dar una prueba igualmente de la conclusión. Lo importante es que la demostración sea correcta, y no lo es hasta que no has descartado todas las hipótesis extra que has introducido.

En este caso concreto, las premisas no son contradictorias, pues puedes encontrar fácilmente un modelo en el que son verdaderas.

Como comentario general, te digo lo mismo que te dije en otras ocasiones. Lo que hacéis es un tanto chapucero. Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no. Esto hace que cosas que deberían ser una chorrada se vuelvan difíciles. En particular, tampoco me queda aquí muy claro si está previsto lo de introducir hipótesis y descartarlas después (como en deducción natural). Si no fuera así y únicamente tienes que razonar en base a reglas de deducción (es decir, una demostración es una sucesión de fórmulas donde cada una es o una premisa o se deduce de las anteriores a partir de las reglas permitidas), tu demostración por reducción al absurdo está mal. Pero en ese caso es imposible hacer demostraciones por reducción al absurdo a no ser que las premisas sean contradictorias de entrada.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 08 Marzo, 2021, 10:24 pm
Hola

Traigo al debate un mensaje que quizás no recordabas que había publicado y puede ser de ayuda ;):

Las 14 leyes lógicas
  • Involución.
  • Conmutatividad.
  • Asociatividad.
  • Distributividad.
  • Idempotencia.
  • De Morgan.
  • Absorción.
  • Identidad.
  • Dominación.
  • Bicondicional.
  • Condicional.
  • Tercero excluido.
  • Simplificación.
  • Adición
[cerrar]

manooooh, ahora que has especificado las leyes lógicas que usas, eso ya es otra cosa. Pero podrías haberlo dicho desde el principio.  ;)
Ahí tienes básicamente los axiomas de un álgebra de Boole, de manera que probablemente puedas demostrar cualquier razonamiento verdadero usando eso.l

Quizás me quedó pendiente responder a estas citas:

Que \( p \to p \) es una proposición nadie lo discute. La pregunta es si \( \vdash p \to p \) es un razonamiento. Esto ya es una discusión lingüística sobre si un "razonamiento sin premisas" es un razonamiento o no. Pero en cualquier caso, todos los cálculos deductivos que se usan en lógica matemática son capaces de demostrar estos "razonamientos sin premisas".

Vuelvo a insistir, según la definición con la que trabajo, un razonamiento es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la base de las demás llamadas PREMISAS. Por lo tanto si no hay premisas, no hay conclusión.

De hecho, las proposiciones que se pueden demostrar sin premisas son exactamente las tautologías.

Pero en ese caso se usan las 14 leyes lógicas que mencioné más arriba. Incluso, si no aparecen cuantificadores, se puede demostrar cualquier equivalencia mediante tablas de verdad. ¿O acaso niegas que las tablas de verdad sean útiles para demostrar cualquier tautología, por ejemplo \( \neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q \)?

Pongo un ejemplo que quizás sirva para comprender lo completo que puede resultar el cálculo cuando se trabajan con las 14 leyes lógicas y algunas reglas de inferencia demostradas previamente:

Demostrar \(\exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\)

Hay que demostrar dos condicionales:

1) \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \)

2) \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\to\exists x\,p(x)\lor q(x) \)

Como cada uno posee una disyunción, será más difícil poder demostrar. Pero podemos usar el contrarrecíproco. Entonces empecemos por 1):

1') \( \forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)\to\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x) \)

Demostremos que este razonamiento es VÁLIDO:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,\neg p(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
3)&\forall x\,\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
4)&\neg p(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg q(a)&\text{Particularización universal 3)}\\
6)&\neg p(a)\land\neg q(a)&\text{Introducción conjunción 4,5)}\\
7)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x)&\text{Generalización universal 6)}
\end{array}
 \)

De forma similar se resuelve 2).

¿Ves qué sencillo fue sin recurrir a cosas como reducción al absurdo, agregado de hipótesis, introducción de tautologías etc? Que son todas excelentes recursos, pero que para este ejemplo puntual no hizo falta nada de eso.

[cerrar]

Este es el problema de siempre: te diré que no pero seguro que me vas a cambiar las reglas.  :D

No sé cuándo cambié las reglas, salvo que a medida que avanza el tiempo me fui capacitando y por eso di marchas y contramarchas. :P

Ya te dije que eso no es un cálculo completo, pues no puedes deducir tautologías (sin premisas) ya que todas las reglas que usas tienen premisas.

No será completo pero creo que lo que tenemos es suficiente para un curso de primer año, en el sentido de que definimos una tautología como una proposición que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y creo que es una definición bastante acertada para un curso de primer año.

Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque.

Hombre, pero tú mismo me contestaste lo siguiente:

Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

(negrita agregada por mí).

Quisiera saber por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión cuando tú mismo aseguras que "depende del razonamiento".

No hay ninguna regla de las que pones que te permita operar con cuantificadores, así que a efectos prácticos es como si fuera una variable proposicional.

Si permites usar eliminación/introducción de cuantificadores y la tautología \[ p\to p \], puedes proceder como sigue:

Es cierto que entre las reglas que puse no están la de poner y eliminar los cuantificadores, pero quizás pensé que se sobreentendía. Miles de veces las he usado.

Sobre lo de agregar tautologías, yo creo que está permitido... es decir es claro que se cumple \( p\equiv p\land V \).

\[
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,(p(x)\lor q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,(q(x)\to r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&p(a)\to p(a)&\text{Tautología}\\
6)&p(a)\vee r(a)&\text{Dilema constructivo 3,4,5)}\\
7)&\exists x \, (p(x) \vee r(x))&\text{Introducción existencial 6)}\\
\end{array}
 \]

¡Me encantó! Jamás se me hubiera ocurrido aplicar dilema constructivo en este razonamiento. Muy bien pensado, como no podía ser de otra manera, geómetracat.

Supongo que esa es la única forma en que puede resolverse con todas las condiciones impuestas, pero espero que puedas responderme por qué es así, es decir por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión.

La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

No entiendo eso de descartar hipótesis. ¿Te refieres a que si agrego una hipótesis \( p \), "descartar \( p \)" significa en algún momento del razonamiento llegar a \( p\to q \)? En ese caso no entiendo cómo puede funcionar ese método deductivo (no es deducción natural lo que se ve en el curso).

Como comentario general, te digo lo mismo que te dije en otras ocasiones. Lo que hacéis es un tanto chapucero. Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no. Esto hace que cosas que deberían ser una chorrada se vuelvan difíciles. En particular, tampoco me queda aquí muy claro si está previsto lo de introducir hipótesis y descartarlas después (como en deducción natural). Si no fuera así y únicamente tienes que razonar en base a reglas de deducción (es decir, una demostración es una sucesión de fórmulas donde cada una es o una premisa o se deduce de las anteriores a partir de las reglas permitidas), tu demostración por reducción al absurdo está mal. Pero en ese caso es imposible hacer demostraciones por reducción al absurdo a no ser que las premisas sean contradictorias de entrada.

No es que no está permitido agregar y descartar hipótesis, sino que en el curso no se ve. ¿Me preguntas qué sucede si un alumno lo hace en un examen? Te contesto: no tengo idea, porque nunca ha pasado según me consta.

Sobre lo que se puede usar y lo que no, entiendo que lo dices porque estás convencido que el cálculo que usamos no es completo, y entiendo completamente que un cálculo incompleto no puede demostrar cualquier cosa, pero también debes considerar que este no es un curso de lógica, por lo que no se puede esperar que se estudie en profundidad cálculos deductivos súper útiles, pero que exceden los contenidos de la materia.

En general todos los ejercicios sobre razonamientos que he expuesto, los he podido resolver gracias a mi poco conocimiento y su gran ayuda, de modo que todos los razonamientos son solubles con el método que usamos (no requieren una gran cantidad de líneas). Pero éste en particular me ha costado porque sabía que era válido, pero no podía demostrarlo en base al método.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 08 Marzo, 2021, 10:46 pm
Hola

Además agrego una cuestión sobre la última cita que adjunto en la respuesta anterior (#30):

Afirmas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" pero según entiendo, por ejemplo en algunas teorías aritméticas donde hay proposiciones indecidibles, ¿acaso no te parece muy difícil entender la demostración de por ejemplo el último teorema de Fermat teniendo los axiomas perfectamente definidos? ¿Y no crees que hay proposiciones que aun no están demostradas pero no porque el cálculo sea incompleto, sino porque requiere herramientas muy avanzadas? Es decir sea el cálculo que sea, siempre hay proposiciones difíciles de demostrar, sea completo o no.

Eso es lo que he entendido de tu cita. Disculpa si entendí otra cosa.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 08 Marzo, 2021, 11:42 pm
Ahora no puedo extenderme mucho, mañana contestaré con un mensaje más completo. Pero básicamente, de lo que me quejo, y por lo que se me hace difícil responder a estos mensajes, es de este tipo de cosas:

Traigo al debate un mensaje que quizás no recordabas que había publicado y puede ser de ayuda ;):

Las 14 leyes lógicas
  • Involución.
  • Conmutatividad.
  • Asociatividad.
  • Distributividad.
  • Idempotencia.
  • De Morgan.
  • Absorción.
  • Identidad.
  • Dominación.
  • Bicondicional.
  • Condicional.
  • Tercero excluido.
  • Simplificación.
  • Adición
[cerrar]

(...)

Es cierto que entre las reglas que puse no están la de poner y eliminar los cuantificadores, pero quizás pensé que se sobreentendía. Miles de veces las he usado.
Me gustaría tener, de una vez y para todas, una especificación completa del cálculo deductivo que puedes usar, sin omitir nada porque "se sobreentiende". Sin eso es difícil decir si se puede demostrar algo con unas reglas dadas o no, porque como te dije antes (ya me explayaré más mañana, en todo caso), lo que preguntas no se puede demostrar sin reglas sobre cuantificadores, que no estaban en la lista que pusiste pero que al final sí que se pueden usar.

Afirmas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" pero según entiendo, por ejemplo en algunas teorías aritméticas donde hay proposiciones indecidibles, ¿acaso no te parece muy difícil entender la demostración de por ejemplo el último teorema de Fermat teniendo los axiomas perfectamente definidos? ¿Y no crees que hay proposiciones que aun no están demostradas pero no porque el cálculo sea incompleto, sino porque requiere herramientas muy avanzadas? Es decir sea el cálculo que sea, siempre hay proposiciones difíciles de demostrar, sea completo o no.

No me refería a que haya proposiciones difíciles o fáciles de demostrar. Me refería a que es difícil razonar sobre demostraciones formales (de proposiciones totalmente elementales, si quieres) si no sabemos exactamente cuáles son las reglas del juego, es decir, qué está permitido usar y qué no.

Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 08 Marzo, 2021, 11:51 pm
Hola

Ahora no puedo extenderme mucho, mañana contestaré con un mensaje más completo. (...)

Gracias!!

Me gustaría tener, de una vez y para todas, una especificación completa del cálculo deductivo que puedes usar, sin omitir nada porque "se sobreentiende". Sin eso es difícil decir si se puede demostrar algo con unas reglas dadas o no, porque como te dije antes (ya me explayaré más mañana, en todo caso), lo que preguntas no se puede demostrar sin reglas sobre cuantificadores, que no estaban en la lista que pusiste pero que al final sí que se pueden usar.

La lista completa sería la siguiente (si no me he olvidado de alguna):

Leyes lógicas:


Reglas de inferencia:


Seguramente el cálculo sea no completo como has mencionado tú, pero considero que todas estas son suficientes para demostrar los razonamientos que se dan en el curso que en general no son difíciles, salvo por éste que hubo que hacer uso de la propiedad Identidad \( p\to p\land V \).

No me refería a que haya proposiciones difíciles o fáciles de demostrar. Me refería a que es difícil razonar sobre demostraciones formales (de proposiciones totalmente elementales, si quieres) si no sabemos exactamente cuáles son las reglas del juego, es decir, qué está permitido usar y qué no.

Pensé que cuando afirmabas "Es muy difícil dar demostraciones formales sin un cálculo completo donde esté totalmente claro qué puedes usar y qué no" estabas diciendo que "Es difícil demostrar cosas formalmente sin un cálculo completo donde se defina todo con precisión", pero ahora veo que quisiste decir que ya nos dan las demostraciones, y hay que razonar sobre ellas. En ese caso estoy de acuerdo contigo; es como tratar de leer un texto en árabe solamente sabiendo español.

Buenas noches y perdón las molestias
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 09 Marzo, 2021, 05:44 am
Hola

Madre mía... qué ciegos hemos sido! Se puede demostrar de una manera increíblemente más rápida mediante el método propuesto:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg p(a)\to q(a)&\text{Equivalencia del condicional 3)}\\
6)&\neg p(a)\to r(a)&\text{Silogismo hipotético 4,5)}\\
7)&p(a)\lor r(a)&\text{Equivalencia del condicional 6)}\\
8)&\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Introducción existencial 7)}
\end{array}
 \)

¿Está bien?

Igualmente me gustaría leer tu opinión sobre las preguntas de los mensajes anteriores, pero creo que esa prueba deja en evidencia que lo complicado se puede convertir en sencillo.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 09 Marzo, 2021, 04:30 pm
Hola

Madre mía... qué ciegos hemos sido! Se puede demostrar de una manera increíblemente más rápida mediante el método propuesto:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\exists x\,p(x)\lor q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,q(x)\to r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(a)\lor q(a)&\text{Particularización existencial 1)}\\
4)&q(a)\to r(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg p(a)\to q(a)&\text{Equivalencia del condicional 3)}\\
6)&\neg p(a)\to r(a)&\text{Silogismo hipotético 4,5)}\\
7)&p(a)\lor r(a)&\text{Equivalencia del condicional 6)}\\
8)&\exists x\,p(x)\lor r(x)&\text{Introducción existencial 7)}
\end{array}
 \)

¿Está bien?

