[Piockñec]

¡Oh Carlos, muchas gracias por tus palabras! Me voy a la cama lleno de orgullo y satisfacción jajaja Sobre las cosas que has puesto en rojo, sí, tienes razón, es que me dan lapsus a veces y pongo lo contrario de lo que quiero escribir. Otro handicap por mi parte para mis lectores
¡Muchas gracias por la explicación!
No, familiarizado no estoy, he intentado varias veces leer algo de lógica, tanto de tu libro (ni terminé el primer capítulo...) como de un hilo largo sobre teoría de modelos y lenguajes de primer orden que escribiste hace tiempo. Pero voy tan lento leyendo que me aburro al instante (no eres tú, soy yo), y de la distinción semántica-sintáctica no paso jajaja ¡Soy un impaciente! Algún día me pondré y superaré mis obstáculos hasta leerlo para poder aprender de verdad

[argentinator]

En efecto, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera, pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano, sería consistente añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera que existe un número par que no es suma de dos primos.

Pero en ese caso la nueva teoría, con el axioma agregado, no tendría como modelo a los naturales (suponiendo que Goldbach es V y que AP era consistente).

[Piockñec]

En efecto, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera, pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano, sería consistente añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera que existe un número par que no es suma de dos primos.

Pero en ese caso la nueva teoría, con el axioma agregado, no tendría como modelo a los naturales (suponiendo que Goldbach es V y que AP era consistente).

Carlos, si dijeras muy brevemente qué es un modelo para que entienda lo que ha dicho argentinator, te lo agradecería mucho o Argentinator o quien lo sepa
Según recuerdo de hace tiempo que leí algo, un modelo era como una interpretación de los axiomas (y teoremas) de una teoría. Si es así, no estoy de acuerdo con Argentinator porque podríamos seguir considerando los números naturales en el marco de esas teorías, tanto la débil como la fuerte, y no encontraríamos diferencia alguna en nuestras cuentas. Pero probablemente no sea así porque no sé lo que es modelo

[feriva]

Yo también quiero preguntarle a Carlos una cosa; quiero estar seguro de si me ha quedado claro esto o entiendo algo mal:

En efecto, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera, pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano, sería consistente añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera que existe un número par que no es suma de dos primos

Deduzco que la afirmación es cierta teniendo en cuenta que “consistente” quiere decir que la teoría no se queja o no protesta al ser introducido ese axioma. Supongamos lo contrario: si nos sale no consistente (o sea, si aparece algo que contradiga algún axioma de AP, como podría ser, qué sé yo, la negación de que el sucesor de “n” es “n+1”) equivale a que es mentira la afirmación, con lo cual queda demostrada la conjetura habiendo utilizado para ello AP [cuánto nos gustaría conseguirlo, por cierto] pero hemos puesto como condición hipotética que no se puede demostrar en AP, luego estamos haciendo un razonamiento absurdo y de aquí podemos afirmar que tiene que ser consistente. ¿Es así?

[Carlos Ivorra]

Deduzco que la afirmación es cierta teniendo en cuenta que “consistente” quiere decir que la teoría no se queja o no protesta al ser introducido ese axioma. Supongamos lo contrario: si nos sale no consistente (o sea, si aparece algo que contradiga algún axioma de AP, como podría ser, qué sé yo, la negación de que el sucesor de “n” es “n+1”) equivale a que es mentira la afirmación, con lo cual queda demostrada la conjetura habiendo utilizado para ello AP [cuánto nos gustaría conseguirlo, por cierto] pero hemos puesto como condición hipotética que no se puede demostrar en AP, luego estamos haciendo un razonamiento absurdo y de aquí podemos afirmar que tiene que ser consistente. ¿Es así?

Correcto.

