Autor Tema: Composición de funciones

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

22 Febrero, 2021, 08:49 am
Respuesta #30

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,002
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola


\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.



Perdonad mi insistencia. La forma más gráfica de ver una función es imaginar esta imagen





A esto llamo una función. Una "caja negra", como dice Wikipedia. Nada, hasta concretar la función.

No, Marcos. No sé si quieres dar a entender que en \( G \) aún no está definida la función y en \( G(x) \) si. Esto no tiene sentido. La función será una concreta cuando se haya explicitado que función es; pero eso no tiene nada que ver con que se escriba de una de las dos formas que indicas.

Sinceramente hasta que no contestes que opinas de esto (si lo entiendes; si no lo entiendes; si tienes alguna discrepancia;...) o aclares exactamente, con mucha precisión, que te lleva a esa confrontación entre las dos escrituras, no sé muy bien que más decir:

Reitero algunas ideas:

 1) Si uno tiene por ejemplo \( f:\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x^2+1 \). Es usual hacer referencia a esa función diciendo cosas como:

 \( f(x) \) es continua.
 \( f \) es continua.
 \( f(x) \) es derivable.
 \( f \) es derivable
 \( f \) tiene mínimo.
 \( f(x) \) tiene mínimo.

 Cualquiera de esas notaciones es correcta y se usa: es decir \( f \) y \( f(x) \) son la MISMA FUNCIÓN.

 2) En el algunas ocasiones una hace referencia al valor de la función en un punto, escribiendo \( f(x) \). En ese caso \( f(x) \) es un número: la imagen de \( x \) por la función \( f \). Evidentemente en ese caso no podrías escribir sólo \( f \).

 Pero como ves la diferencia es muy gruesa en este caso y queda clara del contexo. \( f(x) \) es un número y \( f \) una función. Difícil confundirlas.

 3) Entonces la pregunta es. ¿Qué es lo que ha hecho pensar que \( G \) y \( G(x) \) son funciones distintas?. NO LO SON.

 4) Al principio pensé que era por la escritura \( \color{red}G\color{black}\circ \color{blue}G(x)\color{black} \) donde distinguías por un lado \( \color{red}G\color{black} \) y por otro  \( \color{blue}G(x)\color{black} \), como si compusieses dos funciones que son distintas. Pero no, eso es \( (G\circ G)(x) \) y estás componiendo la función \( G \) o la función \( G(x) \) (da igual) consigo misma.

Saludos.

P.D. Por cierto respecto a tus últimas intervenciones, feriva: no entiendo nada. Me parecen un galimatías. Me parece que confundes dominio e imagen con elemento del dominio y elemento de la imagen. Además de frases un poco extrañas como esta, a la que me cuesta dar un significado preciso:

Citar
Y si yo te digo lo siguiente: tenemos la función “x” y la función “x”, ¿quién es el dominio y quién la imagen?

22 Febrero, 2021, 09:51 am
Respuesta #31

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,633
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

P.D. Por cierto respecto a tus últimas intervenciones, feriva: no entiendo nada. Me parecen un galimatías. Me parece que confundes dominio e imagen con elemento del dominio y elemento de la imagen. Además de frases un poco extrañas como esta, a la que me cuesta dar un significado preciso:

Citar
Y si yo te digo lo siguiente: tenemos la función “x” y la función “x”, ¿quién es el dominio y quién la imagen?

Hola, Luis.

Primero voy a la discusión de origen, donde Pie hablaba de que aquí, \( G \) y \( G(x) \), aunque eran iguales, una cosa era el dominio y otra la imagen. Con esa idea, lo que yo quería hacerle ver es que estaba considerando una cuestión de notación; es decir, si yo hago \( x=G \), cambiando la letra, entonces también \( x=G(x) \); así “x” y “x” son las “dos” funciones (dos funciones iguales, la misma función) tales que simplemente poniendo sus valores en el eje X y el eje Y puedo dibujar una recta tal que tengo la función y=x; simplemente cambiando el nombre a una de las letras.

Porque veía eso, que estaba dando importancia más a la notación que a otra cosa (que a lo mejor él no quería decir exactamente eso, es posible, pero es lo que yo le entendí).

Como voy escribiendo sobre la marcha y hablo todo con palabras, sin la formalidad o precisión necesaria, pues es posible que haya dicho cosas que no quería decir, de tal forma que se entienda otra cosa; pero adviérteme (si te apetece y tienes tiempo) sobre lo que creas conveniente respecto de las últimas intervenciones, porque también podría ser que tuviera algún concepto equivocado y no fuera simplemente imprecisión.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.


22 Febrero, 2021, 11:18 am
Respuesta #32

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,633
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.



Perdonad mi insistencia. La forma más gráfica de ver una función es imaginar esta imagen

Spoiler

[cerrar]

A esto llamo una función. Una "caja negra", como dice Wikipedia. Nada, hasta concretar la función.

Hola, Marcos.

Yo mismo hasta hace dos años o así, quizá menos, tenía el concepto como pone ahí; equivocado (fue Luis precisamente quien me lo enseñó bien en una discusión que tuvimos; pero él lo explicó con precisión, y puede que yo, al hablar, queriendo transmitir la misma idea, no lo consiga; y también puede ser que sólo entendiera algunos detalles bien pero no todos. A eso es a lo que iba antes).

