[ancape]

Hola

A propósito del tema comenzado por bb1 en  https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124382.msg504746#msg504746 adjunto un artículo que escribí en 2015 para ilustrar mis clases cuando era profesor de la ETSAM. Espero que os sea de utilidad.

Saludos

[ani_pascual]

Muy interesante. Me parece que también se puede obtener la ecuación de la catenaria usando el enfoque del cálculo variacional con una condición de ligadura. El principio que determina la forma real que adopta el cable es el de que la energía potencial gravitatoria sea mínima. Se atribuye a Leonhard Euler la frase: "Puesto que el universo es perfecto y fue creado por el Creador más sabio, nada ocurre en él sin que esté presente alguna ley de máximo o mínimo". Hace tiempo intenté hacer los cálculos pero me lié con las constantes tras resolver la ecuación diferencial que se obtiene al plantear la ecuación de Euler-Lagrange asociada al problema. Agradecería alguna referencia a esos cálculos. Gracias con antelación.

[ancape]

Muy interesante. Me parece que también se puede obtener la ecuación de la catenaria usando el enfoque del cálculo variacional con una condición de ligadura.
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Agradecería alguna referencia a esos cálculos. Gracias con antelación.

Hola ani_pascual

Efectivamente, tienes razón en que se pueden utilizar métodos variacionales en el cálculo de las ecuaciones de la Catenaria. El no hacerlo así, fue debido a que los destinatarios del artículo eran estudiantes de Arquitectura lo que primaba una demostración que utilizase equilibrios de fuerzas. En un artículo sobre la catenaria https://www.uv.es/~ivorra/Libros/Catenaria.pdf , Carlos Ivorra (administrador en este foro), comenta la posibilidad de utilizar el principio de minimizar la energía potencial gravitatoria y así usar el cálculo de variaciones para obtener la catenaria. No obstante no sigue por ese camino que llevaría a utilizar armas muy potentes en un problema que tiene una base muy física.

En todo caso, puedes ver el uso de métodos variacionales, de forma algo más sencilla en la identificación de Braquistócrona, Tautócrona y Cicloide que se hace en https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona. También puedes ver un artículo que publiqué en mis tiempos de profesor en la ETSAM. http://dma.aq.upm.es/profesor/acasas/L02%20-%20DOC-Ciclioide,%20Braquistocrona%20y%20Tautocrona.pdf

Saludos

[ani_pascual]

Hola ani_pascual

Efectivamente, tienes razón en que se pueden utilizar métodos variacionales en el cálculo de las ecuaciones de la Catenaria. El no hacerlo así, fue debido a que los destinatarios del artículo eran estudiantes de Arquitectura lo que primaba una demostración que utilizase equilibrios de fuerzas.
......

Saludos

Hola ancape:
Muchas gracias por toda la información. En cuanto pueda consultaré las referencias.
Según mis cálculos, se obtiene una EDO de segundo orden en la que no aparece la variable \(  x  \), y tras el cambio
\( \\y'=p \)
se pasa a una de variables separadas y que es fácil de integrar. Mi problema es que no sé cómo justificar los valores de las constantes para que la expresión final sea
\( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right) \)
pues me parece que no es suficiente con las condiciones de ligadura. En cualquier caso, cuando analice esos artículos, espero aclararme. Muchas gracias de nuevo. 🖐🏻

[ancape]

....... Mi problema es que no sé cómo justificar los valores de las constantes para que la expresión final sea
\( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right) \)......

Hola ani_pascual

La ecuación de una catenaria es \( y=y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right) \) sólo cuando se eligen unos ejes muy específicos de forma que el punto de descenso máximo es justo el valor \( y_0 \) en otro caso hay que considerar más constantes. En la hoja de Geogebra que acompañé en mi primera respuesta a  bb1 https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124382.msg504746#msg504746 uno de los problemas que tuve era ajustar las diferentes catenarias que se obtenían al mover los extremos y ser fija la longitud. Tuve que recurrir a la expresión más amplia \( y=y_1+y_0\cosh\left(\dfrac{x}{y_0}\right) \) que utiliza dos constantes. En general, la familia de catenarias dependerá de 3 constantes. Puedes ver el desarrollo completo en el artículo que mencioné de Carlos Ivorra https://www.uv.es/~ivorra/Libros/Catenaria.pdf. El artículo está muy bien explicado pero si tienes alguna duda puedes consultársela directamente al propio Carlos pues es de este foro.

Un saludo