Igualmente me gustaría leer tu opinión sobre las preguntas de los mensajes anteriores, pero creo que esa prueba deja en evidencia que lo complicado se puede convertir en sencillo.

Saludos

Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.


Vuelvo a insistir, según la definición con la que trabajo, un razonamiento es un conjunto de proposiciones en el cual una de ellas, llamada CONCLUSIÓN, se afirma sobre la base de las demás llamadas PREMISAS. Por lo tanto si no hay premisas, no hay conclusión.
¿Por qué? Puedes considerar las premisas como un conjunto vacío en el caso en que no haya premisas.

Citar
De hecho, las proposiciones que se pueden demostrar sin premisas son exactamente las tautologías.

Pero en ese caso se usan las 14 leyes lógicas que mencioné más arriba. Incluso, si no aparecen cuantificadores, se puede demostrar cualquier equivalencia mediante tablas de verdad. ¿O acaso niegas que las tablas de verdad sean útiles para demostrar cualquier tautología, por ejemplo \( \neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q \)?
Vale, pero si puedes usar las leyes lógicas como axiomas, entonces si puedes hacer demostraciones sin premisas. Las tablas de verdad claro que son útiles, pero en principio son un recurso semántico. Si defines una demostración formal como una sucesión de fórmulas donde cada una se obtiene aplicando reglas de inferencia a las anteriores, etc., debes deducir la fórmula a partir de las reglas. Si usas tablas de verdad has demostrado que la fórmula es una tautología, pero no has dado una demostración formal en un cálculo dedcutivo.

Citar
Pongo un ejemplo que quizás sirva para comprender lo completo que puede resultar el cálculo cuando se trabajan con las 14 leyes lógicas y algunas reglas de inferencia demostradas previamente:

Demostrar \(\exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\)

Hay que demostrar dos condicionales:

1) \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \)

2) \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x)\to\exists x\,p(x)\lor q(x) \)

Como cada uno posee una disyunción, será más difícil poder demostrar. Pero podemos usar el contrarrecíproco. Entonces empecemos por 1):

1') \( \forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)\to\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x) \)

Demostremos que este razonamiento es VÁLIDO:

\(
\begin{array}{lll}
1)&\forall x\,\neg p(x)\land\forall x\,\neg q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\forall x\,\neg p(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
3)&\forall x\,\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 1)}\\
4)&\neg p(a)&\text{Particularización universal 2)}\\
5)&\neg q(a)&\text{Particularización universal 3)}\\
6)&\neg p(a)\land\neg q(a)&\text{Introducción conjunción 4,5)}\\
7)&\forall x\,\neg p(x)\land\neg q(x)&\text{Generalización universal 6)}
\end{array}
 \)

De forma similar se resuelve 2).

¿Ves qué sencillo fue sin recurrir a cosas como reducción al absurdo, agregado de hipótesis, introducción de tautologías etc? Que son todas excelentes recursos, pero que para este ejemplo puntual no hizo falta nada de eso.
[cerrar]
Este es un ejemplo de las imprecisiones de las que hablo. Pretendes demostrar una equivalencia lógica, que separas en dos partes (hasta ahí todo bien). Pero luego dices que hay que demostrar la fórmula \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Pero no es eso lo que hay que demostrar, sino que bajo la premisa \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \) se tiene la conclusión \( \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \), es decir, \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \vdash \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Pero luego dices que vas a demostrar \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\to\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \) y en cambio acabas probando  \( \exists x\,p(x)\lor q(x) \vdash \exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). ¿Que ambas cosas son equivalentes? Sí, por el teorema de la deducción (con un cálculo deductivo bien especificado y todo eso). Pero no son lo mismo, y las tratas como si lo fueran. Igual que antes de empezar la demostración dices que vas a probar el contrarrecíproco, pero ahí estás usando el metateorema que dice que si \[ \neg \varphi \vdash \neg \psi \] entonces \[ \psi \vdash \varphi \].

En definitiva, lo que pasa no es tanto que no hayas demostrado esa equivalencia, sino que no has dado una demostración formal en un cálculo deductivo.

Lo mismo con lo de las tablas de verdad.

Citar
No será completo pero creo que lo que tenemos es suficiente para un curso de primer año, en el sentido de que definimos una tautología como una proposición que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman y creo que es una definición bastante acertada para un curso de primer año.
Es una definición acertada tanto para primer curso como para último. Esa es la definición de tautología. La cuestióon es si las tautologías son demostrables o no.

Citar
Usando exclusivamente esas reglas que pones, no se puede deducir porque no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores. Estás obligado a tratar la fórmula \[ \exists x(p(x) \vee q(x)) \] como un bloque.

Hombre, pero tú mismo me contestaste lo siguiente:

Si tenemos un razonamiento con al menos una variable cuantificada existencialmente y la conclusión tiene a la misma variable cuantificada universalmente, ¿podemos decir que el razonamiento siempre será inválido?

No sé si entiendo correctamente la pregunta, pero yo diría que no, depende del razonamiento. Por ejemplo, podrías tener algo del estilo:
Premisa: \( \exists x (P(x) \wedge \forall y(y=x)) \)
Conclusión: \( \forall x P(x) \)
Este es un razonamiento válido.

(negrita agregada por mí).

Quisiera saber por qué no hay manera posible de deshacerse de los cuantificadores en el razonamiento en cuestión cuando tú mismo aseguras que "depende del razonamiento".
Son cosas distintas. Una cosa es que el razonamiento sea logicamente válido o no (que es semántico). Otra cosa es si algo se puede demostrar con unas reglas dadas. Lo que yo afirmaba ahora es que con las reglas que pusiste al principio (sin introducción/eliminación de cuantificadores) no se puede dar una demostración formal de lo que pedías. Y esto es así porque no hay nada que puedas hacer con una fórmula del estilo \[ \exists x\, \phi \], en el sentido de que no puedes quitarte de encima el cuantificador existencial para operar con \[ \phi \]. Ahora bien, ya ha quedado claro que sí puedes usar reglas con cuantificadores, así que no hay problemas.

Citar
La demostración que haces por reducción al absurdo está bien, aunque te falta una línea final con la conclusión (descartando la hipótesis en \[ 5 \]).
Sobre de donde viene la contradicción, si introduces una hipótesis (aquí \[ 5 \]) tienes que descartarla para que sea una demostración válida. Por tanto estás obligado a descartar \[ 5 \].

No entiendo eso de descartar hipótesis. ¿Te refieres a que si agrego una hipótesis \( p \), "descartar \( p \)" significa en algún momento del razonamiento llegar a \( p\to q \)? En ese caso no entiendo cómo puede funcionar ese método deductivo (no es deducción natural lo que se ve en el curso).
Lo de introduciir y descartar hipótesis es algo previsto en algunos cálculos deductivos (en deducción natural, en particular). Si no permites eso, lo que no puedes hacer es introducir una fórmula de la nada enmedio de una demostración, como hacías en tu demostración por reducción al absurdo al introducir como "suposición" la negación.

Citar
No es que no está permitido agregar y descartar hipótesis, sino que en el curso no se ve. ¿Me preguntas qué sucede si un alumno lo hace en un examen? Te contesto: no tengo idea, porque nunca ha pasado según me consta.

Sobre lo que se puede usar y lo que no, entiendo que lo dices porque estás convencido que el cálculo que usamos no es completo, y entiendo completamente que un cálculo incompleto no puede demostrar cualquier cosa, pero también debes considerar que este no es un curso de lógica, por lo que no se puede esperar que se estudie en profundidad cálculos deductivos súper útiles, pero que exceden los contenidos de la materia.

En general todos los ejercicios sobre razonamientos que he expuesto, los he podido resolver gracias a mi poco conocimiento y su gran ayuda, de modo que todos los razonamientos son solubles con el método que usamos (no requieren una gran cantidad de líneas). Pero éste en particular me ha costado porque sabía que era válido, pero no podía demostrarlo en base al método.

Más que que no sea completo (si admites las leyes lógicas que pusiste como axiomas, creo que sí lo es), parece que el problema está más bien en que no hay una especificación clara de qué se entiende por una demostración formal, con lo que nunca tengo claro qué tipo de cosas puedes usar o no.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 09 Marzo, 2021, 09:13 pm
Lo que pasa con todo esto es que si tienes un destornillador en forma de X te parecerán fáciles los tornillos con ranura en forma de X y te parecerán difíciles los que tengan ranura en forma de I, y viceversa, y si tienes los dos destornilladores te parecerán fáciles los dos tipos de tornillos.

Digo que una demostración te parecerá fácil si se hace con las reglas que tienes en tu caja de herramientas y difícil si se evitan algunas reglas porque no sabemos si las tienes o no en tu caja.

Esta respuesta:

La lista completa sería la siguiente (si no me he olvidado de alguna):

Leyes lógicas:

  • Involución.
  • Conmutatividad.
  • Asociatividad.
  • Distributividad.
  • Idempotencia.
  • De Morgan.
  • Absorción.
  • Identidad.
  • Dominación.
  • Bicondicional.
  • Condicional.
  • Tercero excluido.
  • Simplificación.
  • Adición.

Reglas de inferencia:

  • Modus Ponens
  • Modus Tollens
  • Silogismo hipotético
  • Silogismo disyuntivo
  • Eliminación conjunción
  • Introducción disyunción
  • Introducción/Eliminación cuantificador existencial/universal

No me parece muy informativa, porque no siempre es fácil conjeturar a qué corresponde cada nombre. Por ejemplo, "condicional" podrían ser muchas reglas distintas. Y tengo especial curiosidad por saber cómo tienes enunciadas las reglas de introducción y eliminación de los cuantificadores, porque tengo la impresión de que requerirían algunas sutilezas por las que no te veo preocuparte mucho cuando las usas (aunque hasta ahora las has usado correctamente).
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 15 Marzo, 2021, 03:36 pm
Hola

Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.

Antes que nada aclararles que la ley del Condicional es la típica equivalencia \( p\to q\equiv\neg p\lor q \), y la del bicondicional es \( p\leftrightarrow q\equiv p\to q\land q\to p \). Nuevamente, intuí que el uso era bastante frecuente como para aclararlo pero veo que no fue así.

Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.

Sí que estaba y es la regla 11 (arriba puse la equivalencia).

¿Por qué? Puedes considerar las premisas como un conjunto vacío en el caso en que no haya premisas.

No sabría decirte en ese caso. Aunque personalmente me parece lógico que si no hay restricciones sobre el conjunto de premisas, éste pueda ser el vacío. Perfectamente.

Vale, pero si puedes usar las leyes lógicas como axiomas, entonces si puedes hacer demostraciones sin premisas. Las tablas de verdad claro que son útiles, pero en principio son un recurso semántico. Si defines una demostración formal como una sucesión de fórmulas donde cada una se obtiene aplicando reglas de inferencia a las anteriores, etc., debes deducir la fórmula a partir de las reglas. Si usas tablas de verdad has demostrado que la fórmula es una tautología, pero no has dado una demostración formal en un cálculo dedcutivo.

Claro que las leyes que mencioné se consideran como axiomas, así como se da por hecho que la suma y producto de funciones continuas son continuas.

En definitiva, lo que pasa no es tanto que no hayas demostrado esa equivalencia, sino que no has dado una demostración formal en un cálculo deductivo.

Si bien capto la esencia de lo que dices (que estoy siendo contradictorio con lo que afirmo pero lo demuestro bien), a nivel de asignatura de una carrera no matemática, ¿tú te pondrías puntilloso con estas correcciones? Ya sé que yo fui quien lo preguntó y agradezco que me lo hagas notar, pero también me parece importante ese otro punto.

Es una definición acertada tanto para primer curso como para último. Esa es la definición de tautología. La cuestióon es si las tautologías son demostrables o no.

Ese es un punto importante pero que escaparía atender en un curso no dirigido a futuros matemáticos.

Lo de introduciir y descartar hipótesis es algo previsto en algunos cálculos deductivos (en deducción natural, en particular). Si no permites eso, lo que no puedes hacer es introducir una fórmula de la nada enmedio de una demostración, como hacías en tu demostración por reducción al absurdo al introducir como "suposición" la negación.

Pero muchas veces he usado reducción al absurdo (no en este tipo de ejercicios donde se listan propiedades una debajo de otra) sin temor a meter fórmulas de la nada en medio de la demostración.

Sin ir más lejos, un ejemplo sería demostrar que la solución de la ecuación \( 2x=2 \) es única, y para eso se supone otra solución más distinta a la original, es decir sean \( x_1,x_2 \) dos soluciones con \( x_1\neq x_2 \) (hipótesis agregada de la nada). Luego \( 2x_1=2 \) y \( 2x_2=2 \) es decir \( 2x_1=2x_2 \) de donde \( x_1=x_2 \). Contradicción. ¿O sea que como trabajé hasta ahora está mal porque el cálculo que uso no es completo/preciso?

Más que que no sea completo (si admites las leyes lógicas que pusiste como axiomas, creo que sí lo es), parece que el problema está más bien en que no hay una especificación clara de qué se entiende por una demostración formal, con lo que nunca tengo claro qué tipo de cosas puedes usar o no.

