Autor Tema: Composición de funciones

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19 Febrero, 2021, 07:18 pm
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Marcos Castillo

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¡Hola, qué tal, RM!

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:

Ejemplo 5

Dada \( G(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \), calcule \( G\circ{G(x)} \) y especifique su dominio.

Solución Calculamos

\( G\circ{G(x)}=G(G(x))=G\left ({\frac{1-x}{1+x}}\right )=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{1+x-1+x}{1+x+1-x}=x \)

Dado que la función resultante, \( x \), está definida para todos los reales \( x \), podemos estar tentados de pensar que el dominio de \( G\circ{G(x)} \) está formado por todos los reales. ¡Esto es incorrecto! Para pertenecer al dominio de \( G\circ{G(x)} \), \( x \) debe satisfacer dos condiciones:

(i) \( x \) debe pertenecer al dominio de \( G \).
(ii) \( G(x) \) debe pertenecer al dominio de \( G \).

El dominio de \( G \) está formado por todos los números reales excepto \( x=-1 \). Si se excluye el punto \( x=-1 \) del dominio de \( G\circ{G(x)} \), se cumplirá la condición (i). Obsérvese ahora que la ecuación \( G(x)=-1 \) no tiene solución \( x \), ya que es equivalente a \( (1-x)=-(1+x) \), o \( 1=-1 \). Por lo tanto, todos los números \( G(x) \) pertenecen al dominio de \( G \), y la condición (ii) se satisface sin ninguna restricción sobre la \( x \). El dominio de \( G\circ{G(x)} \) es \( (-\infty,-1)\cup{(-1,\infty)} \), es decir, todos los números reales excepto \( -1 \).

Mi intento:
(i) \( G\circ{G(x)}|x\in\mbox{dom}G(x) \) es lo que debe probarse: \( G\circ{G(x)}=x \): para que \( x \) esté en el dominio de \( G(x) \), hay que descartar \( x=-1 \);
(ii) \( G(x)|x\in\mbox{dom}G(x) \): esto no hay necesidad de probarlo.

Por lo tanto no veo diferencia entre \( G \) y \( G(x) \).

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

19 Febrero, 2021, 07:30 pm
Respuesta #1

feriva

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¡Hola, qué tal, RM!

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:


Hola, Marcos.

Sin mirar más, en principio debería ser ella misma como variable (ahora sigo mirando, a ver si he acertado :D )

Sí, creo que es eso; o sea, sustituyes la x por G(x) en G(x)

Si las funciones fueran la misma respecto de la variable x, tendrías por ejemplo

\( G(2)=G(G(2))
  \)



Saludos.

19 Febrero, 2021, 07:55 pm
Respuesta #2

I am Bo

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Buenas,

Faltan unos paréntesis, debería estar expresado así: $$(G\circ G)(x)$$. Es más claro.

Saludos.

19 Febrero, 2021, 07:59 pm
Respuesta #3

feriva

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Ah, ya sé lo que dices, Marcos. Claro, dices G y G(x). Y claro, G es una función para cualquier variable, una “fórmula”, entonces si le asignas x es la misma, pero si le asignas una función de x como variable, pues entonces no.

Es como esto, \( a^{2}
  \) y \( 2^{2}
  \), si a=2, es lo mismo, pero si \( a=2^{2}
  \) entonces es \( (2^{2})^{2}
  \) y no es lo mismo.

19 Febrero, 2021, 10:34 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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¡Hola, qué tal, RM! No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:
Ejemplo 5
Dada \( G(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \), calcule \( G\circ{G(x)} \) y especifique su dominio.

La función \( G \) está definida mediante \( G(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \), en consecuencia el dominio de \( G \) es \( \mathbb{R}\setminus\left\{{-1}\right\} \). Para todo \( x\ne -1 \) tenemos,

        \( (G\circ G)(x)=G[G(x)]=G\left(\displaystyle\frac{1-x}{1+x}\right)=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}} \).

El último cociente existe si y sólo si, \( x\ne -1 \) y \(  1+\dfrac{1-x}{1+x}\ne 0 \) y fácilmente verificamos que la última condición se verifica para todo \( x\ne -1 \). En consecuencia,

        \( G[G(x)]=G\left(\displaystyle\frac{1-x}{1+x}\right)=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}}=\ldots=x, \quad \forall x\ne -1 \),

y por tanto \( G\circ G:\mathbb{R}\setminus\left\{{-1}\right\}\to \mathbb{R} \) es la función \( (G\circ G)(x)=x \) y su dominio es \( \mathbb{R}\setminus\left\{{-1}\right\} \).

20 Febrero, 2021, 12:16 am
Respuesta #5

Pie

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¡Hola, qué tal, RM!

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:

Ejemplo 5

Dada \( G(x)=\dfrac{1-x}{1+x} \), calcule \( G\circ{G(x)} \) y especifique su dominio.

