Mi ingreso a este foro ha sido por sugerencia del Prof. Fernando Revilla, a quien estoy muy agradecido. Desde hace muchos años estoy trabajando con una criba derivada de la criba de Eratóstenes, la cual, dado un número par, permite obtener casi todos los primos que sumados producen ese número par (Problema de Goldbach). Quiero compartir con aquellos que se interesen en la famosa conjetura de Goldbach los detalles de cómo construir esta criba para cualquier número par, y más adelante, si es que hay interesados, las principales ideas acerca de cómo podría utilizarse la criba para llegar a la demostración de la conjetura. Empezaremos por explicar algunos conceptos necesarios para entender la formulación de la criba.
Entonces, dado un número par \( x \), obtenemos los números primos \( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \) menores que \( \sqrt{x} \). A continuación, para cada \( n \) entre \( 1 \) y \( x \) construimos una k-tupla cuyos elementos son los restos de dividir \( n \) por los números primos \( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \). Obtenemos una secuencia finita de k-tuplas, que colocamos ordenadamente de arriba hacia abajo. Ahora, supongamos que seleccionamos (rodeamos con un círculo, o marcamos con algún color) todos los ceros en cada k-tupla. Entonces, algunas k-tuplas tienen uno ó más restos seleccionados (ceros), y otras no tienen ningún resto seleccionado. Las k-tuplas con uno ó más restos seleccionados las denominamos k-tuplas prohibidas, y las k-tuplas que no tienen ningún resto seleccionado son las k-tuplas permitidas. Sin embargo, para el problema de Goldbach, necesitamos agregar otros restos seleccionados: En cada k-tupla de la secuencia, los restos de dividir \( x \) por \( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \) también deben ser seleccionados.
Veamos un ejemplo sencillo. Consideremos el número par \( x = 52 \) (ver Figura 1, en archivo adjunto). Procedemos como sigue:
- Hacemos una lista de todos los números primos menores que \( \sqrt{52} \); obtenemos \( \{ 2, 3, 5, 7\} \).
- Calculamos los restos de dividir \( x = 52 \) por los módulos primos de la lista anterior. Obtenemos \( \{ 0, 1, 2, 3\} \).
- En cada k-tupla marcamos cada \( 0 \), y también los elementos \( \{ 1, 2, 3\} \), correspondientes a los módulos \( \{ 3, 5, 7\} \), respectivamente. En la Figura 1, los restos seleccionados se ven rodeados por círculos.
- Ahora, le damos algún color a las k-tuplas permitidas. En la Figura 1, las k-tuplas permitidas tienen color gris, y las flechas muestran las particiones de Goldbach. Podemos notar que no hay una k-tupla permitida para la partición \( 47+5 \).
Como ejercicio para los lectores interesados, sugiero construir una criba para cada uno de los números pares \( 72 \), \( 100 \) y \( 124 \). La manera mas fácil de hacerlo es por medio de planillas de cálculo Excel, que permite marcar celdas con colores.
Formulación de la Criba I del modo habitual en Teoría de Cribas.Los expertos definen las cribas como un "problema", utilizando en inglés la expresión "Sieve Problem". (Debo reconocer que esto no me convence del todo, porque en realidad una criba es una herramienta: La que usamos para colar los fideos, para hacer un café, o la que usan los que se dedican a la Mineralogía.) Entonces, según los expertos, el
problema de cribas (sieve problem) se formula especificando un primer conjunto de números enteros, y un segundo conjunto que se resta del anterior. Es decir, hay un procedimiento implícito que consiste en eliminar del primer conjunto aquellos elementos que también están en el segundo conjunto. El problema de cribas consiste en estimar el número de elementos que nos quedan después de restar el segundo conjunto del primero. El número de elementos en el conjunto diferencia se conoce como
Función de cribado (Sifting function en inglés).
Veamos ahora como definimos formalmente la Criba I, de acuerdo a la Teoría de Cribas. Utilizaremos la notación del libro de Cojocaru y Ram Murty, porque es la que mejor se adapta a nuestro caso. Comenzamos por definir el conjunto \( \mathscr{A} = \{ n \in \mathbb{Z}_+ \, : \, n \le x \} \), donde \( x \) es un número par. Sea \( \mathscr{P} \) la secuencia de todos los primos; y sea \( z = \sqrt{x} \). Además, sea
\( P \left ( z \right ) = \displaystyle\prod_{\substack{p \in \mathscr{P} \\ p < z}} p = m_k. \)
Ahora, a cada \( p \in \mathscr{P}, \; p<z \), asociamos el subconjunto \( \mathscr{A}_p \) de \( \mathscr{A} \), definido como sigue: \( \mathscr{A}_p = \{ n \in \mathscr{A} \, : \, n \equiv 0 \pmod{p} \; \mbox{ó} \; n \equiv x \pmod{p} \} \). El problema de cribas es estimar la cardinalidad del conjunto
\(
\mathscr{A} \setminus \displaystyle\bigcup_{ \substack{p \in \mathscr{P}\\p < z} } \mathscr{A}_p,
\)
el cual consiste en los elementos del conjunto \( \mathscr{A} \) después de remover todos los elementos de los subconjuntos \( \mathscr{A}_p \). Al procedimiento de remover los elementos de los subconjuntos \( \mathscr{A}_p \) del conjunto \( \mathscr{A} \) lo denominamos
proceso de cribado (sifting process). Se puede ver que los elementos de cada conjunto \( \mathscr{A}_p \) son los índices de los elementos seleccionados con un círculo en la columna de la Criba I que corresponde al número primo \( p \). Y creo que las observaciones realizadas por Luis Fuentes son suficientes para explicar por qué los índices de las k-tuplas permitidas resultan ser los primos que sumados de a dos nos dan el número par \( x \) para el cual se construyó la criba.