Carlos, si dijeras muy brevemente qué es un modelo para que entienda lo que ha dicho argentinator, te lo agradecería mucho o Argentinator o quien lo sepa
Según recuerdo de hace tiempo que leí algo, un modelo era como una interpretación de los axiomas (y teoremas) de una teoría. Si es así, no estoy de acuerdo con Argentinator porque podríamos seguir considerando los números naturales en el marco de esas teorías, tanto la débil como la fuerte, y no encontraríamos diferencia alguna en nuestras cuentas. Pero probablemente no sea así porque no sé lo que es modelo

Un modelo consiste en unos objetos sobre los que hay definidas relaciones y funciones adecuadas para que se cumplan los axiomas.

En el caso de los axiomas de Peano, éstos involucran un objeto llamado 0, una función "siguiente de" y dos funciones "suma" y "producto". Un modelo de la aritmética de Peano consiste, pues, en un conjunto en el que se ha seleccionado un objeto al que llamar "cero", una función que asigne a cada objeto un "siguiente" y dos funciones que calculen algo llamado "suma" y "producto" de dos objetos cualesquiera.

El modelo natural de la aritmética de Peano es el que tiene por objetos a los números naturales y donde el cero, el siguiente de un número, la suma de dos números y el producto de dos números son lo que todo el mundo entiende por tales cosas.

En cambio, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera y no demostrable a partir de los axiomas de Peano, existiría un modelo de dichos axiomas en los cuales sería falsa, es decir, podríamos definir unos objetos con un cero, una operación siguiente, una suma y un producto, que no serían los habituales, pero que, pese a ello, cumplirían los axiomas de Peano (y todas sus consecuencias), pero además uno de esos objetos sería un número par no expresable como suma de dos primos. Por supuesto, ese objeto no sería ni el llamado 0, ni el siguiente de 0, ni el siguiente del siguiente de 0, etc.

Lo que ha dicho argentinator es correcto: existiría un modelo así, pero no sería el formado por los números naturales, puesto que, según lo que estamos suponiendo, entre ellos no hay ningún par que no sea suma de dos primos.

No, familiarizado no estoy, he intentado varias veces leer algo de lógica, tanto de tu libro (ni terminé el primer capítulo...) como de un hilo largo sobre teoría de modelos y lenguajes de primer orden que escribiste hace tiempo. Pero voy tan lento leyendo que me aburro al instante (no eres tú, soy yo), y de la distinción semántica-sintáctica no paso jajaja ¡Soy un impaciente! Algún día me pondré y superaré mis obstáculos hasta leerlo para poder aprender de verdad

Pero eso tiene una solución muy sencilla: cuando empiezas a leer y te paras en algún punto, en lugar de pasarte dos horas pensando, pregunta lo que no entiendas. Posiblemente, al principio tendrás que hacerlo a menudo, pero luego ya no te hará falta.

[Fernando Revilla]

En efecto, si la conjetura de Goldbach fuera verdadera, pero indemostrable a partir de los axiomas de Peano, sería consistente añadir a los axiomas de Peano un axioma que dijera que existe un número par que no es suma de dos primos.

Pero en ese caso la nueva teoría, con el axioma agregado, no tendría como modelo a los naturales (suponiendo que Goldbach es V y que AP era consistente).

Si \( \mathcal{A} \) es una fórmula cerrada bien formada de \( \mathcal{N} \) (sistema formal de la aritmética de primer orden) si \( \mathcal{A} \) ni  \( \sim \mathcal{A} \) son teoremas de \( \mathcal{N} \) y suponiendo que \( \mathcal{N} \) es consistente, podemos obtener dos extensiones consistentes, una añadiendo \( \mathcal{A} \) como axioma, y otra añadiendo \( \sim \mathcal{A}. \)

Cada una de estas tendría un modelo. Lo que ocurre es que serían esencialmente diferentes en el sentido de que \( \mathcal{A} \) es verdadera en uno y \( \sim \mathcal{A} \) lo sería en el otro.

[argentinator]

De acuerdo Fernando.
Mas, intervine porque se estaban agregando cada vez más axiomas y suposiciones hablando de teorías cada vez màs fuertes, pero fuertes en el sentido de que prueban hechos de  las teorías con menos axiomas, y no fuerte en el sentido de saber màs cosas sobre los naturales.
En cierto momento se dejó de hablar de números naturales..