Puede ser eso y estemos dando vueltas como unos campeones. En realidad en el curso no se define qué es una prueba formal, porque básicamente depende del tópico a estudiar. Si estamos en la Unidad de Lógica es necesario dar una prueba del estilo que esbocé como correcta. Pero por ejemplo si estamos en la Unidad de Grafos, digrafos y árboles, con sólo justificar en pocas líneas en castellano por qué se cumple tal o cual propiedad (y a veces acompañado de un pequeño bosquejo), es suficiente como para dar por aprobado el ejercicio.



Digo que una demostración te parecerá fácil si se hace con las reglas que tienes en tu caja de herramientas y difícil si se evitan algunas reglas porque no sabemos si las tienes o no en tu caja.

Así como he sido preciso con la numeración de todos los axiomas que estamos considerando, me gustaría que ustedes también sean precisos con qué regla o axioma no está claro qué significa. Más que nada para determinar si una vez por todas, estoy trabajando con un cálculo confiable, completo, seguro.

No me parece muy informativa, porque no siempre es fácil conjeturar a qué corresponde cada nombre. Por ejemplo, "condicional" podrían ser muchas reglas distintas. (...)

Claro, porque si consideras una proposición cualquiera, siempre encontrarás infinitas equivalentes. Pero quédate tranquilo que de entre el universo posible, estoy considerando la más habitual y es la que puse al inicio de este mensaje. ::)

(...) Y tengo especial curiosidad por saber cómo tienes enunciadas las reglas de introducción y eliminación de los cuantificadores, porque tengo la impresión de que requerirían algunas sutilezas por las que no te veo preocuparte mucho cuando las usas (aunque hasta ahora las has usado correctamente).

Usted lo pide, usted lo tiene:

Reglas de inferencia para razonamientos categóricos (con cuantificadores)
Estas reglas son las que nos permiten "poner" o "sacar" los cuantificadores:

\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 15 Marzo, 2021, 08:01 pm
Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.
Espero que no suene muy borde, no es mi intención.

Citar
Sí, está bien y es muy sencilla. Suponiendo claro que puedas usar la equivalencia de \[ p \to q \] con \( \neg p \vee q \), que no estaba entre las reglas que pusiste en el primer mensaje.

Sí que estaba y es la regla 11 (arriba puse la equivalencia).
Sí. Ahí me refería al primer mensaje, fobde ponías solo las reglas de inferencia, y no los axiomas.

Citar
Claro que las leyes que mencioné se consideran como axiomas, así como se da por hecho que la suma y producto de funciones continuas son continuas.
De ese tipo de cosas me quejo cuando digo que no especificas totalmente el cálculo deductivo. Al final parece que ha quedado más claro.

Citar
Si bien capto la esencia de lo que dices (que estoy siendo contradictorio con lo que afirmo pero lo demuestro bien), a nivel de asignatura de una carrera no matemática, ¿tú te pondrías puntilloso con estas correcciones? Ya sé que yo fui quien lo preguntó y agradezco que me lo hagas notar, pero también me parece importante ese otro punto.

(...)

Ese es un punto importante pero que escaparía atender en un curso no dirigido a futuros matemáticos.
Pues no sé, depende de lo que se pretenda. A mí personalmente me pone muy nervioso lo de hacer demostraciones formales sin que me hayan dado una descripción total del cálculo, y sepa a la perfección que vale y que no. Veo más difícil hacer ejercicios así que si te dan todas las reglas, de forma que no te puedes salir de ahí.

Citar
Pero muchas veces he usado reducción al absurdo (no en este tipo de ejercicios donde se listan propiedades una debajo de otra) sin temor a meter fórmulas de la nada en medio de la demostración.

Sin ir más lejos, un ejemplo sería demostrar que la solución de la ecuación \( 2x=2 \) es única, y para eso se supone otra solución más distinta a la original, es decir sean \( x_1,x_2 \) dos soluciones con \( x_1\neq x_2 \) (hipótesis agregada de la nada). Luego \( 2x_1=2 \) y \( 2x_2=2 \) es decir \( 2x_1=2x_2 \) de donde \( x_1=x_2 \). Contradicción. ¿O sea que como trabajé hasta ahora está mal porque el cálculo que uso no es completo/preciso?

Pero es que una demostración formal no es lo mismo que una informal. El argumento que escribes (en español) está muy bien, y nadie te va a decir que eso no es una demostración. El problema viene cuando quieres formalizar ese argumento en un cálculo deductivo. Entonces, dependiendo del cálculo habrá que hacerlo de una manera u otra. Si estás usando deducción natural puedes meter hipótesis de la nada y luego descartarlas. Si estás usando cálculos tipo Hilbert (como el que parece que usas tú) no puedes hacerlo. Lo único que puede aparecer ahí son premisas, axiomas, o fórmulas que se deduzcan de las anteriores usando reglas de inferencia.

Esto de los cálculos deductivos es como los lenguajes de programación. Tú puedes describir un algoritmo en castellano o en inglés y que otra persona lo entienda perfectamente. Pero si quieres programarlo (pongamos en C) y escribes la descripción en inglés te dará error. Tienes que "traducir" el algoritmo a la sintaxis de C. Y no es lo mismo escribirlo en C que en Python que en ensamblador. Cada uno tiene su sintaxis y su capacidad expresiva. Cosas que puedes hacer fácilmente en uno cuesta más de hacer en otro. Pues con los cálculos deductivos y las demostraciones formales pasa lo mismo. La demostración que has escrito en castellano está clara, pero a la hora de dar una demostración formal tienes que traducirla al cálculo deductivo que uses, y depende del cálculo que uses tendrás que traducirla de una forma o de otra. Si usas un cálculo tipo Hilbert y metes en medio una fórmula que te sacas de la manga (una suposición) te da un "error de sintaxis".

Citar
Puede ser eso y estemos dando vueltas como unos campeones. En realidad en el curso no se define qué es una prueba formal, porque básicamente depende del tópico a estudiar. Si estamos en la Unidad de Lógica es necesario dar una prueba del estilo que esbocé como correcta. Pero por ejemplo si estamos en la Unidad de Grafos, digrafos y árboles, con sólo justificar en pocas líneas en castellano por qué se cumple tal o cual propiedad (y a veces acompañado de un pequeño bosquejo), es suficiente como para dar por aprobado el ejercicio.
Sí, ese es el problema. Ya he dicho antes que a mí trabajar de esta manera, hacer demostraciones formales sin que me hayan definido qué es una demostración formal, me pone nervioso. Pero igual es cosa mía.

Citar
\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

En la particularización existencial hay que pedir que \[ a \] sea una variable nueva (que no haya aparecido ya en la demostración). En la generalización universal, ¿cómo defines \[ a \] genérico?
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: Carlos Ivorra en 15 Marzo, 2021, 09:52 pm
Me gusta que se "pique" el debate, me gusta. :P Desde ya agradecerles.

No sé si usas "picar" en algún sentido que no sea usual aquí en España, porque no sabría darle un sentido a esa frase.

Así como he sido preciso con la numeración de todos los axiomas que estamos considerando, me gustaría que ustedes también sean precisos con qué regla o axioma no está claro qué significa. Más que nada para determinar si una vez por todas, estoy trabajando con un cálculo confiable, completo, seguro.

No veo la relación entre la completitud de tu cálculo deductivo y el hecho de que tiendas a ocultar sus reglas de inferencia. ¿No sería más sencillo que los indicaras explícitamente? ¿Dominación? ¿Simplificación? ¿Adición? Podría apostar por un posible significado, pero, ¿no sería más fácil que formularas las reglas como reglas y no como adivinanzas?

Por ejemplo, "condicional" podría haber sido perfectamente \( p\rightarrow q \equiv \lnot(p\land \lnot q) \). ¿Por qué tendría que haber supuesto que es la que indicas y no ésta?

Claro, porque si consideras una proposición cualquiera, siempre encontrarás infinitas equivalentes. Pero quédate tranquilo que de entre el universo posible, estoy considerando la más habitual y es la que puse al inicio de este mensaje. ::)

No sabría yo si \( p\rightarrow q \equiv \lnot(p\land \lnot q) \) es más o menos habitual que la que has indicado. Tal vez la que has dicho sea más habitual, pero, si te lee alguien que sólo haya leído un libro de lógica que esté siguiendo y para él la regla del condicional es la que te puesto yo ¿te parece razonable que tenga que hacer un estudio bibliográfico-estadístico para entenderte?

Usted lo pide, usted lo tiene:

Reglas de inferencia para razonamientos categóricos (con cuantificadores)
Estas reglas son las que nos permiten "poner" o "sacar" los cuantificadores:

\(
\begin{array}{l|l}
\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

¿Algo para señalar?

Pues exactamente lo que te ha señalado geómetracat.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 20 Marzo, 2021, 11:52 pm
Hola

Sobre lo del debate "picado", es una expresión que significa que el debate está candente, pero que no quise darlo a entender de una mala manera, sino que de sus aportes puedo extraer mucha información útil.

geómetracat: entiendo todo lo que dices, incluso el ejejmplo de lo los lenguajes de programación. Pero ten en cuenta que todo el cálculo que podemos usar es el que expuse anteriormente, el de leyes lógicas y reglas de inferencia. Me interesa saber si ese conjunto de reglas es completo o no en el sentido que le doy a los "razonamientos matemáticos". Por supuesto que no todo no está debidamente justificado, ya que es un curso de iniciación y para nada pretende ser un cálculo complejo, sino que es sólo curiosidad mía.

No veo la relación entre la completitud de tu cálculo deductivo y el hecho de que tiendas a ocultar sus reglas de inferencia. ¿No sería más sencillo que los indicaras explícitamente? ¿Dominación? ¿Simplificación? ¿Adición? Podría apostar por un posible significado, pero, ¿no sería más fácil que formularas las reglas como reglas y no como adivinanzas?

Está bien (no lo copié por pereza), si los nombres no te son sugerentes aquí va el listado completo de leyes lógicas y reglas de inferencia conocidas que se usan de base para demostrar cosas más complejas, y en las que estoy particularmente interesado saber si con ellas se forma un cálculo deductivo completo y elegante:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
6&\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
7&\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
8&\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
9&\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

Pues exactamente lo que te ha señalado geómetracat.

En la particularización existencial hay que pedir que \[ a \] sea una variable nueva (que no haya aparecido ya en la demostración). En la generalización universal, ¿cómo defines \[ a \] genérico?

Se aclara lo siguiente:

- Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia (Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay cuantificadores.

- Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento \( a \), éste no es genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con \( \forall \)), el elemento es genérico.

Y por supuesto se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera.

Saludos

EDIT. Agregadas reglas de introducción y eliminación de cuantificadores (son nuevas las reglas de inferencia a partir de la 6). Gracias a geómetracat
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 21 Marzo, 2021, 07:42 pm
Sobre lo del debate "picado", es una expresión que significa que el debate está candente, pero que no quise darlo a entender de una mala manera, sino que de sus aportes puedo extraer mucha información útil.

geómetracat: entiendo todo lo que dices, incluso el ejejmplo de lo los lenguajes de programación. Pero ten en cuenta que todo el cálculo que podemos usar es el que expuse anteriormente, el de leyes lógicas y reglas de inferencia. Me interesa saber si ese conjunto de reglas es completo o no en el sentido que le doy a los "razonamientos matemáticos". Por supuesto que no todo no está debidamente justificado, ya que es un curso de iniciación y para nada pretende ser un cálculo complejo, sino que es sólo curiosidad mía.
De acuerdo.

Citar
Está bien (no lo copié por pereza), si los nombres no te son sugerentes aquí va el listado completo de leyes lógicas y reglas de inferencia conocidas que se usan de base para demostrar cosas más complejas, y en las que estoy particularmente interesado saber si con ellas se forma un cálculo deductivo completo y elegante:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
\end{array}
 \)
Pero ahí te faltan las reglas de los cuantificadores, si quieres hacer lógica de primer orden.
Igualmente, me parece que sigue habiendo confusiones entre sintaxis y semántica. Por ejemplo, considera la ley lógica \[ p\wedge q \equiv q \wedge p \]. ¿Esto se debe interpretar como una regla de inferencia, de forma que si en una línea tengo \[ p \wedge q \], puedo deducir \[ q \wedge p \] y viceversa? En ese caso estamos en las mismas de antes, el cálculo no puede ser completo si no hay axiomas. Y si son axiomas, no sé que significa el símbolo \[ \equiv \] en una fórmula (igualmente no creo que el cálculo sea completo). Por otro lado el \[ V \] y \[ F \] que aparecen ahí, parceen el "verdadero" y "falso" semántico. Si fueran signos que forman parte del lenguaje formal, entonces faltan reglas para ellos.

Citar
Se aclara lo siguiente:

- Las particularizaciones hay que usarlas siempre antes de utilizar otras reglas de inferencia (Modus Ponens, Tollens, silogismos, etc.) ya que no se pueden usar estas otras si hay cuantificadores.
Esto me parece confuso, o directamente falso. Es decir, para poder aplicar una regla se tiene que adaptar a la forma que tenga la regla. Pero si tienes por ejemplo \[ (\forall x \phi(x)) \to \psi \] y \[ \forall x \phi(x) \], puedes aplicar modus ponens para obtener \[ \psi \], a pesar de que haya cuantificadores.