Por otro lado, si \( d \) es un entero libre de cuadrados (square free) tal que \( d | P(z) \), definimos el conjunto
\( \mathscr{A}_d = \displaystyle\bigcap_{p | d} \mathscr{A}_p. \)
En este caso, la función de cribado (sifting function)
\( S(\mathscr{A}, \mathscr{P}, z) = \left | \mathscr{A} \setminus \displaystyle\bigcup_{ \substack{p \in \mathscr{P}\\p < z} } \mathscr{A}_p \right | \)
cuenta los primos \( q \) en el intervalo \( [\sqrt{x}, x] \), tales que \( x-q = 1 \) ó \( x-q \) es un primo. Como en el caso de la criba de Eratóstenes-Legendre, el principio de inclusión--exclusión nos da
\( S(\mathscr{A}, \mathscr{P}, z) = \displaystyle\sum_{d | P(z)} \mu \left ( d \right ) \left | \mathscr{A}_d \right |, \)
donde \( \mu ( d ) \) es la función de Moebius.
Ahora, \( S(\mathscr{A}, \mathscr{P}, z) > 2 \) implica que \( x \) es la suma de dos primos; y si esto se prueba para todo \( x \), la conjetura de Goldbach estaría probada. Por lo tanto, la solución del problema de Goldbach depende de establecer una cota inferior positiva para la función de cribado.
En el área de Teoría de Cribas, el camino usual que se utiliza para resolver un problema de cribas es tratar de encontrar cotas inferior y superior para la función de cribado, operando sobre la fórmula que se deriva del principio de inclusión--exclusión. Sin embargo, hasta ahora todos los intentos de resolver la conjetura de Goldbach por las técnicas usuales en esta área no dieron los resultados esperados. Aparentemente las dificultades están asociadas con una limitación en el uso de cribas que los expertos denominan
problema de paridad (Parity problem en inglés). Para más información sobre este problema se puede ver el blog de Terence Tao
https://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory/. Y por esta razón, la estrategia que explicaremos aquí difiere en mucho de la aproximación habitual en Teoría de Cribas.
Algunas dificultades que presenta la Criba I.Independientemente de su formulación, la Criba I es una criba "estática"; es decir, dado un número par \( x \) podemos formular una criba específica para ese número par. Pero para nuestros propósitos, necesitamos una criba "dinámica", que sea capaz de trabajar cuando \( x \to \infty \). Supongamos que dado un número par \( x \) tenemos alguna manera de calcular la cantidad de k-tuplas permitidas cuyos índices caen en \( [1, x] \); entonces, podríamos probar la conjetura de Goldbach construyendo una secuencia de cribas asociadas con cada número par \( x \).
Sin embargo, con la Criba I la implementación de esa idea presenta algunas dificultades. Por ejemplo, si \( x = 50 \) la Criba I se puede describir así: Dado que el primo más grande menor que \( \sqrt{50} \) es \( p_4 = 7 \), tenemos que \( k=4 \); luego, construímos las k-tuplas desde \( n=1 \) hasta \( n=50 \). En cada 4-tupla, se seleccionan todos los ceros, y los restos de dividir \( x = 50 \) por \( p_1, p_2, p_3, p_4 \). Sea \( \mathscr{A} \) el conjunto de los índices de las 4-tuplas que caen en el intervalo \( [1, 50] \). Supongamos ahora que vamos al siguiente numero par \( x = 52 \). En este caso, tenemos otra vez \( k = 4 \), y la secuencia de 4-tuplas es la misma que antes, pero ahora el conjunto \( \mathscr{A} \) consiste en los índices que caen en \( [1, 52] \), y los elementos seleccionados toman valores específicos para \( x=52 \). Además, a medida que \( x \) recorre los números pares, cuando \( x>121 \) tenemos \( k>4 \), porque el primo más grande menor que \( \sqrt{x} \) será \( p_k > p_4 = 7 \). La dificultad reside básicamente en el manejo de esas variables a medida que \( x \) recorre todos los números pares.