Solución Calculamos

\( G\circ{G(x)}=G(G(x))=G\left ({\frac{1-x}{1+x}}\right )=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{1+x-1+x}{1+x+1-x}=x \)

Dado que la función resultante, \( x \), está definida para todos los reales \( x \), podemos estar tentados de pensar que el dominio de \( G\circ{G(x)} \) está formado por todos los reales. ¡Esto es incorrecto! Para pertenecer al dominio de \( G\circ{G(x)} \), \( x \) debe satisfacer dos condiciones:

(i) \( x \) debe pertenecer al dominio de \( G \).
(ii) \( G(x) \) debe pertenecer al dominio de \( G \).

El dominio de \( G \) está formado por todos los números reales excepto \( x=-1 \). Si se excluye el punto \( x=-1 \) del dominio de \( G\circ{G(x)} \), se cumplirá la condición (i). Obsérvese ahora que la ecuación \( G(x)=-1 \) no tiene solución \( x \), ya que es equivalente a \( (1-x)=-(1+x) \), o \( 1=-1 \). Por lo tanto, todos los números \( G(x) \) pertenecen al dominio de \( G \), y la condición (ii) se satisface sin ninguna restricción sobre la \( x \). El dominio de \( G\circ{G(x)} \) es \( (-\infty,-1)\cup{(-1,\infty)} \), es decir, todos los números reales excepto \( -1 \).

Mi intento:
(i) \( G\circ{G(x)}|x\in\mbox{dom}G(x) \) es lo que debe probarse: \( G\circ{G(x)}=x \): para que \( x \) esté en el dominio de \( G(x) \), hay que descartar \( x=-1 \);
(ii) \( G(x)|x\in\mbox{dom}G(x) \): esto no hay necesidad de probarlo.

Por lo tanto no veo diferencia entre \( G \) y \( G(x) \).

¡Un saludo!

Pero (si no entiendo mal) los dominios no tienen por qué coincidir. Podria ser que para algún valor de \( x \) la función original estuviera definida, pero para la función compuesta no.

Por ejemplo el dominio de \(  G(x) = \displaystyle\frac{1}{ln(x)} \)

serían todos los reales positivos a excepción del \( 1 \). Pero para \(  (G \circ{G}) (x) \) no estaría definida para \( x = e \) ni para \( x \leq{1} \). Con lo que los dominios no coincidirian (a diferencia de tu ejemplo).

Así que según lo veo yo, esas condiciones serían necesarias pero no suficientes para determinar el dominio de la función compuesta (que alguien me corrija si no XD).

PD. Pues me autocorrijo yo, sí es condición suficiente ya que descartando los valores de la imagen de \( G \), es decir, de \( G(x) \), que no estén en el dominio de \( G \) ya sale, tengan dominios iguales o no.. :laugh:

Saludos.

Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

20 Febrero, 2021, 10:38 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

No distingo \( G(x) \) de \( G \) en el siguiente ejemplo de composición de funciones:

Es que no hay ninguna diferencia. A veces una función \( f:\Bbb R\to \Bbb R \) se escribe para hacer referencia a ella como \( f(x) \) o simplemente como \( f \). Desde luego si queremos hacer referencia a su valor sobre un punto sea concreto o sea variable, si escribimos \( f(x) \).

Entonces creo que parte de la clave de tu confusión está en lo que apuntó I am Bo:

Faltan unos paréntesis, debería estar expresado así: $$(G\circ G)(x)$$. Es más claro.


No es que estés componiendo \( G \) con \( G(x) \). Estás componiendo \( G \) con \( G  \) ó \( G(x) \) con \( G(x) \) (si preferimos una u otra notación).

Eso si nunca se escribiría \( G(x)\circ G(x) \) (o al menos yo no lo he visto).

Entonces por definición:

\( (G\circ G)(x)=G(G(x)) \)

Compones una función con ella misma.

Saludos.

20 Febrero, 2021, 12:43 pm
Respuesta #7

feriva

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Pero (si no entiendo mal) los dominios no tienen por qué coincidir. Podria ser que para algún valor de \( x \) la función original estuviera definida, pero para la función compuesta no.

Marcos no dice eso, es que me confundí yo al leer; era lo que creía en principio porque no me fijé bien.

Él dice que no encuentra diferencia entre G() ─tal como se definen a veces las funciones en programación, con un paréntesis vacío sin aludir a una variable en particular─ y G(x). En el paréntesis podemos meter una cosa u otra; por tanto, si él considera meter x, pues tiene razón, es lo mismo y entonces también tiene el mismo dominio.

La función más simple podría verse así en vez de con una letra, \( (\,)
  \), una cajita donde, si metemos un número, nos devuelve el mismo número \( (3)=3
  \). Si Antes de pensar en un dominio particular, pensamos en un eje donde podemos meter todo \( \mathbb{R}
  \), los números de este conjunto se visualizan ordenados uno detrás de otro; y todos o algunos están aquí \( (\,)
  \), en caso de que ésta es la variable del dominio (porque puede ser también una función compuesta con eso).