Citar
- Si tenemos proposiciones existenciales, al particularizar en un elemento \( a \), éste no es genérico. En cambio si particularizamos una proposición universal (con \( \forall \)), el elemento es genérico.
Vale, esto es una solución posible. Pero entonces tienes que ir anotando qué variables son genéricas y cuáles no.

Citar
Y por supuesto se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera.
Pero de nuevo esto es una precisión semántica (un tanto vaga, pues tendrías que aclarar que significa que "un elemento represente a cualquier elemento del conjunto"), no sintáctica. Si yo veo una fórmula concreta \[ \phi(x) \], ¿cómo sé que \[ x \] es genérico o no? Hay que seguirle la pista a lo largo de la demostración, y lo que marca que una variable sea genérica o no en una demostración formal es si ha aparecido usando una particularización existencial (en ese caso no sería genérica).
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 21 Marzo, 2021, 08:29 pm
Hola

Pero ahí te faltan las reglas de los cuantificadores, si quieres hacer lógica de primer orden.

Tienes razón, gracias. Ya está editado con las reglas faltantes.

Igualmente, me parece que sigue habiendo confusiones entre sintaxis y semántica. Por ejemplo, considera la ley lógica \[ p\wedge q \equiv q \wedge p \]. ¿Esto se debe interpretar como una regla de inferencia, de forma que si en una línea tengo \[ p \wedge q \], puedo deducir \[ q \wedge p \] y viceversa? En ese caso estamos en las mismas de antes, el cálculo no puede ser completo si no hay axiomas. Y si son axiomas, no sé que significa el símbolo \[ \equiv \] en una fórmula (igualmente no creo que el cálculo sea completo). Por otro lado el \[ V \] y \[ F \] que aparecen ahí, parceen el "verdadero" y "falso" semántico. Si fueran signos que forman parte del lenguaje formal, entonces faltan reglas para ellos.

Vamos por partes, porque creo entender la crítica.

El símbolo \( \equiv \) expresa, como su comando indica, "equivalente". Es análogo haber escrito \( \iff \). Así que ésto: \( p\land q\equiv q\land p \) es lo mismo que escribir \( p\land q\iff q\land p \).

Según entiendo yo, esta proposición se puede probar de dos formas distintas, una se basa en otra:

1º Forma (Tratándola como ley lógica): Mediante tablas de verdad. Se hace la tabla de verdad de \( p\land q \), se hace la de \( q\land p \) y se concluye que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, por tanto son equivalentes.

2º Forma (Tratándola como "razonamiento"): Mediante el uso del método demostrativo de los razonamientos válidos.

Explicación del método demostrativo
Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
[cerrar]

Esto sería pensado así. Sabemos que \( p\land q\equiv q\land p \) es equivalente a \( p\land q\to q\land p \) (1)   y   \( q\land p\to p\land q \) (2), así que tiene la estructura de razonamiento (con sus premisas y conclusión) NO categórico (es decir no intervienen cuantificadores) que podemos expresar así:

(1) \( \begin{array}{l}p\land q\\\hline\therefore q\land p\end{array} \)      (2) \( \begin{array}{l}q\land p\\\hline\therefore p\land q\end{array} \)

Demostraremos que los razonamientos (1) y (2) son válidos, empleando el método demostrativo:

Para (1):

\( \begin{array}{lll}1)&p\land q&\text{Premisa}\\2)&q\land p&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Para (2):

\( \begin{array}{lll}1)&q\land p&\text{Premisa}\\2)&p\land q&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Por tanto como hemos llegado a las conclusiones en (1) y (2), se concluye que son razonamientos válidos y por tanto \( p\land q\equiv q\land p \).

¿Algo para comentar?

Esto me parece confuso, o directamente falso. Es decir, para poder aplicar una regla se tiene que adaptar a la forma que tenga la regla. Pero si tienes por ejemplo \[ (\forall x \phi(x)) \to \psi \] y \[ \forall x \phi(x) \], puedes aplicar modus ponens para obtener \[ \psi \], a pesar de que haya cuantificadores.

Creo que tienes razón. Veré si puedo comentarlo a ver si debe corregirse. Gracias por poner un ejemplo sencillo :).

Vale, esto es una solución posible. Pero entonces tienes que ir anotando qué variables son genéricas y cuáles no.

Sí, ¿y cuál es el problema? Digo, computacionalmente se puede ir almacenando variables genéricas y variables particulares, quizás sea un coñazo pero al fin y al cabo sigue siendo posible. Y ya te digo, en los ejercicios de la universidad no son razonamientos con 142 premisas, a lo sumo serán 3 o 4, bien cortitos.

Pero de nuevo esto es una precisión semántica (un tanto vaga, pues tendrías que aclarar que significa que "un elemento represente a cualquier elemento del conjunto"), no sintáctica. Si yo veo una fórmula concreta \[ \phi(x) \], ¿cómo sé que \[ x \] es genérico o no? Hay que seguirle la pista a lo largo de la demostración, y lo que marca que una variable sea genérica o no en una demostración formal es si ha aparecido usando una particularización existencial (en ese caso no sería genérica).

Es que \( \phi(x) \) no es una proposición, sino es un predicado. Y por supuesto que hay que entender la demostración para saber si esa \( x \) está siendo cuantificada universal o particularmente, pero no tiene nada que ver con dar una definición como hice. Son dos cosas distintas según mi punto de vista.

Gracias por su paciencia.
Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 21 Marzo, 2021, 09:54 pm
Vamos por partes, porque creo entender la crítica.

El símbolo \( \equiv \) expresa, como su comando indica, "equivalente". Es análogo haber escrito \( \iff \). Así que ésto: \( p\land q\equiv q\land p \) es lo mismo que escribir \( p\land q\iff q\land p \).
Pero entonces tendrás que poner algunos axiomas o reglas que te diga cómo trabajar con \[ \iff \]. Porque aquí dices que es como \[ \iff \], que es un símbolo del lenguaje formal, pero luego lo usas como si fuera una regla de inferencia: "de \[ p\wedge q \] puedo deducir \[ q\wedge p \]" y viceversa.

No sé si acabas de ver la diferencia. Si yo estoy haciendo una demostración formal, yo no sé lo que significa \[ \iff \]. Solamente sé como manipular las fórmulas siguiendo a las reglas de inferencia y los axiomas. Entonces no puedo hacer nada con él que no provenga de las reglas que estoy usando.

Yo creo que originalmente \[ \phi\equiv \psi \] en esta lista está pensado como equivalencia lógica, en su versión semántica además. Es decir, \[ \equiv \] es un símbolo metamatemático (no forma parte del lenguaje formal) que quiere decir "\[ \phi \] es verdadero si y solo si \[ \psi \] es verdadero".
Aquí, para adaptarlo a un cálculo deductivo, lo puedes tomar como la versión sintáctica: "de \[ \phi \] se deduce \[ \psi \], y de \[ \psi \] se deduce \[ \phi \]". Así cada ley lógica sería como dos reglas de inferencia (una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda).

Citar
Según entiendo yo, esta proposición se puede probar de dos formas distintas, una se basa en otra:

1º Forma (Tratándola como ley lógica): Mediante tablas de verdad. Se hace la tabla de verdad de \( p\land q \), se hace la de \( q\land p \) y se concluye que ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, por tanto son equivalentes.
Ese es el razonamiento semántico, nada que objetat ahí.

Citar
2º Forma (Tratándola como "razonamiento"): Mediante el uso del método demostrativo de los razonamientos válidos.

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
Bien, eso es lo que entiendo por una demostración formal (en un cálculo tipo Hilbert) salvo por la b). Si no restringes las equivalencias lógicas que puedes usar no tienes un cálculo deductivo (al menos como se entiende habitualmente). Pero si las reduces a las de las leyes que pusiste en la lista puede valer.

Citar
Esto sería pensado así. Sabemos que \( p\land q\equiv q\land p \) es equivalente a \( p\land q\to q\land p \) (1)   y   \( q\land p\to p\land q \) (2), así que tiene la estructura de razonamiento (con sus premisas y conclusión) NO categórico (es decir no intervienen cuantificadores) que podemos expresar así:

(1) \( \begin{array}{l}p\land q\\\hline\therefore q\land p\end{array} \)      (2) \( \begin{array}{l}q\land p\\\hline\therefore p\land q\end{array} \)

Demostraremos que los razonamientos (1) y (2) son válidos, empleando el método demostrativo:

Para (1):

\( \begin{array}{lll}1)&p\land q&\text{Premisa}\\2)&q\land p&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Para (2):

\( \begin{array}{lll}1)&q\land p&\text{Premisa}\\2)&p\land q&\text{Conmutativa 1)}\end{array} \)

Por tanto como hemos llegado a las conclusiones en (1) y (2), se concluye que son razonamientos válidos y por tanto \( p\land q\equiv q\land p \).

¿Algo para comentar?
Hombre, al margen de lo que te decía antes sobre \[ \iff \] versus \[ \equiv \], esta el tema de que aquí pretendes demostrar una ley lógica usando la misma ley lógica. Es circular. Al margen de esto, no hay que pretender demostrar las leyes lógicas de tu lista. Es decir, si las pones en la lista es porque se supone que las vas a usar como axiolas o reglas primitivas. Si la puedes demostrar a partir de las demás, la puedes eliminar de la lista sin problemas.

Citar
Sí, ¿y cuál es el problema? Digo, computacionalmente se puede ir almacenando variables genéricas y variables particulares, quizás sea un coñazo pero al fin y al cabo sigue siendo posible. Y ya te digo, en los ejercicios de la universidad no son razonamientos con 142 premisas, a lo sumo serán 3 o 4, bien cortitos.
Ninguno. Es una solución perfectamente plausible.

Es que \( \phi(x) \) no es una proposición, sino es un predicado. Y por supuesto que hay que entender la demostración para saber si esa \( x \) está siendo cuantificada universal o particularmente, pero no tiene nada que ver con dar una definición como hice. Son dos cosas distintas según mi punto de vista.
\[ \phi(x) \] pretendía ser una fórmula. En cualquier caso, la crítica es que a la definición "se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera" no le veo mucho sentido, no soy capaz de dar una interpretación precisa a esa frase.
Pero al margen de esto ya te digo que lo de ir anotando qué variables son genéricas y cuales no es una solución factible.

Insisto en que todos los problemas creo que viene de confusiones o mezclas entre sintaxis/semántica y sobre qué es (y qué no) una demostración formal o un cálculo deductivo. En una demostración formal manipulas cadenas de símbolos de acuerdo a unas reglas, pero esos símbolos no tienen significado ninguno. No puedes decir que \[ p \iff q \] es lo mismo que \[ p \to q \] y \[ q \to p \] sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo. Por eso es importante que un cálculo deductivo esté totalmente especificado, porque no puedes usar absolutamente nada fuera de él (como que sabes qué significa en realidad cada conector).

Sobre si este nivel de comprensión es suficiente para una asignatura que no es de una carrera de matemáticas, ahí ya no me meto.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 21 Marzo, 2021, 10:23 pm
Hola

Pero entonces tendrás que poner algunos axiomas o reglas que te diga cómo trabajar con \[ \iff \]. (...)

Es la ley lógica nº 10, llamada "Bicondicional". Así que ya sé cómo trabajar con \( \iff \).

(...) Porque aquí dices que es como \[ \iff \], que es un símbolo del lenguaje formal, pero luego lo usas como si fuera una regla de inferencia: "de \[ p\wedge q \] puedo deducir \[ q\wedge p \]" y viceversa.

Bueno, justamente usé la equivalencia del bicondicional (regla nº10) para transformar el bicondicional en dos condicionales, y estos dos condicionales a su vez "representan" razonamientos que probamos son válidos. Es el mismo caso que el de probar que \( \exists x\,p(x)\lor q(x)\equiv\exists x\,p(x)\lor\exists x\,q(x) \). Es exactamente lo mismo salvo lo que se pretende probar, claro.

No sé si acabas de ver la diferencia. Si yo estoy haciendo una demostración formal, yo no sé lo que significa \[ \iff \]. Solamente sé como manipular las fórmulas siguiendo a las reglas de inferencia y los axiomas. Entonces no puedo hacer nada con él que no provenga de las reglas que estoy usando.

Más arriba dije cómo se usa \( \iff \).

Yo creo que originalmente \[ \phi\equiv \psi \] en esta lista está pensado como equivalencia lógica, en su versión semántica además. Es decir, \[ \equiv \] es un símbolo metamatemático (no forma parte del lenguaje formal) que quiere decir "\[ \phi \] es verdadero si y solo si \[ \psi \] es verdadero".
Aquí, para adaptarlo a un cálculo deductivo, lo puedes tomar como la versión sintáctica: "de \[ \phi \] se deduce \[ \psi \], y de \[ \psi \] se deduce \[ \phi \]". Así cada ley lógica sería como dos reglas de inferencia (una de izquierda a derecha y otra de derecha a izquierda).

No sabría decirte, pero puede que tengas razón en el fondo. ¿Este es el punto conflictivo de todo? Házmelo saber así trato de comunicarlo al profesor.

Bien, eso es lo que entiendo por una demostración formal (en un cálculo tipo Hilbert) salvo por la b). Si no restringes las equivalencias lógicas que puedes usar no tienes un cálculo deductivo (al menos como se entiende habitualmente). Pero si las reduces a las de las leyes que pusiste en la lista puede valer.

Es que según entiendo, la lista que di es sólo la base (axiomas) con los que partimos. Para demostrar algo nos basamos en esa lista (y en los exámenes será suficiente), pero además en todo aquello que ya hayamos demostrado con anterioridad. Imagínate si para demostrar que \( \lim_{x\to3}x^2=9 \) sólo nos basamos en los axiomas de los números reales y tal, ¡¡la demostración ocuparía miles de páginas!!