Por otro lado, si \( x \) es divisible por alguno de los primos \( p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \), el resto de dividir \( x \) por \( p_h \; (1 \le h \le k) \) es \( 0 \); por lo tanto, en cada secuencia de restos módulo \( p_h \; (1 \le h \le k) \) que forma la secuencia de k-tuplas, podrían existir uno o dos elementos seleccionados dentro del período de la secuencia (si hay un solo elemento seleccionado, siempre es \( 0 \)). Esto es una seria dificultad adicional si queremos derivar una fórmula para estimar la Función de cribado. Por estas razones vamos a trabajar con una criba auxiliar, a la que denominaremos Criba II.
La Criba II.Antes de explicar en que consiste la Criba II, vamos a agregar algunas cosas que nos dejamos en el tintero, acerca de las k-tuplas. Sea la secuencia periódica de restos módulo \( p \), donde \( p \in \{ p_1, p_2, p_3, p_4 \} \). Entonces, para cada \( p \in \{ p_1, p_2, p_3, p_4 \} \), ordenamos los elementos de estas secuencias verticalmente, y yuxtaponemos las secuencias en el orden de los primos del conjunto. Por lo tanto, hemos construído una secuencia de 4-tuplas! Y vemos que, dejando de lado por el momento el tema de los elementos seleccionados, la Criba I está formada por las primeras \( 52 \) filas de esta secuencia de 4-tuplas.
La idea de secuencia de 4-tuplas se puede generalizar a una secuencia de k-tuplas, donde \( k \in \mathscr{Z}_+ \). Entonces, la secuencia de k-tuplas está formada por la yuxtaposición de secuencias periódicas de restos módulo \( p \), donde \( p \in \{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \} \). Es sencillo probar que la secuencia de k-tuplas es periódica, con período \( m_k = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k \). Notemos que para cada \( k \in \mathscr{Z}_+ \), tenemos una secuencia de k-tuplas, cuyo índice es \( n \in \mathscr{Z}_+ \); pero por otro lado, \( k \) es el índice de una secuencia de secuencias de k-tuplas. Por otro lado, la secuencia de k-tuplas se puede ver también como una matriz de infinitas filas y \( k \) columnas.
Ahora estamos en condiciones de definir la Criba II. Dado \( k \in \mathscr{Z}_+ \), supongamos que en cada secuencia de restos módulo \( p \), donde \( p \in \{ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k \} \) seleccionamos algunos elementos de acuerdo con las siguientes reglas:
- En la secuencia de restos módulo \( p_1 \), seleccionamos uno de los dos elementos, el mismo en cada período de la secuencia.
- En cada una de las demás secuencias de restos módulo \( p \; (p > p_1) \), seleccionamos dos elementos, los mismos dos en cada período de la secuencia.
En resumen, si vemos la secuencia de k-tuplas como una matriz, en la primer columna seleccionamos un elemento en cada período \( p_1 = 2 \), y en las otras columnas seleccionamos dos elementos en cada período \( p_h \; (1 < h \le k) \). Ahora vamos a tomar en la secuencia de k-tuplas aquellas k-tuplas cuyos índices caen en el conjunto \( \mathscr{B} = \{ n : 1 \le n \le p_k^2 \} \). Y con esto queda definida la Criba II. En la Figura 2 (archivo adjunto) podemos ver las 35 primeras, y las 35 últimas 4-tuplas en el intervalo \( [1, 210] \) (primer periodo de la secuencia), para una selección arbitraria de elementos. La Criba II está dada por las k-tuplas cuyos índices caen en \( [1, 7^2] \).
Podemos ver que para un dado \( k \), la Criba II es en realidad un conjunto de cribas, una para cada combinación de elementos seleccionados en las secuencias módulo \( p \) que forman la secuencia de k-tuplas. Y entonces, la cantidad de k-tuplas permitidas cuyos índices caen en el intervalo \( [1, p_k^2] \) (la Función de cribado de la Criba II) va a depender de una determinada combinación de elementos seleccionados. Es decir que vamos a tener que lidiar con la variabilidad de la Función de cribado de la Criba II; para cada \( k \), esta Función de cribado va a estar entre un valor máximo y un valor mínimo. Y además, los índices de las k-tuplas permitidas, en este caso, pueden o no ser primos.
Pero, por otro lado, con la Criba II tenemos una secuencia de secuencias de k-tuplas cuyo índice es \( k \). Y si bien para cada secuencia de k-tuplas hay distintas combinaciones de elementos seleccionados, en cierto sentido, cada secuencia de k-tuplas resulta más homogénea que en el caso de la Criba I, porque por definición, en las secuencias de restos módulo \( p \; (p > p_1) \) siempre hay dos elementos seleccionados. Notar que el tamaño del intervalo \( [1, p_k^2] \) (dentro del cual queremos contar el número de k-tuplas permitidas) aumenta al crecer el índice \( k \). Resulta más sencillo estudiar la secuencia de k-tuplas correspondiente a la Criba II, con el fin de estimar la Función de cribado en el caso de esta criba. Ahora, algún lector seguramente va a preguntarse: Cómo puede servirnos la Criba II para estimar la Función de cribado de la Criba I, que es lo que realmente necesitamos para resolver el problema de Goldbach?
