En cuanto a lo de cómo sabemos que una afirmación es verdadera si no podemos demostrarla en la teoría, hay dos situaciones distintas:
1) La teoría es lo suficientemente débil como para que podamos confiar en otra teoría más fuerte en la cual podemos probar más cosas.
2) No disponemos de una teoría más fuerte en la que podamos apoyarnos.
Carlos, creo que tengo una laguna en el concepto de verdad, porque no logro entender que la veracidad de una afirmación no demostrable en una teoría débil, pueda ser demostrable en otra teoría más fuerte, pero no su falsedad (no has hablado de esa posibilidad, pero es en la que yo incido. Al fin y al cabo, nunca supimos si era verdadera o falsa, sólo lo que parecía ser).
Supongamos que hay una afirmación que es verdadera ("Todo número par salvo 2 se puede expresar como suma de dos primos") y que no es demostrable. A priori no sé si es verdadera, pero me aseguran que no es demostrable. Pruebo con un ordenador muchísimos números, y veo que todos son expresable como suma de dos primos, y me aventuro a opinar que es verdadera. Matiz: Parece verdadera.
Supongamos que, efectivamente, fuera verdadera (y aún no lo sé). Al no ser demostrable, no existe ningún argumento que ligue los teoremas de la teoría con esa afirmación, así que no debería tener consecuencia alguna en cuanto a consistencia afirmar que es mentira, que la afirmación es falsa, y que existe al menos un número par mayor que 2 que no se puede expresar como suma de dos primos. ¿Estoy en lo cierto?
Expresado de otra forma, dado que no es demostrable esa afirmación, y pese a parecer verdadera (a lo mejor lo es y todo, en el sentido de que, efectivamente, ni en un millón de años encontraremos tal número par), podemos usar una teoría más fuerte que demuestre que esa afirmación es falsa, consistentemente con todos los teoremas ya demostrados por la teoría débil.
Es como si el teorema de Bolzano, que según tú (yo no lo sé :) ) no se puede demostrar a partir de los axiomas de Peano, se demuestra falso a partir de una teoría más fuerte que la de Peano, que no es la de conjuntos usual.
Lo mismo pero con "los axiomas de Peano son contradictorios"
Con los axiomas de Peano me sale una contradicción en el razonamiento, pero yo creo que es porque estamos hablando directamente de la consistencia de la teoría débil, y creo que eso es una frase más delicada. Por eso lo pongo en Spoiler, porque ya me cuesta a mí expresar ideas, si pongo esto en el hilo se distrae la atención, se va la idea que quiero expresar, y todo malo.
Si se demuestra que los axiomas de Peano son inconsistentes a partir de otra teoría: Nunca encontraremos tal contradicción porque es mentira (supongamos que verdaderamente son consistentes, en el sentido de que nunca encontraremos dicha contradicción), pero en el marco de esa teoría más amplia que diseño: se demuestra que los axiomas de Peano son contradictorios, y gracias al comodín que me daba la indecidibilidad que tenía originalmente la afirmación en la teoría débil, el resultado "los axiomas de Peano son inconsistentes" son consistentes con el resto de los teoremas de la teoría de débil y fuerte. Y eso es una contradicción en sí misma, así que las frases sobre la consistencia en sí misma, concluyo, se tratan por separado, son más delicadas.
No, no, ya he resuelto la paradoja. No hay contradicción: Demostraremos en la teoría fuerte que la teoría débil es inconsistente, y este teorema será consistente con todos los teoremas de la teoría débil (resultado trivial al ser algo no demostrable en ella) y con los de la teoría fuerte.
Lo que sucede es que los matemáticos que trabajen en el marco de la teoría débil únicamente, no estarán seguros de si sus axiomas son consistentes o no (pues no es demostrable). Y los que trabajen en el marco de la teoría fuerte, demostrarán cabizbajos o incluso abandonarán la teoría, aunque nunca hallarán contradicción alguna, pues la teoría bien podía ser consistente pese a haber sido demostrada falsa (es decir: La demostración de ese teorema de inconsistencia implica que: El teorema Es consistente es consistente con el resto de la teoría, sea verdadero o no. Y es verdadero en el sentido de que nunca hallaremos contradicción.
Ufff es súpersutil lo que trato de expresar dentro y fuera del spoiler. Es la misma idea, sólo que en el spoiler la frase se las trae con tanta consistencia... trato de separar lo que es "verdad" y lo que es "consistente y demostrable y en armonía todos los axiomas con todos los teoremas demostrados hasta ahora".
¡Gracias!
Si no os enteráis de nada, decidme: Piockñec, no se entiende nada. Borra y empieza otra vez.
Es que me está costando expresar esta idea, pero prometo que la tengo clara en mi mente jajaja no se está dando el caso en el que ni la tenga clara y por tanto no sepa ni expresarla :)