Hola.
Nos queda demostrar que la cantidad de naturales \( m\leq pq \),que pueden representarse como suma de dos múltiplos de p y q, con \( (p, q) = 1 \), está dada por la expresión:
\( \alpha (p,q)=\dfrac{(p-1)(q-1)}{2} \)
Es decir, \( x p + y q = m \) tendrá solución para \( \alpha (p,q) \) enteros m, con \( 1\leq m\leq p q \).
Pero antes demostraremos el siguiente lema :
Dados los enteros positivos p, q, tales que \( p > q \; y \; (p, q) = 1 \), se cumple
Editado
\( \displaystyle\sum _{k=1}^{q-1}\left\lfloor \frac{kp}{q}\right\rfloor =\dfrac{(p-1)(q-1)}{2} \)
Dem :
Sean \( r_{1,}\ldots ,r_{q-1} \), los restos de dividir \( \dfrac{\text{ip}}{q} \text{ para } i=1,\ldots ,q-1 \), se tiene
\( \dfrac{p-r_i}{q}=\left\lfloor \dfrac{\text{ip}}{q}\right\rfloor \)
Como \( (p,q)=1, \text{ si } 1\leq t<q-1 \)
\( \exists n: n p\equiv t \bmod q\text{ con } 1\leq n< q-1 \)
En efecto, haciendo \( n\equiv p^{-1}t \bmod q \) además si
\( 1\leq m< q-1 \;y\; mp \equiv t \bmod q, \text{ se tiene } n-m\equiv 0 \bmod q \)
pero como \( n,m<q \) deberá ser \( m=n \)
Consecuentemente
\( \left\{r_i:1\leq i<q\right\}=\{i:1\leq i<q\} \)
De donde podemos escribir
\(
\setcounter{equation}{14}
\begin{eqnarray}
\displaystyle\sum _{i=1}^{q-1} \left\lfloor \dfrac{i p}{q}\right\rfloor &=&\sum _{i=1}^{q-1} \dfrac{i p-r_i}{q}\\
&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{q-1}\dfrac{i p}{q}-\sum _{i=1}^{q-1} \dfrac{i}{q}\\
&=&\dfrac{p}{q}\dfrac{q(q-1)}{2}-\dfrac{1}{q}\dfrac{q(q-1)}{2}\\
&=&\dfrac{(p-1)(q-1)}{2}
\end{eqnarray}
\)
Con lo que queda demostrado el lema.
Saludos.
