Autor Tema: Composición de funciones

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21 Febrero, 2021, 10:06 am
Respuesta #10

Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón

Creo que la diferencia entre \( G \) y \( G(x) \) es esta:

\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\setminus\{-1\}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x-1}{x+1}\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &\dfrac{1-x}{1+x}&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}H&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &x&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \xymatrix{ R\setminus\{-1\}\ar[r]^G \ar[dr]_{H=G\circ{G}} & R\setminus\{-1\}\ar[d]^G \\ & R } \)

\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.

¡Un saludo!

No man is an island (John Donne)

21 Febrero, 2021, 10:33 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

 Marcos Castillo me está costando mucho entender cuál es tu duda.

Creo que la diferencia entre \( G \) y \( G(x) \) es esta:

\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\setminus\{-1\}\\ &x&\rightarrow& \dfrac{x-1}{x+1}\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}G&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &\dfrac{1-x}{1+x}&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \begin{array}{rccc}H&:R\setminus\{-1\}&\rightarrow& R\\ &x&\rightarrow& x\end{array} \)


\( \xymatrix{ R\setminus\{-1\}\ar[r]^G \ar[dr]_{H=G\circ{G}} & R\setminus\{-1\}\ar[d]^G \\ & R } \)

\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.

 No entiendo que se supone que aclara esto; no entiendo que quieres subrayar al llamar a un "la" función y a otra "una" función.

 Reitero algunas ideas:

 1) Si uno tiene por ejemplo \( f:\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x^2+1 \). Es usual hacer referencia a esa función diciendo cosas como:

 \( f(x) \) es continua.
 \( f \) es continua.
 \( f(x) \) es derivable.
 \( f \) es derivable
 \( f \) tiene mínimo.
 \( f(x) \) tiene mínimo.

 Cualquiera de esas notaciones es correcta y se usa: es decir \( f \) y \( f(x) \) son la MISMA FUNCIÓN.

 2) En el algunas ocasiones una hace referencia al valor de la función en un punto, escribiendo \( f(x) \). En ese caso \( f(x) \) es un número: la imagen de \( x \) por la función \( f \). Evidentemente en ese caso no podrías escribir sólo \( f \).

 Pero como ves la diferencia es muy gruesa en este caso y queda clara del contexo. \( f(x) \) es un número y \( f \) una función. Difícil confundirlas.

 3) Entonces la pregunta es. ¿Qué es lo que ha hecho pensar que \( G \) y \( G(x) \) son funciones distintas?. NO LO SON.

 4) Al principio pensé que era por la escritura \( \color{red}G\color{black}\circ \color{blue}G(x)\color{black} \) donde distinguías por un lado \( \color{red}G\color{black} \) y por otro  \( \color{blue}G(x)\color{black} \), como si compusieses dos funciones que son distintas. Pero no, eso es \( (G\circ G)(x) \) y estás componiendo la función \( G \) o la función \( G(x) \) (da igual) consigo misma.

 Una vez aclarado esto, si quieres vamos con el asunto de las composiciones y los dominios y esas cosas. Pero poco a poco.

Saludos.

21 Febrero, 2021, 11:47 am
Respuesta #12

feriva

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\( G \) es una función. \( G(x) \) es la función.

¡Un saludo!

No se puede entender G como una formula sin asociar a nada, eso no es una función; se asocia a los valores de un dominio, que, como en este problema, se suele designar por “x”.

Lo que tienes además de G es \( F=G(G(x))
  \), donde, aquí sí, \( F\neq G
  \).

Saludos.

21 Febrero, 2021, 11:58 am
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

No se puede entender G como una formula sin asociar a nada,

El único que ha hablado de fórmula eres tu.

