Autor Tema: Hallar polinomios que cumplan determinadas condiciones.

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20 Febrero, 2021, 08:49 am
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Gabe

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    Hola, me presento porque soy nuevo en el foro  :) . Primero que nada gracias a los usuarios que al menos tienen un mínimo interés en ingresar a mi hilo y tomarse la molestia de leerlo habiendo miles de otras cosas, y probablemente mas interesantes para hacer. En serio, gracias. No estaba muy seguro si ubicar esto en matemáticas generales o aquí, pero tomando en cuenta que a los siguientes ejercicios los extraje de un libro pre-universitario (respaso de temas claves para ingresar a la universidad) Son cosas que se verían a nivel secundario (En la institución en la que yo finalizé mis estudios no vimos esto ni por casualidad  :P )
 
Ejercicios
Encontrar los polinomios que verifican las siguientes condiciones
a)\( P^2-9=x^2(x^2+6) \)  Y Grado (P)\( \geq{2} \)

La solución al ejercicio es:
\( P(x)=x^2+3 \)

b)\( P^2+x=x.P+1 \) y el grado de P es 1

 2.1.3. En particular no deben de plantearse varios problemas en un mismo hilo.. Yo dejé 2 problemas en un mismo hilo, por lo que sí me llegaran a ayudar con el problema b) sería de ayuda pero no es realmente un derecho que tengo a reclamar o exigir, siendo el ejercicio a) de capital importancia , o aún mejor que temas deberiá estudiar previo a esto para poder resolverlos. Tengo nociones generales de factorización básica o elementales como la diferencia de cuadrados, también tengo nociones basicas de como dividir, sumar, restar y multiplicar polinomios, dividir con Ruffini por ejemplo si el segundo polinomio es de la forma (x-n). Tengo nociones básicas, eso quiere decir que tengo una idea "general" del asunto pero aún no lo domino.

Gracias nuevamente y la verdad me encanta como queda la matematica "codeada" con Latex, aunque eso sí, me cuesta un poquito todavía acostumbrarme, saludos!   :)

20 Febrero, 2021, 08:58 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Muchas gracias, de verdad, por tu esfuerzo y buena voluntad por adaptarte a las reglas del foro. Te felicito y te lo agradezco.  :aplauso:

Ejercicios
Encontrar los polinomios que verifican las siguientes condiciones
a)\( P^2-9=x^2(x^2+6) \)  Y Grado (P)\( \geq{2} \)

 Podría haber muchas formas de enfocarlo. Por ejemplo dado que

 \( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

 y \( grado (P^2)=2grado(P) \). Se deduce que \( grado(P)=2 \). Además como el coeficiente de \( x^4 \) es \( 1 \), necesariamente \( p(x)=x^2+ax+b \).

 Entonces podrías hacer:

\(  (x^2+ax+b)^2=x^4+6x^2+9 \)

\(  x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2=x^4+6x^2+9 \)

 E igualar coeficientes:

\(  2a=0 \)
\(  a^2+2b=6 \)
\( 2ab=0 \)
\(  b^2=9 \)

 Sería más rápido si uno se da cuenta que \( x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2 \).

Citar
b)\( P^2+x=x.P+1 \) y el grado de P es 1

 Pues por ejemplo toma \( p(x)=ax+b \). Haz las cuentas e iguala coeficientes.

 Una vez más habría otras posibilidades.

Saludos.

21 Febrero, 2021, 07:26 am
Respuesta #2

Gabe

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Hola

 Bienvenido al foro.

 Muchas gracias, de verdad, por tu esfuerzo y buena voluntad por adaptarte a las reglas del foro. Te felicito y te lo agradezco.  :aplauso:

Ejercicios
Encontrar los polinomios que verifican las siguientes condiciones
a)\( P^2-9=x^2(x^2+6) \)  Y Grado (P)\( \geq{2} \)

 Podría haber muchas formas de enfocarlo. Por ejemplo dado que

 \( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

 y \( grado (P^2)=2grado(P) \). Se deduce que \( grado(P)=2 \). Además como el coeficiente de \( x^4 \) es \( 1 \), necesariamente \( p(x)=x^2+ax+b \).

