Autor Tema: Ecuación de segundo grado, imposible!!

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15 Junio, 2014, 05:30 pm
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baupincha

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Buenas, me presento, la verdad es que es la primera vez que ingreso a este foro pero es que estoy preparando un final de funciones cuadráticas, logarítmicas, exponenciales y trigonométricas y la cuestión es que no tengo forma de resolver la siguiente ecuación de segundo grado, busqué ejemplos en internet y no los encuentro por lo que terminé encontrando este foro y, desde ya, les agradecería su ayuda.

La ecuación es la siguiente,
\( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \)

Intenté todo lo que se me ocurrió, incluso pasando el x+4 a la derecha multiplicando al 1 para luego hacer lo mismo con el x+1 (multiplicando al x+4) quedándome lo siguiente: x^2 + 4x + x + 4 o sea, x^2 + 3x + 4, ecuación que no tiene resolución alguna por lo que veo. De todas maneras en el enunciado me dicen que la RTA final es que X es = 2 por lo que reemplazando vi que el paso que yo hice está mal hecho y quisiera saber por qué.

Asimismo, me gustaría aprovechar para expresar otra duda y es por ejemplo qué debe hacerse cuando el término del primer cociente de una ecuación cuadrática es negativo y además distinto de 1 (-3x^2 + bx + c = 0)

Saludos! de verdad agradecería muchísimo su ayuda!

15 Junio, 2014, 05:48 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola! baupincha.
Primero que nada debes escribir tus ecuaciones en Latex.

Corrigeme si me equivoco, tu ecuación es \( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \) ?

EDITADO


Si es así, entonces multipicando todo por  \( (x+1)(x+4) \)

queda

 \( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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15 Junio, 2014, 05:56 pm
Respuesta #2

baupincha

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Pido disculpas no sabia como funcionaba lo del latex, asi es, esa es la ecuacion que tantos problemas me esta causando

15 Junio, 2014, 06:00 pm
Respuesta #3

ingmarov

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...
queda

 \( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)

Multiplica, simplifica y despeja. Tendrás que resolver una ecuación cuadrática.
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15 Junio, 2014, 06:09 pm
Respuesta #4

baupincha

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Muchas gracias por la ayuda pero hay algo que no me cierra, es decir, que propiedad es esa?

como pasamos de

\( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \)

a

\( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)

es decir, porque lo que está dividiendo en vez de unicamente pasarse multiplicando al otro lado, directamente se multiplica a ambos lados de la ecuación??

Simplifiqué y me terminó dando bien, x=2 el tema es que no entiendo el primer paso por ende, en un ejercicio similar no sabría cómo resolverlo.

15 Junio, 2014, 06:12 pm
Respuesta #5

ingmarov

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...
EDITADO

Si es así, entonces multipicando todo por  \( (x+1)(x+4) \)

queda

 \( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)

Perdona había editado mi primer mensaje.

multipicando todo por  \( (x+1)(x+4) \)

queda

 \( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)
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15 Junio, 2014, 06:27 pm
Respuesta #6

baupincha

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Ahi esta! lo entendi muchas gracias, es indistinto que la ecuacion este igualada a uno? es decir, que pasa si desde un principio esta igualada a 0 o a cualquier otro numero ya sea positivo o negativo. A su vez, esto solo puede hacerse cuando las fracciones originales se suman o tambien es valido para cuando se restan? Por ultimo, podrias ayudarme con respecto a la segunda duda que planteo en el primer mensaje? Es otra cosa que me tiene bastante preocupado ya que al estar preparando la materia libre y sin profesor, no tengo a donde recurrir cuando me surjen estas dudas. Saludos!

15 Junio, 2014, 06:43 pm
Respuesta #7

ingmarov

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lo que este al otro lado del igual (=) deberá tambien ser multiplicado. Debes saber que yo también multiplique el 1 por los dos factores \( (x+1)(x+4) \), pero como es sabido \( 1\times(x+1)(x+4)=(x+1)(x+4) \)


Si es válido en suma o en resta.


La segunda duda

Reemplazando 2 en la ecuación original \( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \)

queda

\( \dfrac{2}{2+1}+\dfrac{2}{2+4}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}=1 \)

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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15 Junio, 2014, 07:29 pm
Respuesta #8

ingmarov

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Es que dices que pasaste a multiplicar (x+1) por 1 y luego (x+4) resultandote \( x^2+3x+4 \) que es incorrecto.

debe ser (escribiendo todo) \( (x+1)(x+4)=x^2+5x+4 \) , pero esto es lo que está a la izquierda de la igualdad nada más.

Esto es en general

Cuando resuelves ecuaciones debes mantener la igualdad a ambos lados.

Por ejemplo

\( 1=1 \) yo puedo operar en esta ecuación de muchas formas distintas, pero, lo que opere a un lado debo hacerlo en el otro, así se mantiene la igualdad. Si resto 4 a un lado debe hacerlo al otro.

\( 1-4=1-4 \)

\( -3=-3 \)

En cuanto a el problema que has propuesto. Haciéndolo despacio y explicado quedaria así

\( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4}=1 \) Multiplico por \( (x+1) \) todo, para eliminar este factor del primer término.

\( \dfrac{x\cancel{(x+1)}}{\cancel{x+1}}+\dfrac{x(x+1)}{x+4}=1(x+1) \)   se cancela porque \( \dfrac{(x+1)}{x+1}=1 \)

Queda
\( x+\dfrac{x(x+1)}{x+4}=1(x+1) \)

Ahora multiplicamos toda la ecuación anterior por \( (x+4) \) para cancelar este factor con el denominador del segundo término.

\( x(x+4)+\dfrac{x(x+1)\cancel{(x+4)}}{\cancel{x+4}}=1(x+1)(x+4) \) Se cancel por razones análogas al anterior

Quedando lo que te escribí.