Hombre, al margen de lo que te decía antes sobre \[ \iff \] versus \[ \equiv \], esta el tema de que aquí pretendes demostrar una ley lógica usando la misma ley lógica. Es circular. Al margen de esto, no hay que pretender demostrar las leyes lógicas de tu lista. Es decir, si las pones en la lista es porque se supone que las vas a usar como axiolas o reglas primitivas. Si la puedes demostrar a partir de las demás, la puedes eliminar de la lista sin problemas.

Tienes razón, creo que me había ido por la tangente, porque tú preguntabas si \( p\land q\iff q\land p \) debe interpretarse como una regla de inferencia, y yo te digo que sí, porque si nos basamos en la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). Aquí si queremos demostrar \( p\land q\to q\land p \) podemos considerar \( p\land q \) como premisa, y \( q\land p \) como conclusión. Por supuesto que el ejemplo no vale porque es un argumento circular, pero aquí lo importante era entender qué es un razonamiento y lo acabé de aclarar así que sí puede tomarse como un razonamiento.

\[ \phi(x) \] pretendía ser una fórmula. En cualquier caso, la crítica es que a la definición "se entiende como elemento genérico de un conjunto, al elemento que representa a cualquier elemento del conjunto, no es ninguno en particular, sino que es cualquiera" no le veo mucho sentido, no soy capaz de dar una interpretación precisa a esa frase.

Considera \( A=\{2,3,4\} \) y \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de 2} \). Si consideramos la proposición \( \forall x\in A\,p(x) \) es falsa, porque aquí la variable \( x \) es genérica en el conjunto \( A \), o sea recorre los valores \( 2,3,4 \). Vemos que si \( x=2 \), luego \( p(2) \) es verdadera; si \( x=4 \) luego \( p(4) \) es verdadera, pero si \( x=3 \), \( p(3) \) es falsa. Por lo que la variable genérica aquí hace que la proposición sea falsa, no se cumple en todos los casos. En cambio si consideramos \( \exists x\,p(x) \), aquí vemos que la \( x \) debe elegirse convenientemente de modo que haga que \( p(x) \) sea verdadera; y es el caso pues con \( x=2 \), \( p(2) \) es verdadera.

No veo que haya que ser un matemático para entender el párrafo anterior, porque deja bastante claro para todo el mundo qué representa un elemento genérico de un conjunto.

Pero al margen de esto ya te digo que lo de ir anotando qué variables son genéricas y cuales no es una solución factible.

¿Por qué no es una solución factible? Ah, perdona, que querías decir que es una solución factible, no vi la coma mental que debería haber visto :laugh:

Insisto en que todos los problemas creo que viene de confusiones o mezclas entre sintaxis/semántica y sobre qué es (y qué no) una demostración formal o un cálculo deductivo. En una demostración formal manipulas cadenas de símbolos de acuerdo a unas reglas, pero esos símbolos no tienen significado ninguno. No puedes decir que \[ p \iff q \] es lo mismo que \[ p \to q \] y \[ q \to p \] sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo. Por eso es importante que un cálculo deductivo esté totalmente especificado, porque no puedes usar absolutamente nada fuera de él (como que sabes qué significa en realidad cada conector).

No entiendo por qué dices que \( p\iff q \) no significa que \( p\to q \) y \( q\to p \) sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo, si es la regla nº10 que presento con nombre y todo. ¿Acaso no es correcto dar un significado de por qué elegimos que \( p\iff q \) sea equivalente a \( p\to q \) y \( q\to p \)? Pero entonces tampoco tendríamos que justificar qué significa \( \neg \), \( \land \)...

Saludos

Agregado
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 22 Marzo, 2021, 12:18 am
A ver si me explico. Hay dos posibles interpretaciones:

La primera es que \[ \equiv \] es lo mismo que el símbolo lógico \[ \iff \], y las leyes lógicas que das son axiomas, es decir, fórmulas del lenguaje formal que puedes usar en cualquier momento en una demostración formal.
En ese caso, la regla 10 es\[ (p\iff q)\iff ((p\to q)\wedge (q\to p)) \]. Ahora, en cualquier momento puedes usar esa fórmula. Pero bajo esta interpretación, es imposible a partir de la premisa \[ p\iff q \] deducir \[ (p\to q)\wedge(q\to p) \] (en el sentido de que hay una sucesión de fórmulas que son o la premisa o axiomas o fórmulas que se siguen de las anteriores usando reglas de inferencia) porque no hay ninguna regla de inferencia que te digá qué hacer con un bicondicional.

La segunda interpretación, que es la que creo que tiene más sentido, es que las leyes lógicas son reglas de inferencia. Entonces sí: siempre que tengas \[ p\iff q \] puedes poner en la siguiente línea de la demostración \[ (p \to q) \wedge (q\to p) \]. En este caso por eso no hay axiomas, solamente reglas de inferencia.

Lo que no puedes hacer es mezclar ambas interpretaciones.

No sabría decirte, pero puede que tengas razón en el fondo. ¿Este es el punto conflictivo de todo? Házmelo saber así trato de comunicarlo al profesor.
Pues no sé. Para mí el punto conflictivo es que no me acaban de quedar las cosas claras porque no hay definiciones precisas.

Citar
Es que según entiendo, la lista que di es sólo la base (axiomas) con los que partimos. Para demostrar algo nos basamos en esa lista (y en los exámenes será suficiente), pero además en todo aquello que ya hayamos demostrado con anterioridad. Imagínate si para demostrar que \( \lim_{x\to3}x^2=9 \) sólo nos basamos en los axiomas de los números reales y tal, ¡¡la demostración ocuparía miles de páginas!!
Claro, una demostración formal y completa de eso ocupa miles de páginas. Por eso las demostraciones formales en principio solo se usan para examinar cuestiones lógicas o metamatemáticas. Nadie en su sano juicio se va a poner a hacer una demostración formal de un teorema de análisis.

Por otro lado, puedes usar fórmulas y reglas que ya hayas probado con anterioridad, entendiendo que si usas esto en mitad de una demostración formal en realidad es una abreviatura de la demostración completa.

El problema es que yo no sé qué cosas has demostrado con anterioridad, de manera que si no das una lista completa de todo lo que puedes usar, no sé a qué atenerme. Por otro lado, todos los problemas que has puesto por aquí se pueden hacer perfectamente desde cero con un cálculo deductivo decente, como por ejemplo deducción natural.

Tienes razón, creo que me había ido por la tangente, porque tú preguntabas si \( p\land q\iff q\land p \) debe interpretarse como una regla de inferencia, y yo te digo que sí, porque si nos basamos en la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). Aquí si queremos demostrar \( p\land q\to q\land p \) podemos considerar \( p\land q \) como premisa, y \( q\land p \) como conclusión. Por supuesto que el ejemplo no vale porque es un argumento circular, pero aquí lo importante era entender qué es un razonamiento y lo acabé de aclarar así que sí puede tomarse como un razonamiento.
A ver, demostrar la fórmula \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] no es lo mismo que demostrar que bajo la premisa \[ p \wedge q \] se deduce \[ q \wedge p \] (esto lo denoto \[ p\wedge q \vdash q\wedge p \], donde lo que hay a la izquierda del \[ \vdash \] son las premisas y lo que hay a la derecha la conclusión). Lo primero es una fórmula del lenguaje formal, lo segundo es un razonamiento. Hay una diferencia fundamental entre \[ \to \] y \[ \vdash \], que es análoga a la que hay entre \[ \iff \] y \[ \equiv \]. \[ \to \] y \[ \iff \] son símbolos lógicos, forman parte del lenguaje formal. En cambio, \[ \vdash \] y \[ \equiv \] son símbolos metamatemáticos, no forman parte del lenguaje. \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \] es una fórmula, que puede aparecer en medio de una demostración formal. En cambio, \[ p \wedge q \vdash q \wedge p \] no es ninguna fórmula, no es nada que pueda aparecer en una demostración.

En tu cálculo deductivo, con la segunda interpretación en que las leyes lógicas son reglas de inferencia, es imposible demostrar la fórmula \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \]. Esto es porque no hay axiomas, solo reglas de inferencia, de forma que es imposible demostrar una fórmula sin premisas. En cambio, es trivial demostrar \[ p\wedge q \vdash q \wedge p \]. Es simplemente una aplicación de la regla de inferencia dada por la ley lógica 2.

Dicho esto, sí es cierto que (en cualquier cálculo deductivo de los que encuentras en libros de lógica matemática) se tiene que \[ \vdash \phi \to \psi \] (puedes demostrar la fórmula \[ \phi \to \psi \]) si y solo si \[ \phi \vdash \psi \] (con algunos comentarios si hay cuantificadores, pero no vienen al caso). A esto se le llama teorema de deducción. Pero es un resultado importante, que no es obvio de entrada.

Citar
Considera \( A=\{2,3,4\} \) y \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de 2} \). Si consideramos la proposición \( \forall x\in A\,p(x) \) es falsa, porque aquí la variable \( x \) es genérica en el conjunto \( A \), o sea recorre los valores \( 2,3,4 \). Vemos que si \( x=2 \), luego \( p(2) \) es verdadera; si \( x=4 \) luego \( p(4) \) es verdadera, pero si \( x=3 \), \( p(3) \) es falsa. Por lo que la variable genérica aquí hace que la proposición sea falsa, no se cumple en todos los casos. En cambio si consideramos \( \exists x\,p(x) \), aquí vemos que la \( x \) debe elegirse convenientemente de modo que haga que \( p(x) \) sea verdadera; y es el caso pues con \( x=2 \), \( p(2) \) es verdadera.

No veo que haya que ser un matemático para entender el párrafo anterior, porque deja bastante claro para todo el mundo qué representa un elemento genérico de un conjunto.
Ahí parece que me estés diciendo que una variable es genérica si está cuantificada universalmente y no genérica si está cuantificada existencialmente. Pero esa no es la cuestión: la cuestión es distinguir las variables después de haber eliminado el cuantificador. Si yo tengo la fórmula \[ \forall x \, p(x) \] y particularizo, obtengo \[ p(a) \], donde \[ a \] es una nueva variable. Si en cambio tengo \[ \exists x \, p(x) \] y particularizo, de nuevo obtengo \[ p(a) \]. Las dos fórmulas \[ p(a) \] son idénticas, pero en la primera la \[ a \] es genérica y en la segunda no. Por eso digo que tienes que ir anotando las que son genéricas o no.

Citar
No entiendo por qué dices que \( p\iff q \) no significa que \( p\to q \) y \( q\to p \) sin que esté justificado a partir de las reglas del cálculo, si es la regla nº10 que presento con nombre y todo.
Solamente si usas la segunda interpretación. Si usas la primera no, porque entonces la regla 10 es la fórmula \[ (p \iff q) \iff ((p\to q)\wedge (q \to p)) \] y no hay nada que permita trabajar con ella. Pero parece que has aceptado la interpretación 2, entonces no hay problema.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 22 Marzo, 2021, 02:22 am
Hola

La primera es que \[ \equiv \] es lo mismo que el símbolo lógico \[ \iff \], y las leyes lógicas que das son axiomas, es decir, fórmulas del lenguaje formal que puedes usar en cualquier momento en una demostración formal.
En ese caso, la regla 10 es\[ (p\iff q)\iff ((p\to q)\wedge (q\to p)) \]. Ahora, en cualquier momento puedes usar esa fórmula. Pero bajo esta interpretación, es imposible a partir de la premisa \[ p\iff q \] deducir \[ (p\to q)\wedge(q\to p) \] (en el sentido de que hay una sucesión de fórmulas que son o la premisa o axiomas o fórmulas que se siguen de las anteriores usando reglas de inferencia) porque no hay ninguna regla de inferencia que te digá qué hacer con un bicondicional.

La segunda interpretación, que es la que creo que tiene más sentido, es que las leyes lógicas son reglas de inferencia. Entonces sí: siempre que tengas \[ p\iff q \] puedes poner en la siguiente línea de la demostración \[ (p \to q) \wedge (q\to p) \]. En este caso por eso no hay axiomas, solamente reglas de inferencia.

Lo que no puedes hacer es mezclar ambas interpretaciones.

Puedo decirte lo siguiente:

Nosotros podemos encontrar dos tipos de razonamientos: Categóricos y no categóricos. Se diferencian porque los primeros contienen cuantificadores, y los segundos no. Así pues, los razonamientos no categóricos serían "más fáciles" de manejar porque toda la cuestión de cuantificadores desaparece, y las demostraciones pueden ser más rápidas, porque la única manera de demostrar las leyes lógicas es a través de tablas de verdad. Las leyes lógicas que presento en la lista no son axiomas, porque pueden demostrarse por tablas de verdad, ni son reglas de inferencia, porque no todas las reglas de inferencia pueden demostrarse mediante tablas de verdad (los razonamientos categóricos).

Entonces, si quieres demostrar \( (p\iff q)\iff(p\to q\land q\to p) \) tienes que hacer la tabla de verdad de cada proposición y compararlas. Esto se PUEDE hacer en un razonamiento NO categórico, pero NO se puede hacer en uno categórico. Imagina que tienes que demostrar que \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \), ¿cómo usarías tablas de verdad con cuantificadores? Es imposible.