Citar
eso no es una función;

Le acabo de decir a Marcos que si, que a veces, se emplea \( G \) (sin nada más) para denotar a una función \( G:\Bbb R\to \Bbb R \). Entiendo entonces que no estás de acuerdo conmigo. Cuando tenga tiempo te enlazo una serie de referencias para que veas que SI se usa es notación. Añadido:

 Por ejemplo en todos esos enlaces hablan de \( f \) como función, sin variable:

https://www.ugr.es/~dpto_am/miembros/cabello/anteriores/metodos_matematicos/capII.pdf
http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap04.pdf
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/102/CI/pdf/DocsApoyo/Tema0_PR/3Continuidad.pdf

  Por ejemplo en estos otros ponen \( f(x) \) para referise a la función:

https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Continuidad.pdf
http://innova09.pbworks.com/f/Cap11+FuncionesContinuas.pdf
http://www.sietecolinas.es/materiales/mat/ContinuiComplet.pdf
 
 No descarto que en algún documento se combinen ambas notaciones.

En resumen: el uso de \( f \) o \( f(x) \) para referirse a una función está extendido y permitido. Las dos notaciones son válidas y con los matices de contexto que dije en mi anterior mensaje, significan lo mismo.

Citar
se asocia a los valores de un dominio, que, como en este problema, se suele designar por “x”.

Con esta frase no sé que quieres decir.

Citar
Lo que tienes además de G es \( F=G(G(x)) \),

Ahora pones \( F \) (sin nada al lado) igual a \( G(G(x)) \) (con una variable \( x \)). ¿Entonces según tu criterio \( F \) es no es una función?. Porque lo igualas a algo que si tiene la \( x \).

Citar
donde, aquí sí, \( F\neq G \)

¿Pero según tú son o no son funciones?.

Saludos.

21 Febrero, 2021, 12:09 pm
Respuesta #14

feriva

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Le acabo de decir a Marcos que si, que a veces, se emplea \( G \) (sin nada más) para denotar a una función \( G:\Bbb R\to \Bbb R \). Entiendo entonces que no estás de acuerdo conmigo.


Sí, estoy de acuerdo. Digo que una función siempre tiene un dominio y una imagen, unos valores que entran y otros que salen, tanto si se escribe así G, así G() o así G(x).

Al decir Marcos “G es una función y G(x) la función”, me ha dado la sensación de que consideraba G como una mera fórmula (aunque no lo dijera) como algo que hacía referencia a un conjunto de números sin relacionar con otro.

Citar

El único que ha hablado de fórmula eres tu.

Eso sí, puede que haya malinterpretado a Marcos y no quisiera decir eso.

Gracias, Luis.


21 Febrero, 2021, 12:10 pm
Respuesta #15

sugata

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Citar

 1) Si uno tiene por ejemplo \( f:\Bbb R\to \Bbb R \), \( f(x)=x^2+1 \). Es usual hacer referencia a esa función diciendo cosas como:

 \( f(x) \) es continua.
 \( f \) es continua.
 \( f(x) \) es derivable.
 \( f \) es derivable
 \( f \) tiene mínimo.
 \( f(x) \) tiene mínimo.

 Cualquiera de esas notaciones es correcta y se usa: es decir \( f \) y \( f(x) \) son la MISMA FUNCIÓN.


Está cita de Luis Fuentes, para mi, es la más aclaratoria.
Todos usamos \( f \) y \( f(x)  \) como la misma función, aunque en algunos casos sólo podamos usar una forma. (Punto 2 del mismo comentario de Luis Fuentes)
Citar
2) En el algunas ocasiones una hace referencia al valor de la función en un punto, escribiendo \( f(x) \). En ese caso f(x)\(  \) es un número: la imagen de \( x \) por la función \( f \). Evidentemente en ese caso no podrías escribir sólo \( f \).
 


21 Febrero, 2021, 01:21 pm
Respuesta #16

feriva

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Voy a explicar mejor cómo he usado ahí la palabra “fórmula” (creo que ningún matemático va confundir las cosas por lo que diga yo, pero quizá otras personas que lean el hilo sí ).