Si cambia el conjunto de entrada, la función no es la misma; ni en el caso de que el método para transformar los valores del dominio en los de la imagen sea el mismo; el método, gran parte de las veces, es una fórmula, como puede ser ésta \( x^{2}
  \). Pero no es la misma función \( y=x^{2}
  \) considerando “x” en el intervalo [a,b] que en el intervalo [a+5, b+5], por tanto, cambiaremos la letra de la función para referirnos a ambas, por ejemplo, f(x) y g(x); donde la letra equis es la variable que guarda los valores de la entrada, que forman un conjunto único; una función no tiene más que un dominio distinto y una imagen respecto de ese dominio. Esto quiere decir que “x” aquí, f(x) guarda un conjunto de valores [a,b], por ejemplo, y aquí g(x) un conjunto de valores [a+5, b+5], por poner otro caso.

(eso es lo que yo tengo entendido).

Saludos.

22 Febrero, 2021, 12:36 pm
Respuesta #33

Pie

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 294
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • \(\pi e\)
Cita de: feriva

Primero voy a la discusión de origen, donde Pie hablaba de que aquí, \( G \) y \( G(x) \), aunque eran iguales, una cosa era el dominio y otra la imagen. Con esa idea, lo que yo quería hacerle ver es que estaba considerando una cuestión de notación; es decir, si yo hago \( x=G \), cambiando la letra, entonces también \( x=G(x) \); así “x” y “x” son las “dos” funciones (dos funciones iguales, la misma función) tales que simplemente poniendo sus valores en el eje X y el eje Y puedo dibujar una recta tal que tengo la función y=x; simplemente cambiando el nombre a una de las letras.

Porque veía eso, que estaba dando importancia más a la notación que a otra cosa (que a lo mejor él no quería decir exactamente eso, es posible, pero es lo que yo le entendí).

Sinceramente feriva, soy incapaz de entender nada de lo que has dicho sobre lo que crees que yo he dicho. ;D

Yo no le estaba dando especial importancia a la notación (de hecho creo que eres tú el que se pierde con igualdades raras que no aclaran nada las cosas, sin actritud te lo digo porque sé que eres capaz de explicar muy bien las cosas cuando las entiendes), simplemente estaba aclarando, o intentándolo al menos, que en este caso en concreto por \( G(x) \) se tiene que entender el valor de salida de la función, para cada x perteneciente al dominio de \( G \).

Pero no porque yo quiera darle importancia a tal o cuál notación (que es un tema que me da bastante igual) sino porque de otro modo, yo al menos, no veo forma de entender nada (ni las condiciones, ni cómo determinar los dominios de las funciones así compuestas, etc..)

Pero vaya, que si con todo lo que ha dicho Luis no queda claro ese punto, yo lo voy a aclarar menos aún ya que a mí parece que no me quiere entender ni dios (que seguro que es culpa mía pero es que no doy más de sí  :P).

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

22 Febrero, 2021, 01:24 pm
Respuesta #34

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,012
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Le estoy buscando tres pies al gato. He acudido a un libro que define el concepto de función de manera formal:

Tema 1: Funciones elementales (I)

1-1 Concepto de función

"Existe una cierta dependencia entre cantidades variables que describen fenómenos físicos, económicos, etc., respecto de otras que aparecen al estudiar dichos tipos de sistemas, por ejemplo: la relación entre la distancia recorrida por un automóvil y el tiempo empleado, la longitud de un cable metálico y la temperatura del cable.

Así pues, los valores de una cantidad variable, \( y \), dependen de los valores de otra variable, \( x \). Si la relación entre dichas variables es conocida de forma clara se habla de una relación funcional entre \( x \) e \( y \).

De modo formal se puede definir una función como sigue:

Definición. Una función \( f \) definida desde un conjunto \( A \), llamado conjunto inicial o dominio de la función, a un conjunto \( B \), llamado conjunto final de la función, es una manera o regla de asignar a cada elemento de \( a\in{A} \) un único elemento de \( b\in{B} \), imagen de \( a \), que llamaremos \( f(a) \), y se representa:

\( \begin{array}{rccc}f&:A&\rightarrow& B\\ &a&\rightarrow& f(a)=b\end{array} \)

Por ejemplo el espacio recorrido, \( y \), por un coche a velocidad constante depende sólo del valor del tiempo, \( x \), y es igual a la velocidad por el tiempo. Si la velocidad es 60 km/h: \( y=f(x)=60\cdot x \).

La variable que se fija previamente, "\( x \)", se llama variable independiente, "\( y \)" se llama variable dependiente ya que esta última depende de los valores de la otra.

Una función puede expresarse también de otras formas:

1) Mediante un texto: Una descripción verbal que detalla cualitativamente cómo se relacionan las dos variables.

2) Mediante gráficas: La información se da mediante una representación en un sistema de coordenadas con la escala adecuada a los valores de la variable."