Luego no se puede afirmar que todas las reglas de inferencias sean leyes lógicas, pero tampoco afirmar que todas las leyes lógicas sean reglas de inferencia. Porque un razonamiento es VÁLIDO o INVÁLIDO (como Modus Ponens), pero las leyes lógicas son PROPOSICIONES por lo tanto se les puede asignar un VALOR de VERDAD y a los razonamientos no corresponde decirles "Es verdadero o falso", sino "Es válido o inválido".

Así que desde mi punto de vista podemos concluir que: Todos los razonamientos no categóricos válidos pueden transformarse en leyes lógicas, pero no todos los razonamientos categóricos válidos pueden hacerlo.

Pues no sé. Para mí el punto conflictivo es que no me acaban de quedar las cosas claras porque no hay definiciones precisas.

Nunca las habrá en un curso universitario.

Claro, una demostración formal y completa de eso ocupa miles de páginas. Por eso las demostraciones formales en principio solo se usan para examinar cuestiones lógicas o metamatemáticas. Nadie en su sano juicio se va a poner a hacer una demostración formal de un teorema de análisis.

Pero según entiendo la deducción formal es un tipo de demostración formal, y los matemáticos lo usan muy a menudo. Pues aquí lo mismo, el cálculo inventado por nosotros vendría a ser un tipo de demostración formal.

Por otro lado, puedes usar fórmulas y reglas que ya hayas probado con anterioridad, entendiendo que si usas esto en mitad de una demostración formal en realidad es una abreviatura de la demostración completa.

De acuerdo.

El problema es que yo no sé qué cosas has demostrado con anterioridad, de manera que si no das una lista completa de todo lo que puedes usar, no sé a qué atenerme. Por otro lado, todos los problemas que has puesto por aquí se pueden hacer perfectamente desde cero con un cálculo deductivo decente, como por ejemplo deducción natural.

La lista completa está en el mensaje #40 y hasta ahora sigo desconociendo si con esas reglas se forma un cálculo completo (en cuyo caso su prueba sería inentendible para mí) o no (en ese caso me gustaría que des un contraejemplo de que con esas reglas no se pueda demostrar un razonamiento o una proposición).

A ver, demostrar la fórmula \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] no es lo mismo que demostrar que bajo la premisa \[ p \wedge q \] se deduce \[ q \wedge p \] (esto lo denoto \[ p\wedge q \vdash q\wedge p \], donde lo que hay a la izquierda del \[ \vdash \] son las premisas y lo que hay a la derecha la conclusión). Lo primero es una fórmula del lenguaje formal, lo segundo es un razonamiento. Hay una diferencia fundamental entre \[ \to \] y \[ \vdash \], que es análoga a la que hay entre \[ \iff \] y \[ \equiv \]. \[ \to \] y \[ \iff \] son símbolos lógicos, forman parte del lenguaje formal. En cambio, \[ \vdash \] y \[ \equiv \] son símbolos metamatemáticos, no forman parte del lenguaje. \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \] es una fórmula, que puede aparecer en medio de una demostración formal. En cambio, \[ p \wedge q \vdash q \wedge p \] no es ninguna fórmula, no es nada que pueda aparecer en una demostración.

Desde luego pienso que en el cálculo inventado por nosotros estamos dando por hecho que \( \vdash \) y \( \to \) son exactamente la misma cosa.

Ésto: \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] puede ser visto como demostrar que el razonamiento \( p\land q\therefore q\land p \) es un razonamiento NO categórico válido, y se lo demuestra a través del método del condicional asociado (que consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero. Si lo es, el razonamiento será válido) o a través del método demostrativo. O también puede ser visto como una proposición sin más.

En tu cálculo deductivo, con la segunda interpretación en que las leyes lógicas son reglas de inferencia, es imposible demostrar la fórmula \[ (p\wedge q) \to (q \wedge p) \]. Esto es porque no hay axiomas, solo reglas de inferencia, de forma que es imposible demostrar una fórmula sin premisas. En cambio, es trivial demostrar \[ p\wedge q \vdash q \wedge p \]. Es simplemente una aplicación de la regla de inferencia dada por la ley lógica 2.

Aquí se confirma mi sospecha, y es que para nosotros \( \vdash \) y \( \to \) son dos maneras de indicar lo mismo. ¿Por qué habría que diferenciarlas según tú? ¿Porque no se conoce el teorema de la deducción? Pero si justamente nosotros estaríamos dando por probado ese teorema, entonces no hay de qué preocuparse, salvo por el hecho de estudiar si es un cálculo completo sólo con esas reglas.

Ahí parece que me estés diciendo que una variable es genérica si está cuantificada universalmente y no genérica si está cuantificada existencialmente. Pero esa no es la cuestión: la cuestión es distinguir las variables después de haber eliminado el cuantificador. Si yo tengo la fórmula \[ \forall x \, p(x) \] y particularizo, obtengo \[ p(a) \], donde \[ a \] es una nueva variable. Si en cambio tengo \[ \exists x \, p(x) \] y particularizo, de nuevo obtengo \[ p(a) \]. Las dos fórmulas \[ p(a) \] son idénticas, pero en la primera la \[ a \] es genérica y en la segunda no. Por eso digo que tienes que ir anotando las que son genéricas o no.

Y no hay ningún problema con estudiar cuándo debe particularizarse una proposición universal y cuándo una existencial, ni tampoco anotarse cuáles eran las variables genéricas y cuáles no. Al principio yo particularizaba en cualquier orden y luego aprendí que estaba mal.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 22 Marzo, 2021, 03:34 pm
Me da la sensación que no hago más que repetirme, pero vamos una vez más.

Nosotros podemos encontrar dos tipos de razonamientos: Categóricos y no categóricos. Se diferencian porque los primeros contienen cuantificadores, y los segundos no. Así pues, los razonamientos no categóricos serían "más fáciles" de manejar porque toda la cuestión de cuantificadores desaparece, y las demostraciones pueden ser más rápidas, porque la única manera de demostrar las leyes lógicas es a través de tablas de verdad. Las leyes lógicas que presento en la lista no son axiomas, porque pueden demostrarse por tablas de verdad, ni son reglas de inferencia, porque no todas las reglas de inferencia pueden demostrarse mediante tablas de verdad (los razonamientos categóricos).
El problema, tal como lo veo, es que está todo liado y así es imposible hacer nada. Lo de categórico/no categórico en referencia a cuantificadores ya es mala señal, pues esa nomenclatura hasta donde yo sé viene de los silogismos aristotélicos, que está más que superado. Nunca he visto a nadie (no filósofo) hablar de razonamientos categóricos en ese sentido.

Además aquí estás mezclando lógica proposicional con lógica de primer orden. Esto lleva a más confusiones, porque a veces usas variables proposicionales y argumentos proposicionales, y a veces de primer orden. Que es algo que no es muy problemático si las cosas están claras, pero aquí contribuye a la confusión.

Por otro lado, vuelves a confundir una vez más semántica y sintaxis. Que algo se pueda demostrar con tablas de verdad (semántica) no tiene nada que ver con que sea un axioma o no de un cierto cálculo deductivo (sintaxis).
Un axioma de un cálculo deductivo es simplemente una fórmula que puedes usar siempre que quieras en una demostración formal. Y por demostración formal me refiero aquí a una sucesión de fórmulas donde cada una es o un axioma o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia, y la última fórmula de la lista es lo que quieres demostrar. No tiene nada que ver considerar una fórmula como un axioma de un cálculo deductivo con que se pueda demostrar usando tablas de verdad o no (salvo que si quieres que el cálculo sirva para algo, más vale que los axiomas sean verdaderos).

Citar
Entonces, si quieres demostrar \( (p\iff q)\iff(p\to q\land q\to p) \) tienes que hacer la tabla de verdad de cada proposición y compararlas. Esto se PUEDE hacer en un razonamiento NO categórico, pero NO se puede hacer en uno categórico. Imagina que tienes que demostrar que \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \), ¿cómo usarías tablas de verdad con cuantificadores? Es imposible.
Para empezar, otra vez la confusión entre fórmulas y razonamientos. ¿Quieres decir demostrar la fórmula \( ((\forall x\,p(x))\to p(a)\land\forall x\,p(x))\to p(a) \) sin premisas, o demostrar el razonamiento \( (\forall x\,p(x))\to p(a), \forall x\,p(x)\vdash p(a) \)? Porque no es lo mismo.
Por otro lado, en realidad en este argumento que aparezcan cuantificadores es un accidente, porque se ajusta al esquema \[ (\phi \to \psi) \wedge \phi \to \psi \], que es una tautología sean cuales sean \[ \phi, \psi \].

Pero es que aún obviando esto, si estás en lógica de primer orden, hay una semántica que se define en términos de modelos y valuaciones, y puedes demostrar esa fórmula (pero no dar una demostración formam en un cálculo deductivo, que es otra cosa) pefectamenre razonando semánticamente en términos de modelos.

Citar
Luego no se puede afirmar que todas las reglas de inferencias sean leyes lógicas, pero tampoco afirmar que todas las leyes lógicas sean reglas de inferencia. Porque un razonamiento es VÁLIDO o INVÁLIDO (como Modus Ponens), pero las leyes lógicas son PROPOSICIONES por lo tanto se les puede asignar un VALOR de VERDAD y a los razonamientos no corresponde decirles "Es verdadero o falso", sino "Es válido o inválido".
Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

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Así que desde mi punto de vista podemos concluir que: Todos los razonamientos no categóricos válidos pueden transformarse en leyes lógicas, pero no todos los razonamientos categóricos válidos pueden hacerlo.
Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

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Nunca las habrá en un curso universitario.
No estoy de acuerdo.

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Pero según entiendo la deducción formal es un tipo de demostración formal, y los matemáticos lo usan muy a menudo. Pues aquí lo mismo, el cálculo inventado por nosotros vendría a ser un tipo de demostración formal.
Ningún matemático "normal" hace demostraciones formales. Recuerda que una demostración formal es una sucesión de fórmulas donde cada una es un axioma, o una premisa o se sigue de las anteriores usando reglas de inferencia. Si abres cualquier libro de matemáticas encontrarás cosas explicadas con palabras, pero en ninguno vas a encontrar listas de fórmulas numeradas donde te pongan al lado que tal se sigue de la fórmula número 5 y 16 por modus ponens.

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La lista completa está en el mensaje #40 y hasta ahora sigo desconociendo si con esas reglas se forma un cálculo completo (en cuyo caso su prueba sería inentendible para mí) o no (en ese caso me gustaría que des un contraejemplo de que con esas reglas no se pueda demostrar un razonamiento o una proposición).
Yo creo que no es completo. ¿Cómo demuestras algo de la forma \[ \vdash p \to p \] (sin premisas)? Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? Insisto, demostración formal atendiendo a lo que tú mismo pusiste:
Explicación del método demostrativo

Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.

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Desde luego pienso que en el cálculo inventado por nosotros estamos dando por hecho que \( \vdash \) y \( \to \) son exactamente la misma cosa.
Pero cómo van a ser lo mismo si \[ \vdash \] no es un símbolo del lenguaje formal y \[ \to \] sí. \[ p \to p \] es una fórmula proposicional, \[ p \vdash p \] no lo es. No tiene ningún sentido decir que has dado una demostración formal de \[ p \vdash p \], pero tiene todo el sentido del mundo dar una demostración formal de \[ p \to p \]. \[ p \vdash p \] es solo una manera corta de decir "existe una demostración formal de \[ p \] a partir de la premisa \[ p \]".

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Ésto: \[ (p \wedge q) \to (q \wedge p) \] puede ser visto como demostrar que el razonamiento \( p\land q\therefore q\land p \) es un razonamiento NO categórico válido, y se lo demuestra a través del método del condicional asociado (que consiste en armar un condicional cuyo antecedente es la conjunción de todas las premisas, y su consecuente es la conclusión. Luego debe demostrarse que dicho condicional es verdadero. Si lo es, el razonamiento será válido) o a través del método demostrativo. O también puede ser visto como una proposición sin más.
Mezclas demostrar algo (en la metateoría) con dar una demostración formal de una fórmula. No puedes dar una demostración formal de un razonamiento, es algo que no tiene sentido. Solamente puedes dar demostraciones formales de fórmulas. Y de nuevo, una demostración formal en un cálculo deductivo nada tiene que ver en principio con que la fórmula sea verdadera o falsa, solamente si existe una sucesión de fórmulas tal que blablabla.

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Aquí se confirma mi sospecha, y es que para nosotros \( \vdash \) y \( \to \) son dos maneras de indicar lo mismo. ¿Por qué habría que diferenciarlas según tú? ¿Porque no se conoce el teorema de la deducción? Pero si justamente nosotros estaríamos dando por probado ese teorema, entonces no hay de qué preocuparse, salvo por el hecho de estudiar si es un cálculo completo sólo con esas reglas.
Como ya he dicho antes, no son lo mismo, porque \[ \to \] es un símbolo del lenguaje formal y \[ \vdash \] no lo es. En cualquier caso el teorema de deducción es un teorema, y no creo que lo hayas probado porque en el cálculo que das parece que es falso. De nuevo, es claro que \[ p,q \vdash p \], pero a ver cómo das una demostración formal de \[ q \vdash p \to p \].