Sea \( p_k \in \mathscr{P} \), y sea \( m_k = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k \). Desde ahora, por conveniencia, tomaremos \( x \) como un número par mayor que \( p_4^2 = 49 \). Notar que si \( p_k \) es el mayor de los primos menores que \( \sqrt{x} \), todo número \( x > 49 \) satisface \( p_k^2 < x < p_{k+1}^2 < m_k \); este hecho es muy importante para nuestros propósitos, como veremos más adelante.
Ahora, se puede probar fácilmente que la cantidad de k-tuplas permitidas cuyos índices caen en el intervalo \( [1, x] \) de la Criba I es mayor que el mínimo número de k-tuplas permitidas cuyos índices caen en el intervalo \( [1, p_k^2] \) de la Criba II. Por lo tanto, si logramos calcular el mínimo valor de la Función de cribado de la Criba II, tenemos una cota inferior para la Función de cribado de la Criba I, que es lo que buscamos.
Para lograr estos objetivos, veremos que es necesario estudiar el período completo de la secuencia de k-tuplas, y no sólo el intervalo \( [1, p_k^2] \). El intervalo \( [1, m_k] \) de la secuencia de k-tuplas (su primer período) tiene propiedades particulares que lo hacen diferente de otros intervalos. Por ejemplo, el número de k-tuplas permitidas se puede calcular exactamente, cualquiera sea \( k \). Resulta bastante fácil demostrar que si \( c_k \) denota el número de k-tuplas permitidas en un período de la secuencia de k-tuplas, entonces
\(
c_k = (p_1 - 1) (p_2 - 2) (p_3 - 2) \cdots (p_k - 2)
\)
El primer período de la secuencia de k-tuplas de la Criba II.Hasta ahora, hemos ordenado los elementos de cada k-tupla horizontalmente, de izquierda a derecha; y hemos ordenado las k-tuplas de la secuencia verticalmente, desde arriba hacia abajo. Supongamos que hacemos una rotación de la secuencia de k-tuplas \( 90 \) grados en contra de las agujas del reloj. Entonces, el índice \( n \) de la secuencia de k-tuplas aumenta de izquierda a derecha, y el índice \( k \) de los elementos de cada k-tupla aumenta desde abajo hacia arriba. Por lo tanto, podemos ver el primer período de la secuencia de k-tuplas como una matriz formada por \( k \) filas y \( m_k \) columnas. Ver Figura 3 adjunta. Notar que si dejamos \( k \to \infty \), el período de la secuencia y el tamaño de las k-tuplas involucradas crece simultáneamente.
El siguiente paso consiste en dividir el primer período de la secuencia de k-tuplas en dos partes: el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) a la izquierda, y el intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \) a la derecha. Recordemos que dentro del primer período de la secuencia de k-tuplas (el intervalo \( [ 1, m_k ] \)), podemos calcular el número exacto de k-tuplas permitidas. Y ésta cantidad es la misma, cualquiera sea la elección de elementos seleccionados en la secuencia de k-tuplas. Sin embargo, dentro de los intervalos \( [ 1, p_k^2 ] \) y \( [ p_k^2+1, m_k ] \), la cantidad de k-tuplas permitidas cambia cuando se modifica la combinación de elementos seleccionados en la secuencia de k-tuplas, porque las posiciones de las k-tuplas permitidas a lo largo del intervalo \( [ 1, m_k ] \) se modifican.
Ahora, es natural que surja la siguiente pregunta: Cómo podemos aprovechar el hecho de que podamos calcular el número exacto de k-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, m_k ] \) para obtener una estimación del número de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \)? Consideremos otra vez el intervalo \( [ 1, m_k ] \), y los intervalos \( [ 1, p_k^2 ] \) y \( [ p_k^2+1, m_k ] \). Podemos ver que, para una dada combinación de elementos seleccionados en la secuencia de k-tuplas, si la proporción de k-tuplas permitidas en \( [ 1, p_k^2 ] \) es menor que la proporción en \( [ 1, m_k ] \), entonces la proporción de k-tuplas permitidas en \( [ p_k^2+1, m_k ] \) debe ser mayor que la proporción en \( [ 1, m_k ] \); y viceversa. Sin embargo, la proporción de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, m_k ] \) es igual al número de k-tuplas permitidas dentro de ese intervalo dividido por \( m_k \). Y es fácil ver que esa cantidad tiende a \( 0 \) cuando \( k \to \infty \). Esto hace que trabajar con la proporción de k-tuplas permitidas en los intervalos no sea de mucha utilidad. Por esta razón, es más conveniente trabajar con una nueva cantidad, que denominaremos densidad de k-tuplas permitidas.