\( x(x+4)+x(x+1)=(x+1)(x+4) \)

SEGUNDA PREGUNTA

\( -3x^2 + bx + c = 0 \)

No debes temer a los signos de los términos, esta ecuación cuadrática  se resuelve con la fórmula cuadrática.

De forma general, si tenemos un poliomio \( ax^2+bx+c=0 \)

Entonces hay dos soluciones reales dadas por \( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{}\sqrt[ ]{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} \)

Siempre que \( b^2-4\cdot a\cdot c>0 \)

Te daré como ejemplo la primera ecuación que presentaste.

Spoiler
\( \color{blue}x(x+4)+\color{red}x(x+1)=\color{black}(x+1)(x+4) \)

Primero multiplicamos todo

\( \color{blue}x^2+4x+\color{red}x^2+x=\color{black}x^2+5x+4 \)

Ahora sumamos resultando os términos de la izquierda

\( 2x^2+5x=x^2+5x+4 \)

Ahora restamos a ambos lados \( x^2+5x+4 \)

\( 2x^2+5x-(x^2+5x+4)=\cancel{x^2+5x+4}-\cancel{(x^2+5x+4)} \) se cancelan porque su resta es igual a cero

Y nos queda \( 2x^2+5x-(x^2+5x+4)=0 \)

Si simplificas te queda \( x^2-4=0 \)

Si factorizas te queda \( (x+2)(x-2)=0 \) Por el teorema del factor cero podemos decir que las soluciones son \( \color{blue}\pm{2} \)

Y si utilizamos la cuadrática

debemos identificar los coeficiente a,b y c para \( x^2-4=0 \)
a=1, b=0,c=-4
Sustituyendo en la ecuación cuadrática

\( x_{1,2}=\dfrac{-b\pm{}\sqrt[ ]{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\dfrac{-(0)\pm{}\sqrt[ ]{(0)^2-4\cdot (1)\cdot (-4)}}{2\cdot (1)}=\dfrac{\pm{}\sqrt[ ]{16}}{2}=\dfrac{\pm{4}}{2}=\color{blue}\pm{2} \)
[cerrar]
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15 Junio, 2014, 07:41 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola baupincha.

Puedes hacerlo de varias maneras; otra forma de hacerlo es ésta:

Tienes en el primer miembro de la igualdad

\( \dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x}{x+4} \)

Lo que vamos a hacer es multiplicar por 1 ambas fracciones:

\( 1\cdot\dfrac{x}{x+1}+1\cdot \dfrac{x}{x+4} \)

Lógicamente, la suma es la misma de antes, no ha cambiado nada y en principio parece que no va a servir de nada.

Sin embargo, como un valor dividido de sí mismo siempre es 1, podemos expresar el primer 1 así, como se ve en rojo:

\( {\color{red}\dfrac{x+4}{x+4}}\cdot\dfrac{x}{x+1}+ 1\cdot \dfrac{x}{x+4} \)

Y el segundo así

\( {\color{red}\dfrac{x+4}{x+4}}\cdot\dfrac{x}{x+1}+{\color{red}\dfrac{x+1}{x+1}}\cdot\dfrac{x}{x+4} \)

Lo que se ha buscado al hacer eso, si te fijas, es que quede un denominador común, el mismo denominador en las dos fracciones. Con lo que podemos expresar lo que teníamos así:

\( \dfrac{(x+4)x+(x+1)x}{(x+4)(x+1)} \)


Es como cuando se multiplica en cruz para resolver dos fracciones; lo que pasa es que de este modo se ve por qué funciona, está razonado; la clave está en multiplicar por 1 ambas fracciones y expresar los unos así.

Si ahora vamos a la igualdad, puedes escribir

\( \dfrac{(x+4)x+(x+1)x}{(x+4)(x+1)}=1 \)

¿Qué quiere toda esa fracción que hay en el primer miembro, qué nos está diciendo la igualdad? Quiere decir simplemente que, cuando se sustituya por el valor numérico de “x” el valor de la fracción es 1; o sea que tenemos esto

1=1

Si yo ahora multiplico el 1 de la izquierda por cualquier cosa y multiplico el 1 de la derecha por la misma cualquier cosa... ¿sigue siendo cierta la igualdad? Es obvio que sí, y lo mismo si en vez de multiplicar por una misma cosa, sumo, resto... o divido por una misma cosa. Y no hace falta que sea necesariamente 1=1, lo mismo podríamos hacer si fuera 5=5 o cualquier otra cosa.

Así que, como queremos quitar denominadores, tendré que multiplicar por \( (x+4)(x+1) \) a los dos lados, porque de esta manera tendré

\( \dfrac{(x+4)x+(x+1)x}{(x+4)(x+1)}\cdot[(x+4)(x+1)]=(x+4)(x+1) \)

Pero ese denominador yo lo puedo poner debajo del factor que quiera; es decir si yo tengo

\( \dfrac{a}{b}\cdot b \) es lo mismo que \( a\cdot\dfrac{b}{b} \); lo mismo me da dividir primeramente “a” entre “b” y después multiplicar el resultado por “b” que dividir “b” entre “b” y después multiplicar por “a”.

Por lo que puede escribir lo que teníamos así:

\( [(x+4)x+(x+1)x]\cdot{\color{red}\dfrac{(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)}}=(x+4)(x+1) \)

Y eso que está en rojo vale 1, así que se queda de esta forma:

\( (x+4)x+(x+1)x=(x+4)(x+1) \)

Los números no son cabras transformistas que salten de un lado a otro cambiando de signo, eso es sólo una nefasta regla que se aplica sin razonar pero que tiene una razón de ser muy sencilla, como has visto.

Saludos.