Autor Tema: Módulos

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25 Marzo, 2021, 07:01 am
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Gabe

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Hola! Tengo un ejercicio bastante largo de módulos, son un monton de ejercicios. Escogí estos porque sí los logros resolver voy a poder con el resto de los ejercicios.

Interpretar geométricamente y resolver

\( |x-1|-|x+5|=7 \)

\( |x-1|-|x-3|=2 \)

\( |x+3|\geq 2 \)

\( |x+2|\leq |x-3| \)

Son 22 ejercicios en total, así que tengo para rato  :banghead:. Saludos!

Mensaje corregido desde la administración.

25 Marzo, 2021, 08:38 am
Respuesta #1

feriva

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Hola! Tengo un ejercicio bastante largo de módulos, son un monton de ejercicios. Escogí estos porque sí los logros resolver voy a poder con el resto de los ejercicios.

Interpretar geométricamente y resolver

(>= mayor o igual ; <= menor igual)

|x-1|-|x+5|=7


El primero no tiene solución ni en los reales, ni en módulo siete... ni en nada (si no me equivoco). Así que no sé qué puede pasar.

Saludos.

25 Marzo, 2021, 10:41 am
Respuesta #2

w a y s

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Hola.

 Corregido en la respuesta #7 (Gracias Gustavo).
Para hacer el último:

La inecuación  $$|x+2| \leq |x-3|$$ es la misma que $$|x+2|-|x-3| \leq 0$$.

Ahora tienes que considerar los tres casos siguientes: $$x \leq -2$$; $$-2 \leq x \leq 3$$ y $$3\leq x$$.

Si $$x \leq -2$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (-x-2)-(-x+3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ se cancela y no tiene solución.

Si $$-2 \leq x \leq 3$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(-x+3) \leq 0$$; de donde $$x \leq \frac{1}{2}$$.

Si $$3\leq x$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(x-3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ también se cancela luego tampoco tiene solución.

Concluimos que la solución de la inecuación es $$x \leq \frac{1}{2}$$.
[cerrar]

Saludos.

25 Marzo, 2021, 10:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola! Tengo un ejercicio bastante largo de módulos, son un monton de ejercicios. Escogí estos porque sí los logros resolver voy a poder con el resto de los ejercicios.

Interpretar geométricamente y resolver

\( |x-1|-|x+5|=7 \)

En cuanto a la interpretación geométrica, ten en cuenta que \( |x-a|= \)distancia del punto \( a \) al punto \( x \)

Entonces lo que nos piden ahí es los puntos de la recta cuya distancia al \( 1 \) sea igual a su distancia al \( -5 \) más siete.



Pero si el punto está entre ambos puntos está claro que la distancia máxima posible entre ellos es \( 6 \): no puede ser \( 7 \).

En otro caso la diferencias de distancias de un punto a \( 1 \) y a \( -5 \) es siempre \( 6 \) y tampoco es \( 7 \).

Por eso no hay solución.

Algebraicamente para quitar los valores absolutos basta que consideres los casos:

1) \( x\leq -5 \)

Entonces \( x+5\leq 0 \) y \( |x+5|=-x-5 \). Además \( x-1\leq -5-1=6 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(-x-5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad 6=7 \) IMPOSIBLE

2) \( -5\leq x\leq 1 \)

Entonces \( x+5\geq 0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\leq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -2x=11\quad \Leftrightarrow{}\quad x=-11/2 \)

Pero \( x=-11/2 \) no cumple \( -5\leq x\leq 1 \), por lo que no es solución.

3) \( x>1 \)

Entonces \( x+5\geq 1+5>0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\geq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=x-1. \) La ecuación queda:

\( x-1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -6=7 \) IMPOSIBLE

Citar
\( |x+2|\leq |x-3| \)

Esto corresponde a los puntos cuya distancia al punto \( -2 \) es mayor menor igual que su distancia al punto \( 3 \); es decir que están tan o más cerca del \( -2 \) que del \( 3 \). Esto ocurrirá a partir del punto medio entre ambos \( (-2+3)/2=1/2 \), es decir, cuando \( x\leq 1/2 \).



Algebraicamente lo ha resuelto w a y s.

Saludos.

CORREGIDO (¡gracias hméndez!)

26 Marzo, 2021, 05:06 am
Respuesta #4

Gabe

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Gracias por sus respuestas!, son de ayuda  :) :) Que esten muy bien  : :D

26 Marzo, 2021, 12:36 pm
Respuesta #5

hméndez

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Hola

Hola! Tengo un ejercicio bastante largo de módulos, son un monton de ejercicios. Escogí estos porque sí los logros resolver voy a poder con el resto de los ejercicios.

Interpretar geométricamente y resolver

\( |x-1|-|x+5|=7 \)

En cuanto a la interpretación geométrica, ten en cuenta que \( |x-a|= \)distancia del punto \( a \) al punto \( x \)

Entonces lo que nos piden ahí es los puntos de la recta cuya distancia al \( 1 \) sea igual a su distancia al \( -5 \) más siete.



Pero si el punto está entre ambos puntos está claro que la distancia máxima posible entre ellos es \( 6 \): no puede ser \( 7 \).

En otro caso la diferencias de distancias de un punto a \( 1 \) y a \( -5 \) es siempre \( 6 \) y tampoco es \( 7 \).

Por eso no hay solución.

Algebraicamente para quitar los valores absolutos basta que consideres los casos:

1) \( x\leq -5 \)

Entonces \( x+5\leq 0 \) y \( |x+5|=-x-5 \). Además \( x-1\leq -5-1=6 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(-x-5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad 6=7 \) IMPOSIBLE

2) \( -5\leq x\leq 1 \)

Entonces \( x+5\geq 0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\leq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -2x=11\quad \Leftrightarrow{}\quad x=-11/2 \)

Pero \( x=-11/2 \) no cumple \( -5\leq x\leq 1 \), por lo que no es solución.

3) \( x>1 \)

Entonces \( x+5\geq 1+5>0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\geq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=x-1. \) La ecuación queda:

\( x-1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -6=7 \) IMPOSIBLE

Citar
\( |x+2|\leq |x-3| \)

Esto corresponde a los puntos cuya distancia al punto \( -2 \) es mayor ...

Hola Luis, muy bien explicado.
Ojo ahí debe decir menor

Saludos

26 Marzo, 2021, 12:55 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

Ojo ahí debe decir menor

¡Cierto! ¡Gracias por avisar!.

Saludos.

27 Marzo, 2021, 02:41 am
Respuesta #7

Gustavo

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Hola. Creo que no se ha mencionado que el razonamiento aquí

Si $$x \leq -2$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (-x-2)-(-x+3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ se cancela y no tiene solución.

Si $$-2 \leq x \leq 3$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(-x+3) \leq 0$$; de donde $$x \leq \frac{1}{2}$$.

Si $$3\leq x$$, entonces $$|x+2|-|x-3| \leq 0  \Rightarrow (x+2)-(x-3) \leq 0$$; aquí la $$x$$ también se cancela luego tampoco tiene solución.

Concluimos que la solución de la inecuación es $$x \leq \frac{1}{2}$$.

no es 100% correcto.

Para el primer caso buscamos todos los $$x \le -2$$ para los cuales $$ (-x-2)-(-x+3)\le 0$$, o sea, tales que $$-5\le 0$$. Conclusión: $$(-\infty,-2]$$.

Para el segundo caso buscamos todos los $$-2\le x\le 3$$ para los cuales $$(x+2)-(-x+3) \leq 0$$, o sea, tales que $$x\le \frac12$$. Conclusión: $$[-2,\frac12]$$

Para el tercer caso buscamos todos los $$3\le x$$ para los cuales $$(x+2)-(x-3) \le 0$$, o sea, tales que $$5\le 0$$. Conclusión: Ninguno.

El conjunto solución es la unión de éstos conjuntos:  $$(-\infty, \frac12]$$.

27 Marzo, 2021, 02:51 am
Respuesta #8

w a y s

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Hola Gustavo.

Tienes razón, gracias por corregirlo  ;D.

Saludos.