La densidad de k-tuplas permitidas en un intervalo.Dado un intervalo en la secuencia de k-tuplas, definimos la densidad de k-tuplas permitidas como el cociente de dividir la cantidad de k-tuplas permitidas por el número de subintervalos de tamaño \( p_k \). Es decir, para un dado intervalo, es el número promedio de k-tuplas permitidas dentro de subintervalos de tamaño \( p_k \).
Ejemplo: si \( k = 4 \), entonces el período de la secuencia de 4-tuplas es \( m_4 = p_1 p_2 p_3 p_4 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210 \), y la cantidad de 4-tuplas permitidas dentro del período es \( c_4 = (p_1 - 1) (p_2 - 2) (p_3 - 2) (p_4 - 2) = (2 - 1) (3 - 2) (5 - 2) (7 - 2) = 15 \). La densidad de k-tuplas permitidas es entonces \( c_4 / (m_4 / p_4) = 15 / (210 / 7) = 0.5 \).
Notar que dada la proporción de k-tuplas permitidas en un intervalo, multiplicando por \( p_k \) obtenemos la densidad. Utilizaremos la notación \( \delta_k \) para la densidad de k-tuplas permitidas dentro del período de la secuencia de k-tuplas. Entonces,
\(
\delta_k = c_k / (m_k / p_k) = \frac{ (p_1 - 1) (p_2 - 2) (p_3 - 2) \cdots (p_k - 2) }{ p_1 p_2 p_3 \cdots p_{k-1} p_k / p_k } = \frac{ (p_1 - 1) (p_2 - 2) (p_3 - 2) \cdots (p_k - 2) }{ p_1 p_2 p_3 \cdots p_{k-1} }.
\)
Si corremos los denominadores hacia la derecha, nos queda
\(
\delta_k = \frac{ p_2 - 2 }{ p_1 } \frac{ p_3 - 2 }{ p_2 } \frac{ p_4 - 2 }{ p_3 } \cdots \frac{ p_k - 2 }{ p_{k-1} }.
\)
De la fórmula anterior se puede ver que la densidad crece en las transiciones entre primos si \( p_{k+1} - p_k > 2 \).
La Tabla que sigue muestra desde \( k = 4 \) hasta \( k = 12 \) los valores de \( p_k \), \( m_k \), \( npkt \) (cantidad de k-tuplas permitidas), \( npkt / m_k \) (cantidad de k-tuplas permitidas dividida por período) y \( dpkt \) (densidad de k-tuplas permitidas).
| \( k \) | \( p_k \) | \( m_k \) | \( npkt \) | \( npkt / m_k \) | \( dpkt \) |
| 4 | 7 | 210 | 15 | 0.071 | 0.500 |
| 5 | 11 | 2310 | 135 | 0.058 | 0.643 |
| 6 | 13 | 30030 | 1485 | 0.049 | 0.643 |
| 7 | 17 | 510510 | 22275 | 0.044 | 0.742 |
| 8 | 19 | 9699690 | 378675 | 0.039 | 0.742 |
| 9 | 23 | 223092870 | 7952175 | 0.036 | 0.820 |
| 10 | 29 | - | - | 0.033 | 0.962 |
| 11 | 31 | - | - | 0.031 | 0.962 |
| 12 | 37 | - | - | 0.029 | 1.087 |
| - | - | - | - | - | - |
A continuación demostraremos un importante resultado: \( \delta_k \) tiende a infinito cuando \( k \to \infty \).
Más arriba habíamos visto que
\(
\delta_k = \frac{ p_2 - 2 }{ p_1 } \frac{ p_3 - 2 }{ p_2 } \frac{ p_4 - 2 }{ p_3 } \cdots \frac{ p_{k-1} - 2 }{ p_{k-2} } \frac{ p_k - 2 }{ p_{k-1} }.
\)
Si definimos \( \theta_k = p_{k+1} - p_k - 2 \), entonces \( p_{k+1} - 2 = p_k + \theta_k \); por lo tanto
\(
\delta_k = \frac{ 1 }{ 2 } \frac{ p_2 + \theta_2 }{ p_2 } \frac{ p_3 + \theta_3 }{ p_3 } \cdots \frac{ p_{k-2} + \theta_{k-2} }{ p_{k-2} } \frac{ p_{k-1} + \theta_{k-1} }{ p_{k-1} } = \frac{ 1 }{ 2 } ( 1 + \frac{ \theta_2 }{ p_2 } ) ( 1 + \frac{ \theta_3 }{ p_3 } ) \cdots ( 1 + \frac{ \theta_{k-2} }{ p_{k-2} } ) ( 1 + \frac{ \theta_{k-1} }{ p_{k-1} } ) = \frac{ 1 }{ 3 } [ ( 1 + \frac{ 1 }{ p_1 } ) ( 1 + \frac{ \theta_2 }{ p_2 } ) ( 1 + \frac{ \theta_3 }{ p_3 } ) \cdots ( 1 + \frac{ \theta_{k-2} }{ p_{k-2} } ) ( 1 + \frac{ \theta_{k-1} }{ p_{k-1} } ) ( 1 + \frac{ \theta_k }{ p_k } ) ] \frac{ p_k }{ p_k + \theta_k }.
