Autor Tema: Función que indica la altura de agua en piscina irregular

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26 Enero, 2021, 07:42 pm
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Bruno_gs

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El problema dice: Se está llenando una piscina como la de la figura con una manguera que vierte agua a una velocidad constante de 100 L/minutos.

Obtén la función que da la altura que va alcanzando la piscina en función del tiempo que lleva abierto el grifo.
¿Cúanto tiempo necesitará para alcanzar 1,4 m?
¿Qué altura habrá alcanzado cuando lleva un día funcionando la manguera?


El corte vertical


Planta



Es un problema guía de cara a mi examen pero no sé por donde empezar. Siempre me ha dado mucho miedo las matemáticas por mi profesor ya que te enseña el tema y luego te pregunta de manera que nunca hemos hecho un problema así.

Gracias

26 Enero, 2021, 09:03 pm
Respuesta #1

sugata

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No estoy seguro, pero creo que falta el dato de la base de la piscina y escalones.

26 Enero, 2021, 09:18 pm
Respuesta #2

Bruno_gs

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No estoy seguro, pero creo que falta el dato de la base de la piscina y escalones.

Es cierto, no lo había subido. Listo

27 Enero, 2021, 12:45 am
Respuesta #3

delmar

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Hola Bruno_gs

Bienvenido al foro

Es conveniente mostrar lo que se ha hecho por resolver el problema.

Hay que determinar el volumen V de agua en la piscina en función de la altura h para ello se ha de proceder en etapas :

\( V=50h \) si  \( 0\leq{h}\leq{1} \) Etapa 1

\( V=50+100(h-1) \) si  \( 1\leq{h}\leq{1.5} \) Etapa 2

\( V=100+150(h-1.5) \)  si  \( 1.5\leq{h}\leq{2} \) Etapa 3

Para cada etapa se considera \( V'=\displaystyle\frac{1}{10} \) \( m^3/minuto \) derivando en intervalo de tiempo respectivo.

Etapa 1

\( V'=50h'\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{500}}\Rightarrow{h(t)=\displaystyle\frac{t}{500}} \) válido \( 0\leq{t}\leq{500} \)

Etapa 2

\( V'=100h'(t)\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{1000}}\Rightarrow{h(t)-h(500)=\displaystyle\frac{t-500}{1000}}\Rightarrow{h(t)=1+\displaystyle\frac{t-500}{1000}} \) válido \( 500\leq{t}\leq{1000} \)

Etapa 3

\( V'=150h'(t)\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{1500}}\Rightarrow{h(t)-h(1000)=\displaystyle\frac{t-1000}{1500}}\Rightarrow{h(t)=1.5+\displaystyle\frac{t-1000}{1500}} \) válido \( 1000\leq{t}\leq{1750} \)

Verifica las ecuaciones de ahí se puede responder al resto de interrogantes.


Saludos

Nota :

La cota máxima de cada intervalo de tiempo se obtiene al considerar la cota máxima de la altura

14 Febrero, 2021, 08:19 pm
Respuesta #4

Bruno_gs

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Hola Bruno_gs

Bienvenido al foro

Es conveniente mostrar lo que se ha hecho por resolver el problema.

Hay que determinar el volumen V de agua en la piscina en función de la altura h para ello se ha de proceder en etapas :

\( V=50h \) si  \( 0\leq{h}\leq{1} \) Etapa 1

\( V=50+100(h-1) \) si  \( 1\leq{h}\leq{1.5} \) Etapa 2

\( V=100+150(h-1.5) \)  si  \( 1.5\leq{h}\leq{2} \) Etapa 3

Para cada etapa se considera \( V'=\displaystyle\frac{1}{10} \) \( m^3/minuto \) derivando en intervalo de tiempo respectivo.

Etapa 1

\( V'=50h'\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{500}}\Rightarrow{h(t)=\displaystyle\frac{t}{500}} \) válido \( 0\leq{t}\leq{500} \)

Etapa 2

\( V'=100h'(t)\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{1000}}\Rightarrow{h(t)-h(500)=\displaystyle\frac{t-500}{1000}}\Rightarrow{h(t)=1+\displaystyle\frac{t-500}{1000}} \) válido \( 500\leq{t}\leq{1000} \)

Etapa 3

\( V'=150h'(t)\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{1500}}\Rightarrow{h(t)-h(1000)=\displaystyle\frac{t-1000}{1500}}\Rightarrow{h(t)=1.5+\displaystyle\frac{t-1000}{1500}} \) válido \( 1000\leq{t}\leq{1750} \)

Verifica las ecuaciones de ahí se puede responder al resto de interrogantes.


Saludos

Nota :

La cota máxima de cada intervalo de tiempo se obtiene al considerar la cota máxima de la altura

Muchas gracias, lo que no entiendo muy bien es por qué \( V'=50h'\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{500}}\Rightarrow{h(t)=\displaystyle\frac{t}{500}} \) válido \( 0\leq{t}\leq{500} \)

V' es igual a 50h' a h'(t) (la altura en función del tiempo) es igual a t (tiempo) entre 500  ??? ???

15 Febrero, 2021, 11:09 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Muchas gracias, lo que no entiendo muy bien es por qué \( V'=50h'\Rightarrow{h'(t)=\displaystyle\frac{1}{500}}\Rightarrow{h(t)=\displaystyle\frac{t}{500}} \) válido \( 0\leq{t}\leq{500} \)

V' es igual a 50h' a h'(t) (la altura en función del tiempo) es igual a t (tiempo) entre 500  ??? ???

Lo que ha usado es lo siguiente. En la pimera etapa, el tramo mas hondo de la pisicina, la base es un rectángulo de lados \( 5m \) y \( 10m \). Por tanto para una altura \( h(t) \), el volumen es:

\( V(t)=5\cdot 10\cdot h(t) \) en metros cúbicos

Derivando:

\( V'(t)=50h'(t) \) (*)

Ahora dado que se llena a \( \dfrac{1}{10} \) \( m^3 \) por minuto, tienes que \( V'(t)=\dfrac{1}{10} \). Sustituyendo en (*):

\( \dfrac{1}{10}=50h'(t) \)

y despejando:

\( h'(t)=\dfrac{1}{500} \)

Saludos.