Autor Tema: Integral cociente polinomios en función de exponente

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Junio, 2014, 04:59 am
Leído 558 veces

razielfer

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 14
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Cómo hago para encontrar esta integral \( \displaystyle\int_{1/3}^{1/2}-\dfrac{x^n}{x-1} \)

Gracias.

18 Junio, 2014, 05:10 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,126
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Debes crear un hilo nuevo para cada ejercicio.

Para tu integral te propongo esto:

\(  a^n - b^n = (a-b) \cdot \sum_{i= 0}^{n-1} a^i \cdot b^{n-1-i}  \) .

En tu caso :

\(  x^n  - 1 = x^n - 1^n = (x-1) \cdot \sum_{i= 0}^{n-1} x^i  \)

\(  {\red Editado }  \).

\(  \dfrac{-x^n}{x-1} = -\dfrac{x^n}{x-1} = -\dfrac{x^n - 1+1}{x-1} =  \)

\(  =-[\dfrac{x^n - 1}{x-1} + \dfrac{1}{x-1}] = -[\dfrac{(x-1) \cdot \sum_{i= 0}^{n-1} x^i}{x-1} + \dfrac{1}{x-1}] =  \)

\(  =-[(\sum_{i= 0}^{n-1} x^i) + \dfrac{1}{x-1}]  \).

\( \displaystyle\int -\left[(\sum_{i= 0}^{n-1} x^i) + \frac{1}{x-1}\right]dx = -[(\sum_{i= 0}^{n-1} \frac{x^{i+1}}{i+1}) +\ln(|x-1|)] + C  \).

Sea
\( F(x)=-[(\displaystyle\sum_{i= 0}^{n-1}\dfrac{x^{i+1}}{i+1})+\ln(1-x)]  \).

\(  \displaystyle\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}}  -[(\sum_{i= 0}^{n-1} x^i) + \dfrac{1}{x-1}]dx = F(\dfrac{1}{2}) - F(\dfrac{1}{3})  \).