\)
Luego
\(
\displaystyle\lim_{k \to \infty} \delta_k = \frac{ 1 }{ 3 } \left [ \left ( 1 + \frac{ 1 }{ p_1 } \right ) \displaystyle\prod_{k=2}^{\infty} \left ( 1 + \frac{ \theta_k }{p_k} \right ) \right ] \displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{ p_ k }{p_k + \theta_k}.
\)
Ahora, el producto infinito entre los paréntesis rectangulares diverge si la serie
\(
\frac{1}{p_1} + \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{ \theta_k }{p_k}
\)
diverge. Podemos observar que si \( p_k \) es el primero de un par de primos gemelos, entonces \( \theta_k = 0 \), y el término correspondiente en la serie se anula; en los otros casos, \( \theta_k > 0 \). Como la serie de los inversos de los números primos tiende a \( \infty \) (Euler) y la serie de los inversos de los primos gemelos es convergente (Viggo Brun), entonces nuestra serie es divergente. Por lo tanto, el producto infinito entre los paréntesis rectangulares tiende a \( \infty \). Por otro lado, por el Teorema de Bertrand-Chebyshev, \( p_k < p_{k+1} < 2 p_k \Longrightarrow \theta_k < p_k \Longrightarrow p_k / ( p_k + \theta_k ) > 1 / 2 \). Y así, hemos probado que \( \delta_k \to \infty \) si \( k \to \infty \).
Utilizando el concepto de densidad de k-tuplas permitidas, y haciendo una suposición razonable, podremos entender ahora cuál es el camino para resolver el problema de Goldbach.
La densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \). Una cuestión surge en este momento: Cuáles son las razones para esperar que el mínimo valor de la densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de la secuencia de k-tuplas tienda a infinito con \( k \)? Supongamos que desde un \( k \) muy grande en adelante las k-tuplas permitidas se distribuyen siguiendo un patrón más o menos regular a lo largo del intervalo \( [ 1, m_k ] \) (el primer período). Entonces, si dividimos el intervalo \( [ 1, m_k ] \) de la secuencia de k-tuplas en subintervalos de tamaño \( p_k \), y contamos en cada uno de estos subintervalos el número de k-tuplas permitidas, tendremos una "población" de valores, cuya media es la densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, m_k ] \).
Por otro lado, el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) está formado por \( p_k \) subintervalos de tamaño \( p_k \). Así, contando el número de k-tuplas permitidas en cada subintervalo de tamaño \( p_k \) dentro de \( [ 1, p_k^2 ] \), tendremos un conjunto de valores que se puede ver como una "muestra" de tamaño \( p_k \) extraída de la población anterior. Y es fácil ver que la media aritmética de esa muestra es la densidad en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \).
Por lo tanto, es razonable asumir que los valores de la densidad en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) (para todas las combinaciones de elementos seleccionados en la secuencia de k-tuplas) se distribuyen alrededor de la media de la población, muy cerca de la misma; y entonces, como la densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, m_k ] \) es creciente y tiende a infinito cuando \( k \to \infty \), parece razonable esperar que el mínimo valor de la densidad en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) también tienda a infinito con \( k \). Al multiplicar el mínimo valor de la densidad en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) por \( p_k \), obtenemos el mínimo valor de la cantidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) (el mínimo valor de la Función de cribado de la Criba II), el cual también tenderá a infinito con \( k \). Por lo cual debe existir \( K \) tal que para todo \( k > K \), el mínimo valor de la Función de cribado de la Criba II es mayor que \( 2 \). De esto se sigue que para todo número par \( x \) que satisface \( p_k^2 < x < p_{k+1}^2, \; k > K \), la Función de cribado de la Criba I es también mayor que \( 2 \); y ya hemos visto que esto prueba la conjetura de Goldbach.
Hasta aquí nos hemos basado en algunas suposiciones "convincentes", pero no demostradas. Para resolver realmente el problema de Goldbach se necesita derivar una fórmula para el mínimo valor de la densidad en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \); veremos como hacer esto en lo que sigue.
Una fórmula para resolver el problema de Goldbach. Consideremos otra vez el intervalo \( [ 1, m_k ] \) (primer período) de la secuencia de k-tuplas de la Criba II, en posición horizontal, donde \( k > 4 \). Como hemos visto, podemos considerar este primer período de la secuencia de k-tuplas como una matriz de \( k \) filas y \( m_k \) columnas. Tomemos \( h \; (1 \le h \le k) \) como índice de las filas de la matriz, desde abajo hacia arriba. Entonces, para cada \( h \), las filas desde \( 1 \) hasta \( h \) forman parte de una secuencia de h-tuplas; y diremos que \( h \) es el
nivel de la secuencia de h-tuplas. Si consideramos la división del período en un intervalo izquierdo \( [ 1, p_k^2 ] \) y un intervalo derecho \( [ p_k^2+1, m_k ] \), la matriz queda particionada en un bloque a la izquierda y un bloque a la derecha (sin que esto tenga nada que ver con la política!).