Citar
Y no hay ningún problema con estudiar cuándo debe particularizarse una proposición universal y cuándo una existencial, ni tampoco anotarse cuáles eran las variables genéricas y cuáles no. Al principio yo particularizaba en cualquier orden y luego aprendí que estaba mal.
De acuerdo. La pregunta es si en la práctica lo haces o no.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 23 Abril, 2021, 02:32 am
Hola

Antes que nada, informo que aun no me puse en contacto con el profesor para determinar si, en base a la definición de razonamiento que usamos que es ésta:

(...) la definición de razonamiento, es un conjunto de proposiciones donde una (llamada conclusión) se basa sobre las otras (llamadas premisas). (...)

se puede demostrar la validez de un razonamiento partiendo del conjunto vacío de premisas (es decir no hay premisas).

Pero intuyo que una respuesta del profesor, ahora pensándolo con más calma, puede ser la siguiente:

Dado que estamos definiendo al razonamiento donde la conclusión se basa sobre las premisas, al NO haber premisas NO existe razonamiento (dentro de lo que consideramos "razonamiento"). Analogía: Tú sabes que la base de una casa son los ladrillos; si no hay ladrillos, ¿cómo piensas construir y que se mantenga firme una casa? Por lo tanto, no tiene sentido hablar de que algo es un razonamiento si no existen premisas (i.e. conjunto vacío de premisas), puesto que la conclusión no tendría sobre qué basarse. Luego no tiene sentido la pregunta.

Una respuesta similar se me viene ante la pregunta:

(...) Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? (...)

Dado que \( p\to p \) es equivalente a \( \neg p\lor p \) es decir una tautología, luego la conclusión siempre es verdadera (porque podemos reemplazar a \( p\to p \) por \( V \)) por lo tanto no se apoyó sobre las premisas. Por lo tanto NO es un razonamiento luego no tiene sentido la pregunta.

Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

Dado que hay situaciones en las cuales poner \( \iff \) varias veces contiguas puede resultar confuso, se ha preferido hacer uso de un símbolo que permita establecer una especie de "orden de precedencia". Por ejemplo, al establecer la equivalencia del condicional (ley lógica número 10):

\( p\iff q\equiv(p\to q)\land(q\to p). \)

Si no usáramos el símbolo \( \equiv \) se vería más "engorroso":

\( p\iff q\iff(p\to q)\land(q\to p) \)

porque habría que agregar paréntesis a \( p\iff q \). Por estas cosas se optó por convenir en que \( \equiv \) es exactamente lo mismo que \( \iff \) bajo el contexto de la lógica. (En congruencias significa otra cosa por ejemplo.)

Por tanto, respondiendo a tu pregunta, \( p\equiv\neg(\neg p) \) es decir \( p\iff\neg(\neg p) \) es obvio que es una fórmula proposicional y es equivalente a una tautología, se comprueba mediante tablas de verdad.

Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

Pensando un poco llegué a la conclusión de que, en primer lugar, las leyes lógicas que he puesto en la Tabla son todas equivalencias lógicas, puedes ir a comprobar. Razonamientos como Modus Ponens no pueden ir "en los dos sentidos". Es decir este razonamiento es válido:

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\\\hline
q
\end{array}
 \)

pero a partir de \( q \), yo no puedo obtener las dos conclusiones en simultáneo \( p \) y \( p\to q \). Es decir, sólo a partir de \( q \) se puede obtener \( p\to q \) (razonamiento válido) pero no \( p \) (razonamiento inválido).

Sí existen razonamientos los cuales, creo yo, pueden "convertirse" en leyes lógicas, como lo es el razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
p\\\hline
\neg(\neg p)\\
\end{array}
 \)

Este es un razonamiento válido y también lo es

\(
\begin{array}{l}
\neg(\neg p)\\\hline
p\\
\end{array}
 \)

luego como en los dos sentidos el razonamiento resultó válido, es una ley lógica. Aunque considero que hay muy pocos razonamientos con esta cualidad, ni se consideran en la asignatura ni yo los he usado para nada.

En segundo lugar, modus ponens no es una ley lógica porque, de vuelta, existen los razonamientos categóricos, aquellos que contienen cuantificadores. Si te fijas bien, en las reglas de inferencia de la Tabla no puse \( p,q,\dots \) sino que utilicé letras mayúsculas. Esto es porque las minúsculas por sí solas las solemos utilizar para denotar a proposiciones que no contienen cuantificadores, mientras que proposiciones en mayúscula o con paréntesis que encierran variables (ejemplos: \( A\land\neg B \) y \( p(x)\lor q(x,y,z) \), respectivamente), pueden formar parte de razonamientos categóricos. Por eso que las reglas de inferencia "básicas" (de la Tabla) se usen mayúsculas; para abarcar tanto a razonamientos categóricos como no categóricos.

Creo que contesté a las preguntas más importantes que me hiciste. Si no es así por favor escríbelas de nuevo así las reviso.

Perdona si he usado la palabra "categórico" con frecuencia, considero que te molesta que la use, pero no pude encontrar un término similar.

Saludos
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 23 Abril, 2021, 09:30 pm
Yo creo que me voy a rendir ya. Porque no hago más que repetirme y creo que ya no lleva a ninguna parte. Si estás contento con como haces las cosas pues ya está.

Pero intuyo que una respuesta del profesor, ahora pensándolo con más calma, puede ser la siguiente:

Dado que estamos definiendo al razonamiento donde la conclusión se basa sobre las premisas, al NO haber premisas NO existe razonamiento (dentro de lo que consideramos "razonamiento"). Analogía: Tú sabes que la base de una casa son los ladrillos; si no hay ladrillos, ¿cómo piensas construir y que se mantenga firme una casa? Por lo tanto, no tiene sentido hablar de que algo es un razonamiento si no existen premisas (i.e. conjunto vacío de premisas), puesto que la conclusión no tendría sobre qué basarse. Luego no tiene sentido la pregunta.

Una respuesta similar se me viene ante la pregunta:

(...) Si insistes en que un razonamiento debe tener premisas, ¿cómo demuestras algo del estilo \[ q \vdash p \to p \]? (...)

Dado que \( p\to p \) es equivalente a \( \neg p\lor p \) es decir una tautología, luego la conclusión siempre es verdadera (porque podemos reemplazar a \( p\to p \) por \( V \)) por lo tanto no se apoyó sobre las premisas. Por lo tanto NO es un razonamiento luego no tiene sentido la pregunta.
Pues creo recordar que pusiste alguna vez un "razonamiento" donde había una premisa que no se usaba. Por lo mismo no debería contar como razonamiento pues no se apoya sobre todas las premisas. Al margen de esto, esa restricción es algo problemática a nivel técnico, más que nada porque tienes herramientas como el teorema de deducción que dejan de estar disponibles.

Citar
Pues ya la hemos liado otra vez. Algunas preguntas: ¿Es \[ p \equiv \neg \neg p \] una fórmula proposicional? ¿Es \[ \equiv \] un símbolo lógico que puede aparecer en una fórmula? ¿Es \[ \equiv \] lo mismo que \[ \iff \]? ¿Si es lo mismo, por qué usamos dos símbolos distintos para denotar exactamente lo mismo?

Dado que hay situaciones en las cuales poner \( \iff \) varias veces contiguas puede resultar confuso, se ha preferido hacer uso de un símbolo que permita establecer una especie de "orden de precedencia". Por ejemplo, al establecer la equivalencia del condicional (ley lógica número 10):

\( p\iff q\equiv(p\to q)\land(q\to p). \)

Si no usáramos el símbolo \( \equiv \) se vería más "engorroso":

\( p\iff q\iff(p\to q)\land(q\to p) \)

porque habría que agregar paréntesis a \( p\iff q \). Por estas cosas se optó por convenir en que \( \equiv \) es exactamente lo mismo que \( \iff \) bajo el contexto de la lógica. (En congruencias significa otra cosa por ejemplo.)

Por tanto, respondiendo a tu pregunta, \( p\equiv\neg(\neg p) \) es decir \( p\iff\neg(\neg p) \) es obvio que es una fórmula proposicional y es equivalente a una tautología, se comprueba mediante tablas de verdad.
Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

Citar
Entonces, ¿por qué no consideras a modus ponens como una ley lógica, si es un razonamiento no categórico?

Pensando un poco llegué a la conclusión de que, en primer lugar, las leyes lógicas que he puesto en la Tabla son todas equivalencias lógicas, puedes ir a comprobar. Razonamientos como Modus Ponens no pueden ir "en los dos sentidos". Es decir este razonamiento es válido:

\(
\begin{array}{l}
p\to q\\
p\\\hline
q
\end{array}
 \)

pero a partir de \( q \), yo no puedo obtener las dos conclusiones en simultáneo \( p \) y \( p\to q \). Es decir, sólo a partir de \( q \) se puede obtener \( p\to q \) (razonamiento válido) pero no \( p \) (razonamiento inválido).

Sí existen razonamientos los cuales, creo yo, pueden "convertirse" en leyes lógicas, como lo es el razonamiento:

\(
\begin{array}{l}
p\\\hline
\neg(\neg p)\\
\end{array}
 \)

Este es un razonamiento válido y también lo es

\(
\begin{array}{l}
\neg(\neg p)\\\hline
p\\
\end{array}
 \)

luego como en los dos sentidos el razonamiento resultó válido, es una ley lógica. Aunque considero que hay muy pocos razonamientos con esta cualidad, ni se consideran en la asignatura ni yo los he usado para nada.
Es verdad que modus ponens no va en los dos sentidos, pero igualmente se puede convertir en una tautología: \[ (p \wedge (p \to q))\to q \] es una tautología. Por otro lado lo que significa el símbolo \[ \equiv \] (en la versión ortodoxa de la lógica matemática) es precisamente lo que apuntas al final, que el razonamiento va en ambos sentidos. Y no hay tan pocos, de hecho son infinitos (para empezar, todas las "leyes lógica" de tu lista).

Citar
En segundo lugar, modus ponens no es una ley lógica porque, de vuelta, existen los razonamientos categóricos, aquellos que contienen cuantificadores. Si te fijas bien, en las reglas de inferencia de la Tabla no puse \( p,q,\dots \) sino que utilicé letras mayúsculas. Esto es porque las minúsculas por sí solas las solemos utilizar para denotar a proposiciones que no contienen cuantificadores, mientras que proposiciones en mayúscula o con paréntesis que encierran variables (ejemplos: \( A\land\neg B \) y \( p(x)\lor q(x,y,z) \), respectivamente), pueden formar parte de razonamientos categóricos. Por eso que las reglas de inferencia "básicas" (de la Tabla) se usen mayúsculas; para abarcar tanto a razonamientos categóricos como no categóricos.
Pero es que las leyes lógicas también sirven si pones cuantificadores. Es decir, por ejemplo, es verdad que \[ \neg \neg (\forall x p(x)) \] es lógicamente equivalente a \[ \forall x p(x) \] (o si lo prefieres, \[ (\neg \neg (\forall x p(x)) \iff \forall x p(x) \] es una tautología). Y esto debe poder demostrarse en el cálculo deductivo.

Citar
Creo que contesté a las preguntas más importantes que me hiciste. Si no es así por favor escríbelas de nuevo así las reviso.

Perdona si he usado la palabra "categórico" con frecuencia, considero que te molesta que la use, pero no pude encontrar un término similar.

Tampoco es que me moleste lo de "categórico", es que es terminología un tanto obsoleta desde mi punto de vista. En cualquier caso, como dije al principio yo me rindo ya. Si estás satisfecho con tu manera de proceder pues ya está bien.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 25 Abril, 2021, 07:25 pm
Hola

Yo creo que me voy a rendir ya. Porque no hago más que repetirme y creo que ya no lleva a ninguna parte. Si estás contento con como haces las cosas pues ya está.

No es eso. Quiero buscar un punto de equilibrio entre lo que dicen la mayoría de lógicos, y lo que tratamos de llevar a un curso de 1er año de Ingeniería. Si te molesta que haga eso, te pido disculpas, no es mi intención aburrirte sino aprender a cómo parchear posibles problemas.

Pues creo recordar que pusiste alguna vez un "razonamiento" donde había una premisa que no se usaba. Por lo mismo no debería contar como razonamiento pues no se apoya sobre todas las premisas.

Si alguna vez dije eso, pido perdón porque no es lo que quise decir. Vuelvo:

Sabemos que un razonamiento es un conjunto de proposiciones en las cuales, una de ellas llamada conclusión, se basa sobre las demás llamadas premisas.

Cuando hablo de se basa sobre las demás llamadas premisas, no se sobreeentiende que son todas. Por ejemplo, si te pregunto si en el proceso de fabricación de una silla usaste madera, me dirías que sí, porque en algún momento de la fabricación lo usaste, no en cada parte del proceso de fabricación.

