Hola, estoy estudiando el teorema de Hadamard y para ello necesito estudiar el siguiente lema:
Lema: Sea M, N variedades Riemannianas y sea \( f: M \rightarrow{N} \) un difeomorfismo local. Si M es completa y para todo punto \( p \in M \) y todo \( v \in T_pM \) se tiene \( \left |{df_p(v)}\right | \geq{\left |{v}\right |} \), entonces \( f \) es una aplicación de recubrimiento. (
libro Manfredo Do Carmo, Geometria Riemanniana.)
Para probar el lema se utiliza la siguiente propisición: sea \( \pi: \tilde{B} \rightarrow{B} \) un homeomorfismo local con la propierad de levantar curvas. Si \( B \) es localmente simplemente conexo y \( \tilde{B} \) es localmente conexo por caminos, entonces \( \pi \) es una aplicacion de recubrimiento. Luego, para probar el lema faltaria probar que \( f \) posee la propiedad de levantar curvas.
ideas de la prueba del lema- Fijamos una curva diferenciable \( c: [0,1] \rightarrow{N} \) con \( c(0)=p \) y consideramos el punto \( q \in M \) tal que \( f(q)=p \).
- Consideramos vecindades \( V\subset{N} \) y \( U \subset{M} \) de \( p \) y \( q \), tal que \( f:U\rightarrow{V} \) es un difeomorfismo.
- Si \( c([0,1]) \subset{V} \), podemos definir la curva de levantamiento como \( \bar{c}=f^{-1}\circ{c} \) y tenemos el resultado.
- Si \( c([0,1]) \not\subset V \) solo podemos levantar un pedazo de la curva \( c \), mediante la curva \( \bar{c}: [0, \epsilon]\rightarrow{M} \) para algún \( \epsilon>0 \). En este caso definimos \( A \) el intervalo máximo en el cual la curva \( c \) puede ser levantada.
- Tenemos que \( [0, \epsilon]\subseteq{A} \), podemos probar que \( A=[0,t_0) \), \( t_0 \in (0, 1] \) (es abierto en \( [0,1] \)) y queremos probar que \( A \) es cerrado en \( [0,1] \). Para probar que es cerrado, debemos probar que \( t_0 \in A \). Como \( t_0 \in \bar{A} \), existe una sucesión creciente \( \left\{{t_n}\right\} \subset{A} \) tal que \( t_n \rightarrow{t_0} \). Afirmamos que \( \left\{{\bar{c}(t_n)}\right\} \) es de Cauchy. En efecto, dados \( t_n, t_m \in \left\{{t_n}\right\} \) con \( t_n < t_m \) tenemos
\( d(\bar{c}(t_n), \bar{c}(t_m)) \leq l(\bar{c}\vert_{[t_n,tm]})= \displaystyle\int_{t_n}^{t_m}\left |{\bar{c}^\prime(s)}\right |ds \leq{\displaystyle\int_{t_n}^{t_m}} \left |df_{\bar{c}(s)}(\bar{c}^\prime(s)) \right | ds = \displaystyle\int_{t_n}^{t_m} \left |{c}^\prime(s) \right|ds= l({c}\vert_{[t_n,tm]}). \)
Luego se afirma que como \( \left\{{t_n}\right\} \) es convergente entonces se tiene que \( l({c}\vert_{[t_n,tm]})\rightarrow{0} \).
Mi pregunta es, ¿por qué puedo afirmar lo que está en rojo? y ¿por qué de entrada no puedo usar el mismo argumento para decir que \( l(\bar{c}\vert_{[t_n,tm]})\rightarrow{0} \)?
Agradezco de antemano por las respuestas.
\( \)