Tenemos que \( G \) va asociada a su dominio, que es sólo uno, lo escriba con la letra que lo escriba; normalmente “x”. Si hago x=y, si las letras representan los números de un mismo conjunto, entonces \( G(x)=G(y) \).

Ahora bien, si \( x\neq y
  \), si representan dominios distintos, entonces lo que ocurre es que ya no es la misma función (aunque la “fórmula” pueda ser la misma) pero entonces ya no puedo escribir G, usar esta letra, la tengo que distinguir con otra letra, porque es otra función. Es decir, el dominio identifica a la función, no sólo la “fórmula”. Por eso, G = G(letra que sea).

Saludos

21 Febrero, 2021, 03:00 pm
Respuesta #17

Pie

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Así que en este caso yo sí veo diferencia en la notación, \( G(x) \)sería simplemente la imagen de \( G \), que no sería lo mismo que el dominio de \( G \) (vaya, yo solo así le veo sentido a todo esto :laugh:).

Saludos.

Yo no lo veo así del todo. G es lo mismo que decir G() donde esto () siempre hará relación a algo; por ejemplo, a los puntos de alguna coordenada “x” ó “y” ó “z”, etc., si pensamos en la base de un espacio. La letra “x” es sólo un símbolo, aunque sí es verdad que es la que usamos normalmente para el dominio, pero no es una cuestión teórica en sí misma, también podríamos llamarle al dominio “y”.

Saludos.

Pero en relación a este caso en concreto, qué es lo que "no ves así del todo"?

Creo que ya lo ha explicado Luís bastante mejor que yo, en general se puede usar tanto \( G \) como \( G(x) \) para referirse a una misma función, pero en este caso en concreto se usa \( G(x)  \)para referirse a la imagen (al valor de salida de la función si quieres), que NO es lo mismo que el dominio (valor de entrada) de la misma.

En el ejemplo concreto de Marcos resulta que el dominio y la imagen coinciden (pero esto no tiene por qué ser siempre así, como en el ejemplo que puse un poco más atrás), pero eso tampoco significa que no haya ninguna diferencia, ni que \( G(x) = x \) (eso sólo pasaría si la función fuera precisamente \( G(x) = x   \) :laugh:), así que yo al menos ya no veo dónde puede estar la confusión.

\( G \) y \( G(x) \) hacen referencia a la misma función, pero en este caso concreto se usa \( G(x) \) para refererirse a la imagen (valor de salida) de \( G \).

Saludos.
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

21 Febrero, 2021, 03:06 pm
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

Creo que ya lo ha explicado Luís bastante mejor que yo, en general se puede usar tanto \( G \) como \( G(x) \) para referirse a una misma función, pero en este caso en concreto se usa \( G(x)  \)para referirse a la imagen (al valor de salida de la función si quieres), que NO es lo mismo que el dominio (valor de entrada) de la misma.

No me convence del todo como está dicho.

\( G(x) \) se refiere a la imagen del punto \( x \).

\( G(x) \) pertenece a la imagen (al conjunto imagen) de la función \( G \). Y en ese caso \( x \) tiene que pertenecer al dominio de \( G \).

Pero ni \( x \) ES el dominio; si \( G(x) \) ES la imagen. Son respectivamente elementos concretos del domino y de la imagen.

No sé si se entiende el matiz. En la misma línea:

\( G \) y \( G(x) \) hacen referencia a la misma función, pero en este caso concreto se usa \( G(x) \) para refererirse a la imagen (valor de salida) de \( G \).

\( G(x) \) no se refiere a la imagen de \( G \); se refiere a la imagen del elemento \( x \) por la función \( G \).

Saludos.

21 Febrero, 2021, 03:22 pm
Respuesta #19

Pie

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De acuerdo con todos los matices Luis, no todo valor de entrada x tendría por qué formar parte del dominio, etc.. La verdad que me cuesta expresarme con precisión a veces, pero creo que la idea se entendía.. :laugh:

Saludos.
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