 Entonces podrías hacer:

\(  (x^2+ax+b)^2=x^4+6x^2+9 \)

\(  x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2=x^4+6x^2+9 \)

 E igualar coeficientes:

\(  2a=0 \)
\(  a^2+2b=6 \)
\( 2ab=0 \)
\(  b^2=9 \)

 Sería más rápido si uno se da cuenta que \( x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2 \).

Citar
b)\( P^2+x=x.P+1 \) y el grado de P es 1

 Pues por ejemplo toma \( p(x)=ax+b \). Haz las cuentas e iguala coeficientes.

 Una vez más habría otras posibilidades.

Saludos.

Gracias Luis Fuentes por tu mensaje, me es de suma utilidad. Para ser honesto no entendí la explicación inicial pero gracias a estas dos partes que paso a citar es que logré entender el problema:

Citar
\( grado (P^2)=2grado(P) \). Se deduce que \( grado(P)=2 \). Además como el coeficiente de \( x^4 \) es \( 1 \), necesariamente \( p(x)=x^2+ax+b \).

Esto explica porque la respuesta no esta elevada a 2.

Citar
Sería más rápido si uno se da cuenta que \( x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2 \).

Esta cita fué clave, ahí entendí el ejercicio. Realmente la otra explicación no la entiendo, la leí unas cuantas veces pero decidí que por la falta de tiempo que tengo, la segunda respuesta me es más práctica. Resolví el segundo ejercicio por mi cuenta, lo dejo aquí espero que este bien realizado:

\( P^2+x=x.P+1 \)  grado de P es 1

\( P^2=x.p+1-x \)

Ordeno el polinomio de grado 2

\( P^2=xP-x+1 \)

Como está al cuadrado el polinimo \( P^2 \) entonces se forma la formula anterior pero negativa: \( a^2-2ab+b^2 \)

\( P^2=xP^2-x+1 \)

\( P^2=xP^2-2xP.1+1 \)

\( P^2=(Px-1)^2 \) porque \( a^2-2ab+b^2 \) = \( (a-b)^2 \)

Como el polinomio esta en grado 2, habría que convertirlo al grado 1 supongo, porque dice que el grado de P es 1 , entonces paso (P) que está multiplicando, dividiendo al polinomio de grado 2 a la izquierda.

\( (P^2/P) = P  \) entonces quedaría \( P(x)=x-1 \)

No estoy seguro pero espero que este bien, y de estarlo que le sirva a alguien más algun día, saludos! :) :) :)

21 Febrero, 2021, 09:12 am
Respuesta #3

sugata

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Cuidado.
\( (xP) ^2=x^2P^2 \)
Y en tu polinomio tienes \( xP^2 \)
Sin revisar las cuentas...

21 Febrero, 2021, 09:49 am
Respuesta #4

Gabe

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Cuidado.
\( (xP) ^2=x^2P^2 \)
Y en tu polinomio tienes \( xP^2 \)
Sin revisar las cuentas...

No tengo ni idea entonces, y eso que me pasé toda la noche con el asunto :banghead:

21 Febrero, 2021, 10:06 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Ordeno el polinomio de grado 2

\( P^2=xP-x+1 \)   (1)

Como está al cuadrado el polinimo \( P^2 \) entonces se forma la formula anterior pero negativa: \( a^2-2ab+b^2 \)

\( P^2=xP^2-x+1 \)   (2)

 No entiendo lo que haces. No entiendo como pasas de (1) a (2).

 Voy a dejar a un lado el primer ejercicio y me centro en esto. Te numeraré los pasos. Indica el primero que no entiendas:

1) Nos piden un polinomio de grado \( 1 \). Todo polinomio de grado \( 1 \) es de la forma \( P(x)=ax+b \) para valores de \( a,b \) que aún no conocemos.

