Autor Tema: Variación del parámetro a

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28 Marzo, 2021, 02:18 pm
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nathan

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Hola estimados amigos, estuve tratando de resolver este ejercicios, pero tuve dificultades:
Se tienen los conjuntos \[ A \] y \[ B \].
\[ A=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-a\leq 100\rbrace ; A\neq \emptyset \]
\[ B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \]
Si \[ A\cap B\neq\emptyset \], halle la variación del paBierámetro a
Bien, el conjunto B es un intervalo cerrado \[ B=[10,11] \], pero no encuentro como halla la variación del parámetro a.
Les agradecería mucho su ayuda. Gracias.
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

28 Marzo, 2021, 03:38 pm
Respuesta #1

sugata

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Tienes que hallar los valores de \( a \) tal que \( A \) esté en el intervalo \( [ 10,11]  \), de esta forma la intersección es no vacía.
Entiendo que \( B \) está bien hallado. No he revisado los cálculos.

28 Marzo, 2021, 04:42 pm
Respuesta #2

robinlambada

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Hola:
Tienes que hallar los valores de \( a \) tal que \( A \) esté en el intervalo \( [ 10,11]  \), de esta forma la intersección es no vacía.
Entiendo que \( B \) está bien hallado. No he revisado los cálculos.
Ten encuenta lo dicho por sugata, pero ojo que te has equivocado en las cuentas, el intervalo está mal, te comiste el 100, la inecuación queda:

\( x^2-21x+10\leq{0} \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

28 Marzo, 2021, 05:03 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
\[ B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \]

Supongo que has querido decir \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 0 \rbrace \), en cuyo caso

        \( x^{2}-21x+110=(x-10)(x-11)\le 0\Leftrightarrow{x\in [10,11]} \), es decir \( B=[10,11] \).

\[ A=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-a\leq 100\rbrace ; A\neq \emptyset \]

Tenemos

        \( \ x^{2}-a\leq 100\Leftrightarrow{x^2\le 100+a}\underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{si }a\ge -100}{\left |{x}\right |\le \sqrt{100+a}}\Leftrightarrow{x\in [-\sqrt{100+a},\sqrt{100+a}]} \).

Para que \( A\ne \emptyset \) se ha de verificar \( a\ge -100 \) y en tal caso,

        \( A=[-\sqrt{100+a},\sqrt{100+a}] \)

que es un intervalo centrado en el origen. Para que sea \( A\cap B\ne \emptyset \) es necesario y suficiente que se verifique \( \sqrt{100+a}\ge 10 \) esto es, que \( a\ge 0 \).

28 Marzo, 2021, 05:09 pm
Respuesta #4

hméndez

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Hola estimados amigos, estuve tratando de resolver este ejercicios, pero tuve dificultades:
Se tienen los conjuntos \[ A \] y \[ B \].
\[ A=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-a\leq 100\rbrace ; A\neq \emptyset \]
\[ B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \]
Si \[ A\cap B\neq\emptyset \], halle la variación del paBierámetro a
Bien, el conjunto B es un intervalo cerrado \[ B=[10,11] \], pero no encuentro como halla la variación del parámetro a.
Les agradecería mucho su ayuda. Gracias.

Resolviendo para x en A tienes que  \(  x\in{ [-\sqrt[ ]{100+a},\sqrt[ ]{100+a}] } \) con \( a \geq{-100} \)

Resolviendo para x en B tienes que  \(   x \in{  [\displaystyle\frac{21-\sqrt[ ]{401}}{2},\displaystyle\frac{21+\sqrt[ ]{401}}{2}]} \) intervalo de extremos positivos.

Como el intervalo para x en A es simétrico respecto al origen y crece conforme a aumenta, la solución
se encuentra resolviendo:

\( \sqrt[ ]{100+a} \geq{} \displaystyle\frac{21-\sqrt[ ]{401}}{2} \) para  \( a \geq{-100} \)

\( a \geq{}\displaystyle\frac{221-21\sqrt[ ]{401}}{2} \)

Saludos

P.D. Revisa las cuentas

28 Marzo, 2021, 05:14 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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Intuyo, como comenté en mi anterior mensaje que al escribir nathan \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \) y el mismo decir que \( B=[10,11] \), tal \( 100 \) del segundo miembro se le "coló de rondón" :).

28 Marzo, 2021, 05:51 pm
Respuesta #6

hméndez

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Intuyo, como comenté en mi anterior mensaje que al escribir nathan \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \) y el mismo decir que \( B=[10,11] \), tal \( 100 \) del segundo miembro se le "coló de rondón" :).

Sí Fernando, casi seguro que sea como dices. :)
Me esta fallando la intuición  :(

Saludos

28 Marzo, 2021, 07:01 pm
Respuesta #7

sugata

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Intuyo, como comenté en mi anterior mensaje que al escribir nathan \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \) y el mismo decir que \( B=[10,11] \), tal \( 100 \) del segundo miembro se le "coló de rondón" :).

Sí Fernando, casi seguro que sea como dices. :)
Me esta fallando la intuición  :(

Saludos

Ves, ahí no fallo yo, porque no he revisado las cuentas y le he avisado.
 :laugh: