Autor Tema: Área máxima polígono de N lados

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22 Febrero, 2021, 02:55 pm
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Gomezjuan

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Hola, necesito responder a este ejercicio pero no sé por dónde empezar, creo que hay que usar optimización pero no llegoa ninguna conclusión. El ejercicio dice:
Demostrar que dado cualquier polígono de N lados, el que encierra el mayor área es el que tiene los N lados iguales.

22 Febrero, 2021, 10:02 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola Gomezjuan, bienvenido al foro.

Demostrar que dado cualquier polígono de N lados, el que encierra el mayor área es el que tiene los N lados iguales.

Supongo que en el enunciado falta alguna alusión al perímetro de los polígonos. Buscando en Google sobre problemas isoperimétricos he encontrado un texto que te puede interesar. En concreto el teorema 3. Lo adjunto.

Un saludo.

24 Febrero, 2021, 12:21 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Hola, necesito responder a este ejercicio pero no sé por dónde empezar, creo que hay que usar optimización pero no llegoa ninguna conclusión. El ejercicio dice:
Demostrar que dado cualquier polígono de N lados, el que encierra el mayor área es el que tiene los N lados iguales.

Como señala martiniano, es necesario imponer alguna condición sobre los polígonos, presumiblemente que tengan un perímetro prefijado, porque si no, no puedes hablar del polígono de N lados de mayor área (hay polígonos de N lados con área tan grande como quieras).

Supongo que el enunciado es probar que, de entre todos los polígonos de N lados con un perímetro dado, el de mayor área tiene todos los lados iguales.

De hecho, puede probarse que tiene todos los lados y todos los ángulos iguales, es decir, que el polígono de N lados de un perímetro dado con área máxima es el polígono regular de N lados.

Has publicado el hilo en el subforo de matemática de escuela primaria, secundaria y bachillerato. No sé si no te has fijado en dónde lo has puesto o es que estás buscando una solución elemental, que no requiera artillería matemática. Te voy a detallar aquí algunas ideas sacadas del pdf que ha adjuntado martiniano.

En primer lugar, conviene observar que el polígono de área máxima tiene que ser convexo. Esto puede justificarse como sigue: si partes de un polígono cualquiera no convexo de N vértices P y de perímetro L, como el que muestra la figura:


puedes pasar a un polígono convexo mayor Q uniendo vértices, de modo que Q tiene mayor área, menor perímetro y menor número de vértices. Para volver a tener un polígono de N vértices, puedes pegar a uno de sus lados un triángulo de altura suficientemente pequeña como para que el perímetro siga siendo menor que L:


Así añades un nuevo lado y, repitiendo las veces que haga falta, puedes llegar a un polígono R de N lados que tenga perímetro menor que L y área mayor que la de P. En realidad, si el último triángulo lo añades de la altura adecuada, puedes hacer que el perímetro de R sea exactamente L, y así has obtenido un polígono de N lados con el mismo perímetro (no importa si ha dejado de ser convexo), pero con más área, lo que contradice que P tuviera la mayor área posible.

Esto prueba que el polígono de N lados de perímetro L y la mayor área posible es convexo.

Ahora necesitamos el hecho siguiente:

De entre todos los triángulos que tienen un lado de longitud \( l \) y perímetro \( p \), el que tiene mayor área es el que tiene los otros dos lados iguales.

Enseguida justificamos este hecho, pero, admitiéndolo, veamos cómo probar el resultado por el que preguntas:

Sea P el polígono de un perímetro dado con mayor área (ya sabemos que es convexo) y supongamos que no tuviera todos sus lados iguales. En tal caso, tendría dos lados contiguos desiguales (si vas pasando de lado en lado, tarde o temprano pasarás de uno a otro desigual, porque de lo contrario todos los lados serían iguales). Une los dos extremos no comunes de dichos lados para formar un triángulo:


Si sustituyes ese triángulo por otro con la misma base, pero los otros dos lados iguales y con el mismo perímetro, obtienes otro polígono Q de N lados que tiene el mismo perímetro y mayor área, por la afirmación precedente, lo que contradice que P tenga la mayor área posible. Por lo tanto, todos los lados de P son iguales, como queríamos probar.

Una forma de probar la afirmación que hemos usado es tener en cuenta que una elipse está formada por todos los puntos cuya suma de distancias a dos focos dados es constante. Así, si fijas un segmento AB y consideras todos los triángulos ACB cuyo perímetro es un valor fijo L, tienes que el vértice C recorre todos los puntos cuya suma de distancias a A y B es igual a L menos la longitud de AB, es decir, una elipse de focos A y B:


de entre todos ellos, el de mayor altura (y, por lo tanto, del de mayor área) es el que tiene el vértice C en el semieje menor de la elipse, que es, por lo tanto, un triángulo isósceles, como queríamos probar. (Disculpa que no haya puesto letras en las figuras, por pura pereza, pero aquí los focos de la elipse son A y B, y están dibujados el triángulo de mayor área, con C en el semieje de la elipse, y otro arbitrario con C en un punto de la elipse a la derecha del anterior.)

Esto basta para probar lo que pedías, pero lo cierto es que puede probarse que P no sólo tiene los lados iguales, sino también los ángulos iguales.

En la bibliografía del pdf que ha adjuntado martiniano figura un libro de Legendre que está disponible en google.

Hay una demostración elemental en el apéndice al capítulo IV, que empieza en la página 126. El primer teorema es el que he usado en la demostración, pero viene demostrado sin hacer referencia a elipses, usando únicamente la geometría del círculo y del triángulo. El problema es que las figuras de las demostraciones están en unas láminas al final del libro, y aparecen cortadas. Si te interesan te las puedo reproducir.

24 Febrero, 2021, 10:02 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Hola, necesito responder a este ejercicio pero no sé por dónde empezar, creo que hay que usar optimización pero no llegoa ninguna conclusión. El ejercicio dice:
Demostrar que dado cualquier polígono de N lados, el que encierra el mayor área es el que tiene los N lados iguales.

Otra forma distinta de concretar la pregunta para que tenga solución es considerar únicamente polígonos inscritos en una circunferencia prefijada, es decir, que el enunciado sería:

Probar que, de entre todos los polígonos de N lados inscritos en una circunferencia, el de mayor área tiene todos sus lados iguales (y es, por tanto, el polígono regular).

La prueba de este hecho es mucho más elemental. Basta observar que, fijada una cuerda AB en una circunferencia, el triángulo inscrito de mayor área con el tercer vértice en uno de los dos arcos determinados por AB es el que tiene dicho vértice C en el punto medio del arco:


La prueba es inmediata:


Si consideramos cualquier otro vértice C', vemos que el cateto MC' es menor que la hipotenusa OC' = OC, luego la altura de AC'B es menor que la de ACB, y lo mismo vale para las áreas.

Por lo tanto, si consideramos un polígono de N lados inscrito en una circunferencia cuyos lados no sean todos iguales, habrá dos lados desiguales contiguos, digamos AC y CB. Basta cambiar C por el punto medio del arco AB que contiene a C para obtener otro polígono de área mayor, luego el dado no es el de área máxima.


Esta prueba presupone que existe realmente un polígono de área máxima, pero eso puede probarse por un argumento de compacidad.

Por razones técnicas he bloqueado este hilo. Si alguien está interesado en participar que me escriba un mensaje privado y lo reabro.