 2) Sustituimos \( P(x)=ax+b \) en la ecuación \( p(x)^2+x=xp(x)+1 \):

\(  (ax+b)^2+x=x(ax+b)+1 \)

 3) Hacemos cuentas en la expresión anterior:

\(  a^2x^2+2abx+b^2+x=ax^2+bx+1 \)

\( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2=ax^2+bx+1 \)

 4) Tenemos dos polinomios de grado dos igualados. Uno es \( a^2x^2+(2ab+1)x+b^2 \). El otro \( ax^2+bx+1 \). Para que dos polinomios sean el mismo tienen que tener lo mismos coeficientes.

 El coeficiente de \( x^2 \) tiene que ser el mismo para ambos: \( a^2=a \).
 El coeficiente de \( x \) tiene que ser el mismo para ambos: \( 2ab+1=b \).
 El término independiente tiene que ser el mismo para ambos: \( b^2=1 \).

 5) Resolvemos el sistema de ecuaciones:

\(  a^2=a \)
\(  2ab+1=b \)
\(  b^2=1 \)

 6) Si \( a^2=a \) entonces \( a=1 \) ó \( a=0 \). Pero \( a=0 \) no puedes ser porque entonces el polinomio \( p(x)=ax+b=b \) sería una constante: de grado cero. Por tanto \( a=1 \).
 
 7) Sustituyendo \( a=1 \) en \( 2ab+1=b \) queda \( 2b+1=b \) y de ahí \( b=-1 \).

 8) Comprobamos que \( b=-1 \) cumple la tercera ecuación \( b^2=1 \).

 9) La solución es: \( p(x)=ax+b=1\cdot x-1=x-1 \)

 Míralo con calma y como te dije indica en que punto tienes dudas.

 Si entiendes este procedimiento te debería de ayudar a entender el camino que te propuse para resolver el primero.

Saludos.

08 Marzo, 2021, 07:24 pm
Respuesta #6

Gabe

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Gracias Luis Fuentes  :) Me tomé unos días por eso tarde en contestar, además que me faltaba revisar un poquito cosas mas básicas. Yo tenía entendido que los polinomios se le denominaba el grado dependiendo a que potencia estaba elevado, pero no sabía que cuando se pedía un ejercicio de este estilo había que recurrir a la formula. El tema está resuelto, saludos!  :laugh:

08 Marzo, 2021, 08:35 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Gracias Luis Fuentes  :) Me tomé unos días por eso tarde en contestar, además que me faltaba revisar un poquito cosas mas básicas. Yo tenía entendido que los polinomios se le denominaba el grado dependiendo a que potencia estaba elevado, pero no sabía que cuando se pedía un ejercicio de este estilo había que recurrir a la formula. El tema está resuelto, saludos!  :laugh:

 No estoy seguro de que quieres decir con la frase que he marcado en rojo. El grado de un polinomio \( p(x) \) es el mayor exponente al que aparece elevado la variable \( x \).

Saludos.

09 Marzo, 2021, 12:01 am
Respuesta #8

mg

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 y \( grado (P^2)=2grado(P) \).

Perdona Luis, ¿de dónde se deduce esa igualdad?

Un saludo.

09 Marzo, 2021, 12:04 am
Respuesta #9

manooooh

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Hola


 y \( grado (P^2)=2grado(P) \).

Perdona Luis, ¿de dónde se deduce esa igualdad?

Según entiendo, Luis dedujo que:

\( P^2=x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9 \)

es decir \( P^2=x^4+6x^2+9 \) y este polinomio tiene grado \( 4 \). Por ende \( grado (P^2)=4 \) y así \( 4=2grado(P) \) de donde \( grado(P)=2 \).

Ah, leyendo bien tu consulta supongo que preguntas por qué en general se tiene que para cualquier polinomio \( P \) se verifica \( gr(P^2)=2gr(P) \). Supongo que se puede demostrar así:

\( gr(P^2)=gr(P\cdot P)=gr(P)+gr(P)=2gr(P) \)

pero sugiero que esperes una mejor respuesta.


Saludos

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