Autor Tema: Cálculo de integral racional

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15 Junio, 2014, 05:46 am
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Francolino

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola. Quiero calcular la siguiente integral:

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx \)

No me digan que la haga por tabla. Ya sé que la integral de tal función es la inversa de la tangente, pero, ¿cómo podría calcularla si no supiera tal identidad trigonométrica?

Además, quisiera que me aclararan un par de cosas:
1. Si tuviera una integral inmediata evaluada desde \( -\infty \) hasta \( +\infty \), ¿cómo la calcularía? ¿No podría aplicar Barrow, verdad?
2. Sé que la polinómica del denominador no tiene raíces reales (tiene sólo imaginarias), ¿cómo se hace para integrar este tipo de expresiones? ¿Podrían sugerirme un sitio para ver cómo se integran este tipo de funciones pero con raíces complejas de parte real e imaginaria no nulas?

Saludos.

15 Junio, 2014, 06:10 am
Respuesta #1

ingmarov

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Lo primero es que la función \( \displaystyle f(x)=\frac {1}{1+x^2}  \) es una función par y por tanto

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx=2\int_{0}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx \)

EDITADO

Spoiler
\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx=2\int_{0}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx=2\arctan(x)|_0^{+\infty}=2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\pi \)
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

15 Junio, 2014, 06:33 am
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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\(  \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = lim_{v,|w| \to + infty} \int_w^v f(x) dx  \) donde \(  w \to - \infty  \).
Usarías Barrow para cada \(  w,v  \) y calcularía el límite, pero no en el infinito.

\(  sen^2(t) + cos^2(t) = 1  \) dividimos por \(  cos^2(x)  \) queda:

\(  tag^2(t) + 1 = sec^2(t)  \)

Hacemos:

\(  tag(t) = x  \)
\(  sec^2(t) dt = dx  \)

\(  arctan(x) = t  \)

\(  \int_w^v \dfrac{sec^2(t)dt}{1+tag^2(t)} = \int_{arctan(w)}^{arctan(v)} dt = arctan(v) - arctan(w)  \).     

Donde en un principio no he usado que \(  arctag  \) sea la inversa de la \(  tag  \) aunque al final ha sido inevitable que apareciera.


15 Junio, 2014, 10:04 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \frac {1}{1+x^2} dx \) No me digan que la haga por tabla. Ya sé que la integral de tal función es la inversa de la tangente, pero, ¿cómo podría calcularla si no supiera tal identidad trigonométrica?

Para una función subintegral \( f \) continua, puedes particionar \( [0,a] \) en \( n \) subintervalos iguales, hallar la suma \( S_n \) de los correspndientes rectámgulos, con lo cual,

         \( \displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;dx=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}S_n. \)

y posteriormente:

          \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx=\displaystyle\lim_{a \to{+}\infty}\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}S_n\right). \)

Ahora bien, mi pregunta es: ¿Por qué te quieres someter a tamaña tortura?

15 Junio, 2014, 10:07 am
Respuesta #4

Fernando Revilla

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2. Sé que la polinómica del denominador no tiene raíces reales (tiene sólo imaginarias), ¿cómo se hace para integrar este tipo de expresiones? ¿Podrían sugerirme un sitio para ver cómo se integran este tipo de funciones pero con raíces complejas de parte real e imaginaria no nulas?

Mira aquí:

http://fernandorevilla.es/integracion-de-funciones-racionales-3/