Autor Tema: Funciones de varias variables iguales.

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14 Junio, 2014, 11:49 pm
Respuesta #10

hear

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Sí bastante ingenioso el ejemplo y lo conseguiste! Ahora pregunto que pasa si no las restringimos tanto q su valor coincidan en cero solamente? Podemos buscar estas parejas de funciones?
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

15 Junio, 2014, 12:11 am
Respuesta #11

elcristo

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Pues sí, podemos hacer lo mismo ahora poniendo:

\(


g(x) =\begin{Bmatrix} cos(x) & \mbox{ si }& x\in I\\sen(x) + 5 & \mbox{si}& x \in P\end{matrix}

f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in I\\5 & \mbox{si}& x \in P\end{matrix}
 \)

Donde \( I = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x = min\{z \in \mathbb{Z} \ | \ z\leq{}x\}\}\cap{}\{Impares\}

P = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x = min\{z \in \mathbb{Z} \ | \ z\leq{}x\}\}\cap{}\{Pares\} \)
(Es decir, la parte entera de los números, por ejemplo, 3'5-->3, e intersecado con los pares e impares.)

Y ahora restringimos el dominio a \( A = \{z\pi \ | \ z\in \mathbb{Z}\} \)

Si no me he equivocado al expresarlo, la idea es la siguiente.

Tenemos una función \( g(x) \) que toma como valor \( cos(x) \) si \( x \) está en el subconjunto de los reales cuya parte entera es impar, y \( sen(x)+5 \) si \( x \) está en el subconjunto de los reales cuya parte entera es par. Además, tenemos \( f(x) \) que toma toma los valores 0 y 5 en los mismos subconjuntos que antes respectivamente.

Entonces, si \( z \) es par, tenemos que estamos en todos los múltiplos pares de \( \pi \), que tienen como parte entera un número par, luego estamos con el seno, pero como son múltiplos pares de \( \pi \) el seno vale 0, que sumándole 5 queda 5, lo mismo que \( f(x) \), y en el otro caso lo mismo.

Y si vamos haciendo más cositas podemos hacer lo que queramos, forzarlas a ser continuas, derivables, etc. y esto se puede extender a muchos casos y sobretodo a varias variables.

Saludos.

15 Junio, 2014, 01:25 am
Respuesta #12

hear

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El ejemplo es muy similar al anterior; muy restrictivo y además para tener diversidad de valores en las funciones necesitamos x cada valor
diferente una restricción, te imaginas un par de funciones con solo una restricción e infinitos valores diferentes coincidentes en ambas funciones?
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

15 Junio, 2014, 01:33 am
Respuesta #13

elcristo

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Creo que también puede servir cualquier función y su desarrollo en serie de fourier completa. La serie de fourier coincide con la función en infinitos puntos, y con restringir la función sólo en los puntos en los que sean iguales ya está solucionado.

También te sirve cualquier interpolación mediante polinomios restringido al conjunto de los nodos. Si son igualmente espaciados hasta el infinito pues tienes infinitos puntos, 2 funciones, un polinomio y otra cualquiera, que toman los mismos valores y es fácil restringir el dominio a los puntos en los que son iguales.

15 Junio, 2014, 01:40 am
Respuesta #14

hear

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Pues estaria mejor si pones un ejemplo concreto ya sea con la transformada o la interpolación; recuerda una sola restricción pero escrita matemáticamente no asumida...
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

15 Junio, 2014, 01:55 am
Respuesta #15

elcristo

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Me pides mucho, pero haré lo que pueda.

Sea \( f(x) = e^x \) (una función cualquiera y sencillita)

Ahora, sea \( Pn(x) \) el polinomio de interpolación que interpola a \( f(x) \) en todos los enteros.

Entonces si restringimos el dominio a \( \mathbb{Z} \) obtenemos lo que buscamos.

El polinomio de interpolación se podría calcular fácilmente, pues son nodos igualmente espaciados. Sin embargo, no ando yo muy sobrado como para hacer esto, sólo estoy en 2º.

16 Junio, 2014, 01:08 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

 hear: mi sensación es que le sigues dando vueltas a lo que comenzaste a exponer aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69665.msg277096#msg277096

 Como te comenté allí no es nada excepcional que dos expresiones aparentemente muy diferentes pueden definir la misma función; previsiblemente puede pasarse de una otra mediante transformaciones algebraicas más o menos complejas o directas.

 Por ejemplo (para \( x\neq 0 \)):

\(  f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{x^2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}} \)

 y

\(  g(x)=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2t^2}dt \)

 definen la misma función (aunque no son más que fuegos de artificio).

 Dices además:

Citar
Ahora les pongo una pregunta, conoce alguien de Uds. algún otro par de función en algún campo del conocimiento donde suceda lo que les muestro?
 

 Pero no nos muestras exactamente el par de funciones al que te refieres. Entonces no sé muy bien a donde quieres llegar....

Saludos.

16 Junio, 2014, 03:48 pm
Respuesta #17

hear

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Bien el manco tienes mucha razon y pido disculpas por no abrirme ante todos exponiendo mis formulas, pero sabes quiero investigar más por eso estoy buscando otro estudio que me permita incurcionar nuevamente al mundo de la investigación y cuando lo haga verán publicados mis trabajos.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!

17 Junio, 2014, 06:54 pm
Respuesta #18

hear

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El manco cuando publique mi fórmula podrás darte el gusto de aplicarle la transformación que tu quieras para pasar de una función a la otra, hasta entonces queda abierta la posibilidad de que existan tales funciones diferentes entre sí y que ninguna transformación pueda aplicarse para pasar de la una a la otra y que a pesar de ello sean iguales en infinitos todos sus valores y cuyo dominio sean los reales salvo una sola restricción entre los valores de su dominio.
Ama a tu prójimo como a tí mismo!