A esto \( (\,)
  \) le podemos llamar x, y, z... o como queramos, pensar en un eje vertical, horizontal, etc. En cualquier caso, una vez que se tiene el dominio, si es todo \( \mathbb{R}
  \) o el que sea, ésta, \( (\,)
  \), va a ser la “forma” de la variable del dominio en una función simple; y las variables independientes van a ser, al fin y al cabo, composiciones hechas con ésta \( (\,)
  \).

Para distinguir una función de otra tenemos que dibujarlas respecto de un mismo eje (asociado total o parcialmente a los valores que toma la variable del dominio) y ver por qué puntos pasan ambas funciones; si pasan por los mismos, si el dibujo es el mismo, entonces son iguales. Después, si son distintas, pueden tener el mismo dominio o no, pero es aparte del “dibujo” de la función.

En cualquier caso, no deja de existir la posibilidad de que, no sólo tengan el mismo dominio, sino que, sean iguales: podemos escribir x = G(x); sólo son símbolos distintos que ituitivamente podrían entenderse como “vestimentas” de la función para disfrazarla de distinta manera, como, por ejemplo, \( x=\dfrac{x^{2}}{x}
  \); donde G es esto \( \dfrac{()^{2}}{()}
  \).

Saludos.

20 Febrero, 2021, 06:12 pm
Respuesta #8

Pie

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Pero (si no entiendo mal) los dominios no tienen por qué coincidir. Podria ser que para algún valor de \( x \) la función original estuviera definida, pero para la función compuesta no.

Marcos no dice eso, es que me confundí yo al leer; era lo que creía en principio porque no me fijé bien.

Él dice que no encuentra diferencia entre G() ─tal como se definen a veces las funciones en programación, con un paréntesis vacío sin aludir a una variable en particular─ y G(x). En el paréntesis podemos meter una cosa u otra; por tanto, si él considera meter x, pues tiene razón, es lo mismo y entonces también tiene el mismo dominio.

La función más simple podría verse así en vez de con una letra, \( (\,)
  \), una cajita donde, si metemos un número, nos devuelve el mismo número \( (3)=3
  \). Si Antes de pensar en un dominio particular, pensamos en un eje donde podemos meter todo \( \mathbb{R}
  \), los números de este conjunto se visualizan ordenados uno detrás de otro; y todos o algunos están aquí \( (\,)
  \), en caso de que ésta es la variable del dominio (porque puede ser también una función compuesta con eso).

A esto \( (\,)
  \) le podemos llamar x, y, z... o como queramos, pensar en un eje vertical, horizontal, etc. En cualquier caso, una vez que se tiene el dominio, si es todo \( \mathbb{R}
  \) o el que sea, ésta, \( (\,)
  \), va a ser la “forma” de la variable del dominio en una función simple; y las variables independientes van a ser, al fin y al cabo, composiciones hechas con ésta \( (\,)
  \).

Para distinguir una función de otra tenemos que dibujarlas respecto de un mismo eje (asociado total o parcialmente a los valores que toma la variable del dominio) y ver por qué puntos pasan ambas funciones; si pasan por los mismos, si el dibujo es el mismo, entonces son iguales. Después, si son distintas, pueden tener el mismo dominio o no, pero es aparte del “dibujo” de la función.

En cualquier caso, no deja de existir la posibilidad de que, no sólo tengan el mismo dominio, sino que, sean iguales: podemos escribir x = G(x); sólo son símbolos distintos que ituitivamente podrían entenderse como “vestimentas” de la función para disfrazarla de distinta manera, como, por ejemplo, \( x=\dfrac{x^{2}}{x}
  \); donde G es esto \( \dfrac{()^{2}}{()}
  \).

Saludos.

Bueno, yo hablaba de que la función original y la compuesta tuvieran el mismo dominio, no que fueran la misma función. Pensé que se refería a que no había ninguna diferencia en ese sentido.

Esto sucede (aunque al principio no me di cuenta  ;D) por no haber ningún valor de la imagen de \( G \) que no pertenezca al dominio de \( G \) (hablo del ejemplo que puso Marcos, pero esto no tiene por qué ser siempre así).

Así que en este caso yo sí veo diferencia en la notación, \( G(x) \)sería simplemente la imagen de \( G \), que no sería lo mismo que el dominio de \( G \) (vaya, yo solo así le veo sentido a todo esto :laugh:).

Saludos.
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21 Febrero, 2021, 08:47 am
Respuesta #9

feriva

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Así que en este caso yo sí veo diferencia en la notación, \( G(x) \)sería simplemente la imagen de \( G \), que no sería lo mismo que el dominio de \( G \) (vaya, yo solo así le veo sentido a todo esto :laugh:).

Saludos.

Yo no lo veo así del todo. G es lo mismo que decir G() donde esto () siempre hará relación a algo; por ejemplo, a los puntos de alguna coordenada “x” ó “y” ó “z”, etc., si pensamos en la base de un espacio. La letra “x” es sólo un símbolo, aunque sí es verdad que es la que usamos normalmente para el dominio, pero no es una cuestión teórica en sí misma, también podríamos llamarle al dominio “y”.

Saludos.