De todas maneras te presento la prueba del razonamiento \( q\therefore p\to p \) en base a las propiedades de la Tabla:

\(
\begin{array}{c|l|c}
&&\text{Leyes lógicas}\\\hline
1&\text{Involución}&\neg(\neg p)=p\\\hline
2&\text{Conmutatividad}&p\land q\equiv q\land p\qquad p\lor q\equiv q\lor p \\\hline
3&\text{Asociatividad}&p\land(q\land r)\equiv(p\land q)\land r\qquad p\lor(q\lor r)\equiv(p\lor q)\lor r \\\hline
4&\text{Distributividad}&\begin{array}{c}p\land(q\lor r)\equiv(p\land q)\lor(p\land r)\\p\lor(q\land r)\equiv(p\lor q)\land(p\lor r)\end{array} \\\hline
5&\text{Idempotencia}&p\land p\equiv p\qquad p\lor p\equiv p \\\hline
6&\text{DeMorgan}&\neg(p\land q)\equiv\neg p\lor\neg q\qquad\neg(p\lor q)\equiv\neg p\land\neg q \\\hline
7&\text{Absorción}&p\land(p\lor q)\equiv p\qquad p\lor(p\land q)\equiv p \\\hline
8&\text{Identidad}&p\land V\equiv p\qquad p\lor F\equiv p \\\hline
9&\text{Dominación}&p\lor V\equiv V\qquad p\land F\equiv F \\\hline
10&\text{Bicondicional}&p\iff q\equiv p\to q\land q\to p \\\hline
11&\text{Condicional}&p\to q\equiv\neg p\lor q \\\hline
12&\text{Tercero excluido}&p\lor\neg p\equiv V \\\hline
13&\text{Simplificación}&p\land q\to p\equiv V \\\hline
14&\text{Adición}&p\to p\lor q\equiv V \\\\
&&\text{Principales reglas de inferencia}\\\hline
1&\text{Modus Ponens}&A\to B,A\therefore B \\\hline
2&\text{Modus Tollens}&A\to B,\neg B\therefore\neg A \\\hline
3&\text{Silogismo hipotético}&A\to B,B\to C\therefore A\to C \\\hline
4&\text{Silogismo disyuntivo}&A\lor B,\neg A\therefore B \\\hline
5&\text{Ley de Combinación}&A,B\therefore A\land B \\\hline
6&\text{Particularización Universal}&\forall x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
7&\text{Particularización Existencial}&\exists x\,p(x)\therefore p(a)\\\hline
8&\text{Generalización Universal}&p(a)\therefore\forall x\,p(x)\quad\text{(si \(a\) es genérico)}\\\hline
9&\text{Generalización Existencial}&p(a)\therefore\exists x\,p(x)\\
\end{array}
 \)

y en base al método demostrativo:

Explicación del método demostrativo
Es un método más formal y ordenado, que elabora una lista numerada de proposiciones lógicas con el objetivo de llegar a tener en algún elemento de la lista a la conclusión del razonamiento.

Las proposiciones se pueden incorporar a la lista sólo por tres motivos:

a) Ser premisas.
b) Ser equivalencias lógicas de otras proposiciones anteriores de la lista.
c) Obtenerse a partir de otras proposiciones anteriores de la lista a través de reglas de inferencia.
[cerrar]

\(
\begin{array}{cll}
1)&q&\text{Premisa}\\
2)&q\land V&\text{Identidad 1) (ley 8)}\\
3)&q\land(\neg p\lor p)&\text{Tercero excluido 2) (ley 12)}\\
4)&\neg p\lor p&\text{Simplificación 3) (ley 13)}\\
5)&p\to p&\text{Equivalencia del condicional 4) (ley 11)}\\
\end{array}
 \)

Comprobamos que nos basamos en la (única) premisa para poder demostrarlo, por lo que se considera un razonamiento (válido).

Al margen de esto, esa restricción es algo problemática a nivel técnico, más que nada porque tienes herramientas como el teorema de deducción que dejan de estar disponibles.

¿Cuál restricción? ¿Por qué deja de estar disponible?

Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). (...)

Entiendo perfectamente lo que indicas. Pero recuerda que no entramos en ese nivel de detalles en el curso. Si lo prefieres, puedo usar en todos lados \( \iff \) en vez de \( \equiv \), no tengo problema.

El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Pero la regla que nos permite pasar de \( p\iff q \) a \( (p\to q)\land(q\to p) \) es la llamada Bicondicional, que es la ley lógica nº 10 de la Tabla. ¿Por qué dices que no existe tal regla? Y aunque no fuera una regla de inferencia, te invito a plantear un razonamiento del cual no pueda demostrarlo a partir de solamente las leyes y reglas que he puesto, porque si en un razonamiento tenemos \( (\forall x\,p(x))\iff(\exists y\,q(y)) \) por la ley 10 se puede pasar a \( [(\forall x\,p(x))\to(\exists y\,q(y))]\land[(\exists y\,q(y))\to(\forall x\,p(x))] \).

(...) Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

Sí, es igual de engorroso, pero que \( \to \) se use bastante más que \( \iff \) no implica que \( \to \) aparezca más veces en vecindades junto a \( \to \) que como aparece \( \iff \). Al menos en nuestro curso no.

Es verdad que modus ponens no va en los dos sentidos, pero igualmente se puede convertir en una tautología: \[ (p \wedge (p \to q))\to q \] es una tautología. Por otro lado lo que significa el símbolo \[ \equiv \] (en la versión ortodoxa de la lógica matemática) es precisamente lo que apuntas al final, que el razonamiento va en ambos sentidos. Y no hay tan pocos, de hecho son infinitos (para empezar, todas las "leyes lógica" de tu lista).

¿Por qué usas comillas para referirte a las leyes lógicas de la lista?

Pero es que las leyes lógicas también sirven si pones cuantificadores. Es decir, por ejemplo, es verdad que \[ \neg \neg (\forall x p(x)) \] es lógicamente equivalente a \[ \forall x p(x) \] (o si lo prefieres, \[ (\neg \neg (\forall x p(x)) \iff \forall x p(x) \] es una tautología). Y esto debe poder demostrarse en el cálculo deductivo.

Es correcto. No sé en qué punto dije lo contrario y me gustaría encontrarlo así me retracto. Entiendo a lo que vas, porque según nosotros deberíamos ser capaces de poder demostrarlo por tablas de verdad, pero es imposible. Hay que hacerlo pensando en razonamientos, pero al principio dijimos que es una ley lógica, y no todas las leyes lógicas son razonamientos, por lo que aquí has descubierto un hueco de la teoría que llevamos adelante, ¿no?

Tampoco es que me moleste lo de "categórico", es que es terminología un tanto obsoleta desde mi punto de vista. En cualquier caso, como dije al principio yo me rindo ya. Si estás satisfecho con tu manera de proceder pues ya está bien.

No quiero que te rindas. Como dije antes, a partir de ahora voy a usar siempre \( \iff \) para no referirme a metasímbolos, pero no quiero dejar de leerte, porque me aportas mucho.

Saludos

Editado
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: manooooh en 25 Abril, 2021, 07:42 pm
He cambiado una parte del mensaje anterior en rojo.
Título: Re: Dadas tres premisas y dos conclusiones, decidir si son válidas o no
Publicado por: geómetracat en 02 Mayo, 2021, 08:38 pm
\(
\begin{array}{cll}
1)&q&\text{Premisa}\\
2)&q\land V&\text{Identidad 1) (ley 8)}\\
3)&q\land(\neg p\lor p)&\text{Tercero excluido 2) (ley 12)}\\
4)&\neg p\lor p&\text{Simplificación 3) (ley 13)}\\
5)&p\to p&\text{Equivalencia del condicional 4) (ley 11)}\\
\end{array}
 \)

Comprobamos que nos basamos en la (única) premisa para poder demostrarlo, por lo que se considera un razonamiento (válido).
Es verdad, aunque es algo tramposo en el sentido de que en realidad \[ p \to p \] es demostrable (y una tautología) independientemente de la premisa \[ q \]. En tu demostración la haces aparecer pero en realidad debería ser superflua. De hecho, deberías admitir como axioma \[ V \] y entonces no sería necesario usar la premisa, porque en el fondo solamente la usas para deducir \[ V \].

Citar
¿Cuál restricción? ¿Por qué deja de estar disponible?
Que no admitas razonamientos sin premisas. Entonces ya no puedes decir (en principio) que si \[ \varphi \vdash \psi \] entonces \[ \vdash \varphi \to \psi \], porque para ti lo último no es un razonamiento.

Citar
Yo te puedo decir que la respuesta ortodoxa es que \[ \iff \] y \[ \equiv \] no significan lo mismo (y si no te lo crees, te reto a encontrar un libro o alguna fuente donde diga explícitamente que son lo mismo, o que uno es una abreviatura del otro). Lo primero es un símbolo lógico del sistema formal, y lo segundo es un símbolo del metalenguaje (es decir, no puede aparecer en una fórmula). Cuando escribimos \[ A \equiv B \] quiere decir que \[ A \vdash B \] y \[ B \vdash A \], es decir, \[ A \] y \[ B \] son interderivables (como lo que pones al final del mensaje sobre \[ \neg \neg p \] y \[ p \], lo puedes escribir \[ \neg \neg p \equiv p \]). (...)

Entiendo perfectamente lo que indicas. Pero recuerda que no entramos en ese nivel de detalles en el curso. Si lo prefieres, puedo usar en todos lados \( \iff \) en vez de \( \equiv \), no tengo problema.

El problema de considerar \[ \iff \] y \[ \equiv \] lo mismo, es que necesitas alguna regla que te permita pasar de \[ A \iff B \] a \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \], y en tu lista no hay ninguna. La tautología \[ (A \iff B) \iff (A \to B) \wedge (B \to A) \] no te sirve aquí porque no es una regla. Es decir, puedes poner eso en cualquier momento en una demostración, pero si tienes \[ A \iff B \] en una demostración, con tus reglas no hay manera posible de deducir \[ (A \to B) \wedge (B \to A) \].

Pero la regla que nos permite pasar de \( p\iff q \) a \( (p\to q)\land(q\to p) \) es la llamada Bicondicional, que es la ley lógica nº 10 de la Tabla. ¿Por qué dices que no existe tal regla? Y aunque no fuera una regla de inferencia, te invito a plantear un razonamiento del cual no pueda demostrarlo a partir de solamente las leyes y reglas que he puesto, porque si en un razonamiento tenemos \( (\forall x\,p(x))\iff(\exists y\,q(y)) \) por la ley 10 se puede pasar a \( [(\forall x\,p(x))\to(\exists y\,q(y))]\land[(\exists y\,q(y))\to(\forall x\,p(x))] \).

(...) Por otra parte no me convence lo de engorroso. ¿No te parece igual de engorroso \[ (A \to B) \to (C \to D) \] o cosas así? Sin embargo no se introduce otro símbolo "sinónimo" de \[ \to \], a pesar de que normalmente \[ \to \] se usa bastante más que \[ \iff \].

Sí, es igual de engorroso, pero que \( \to \) se use bastante más que \( \iff \) no implica que \( \to \) aparezca más veces en vecindades junto a \( \to \) que como aparece \( \iff \). Al menos en nuestro curso no.
Para mí este es el punto más importante y que me gustaría que entendieras. \[ \iff \] es un símbolo del lenguaje formal de la lógica. Entonces, me dices que tienes una tautología \[ (p \iff q) \iff (p \to q) \wedge (q \to p)  \]. La pregunta entonces es, ¿cómo das una demostración formal de que bajo la premisa \[ p \iff q \] puedes deducir \[ (p \to q) \wedge (q \to p) \]? Si solamente tienes a disposición esa tautología no lo puedes hacer. Ímplicitamente estás asumiendo que sabes que el símbolo \[ \iff \] significa "si y solo si", pero una demostración formal no debe hacer referencia al significado de los símbolos, solamente usar las reglas disponibles.

Pongamos por caso que invento un nuevo conector lógico \[ \bullet \], de manera que \[ p \bullet q \] es siempre verdadero, independientemente del valor de verdad de \[ p \] y de \[ q \]. Entonces, todas las leyes lógicas de tu lista siguen siendo tautologías si sustituyes \[ \iff \] (y \[ \equiv \]) por \[ \bullet \]. Ahora ya no es cierto que \[ p \bullet q \vdash (p \to q) \wedge (q \to p) \], porque bajo la valoración \[ p=V, q=F \] la premisa es verdadera pero la conclusión falsa. Sin embargo, en principio esto debería ser demostrable  si es que antes lo era \[ p \iff q \vdash (p \to q) \wedge (q \to p) \] porque lo único que he hecho es darte una lista de reglas que es exactamente idéntica a la que tenías antes pero cambiando \[ \iff \] por \[ \bullet \], es decir, he cambiado un símbolo por otro. Como una demostración formal es algo sintáctico que solamente hace referencia a la forma de las reglas y no a si un símbolo en concreto es una doble flechita o un punto gordo, ni al significado que le quiera dar (tablas de verdad), las demostraciones que se pueden hacer en ambos casos deberían ser idénticas, simplemente cambiado la doble flechita por el punto gordo. Esto prueba que, o bien tus demostraciones formales no son realmente demostraciones formales en cuanto a que tienes en cuenta la semántica de los símbolos del lenguaje, o bien que a pesar de que digas que \[ \iff \] y \[ \equiv \] son lo mismo en realidad no los tomas como lo mismo.


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¿Por qué usas comillas para referirte a las leyes lógicas de la lista?
No sé en qué estaba pensando, no hagas caso.

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Es correcto. No sé en qué punto dije lo contrario y me gustaría encontrarlo así me retracto. Entiendo a lo que vas, porque según nosotros deberíamos ser capaces de poder demostrarlo por tablas de verdad, pero es imposible. Hay que hacerlo pensando en razonamientos, pero al principio dijimos que es una ley lógica, y no todas las leyes lógicas son razonamientos, por lo que aquí has descubierto un hueco de la teoría que llevamos adelante, ¿no?

Parece que sí, aunque no era mi intención encontrar un hueco aquí, la verdad.
En principio, no puedes demostrar por tablas de verdad la validez de razonamientos de lógica de primer orden, que involucren cuantificadores. La semántica de la lógica de primer orden es más complicada que la de la lógica proposicional. Pero eso tampoco quiere decir que solamente se pueda probar la validez usando una demostración formal en algún cálculo deductivo. Sí que se puede razonar semánticamente.