[manooooh]

Hola comunidad! En un ejercicio de parcial vi ésto y estoy dubitativo:

Pide demostrar:

\( A \subseteq{B \Longrightarrow{A - B = \emptyset}} \)
(tomaron uno muy parecido pero en vez de la inclusión con el igual, estaba escrito \( \subset{} \), pero el resto no se modificaba. Tomaremos el \( \subseteq{} \)).

¿Entonces? ¿Cómo lo resolvemos? Siempre se parte de la tesis, ¿no? Intenté demostrarlo por el método del absurdo (o sea, negando el consecuente / tesis). Además tengo entendido que para demostrar es necesario utilizar la hipótesis, ¿verdad? Con todo esto tenemos:

Dem:

\( \exists{x : A - B \neq{\emptyset \underbrace{\Longrightarrow}_{Definición.de.A - B}{\exists{x : x \in{A \wedge x \not\in{B \underbrace{\Longrightarrow}_{Por.Hipótesis}{\exists{x : x \in{B \wedge x \not\in{B}}}}}}}}}} \)  \( ∴ \) Absurdo. \( FALSO \). Entonces \( \boxed{VERDADERO} \).
En el paso que utilizo la Hipótesis es tal porque \( A \subseteq{B \Longleftrightarrow{x \in{A \Longrightarrow{x \in{B}}}}} \), y como tengo la hipótesis de ésta, puedo usar la tesis.

Si hacemos el Diagrama de Venn comprobamos que es Verdadero (la foto adjunta.)

¿Es correcta mi resolución?

Gracias!!

[MoisesOlaf]

Es correcto y bien explicado

Saludos

[manooooh]

Muchas gracias! Me anima a seguir practicando entonces.

[delmar]

Hola

La demostración esencialmente es cierta, solamente el primer paso podría aclararse un poco más.

El primer paso es la negación del teorema, es decir suponer verdadero lo contrario. En este caso una forma detallada es :

\( \exists{\ algun \ A \ \ y \  \ algun \ B} \ \ tales \ \ que \ A\subseteq{B} \) y \( A-B\neq{\emptyset} \)

En otras palabras se supone, que hay una excepción al teorema, es decir que no es verdadero.

Saludos

[manooooh]

El primer paso es la negación del teorema, es decir suponer verdadero lo contrario.

Gracias por responder.

Tengo entendido (por la explicación de mi profesor) que si se usa el método del absurdo solamente se niega la tesis, y no negando tesis + hipótesis. A lo que me refiero es:

\( p \Longrightarrow{} q \), por el absurdo queda \( p \Longrightarrow{} \sim{q} \). En nuestro caso queda:

\( (\forall{x} : x \in{A} \Longrightarrow{} x \in{B}) \Longrightarrow{} \sim{} (\forall{x} : A - B = \emptyset) \)

\( (\forall{x} : x \in{A} \Longrightarrow{} x \in{B}) \Longrightarrow{} \exists{x} : \)  \( \sim{}(A - B = \emptyset) \)

\( (\forall{x} : x \in{A} \Longrightarrow{} x \in{B}) \Longrightarrow{} \exists{x} : A - B \neq{} \emptyset \), etcétera. Una vez que se encuentra una contradicción, entonces la tesis es verdadera.

[MoisesOlaf]

Quiero pensar que a lo que se refiere delmar es que el enunciado a probar es:

\( \forall{A}\forall{B}(A\subseteq{B}\Longrightarrow A-B=\emptyset) \)

Entonces al negarlo tendrías que existen dos conjuntos que son la excepción, pero como tú no lo planteaste con cuantificadores no le vi mayor problema...

Pero en tu negación tienes un error, pues :

\( \neg(p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow (p\wedge \neg q) \)

La negación de la tesis se aumenta a la hipótesis.

[delmar]

Quiero pensar que a lo que se refiere delmar es que el enunciado a probar es:

\( \forall{A}\forall{B}(A\subseteq{B}\Longrightarrow A-B=\emptyset) \)

Entonces al negarlo tendrías que existen dos conjuntos que son la excepción, pero como tú no lo planteaste con cuantificadores no le vi mayor problema...

Pero en tu negación tienes un error, pues :

\( \neg(p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow (p\wedge \neg q) \)

La negación de la tesis se aumenta a la hipótesis.

Exacto.

Saludos

[manooooh]

Quiero pensar que a lo que se refiere delmar es que el enunciado a probar es:

\( \forall{A}\forall{B}(A\subseteq{B}\Longrightarrow A-B=\emptyset) \)

Entonces al negarlo tendrías que existen dos conjuntos que son la excepción, pero como tú no lo planteaste con cuantificadores no le vi mayor problema...

Pero en tu negación tienes un error, pues :

\( \neg(p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow (p\wedge \neg q) \)

La negación de la tesis se aumenta a la hipótesis.

Exacto.

Saludos

Quiero pensar que a lo que se refiere delmar es que el enunciado a probar es:

\( \forall{A}\forall{B}(A\subseteq{B}\Longrightarrow A-B=\emptyset) \)

Entonces al negarlo tendrías que existen dos conjuntos que son la excepción, pero como tú no lo planteaste con cuantificadores no le vi mayor problema...

Pero en tu negación tienes un error, pues :

\( \neg(p\Longrightarrow{q})\Longleftrightarrow (p\wedge \neg q) \)

La negación de la tesis se aumenta a la hipótesis.

Lo tendré en cuenta. Muchas gracias a ambos!