Autor Tema: Dificultad a la hora de simplificar la derivada de una función con tangentes

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31 Marzo, 2021, 11:34 am
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Nelson Domínguez

  • Visitante
Buenos días:

Actualmente estoy preparándome el examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de la PEvAU. En la unidad que abarca las técnicas de derivación, me he topado con la siguiente función:

\( \displaystyle f(x) = \dfrac{1-tan x}{1+tan x} \)

Según el solucionario del libro, el proceso para hallar \( \displaystyle f'(x) \) (y posteriormente simplificarla) es el siguiente:

\( \displaystyle f'(x) = \dfrac{-(1+tan^{2}x)(1+tan x) - (1 - tan x)(1+tan^{2}x)}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{(1+tan^{2}x)[-1-tan x-1 + tan x]}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{-2(1+tan^{2}x)}{(1+ tan x)^{2}} \)

El problema reside en mi incapacidad para simplificar el numerador una vez hallada la derivada. Desconozco cómo multiplicar los elementos que se encuentran entre los paréntesis para obtener, primero, \( \displaystyle {(1+tan^{2}x)[-1-tanx-1+tanx]} \) y, después, \( \displaystyle -2(1+tan^{2}x) \)). En pocas palabras, no sé cómo operar con tangentes.

31 Marzo, 2021, 11:52 am
Respuesta #1

feriva

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Hola.

Buenos días:

Actualmente estoy preparándome el examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de la PEvAU. En la unidad que abarca las técnicas de derivación, me he topado con la siguiente función:

\( \displaystyle f(x) = \dfrac{1-tan x}{1+tan x} \)

Según el solucionario del libro, el proceso para hallar \( \displaystyle f'(x) \) (y posteriormente simplificarla) es el siguiente:

\( \displaystyle f'(x) = \dfrac{-(1+tan^{2}x)(1+tan x) - (1 - tan x)(1+tan^{2}x)}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{(1+tan^{2}x)[-1-tan x-1 + tan x]}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{-2(1+tan^{2}x)}{(1+ tan x)^{2}} \)

El problema reside en mi incapacidad para simplificar el numerador una vez hallada la derivada. Desconozco cómo multiplicar los elementos que se encuentran entre los paréntesis para obtener, primero, \( \displaystyle {(1+tan^{2}x)[-1-tanx-1+tanx]} \) y, después, \( \displaystyle -2(1+tan^{2}x) \)). En pocas palabras, no sé cómo operar con tangentes.


Así a ojo y muy deprisa, si no me equivoco, tu problema no son las tangentes, sino que no ves el factor común que tienes ahí.
Saludos.

31 Marzo, 2021, 12:08 pm
Respuesta #2

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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\( \displaystyle f'(x) = \dfrac{-(1+tan^{2}x)(1+tan x) - (1 - tan x)(1+tan^{2}x)}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{(1+tan^{2}x)[-1-tan x-1 + tan x]}{(1+tan x)^{2}} = \dfrac{-2(1+tan^{2}x)}{(1+ tan x)^{2}} \)

Está suficientemente simplificada. Puedes dar un paso más escribiendo \( f^\prime (x)=-\displaystyle\frac{2\sec^2x}{(1+\tan x)^2} \).


31 Marzo, 2021, 12:20 pm
Respuesta #3

Nelson Domínguez

  • Visitante
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Así a ojo y muy deprisa, si no me equivoco, tu problema no son las tangentes, sino que no ves el factor común que tienes ahí.
Saludos.

Ahora cobra sentido la simplificación. Gracias por resolver mi duda.

Está suficientemente simplificada. Puedes dar un paso más escribiendo \( f^\prime (x)=-\displaystyle\frac{2\sec^2x}{(1+\tan x)^2} \).

Vaya. Jamás hubiera pensado que pudiera simplificarse todavía más. Debo aprender trigonometría para abordar con más facilidad este tipo de funciones. Gracias por su aportación.

31 Marzo, 2021, 11:51 pm
Respuesta #4

I am Bo

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Buenas,

Un poco más:

\( \begin{align*}
f'(x)&=-\dfrac{2\sec^2x}{(1+\tan x)^2}=- \dfrac{2\sec^2 x}{1+\tan^2x+2\tan x}\\
&=-\dfrac{2\sec^2 x}{\sec^2 x+2\tan x}=-\dfrac{2}{1+2\tan x\,\cos^2x}\\
&=-\dfrac{2}{1+2\,\sen x\,\cos x}=-\dfrac{2}{1+\sen(2x)}\end{align*} \)

Saludos.

01 Abril, 2021, 12:52 am
Respuesta #5

hméndez

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Buenas,

Un poco más:

\( \begin{align*}
f'(x)&=-\dfrac{2\sec^2x}{(1+\tan x)^2}=- \dfrac{2\sec^2 x}{1+\tan^2x+2\tan x}\\
&=-\dfrac{2\sec^2 x}{\sec^2 x+2\tan x}=-\dfrac{2}{1+2\tan x\,\cos^2x}\\
&=-\dfrac{2}{1+2\,\sen x\,\cos x}=-\dfrac{2}{1+\sen(2x)}\end{align*} \)

Saludos.

Rematemos ;)

\( -\displaystyle\frac{2}{1+sen(2x)}=-\displaystyle\frac{2}{1+cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x)}=-\displaystyle\frac{2}{2cos^2(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x)}=-sec^2(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x) \)

Saludos


01 Abril, 2021, 11:44 am
Respuesta #6

Fernando Revilla

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01 Abril, 2021, 11:58 am
Respuesta #7

Abdulai

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01 Abril, 2021, 12:08 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Remató un poco mas abajo en "Alternate forms"   ;)

En segunda instancia :).

Editado. Por si pudiera parecer que no valoro las transformaciones hechas por I am Bo y hméndez, nada más lejos de la realidad, están muy bien. Sólo que salvo en casos obvios, no existe un criterio perfectamente definido para decir que una expresión está más simplicada que otra (amén de contextos).