Dado que \( p_k^2 = {\rm o} ( m_k ) \) (se demuestra fácilmente), podemos hacer \( k \) tan grande que el tamaño del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) resulte despreciable con respecto al tamaño del intervalo \( [ 1, m_k ] \). En particular, estamos interesados en la secuencia de 4-tuplas, y en la secuencia de k-tuplas. Es decir, vamos a considerar, para este \( k \) tan grande, los intervalos izquierdo \( [ 1, p_k^2 ] \) y derecho \( [ p_k^2+1, m_k ] \) de la secuencia de 4-tuplas, y los intervalos izquierdo \( [ 1, p_k^2 ] \) y derecho \( [ p_k^2+1, m_k ] \) de la secuencia de k-tuplas. Antes de derivar nuestra fórmula, necesitamos hacer algunas observaciones.
Observación 1. Dado que \( k \) es muy grande, el tamaño del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) (aunque despreciable frente a \( m_k \)) también será muy grande. Por lo tanto, a nivel \( h = 4 \), el período \( m_4 = 210 \) de la secuencia de 4-tuplas cabe muchas veces en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de dicha secuencia. Se sigue que la densidad de 4-tuplas permitidas dentro de \( [ 1, p_k^2 ] \) va a estar muy próxima a \( \delta_4 \) (la densidad de 4-tuplas permitidas dentro del período de la secuencia de 4-tuplas). Y es fácil ver que este hecho nos permite hallar cotas inferior y superior para la densidad de 4-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de la secuencia de 4-tuplas.
Observación 2. Dado un nivel \( h \; (1 \le h \le k) \), debe existir una combinación de elementos seleccionados en la secuencia de h-tuplas tal que la densidad de h-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) toma su valor mínimo, mientras la densidad de h-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \) toma su valor máximo. Y debe existir otra combinación de elementos seleccionados donde las cosas son a la inversa. Dado que el período \( m_k \) es múltiplo del período \( m_h \), la cantidad de h-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, m_k ] \) de la secuencia de h-tuplas se puede calcular. Por lo tanto, si conocemos el mínimo valor de la densidad de h-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \), podemos calcular el máximo valor de la densidad de h-tuplas permitidas en el intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \); y viceversa.
Notación: Para todas las combinaciones posibles de elementos seleccionados en la secuencia de k-tuplas, utilizaremos la notación \( \{ \delta_k^I \} \) y \( \{ \delta_k^D \} \) para los conjuntos de valores de la densidad de k-tuplas permitidas dentro de los intervalos izquierdo \( [ 1, p_k^2 ] \) y derecho \( [ p_k^2+1, m_k ] \), respectivamente; y en la secuencia de 4-tuplas utilizaremos la notación \( \{ \delta_4^I \} \) y \( \{ \delta_4^D \} \) para los conjuntos de valores de la densidad de 4-tuplas permitidas dentro de los intervalos izquierdo \( [ 1, p_k^2 ] \) y derecho \( [ p_k^2+1, m_k ] \), respectivamente.
Observación 3. Dado que el tamaño del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) es despreciable con respecto al tamaño del intervalo \( [ 1, m_k ] \), podemos ver que para cada secuencia de h-tuplas, desde \( h = 1 \) hasta \( h = k \), la mayor parte de las h-tuplas van a pertenecer al intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \) de la derecha. Por lo tanto, es sencillo entender que la densidad de h-tuplas permitidas dentro de cada intervalo derecho va a estar muy próxima a la densidad promedio \( \delta_h \) de la respectiva secuencia de h-tuplas. Es decir, \( \max \{ \delta_h^D \} \) va a estar muy próximo a \( \delta_h \) para cada nivel desde \( h = 1 \) hasta \( h = k \). Y como \( \delta_h \) es creciente desde \( h = 1 \) hasta \( h = k \), entonces \( \max \{ \delta_h^D \} \) va a crecer de manera aproximadamente proporcional a \( \delta_h \). Y esta proporcionalidad mejora a medida que \( k \to \infty \). Por lo tanto, podemos derivar una fórmula de proporcionalidad (dentro del bloque derecho de la partición), tal que dado \( \max \{ \delta_4^D \} \) podamos calcular \( \max \{ \delta_k^D \} \), donde aparece un parámetro \( \beta \) que da cuenta del grado de aproximación a la proporcionalidad (se puede demostrar que \( \beta \) tiende a \( 1 \) a medida que \( k \to \infty \)). La fórmula es la siguiente
\( \max \{ \delta_k^D \} = \delta_k + \beta \frac{ \delta_k }{ \delta_4 } ( \max \{ \delta_4^D \} - \delta_4 ) \).