¿Por qué me he liado? ¿por qué defendía algo, luego lo rebato, y termino sacando de contexto una imagen de Wikipedia para llegar a conclusiones inverosímiles? El motivo es no recordaba este texto de Acceso.  :'(

¡Un saludo a todos!
No man is an island (John Donne)

22 Febrero, 2021, 02:49 pm
Respuesta #35

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,633
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Cita de: feriva

Primero voy a la discusión de origen, donde Pie hablaba de que aquí, \( G \) y \( G(x) \), aunque eran iguales, una cosa era el dominio y otra la imagen. Con esa idea, lo que yo quería hacerle ver es que estaba considerando una cuestión de notación; es decir, si yo hago \( x=G \), cambiando la letra, entonces también \( x=G(x) \); así “x” y “x” son las “dos” funciones (dos funciones iguales, la misma función) tales que simplemente poniendo sus valores en el eje X y el eje Y puedo dibujar una recta tal que tengo la función y=x; simplemente cambiando el nombre a una de las letras.

Porque veía eso, que estaba dando importancia más a la notación que a otra cosa (que a lo mejor él no quería decir exactamente eso, es posible, pero es lo que yo le entendí).

Sinceramente feriva, soy incapaz de entender nada de lo que has dicho sobre lo que crees que yo he dicho. ;D

Yo no le estaba dando especial importancia a la notación

En esta cita

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115987.msg462633#msg462633

Decías:

Citar
Así que en este caso yo sí veo diferencia en la notación, G(x)sería simplemente la imagen de G, que no sería lo mismo que el dominio de G (vaya, yo solo así le veo sentido a todo esto :laugh:).

Y yo entendí eso; si has querido decir otra cosa... pues no sé.

Por mi parte lo que he dicho (bien o mal) es lo que he dicho y no añado nada más. Dejo a Luis que aclare las dudas, ya que yo no sé transmitir lo que me enseñó (o no lo aprendí bien).

Saludos.




22 Febrero, 2021, 05:28 pm
Respuesta #36

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,633
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, Marcos; sólo una cosa:


De modo formal se puede definir una función como sigue:

Definición. Una función \( f \) definida desde un conjunto \( A \), llamado conjunto inicial o dominio de la función, a un conjunto \( B \), llamado conjunto final de la función, es una manera o regla de asignar a cada elemento de \( a\in{A} \) un único elemento de \( b\in{B} \), imagen de \( a \), que llamaremos \( f(a) \), y se representa:

\( \begin{array}{rccc}f&:A&\rightarrow& B\\ &a&\rightarrow& f(a)=b\end{array} \)


Marco en azul, dejando las frases subordinadas de en medio, para que se vea que está diciendo algo que, entiendo, puede dar lugar a confusión. "Una función es  una manera o regla"; pues sí, pero junto a lo demás que dice en medio, porque, si no, es como decir, "un coche es un volante y unas ruedas"...
Para no poner una cosa de mi cosecha, escribo la función que ha definido Luis en el ejemplo:

\( f:\Bbb R\to\Bbb R,\, f(x)=x^{2}+1
  \)

Todo eso es la función, no sólo la regla. El dominio en ese caso es todo R (y la imagen) pero podría ser un cierto intervalo nada más; entonces, con esta misma regla o fórmula, \( x^{2}+1 \), pero con otro dominio, sería una función distinta; ya no sería f, sino que habría que llamarla g, ó h... para distinguirla de f. Eso es lo que yo tengo entendido, vuelvo a repetir.

En cuanto la notación, he entendido alguna cosa mal a Pie ahora que miro (perdón por ello) creí que decía que G era el dominio, y no. Pero quiero dejar claro que tampoco he dicho que sea mentira que la notación f(x) se use también como "y", como variable de la imagen, no he negado la notación, he dicho que también podría ser f(y) que la letra no importa. Y por otra parte digo que si se dice "la función f(x)", pues entonces no se entiende que es la imagen suelta, sino la función; luego tenemos un símbolo que podemos entender de dos maneras según el contexto, entiendo. 

Saludos.

22 Febrero, 2021, 06:54 pm
Respuesta #37

Marcos Castillo

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,012
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Hola feriva!


Marco en azul, dejando las frases subordinadas de en medio, para que se vea que está diciendo algo que, entiendo, puede dar lugar a confusión. "Una función es  una manera o regla"; pues sí, pero junto a lo demás que dice en medio, porque, si no, es como decir, "un coche es un volante y unas ruedas"...
Para no poner una cosa de mi cosecha, escribo la función que ha definido Luis en el ejemplo:

\( f:\Bbb R\to\Bbb R,\, f(x)=x^{2}+1
  \)

Todo eso es la función, no sólo la regla. El dominio en ese caso es todo R (y la imagen) pero podría ser un cierto intervalo nada más; entonces, con esta misma regla o fórmula, \( x^{2}+1 \), pero con otro dominio, sería una función distinta; ya no sería f, sino que habría que llamarla g, ó h... para distinguirla de f. Eso es lo que yo tengo entendido, vuelvo a repetir.


Muy cierto. Se trata de una definición de un libro de acceso a la universidad, algo introductorio. ¡Sigo adelante!
No man is an island (John Donne)