Hola
Sea $$f:[a, b] \to \mathbb{R}$$ una función acotada y integrable en $$[a, c]$$ para todo $$c \in (a, b)$$. Probad que f es integrable en $$[a, b]$$ y que $$\int_{a}^{b}f=\lim_{c \to{b^-}}{\int_{a}^{c}f}$$
Muchas gracias
Supón que la función está acotada, en valor absoluto por \( M \).
Dado \( \epsilon>0 \) toma \( c\in [a,b] \) tal que \( 2M(b-c)<\epsilon/2 \). Por ser la función integrable en \( [a,c] \) existe una partición \( P \) de \( [a,c] \) tal que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/2 \). Añadéle el punto \( b \), \( P\cup \{c\} \) y comprueba que la diferencia entre la suma superior e inferior es menor que \( \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \).
Para la segunda parte usa que:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f=\displaystyle\int_{a}^{c}f+\displaystyle\int_{c}^{b}f \)
y que:
\( \left|\displaystyle\int_{c}^{b}f\right|\leq M(b-c) \)
Saludos.