Para derivar la fórmula que buscamos (ahora para el bloque izquierdo de la partición), procedemos de la siguiente manera. Supongamos que a nivel \( h = 4 \) conocemos el mínimo valor de la densidad de 4-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) (bloque izquierdo de la partición de la matriz). Entonces, a partir de lo explicado en la Observación 2 podemos calcular el máximo valor de la densidad de 4-tuplas permitidas en el intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \) (nos pasamos al bloque derecho). A partir de este valor, y por medio de la fórmula de proporcionalidad de la Observación 3, calculamos el máximo valor de la densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ p_k^2+1, m_k ] \) (seguimos en el bloque derecho). Y a partir de este último valor, otra vez por lo explicado en la Observación 2, podemos calcular el mínimo valor de la densidad de k-tuplas permitidas en el intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) (regresamos al bloque izquierdo). Es decir, para determinar el comportamiento de la densidad en el bloque izquierdo, hemos dado un "paseíto" por el bloque derecho. Y obtenemos, para el bloque izquierdo, la fórmula
\( \min \{ \delta_k^I \} = \delta_k - \beta \frac{ \delta_k }{ \delta_4 } ( \delta_4 - \min \{ \delta_4^I \} ) \).
Con esta fórmula, podemos demostrar que \( \min \{ \delta_k^I \} \to \infty \) cuando \( k \to \infty \). Para esto dividimos ambos miembros de la ecuación por \( \delta_k \), y tomamos límites:
\( \displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{ \min \{ \delta_k^I \} }{\delta_k} = \displaystyle\lim_{k \to \infty} ( 1 - \beta \frac{ 1 }{ \delta_4 } ( \delta_4 - \min \{ \delta_4^I \} ) ) \).
De la Observación 1 se deduce inmediatamente que \( \min \{ \delta_4^I \} \to \delta_4 \) cuando \( k \to \infty \); y de la Observación 3 tenemos que \( \beta \to 1 \) para \( k \to \infty \). Por lo tanto, calculamos el límite anterior, y obtenemos
\( \displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{ \min \{ \delta_k^I \} }{\delta_k} = 1 \).
Y como ya hemos probado que para \( k \to \infty \) tenemos \( \delta_k \to \infty \), entonces resulta que también \( \min \{ \delta_k^I \} \to \infty \). Se deduce que debe existir \( K \) tal que para todo \( k > K \) resulta \( \min \{ \delta_k^I \} > \delta_4 = 1/2 \).
Ahora, es fácil verificar que si \( k \ge 35 \; (p_k \ge 149) \) el tamaño del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) resulta despreciable frente al tamaño del intervalo \( [ 1, m_k ] \). Entonces, por un lado podemos asumir que \( \beta \approx 1 \) para todo \( k \ge 35 \). Y por otro lado, utilizando la Observación 1, podemos obtener una cota inferior para la densidad de 4-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de la secuencia de 4-tuplas. Por lo tanto, reemplazando en la fórmula el valor de \( \min \{ \delta_4^I \} \) por esta cota inferior (y utilizando que \( \beta \approx 1 \)), podemos obtener una cota inferior para la densidad de k-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de la secuencia de k-tuplas. Esto nos permite verificar que el mínimo valor de la densidad de k-tuplas permitidas dentro del intervalo \( [ 1, p_k^2 ] \) de la secuencia de k-tuplas es mayor que \( 1 / 2 \) siempre que \( k \ge 35 \). Y multiplicando por \( p_k \) resulta que el mínimo valor de la Función de cribado de la Criba II es mayor que \( p_k / 2 \) para \( k \ge 35 \).
De esto se sigue que para todo número par \( x \) que satisface \( p_k^2 < x < p_{k+1}^2, \; k > 35 \), la Función de cribado de la Criba I es también mayor que \( p_k / 2 \); y esto demuestra la conjetura de Goldbach para todo número par \( x \ge 149^2 \).
Algunas observaciones finales. El manuscrito completo, con el detalle de todas las demostraciones se puede encontrar en
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01662191. A fines del 2017, el referee anónimo de un importante journal de Teoría de Números rechazó el manuscrito diciendo:
"There is unfortunately a drastic flaw in the proof of Lemma 7.6. Some vague argument is given in step 2, invoking the clever Lemma 7.3, ..."
El Lemma 7.6 es el que demuestra que \( \beta \to 1 \) cuando \( k \to \infty \). Sin embargo, en 2016, una versión previa del manuscrito fue rechazada por Annals, y el mail decía:
The expert we consulted said that there is a mistake
in the paper. He wrote:
"In step 2 of Lemma 4.9, the author assumes two
quantities alpha and beta are close to 1. They are
indeed close to 1, so this is fine. However, in the
next step the author uses that they are exactly
equal to 1. They are not."
Este referee menciona al Lemma 4.9 equivocadamente, en realidad se refiere al Lemma 7.9 (que ahora en la versión actual es el Lemma 7.10, y el error, por supuesto, ya fue corregido). Ahora, donde dice: "They are indeed close to 1...", está admitiendo que \( \beta \to 1 \) a medida que \( k \to \infty \); es decir, está considerando correcta la prueba del Lemma 7.6.
Saludos cordiales a todos.