[Fernando Revilla]

De acuerdo Fernando.
Mas, intervine porque se estaban agregando cada vez más axiomas y suposiciones hablando de teorías cada vez màs fuertes, pero fuertes en el sentido de que prueban hechos de  las teorías con menos axiomas, y no fuerte en el sentido de saber màs cosas sobre los naturales.
En cierto momento se dejó de hablar de números naturales..

Entiendo.

[Elius]

Para reproducir en la teoría de números clásica la sentencia de Gödel sería necesario:

a) Plantear una ecuación diofántica.

b) Plantear que es insatisfactible, pero que este hecho no puede ser demostrado ni refutado.

c) Plantear que si se adopta a) como supuesto básico, se puede construir otra ecuación con las mismas características de incertidumbre.

Esto no parece posible en una teoría interpretada y no estratificada a nivel de lenguajes, como es la teoría clásica. En ella la única manera de plantear que una ecuación es insatisfactible es demostrándolo. No es posible en una teoría plana demostrar el hecho matemático, y a la vez demostrar que no es demostrable ni refutable.

Los métodos de Gödel son inobjetables, y el resultado no se discute: existe una sentencia formalmente indecidible en el sistema de Peano-Russell.

Pero ¿cuál es la sentencia?
La que dice que su propia transcripción numérica no es derivable de la de los axiomas. No es en sentido estricto una paradoja, pero podría llamarse una "paradoja encriptada", porque se mantiene en base a la posibilidad de una paradoja de la demostrabilidad. Por eso no tiene correlato en la teoría clásica de números, ni interpretación práctica alguna.

¿Puede sostenerse fuera de ese paralelismo trazado en los estrechos márgenes del lenguaje formal?
El hecho mismo de la indecidibilidad está determinado por el lenguaje simbólico y las constantes numéricas, y en la teoría clásica sólo tenemos los functores y las constantes.
Por esto, la incompletitud está lejos de afectar a la aritmética que se conoce desde Pitágoras (incluídos sus métodos de demostración), y tampoco lo esencial de Principia Mathematica de Whitehead y Russell. Sólo afectó el programa de Hilbert. De hecho, en los papers publicados sobre teoría de números no se cita a los teoremas de incompletitud, ni se usan implícitamente, y en general, tampoco lo hacen en otras ramas de la matemática. Sólo son citados y/o usados en contextos lógicos o filosóficos.

Esto es básicamente lo que planteó Ludwig Wittgenstein ([1956]: “Remarks on the Foundations of Mathematics”, G.H. von Wright, R. Rhees, and G.E.M. Anscombe, eds.; Anscombe, trans. (Cambridge: MIT, 1978, revised edition), I, Appendix III; traducción española Alianza Ed.). Es muy crítico de las interpretaciones que se hicieron de esos resultados, incluídas las del propio Gödel, que implican un profundo platonismo metafísico. Dado que sólo se conservaron notas póstumas, la redacción es confusa, y fue descalificado por los académicos, que lo acusaron de no comprender, o incluso menoscabar, a Gödel. Pero a partir de Stuart Shanker ("Gödel's Theorem in Focus", Routledge, 1988) se produce una revalorización de sus críticas, actualizadas por Juliet Floyd y Hilary Putnam [2000]: “A note on Wittgenstein's 'notorious paragraph' about the Gödel theorem”, The Journal of Philosophy, 97, pp. 624-632.

No cuestiona la demostración, sino la interpretación filosófica, de un modo muy redical: demostrado está, pero ¿qué agregó o quitó en la aritmética pura y dura? Además de cuestionar la noción metafísica de "verdad indemostrable".

Lo antedicho no implica desconocer la importancia del trabajo de Gödel; la teoría de la recursión y la de la computabilidad fueron inauguradas por él.
Pero en cuanto a la incompletitud, su importancia es más filosófica que estrictamente matemática o metamatemática, si entendemos esta última como investigación de los métodos y recursos de la primera.

En este paper se comentan debates sobre este tema desde 1988 a la fecha, y se cita numerosos papers actualizados:

https://www.academia.edu/s/c1e7a48b37